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Full text of "Memorie dell'Istituto Nazionale Italiano"

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g.iioi'2. 


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MEMORIE 

DELL' 

ISTITUTO  NAZIONALE 
ITALIANO 


C  L  A  S  S  E- 

DI  FISICA  E  MATEMATICA 

TomoSecondo.  Parte  Second  a 


BOLOGNA.  1810 

PRESSO   I    FR\TELLI    MASl    E    COMPAGNO 
rtroGXjrj   dlll'   istjtpto 


)("0( 

DTSCORSO  E   OSSERVAZrONI 

INTORNO    I  RECENTI  PROGRESSI  DOVUTI  AQL"  ITALIAN! 
D.ELLE     SCIENZE    MATEMATICHE    E     FISICHE. 

Vincet  amor  patriae 

Virg.  G.  Aen. 


D, 


ella  specie  nostra  si  avvera  die  per  istituzio" 
ne  provida  delta  iVatura  di  non  lieve  moniento  e  so- 
jira  di  essa  in  pii'i  incontri  e  sopra  ogni  particolare  iii- 
dividuo  I'  influsso  delta  cmutazione.  A  giud/zio  de  sa- 
vii  scorgesi  palesernente  die  nelte  vediue  subtiini  della 
gran  Madre  andie  questo  principio  avvedatamente  da 
essa  inserito  nella  costituzione  delT  uomo  concorrer  do- 
veva  a  scuoterne  e  sferzarne  /'  industria ;  onde  rigunr- 
do  alto  sviluppamento  di  (piesta  tuito  non  rimanesse 
affidato  atte  mere  voci  e  alio  stiniolo  comecdie  acuto 
sopra  ogni  attro  ed  effi<ace  del  prepocenie  hisogno. 
Cfii  ponga  men  re  alia  presranza  dello  scopo,  non  pren- 
dera  meravigtia  die  non  ne"  soli  pnrticolari  inili\'idni 
faccia  niostra  di  se  la  forza  di  cjnesto  principio,  ma 
di  essa  si  altarglii  ad  ah'tnicdare  ne*  suoi  cjfcf^ti  le 
in  fere  nazioni:  della  quut  verita ,  giacdie  anclie  uel- 
V  ordin  morale  conviene  arteneru  (die  prove  sperimtm" 
tali,  Oasta  a  convincercene  it  facto  e  L  escmpio  illustre 
^uanco  niun  altro  de'  jjopoti  die  jyretendono  cguutnicn- 


)(   IV   )( 

/('  ol  inn  to  (Iclla  invert  z'lonc  dellii  busaola;  senzn  del- 
Id  iiiKilc  i  (tnh'fo  naviij^ante  si  troverebbc  costreito  qua' 
si  a  ji/v'iirr  to  sj)/a:>;gi' ,  c  aus'enturundosi  a  scosrarse/ie^ 
iniarriiebbc  agn'ot/iienre  iw/r  anipio  nutre  it  pjlo  e  il 
conisgitt.  Ciiiii  in  fittti  a  que'  popoli  die  non  S€nro~ 
nn  queifa  focc  Tticr  con  essa  lo  spirito  nazionule ,  fon- 
te  precipito  dtUe  belle  e  memorabili  i/nprese.  JVe  riguar- 
do  a  cid  diusi  rcnn  a  una  nial  intesa  fHantrop'a , 
c/ie  vorrebbe  spento  I'  aniore  della  propria  nazione ,  iin- 
wnginundo  die  ne  approjitterebbe  qudlo  dd  gencre 
umuno.  Ell  die  le  cost  futte  sottigliezzc,  o  con  pi  a 
vera  nonie  grosserie  metajisiche  non  voglionsi  ascoLr.are 
a  f route  (Idle  disposizioni  sovrane  ddla  Natura. 

Bendie  I'  fsperienza  ne  amniaestra  eziandio,  die 
per  un  feno'ucno  dcgno  di  osservazione  I'  injlisso  del 
mentovato  priucipio  giugne  a  tale  die  andie  le  diver- 
se eta  nianijestano  un  anibizione  con  forme,  e  i  secoll 
net  succedersi  e  sospingersi  nspirano  a  priineggiare  gli 
uiii  su  gli  iiltri ;  e  gli  uoniini  die  ci  vivono,  si  annun- 
ziaii  persuasi  di  possedere  qualdie  maggioranza  su  i 
trtipussdti.  At  quid  proposito  vuolsi  confessare  die  le 
lodi ,  ddlc  quuli  ogni  eta  e  liberate  a  se  stessa,  nort 
vnnno  per  soliro  diigiunte  da  qunldie  eccesso;  di  es- 
sa non  di  rudo  niignifica  oltre  il  dovere  i  proprii  van- 
toggi;  r/e-  qtiuli  per  alrro  non  minca  quasi  niai  qual- 
die nielanconico  die  iilT  oppasto  ne  opina  bassamente , 
e  ccrca  quanta  e  i/i  lui  di  cstenuargli  e  iiivilirgU.  Ill' 


)(v)( 

torno  a  che ,  n  fine  di  uxcire  omai  (hi  proemii ^  non 
ct  Mil  i/isdcffo  til  (tircsfiiiii  a/fjitnnto  sii  i  (einj)i  presen- 
ti ,  ne  (jiKill  ci  si  off  re  occusioiie  c  materia  ad  afcuiie 
osscnaziiini  dc/lu  specie  di  quel/e  die  gli.  etpii  e  di" 
screr'i  letiori  non  ci  biasimeranno  di  aver  poste  alia 
testa  di  quest o  volume. 

J)e'  nostri  tempi  e  Iccito  il  dire  che  si  farehbe  ad 
essi  1 1  torto  grunde  clu  ri/iutasse  loro  il  diritto  alia 
gratitudine  de'  posteri ,  presso  de'  quuli  parleranno  a 
loro  favore  le  scoperte  di  cui  s'  illustiano  in  alcuni  no- 
hUlssimi  rami  dello  studio  delta  Natura.  Cons'iunta- 
mente  per  grande  ventura  di  questo  studio,  paralleli , 
per  cosi  dire,  e  proporzionati  ai  suoi  incrementi  sono 
sfati  quelli  che  pur  a'  di  nostri,  merce  le  fatiche  e  con- 
quiste  de'  sonimi  geonietri  del  seco/o,  ha  ottenuti  I' ana- 
lisi  sublime;  nella  quale  non  ha  dubbio  die  non  con- 
venga  riporrc  lo  strumento  richiesto  a  compiere  ed  esau- 
rire  le  spiegnzioni  qualunque  d'  ogni  naturale  fenome- 
no ;  giacche  di  queste  spiegazioni  e  d' uopo  confessare 
che  rimangonsi  nello  stato  di  nieri  schizzi  ed  abbozzi 
finche  non  riesca  di  applicur  loro  i  calcoli  e  le  misu' 
re.  Congratuliumoci  dunque  co'  nostri  tempi;  e  se  ta- 
luno  per  avveniura  nelT  encomiarneli  trascorresse  a 
qualche  esagerazione.,  non  si  usl  verso  di  esso  soverchia 
teveritii.  In  vecc ,  diasi  il  debito  tributo  di  ammirazio- 
ne  e  riconoscenza  a  quella  gran  Mente,  die  conosce 
le  inolle  tiute  del  cuore  umano ,  e  tutte  pure   tratta  e 


)(   VI    )( 

manemxia  mirabilmcnte,  donde  masse  V  ordine  all'  /- 
stituto  iWtiziofiate  di  Francia  dl  presentare  un  Quadro 
e  prospctro  dello  stato  nrtimlc  dcllc  Sclenze  fisiche  e 
lUiitemuticlie  e  de'  progrcssi  loro  nel  periodo  compre- 
so  fra  il  jySc)  e  il  j8o^.  Al  cenno  satis fcce  prontaaien- 
te  quel  ras^uardcvole  Corpo,  affidaadone  V  incarico  a 
due  suoi  chiarlssiini  menihri  c  degnissiini  di  rappresea-' 
tarlo ;  e  ipiesll  nicnwri  che  i  Dotti  d'  ogui  nazione 
formano  siccome  una  repubblicn ,  qual  costumasi  di  ap-' 
pcflarla,  recarono  alt'  esecuziune  il  snjjere,  la  diligi'ii- 
za  c  /'  inipaFziuLifit  necessaria .  Peru  alia  tnancaiiza 
soltaiito  rcnduKi  prohabilnicnte  incvitabile  dalle  circo" 
stanze  in  cul  tnwavajisi,  delle  notizie.  nchlcste  all' uopo 
attribiiir  viiolsi  che  il  rugguaglio  o.piu  vcnimente  il 
compendio  uscico/ie  in  luce  scmbri,  riguardo  alle  fari~ 
che  dcgl"  Italinni,  scarso  anziche  no  e  bisognoso  di  sup- 
plcmcnto.  Mirano  a  qucsto  scopo  Ic  poche  osservazioni 
seguenti ;  /<;  qunli  (junnd'  anche  movesser  so^peno  che  a 
dcitarle  fosse  concorso  un  sentimenro  sovcrchio  cenero 
dcW  oiior  n-izionale ,  chi  sard  di  animo  si  alpescre  che 
voglia  rimpnnerarnctc?  TuttO  sta  che  in  esse  non.si 
ojjc/idiino  i  diritli    i/iviolabili  della  giuscizia. 

Or  (piesia  iic  cosrrmge  appunto  ad  osservare  prl" 
via  dl  tuiio ,  che  il  chiurissimo  Ruffini  nun  a  torto  si 
lusinga  d'  csscr  riuscito  a  dimostrare  che  nan  e  possi- 
bilc  dl  oticncrc  la  liioluzion  genciale  delle  cquazimu 
algcbraichc    determinate j   tostu   che   esse    so/passano    il 


)(vii)( 

quarto  gmdo.  I  suoi  tentatlvi  vengono  per  vero  dire 
mentovat't  alia  sftiggita  nel  compendia;  ma  senza  the 
vi  s'  incontri  motto  dell'  esito:  donde  vuolsi  inferire 
die  r  esimio  Relutore  per  un  infortunio  iion  raro  ad 
intervenire  al  lavori  italiani ,  non  conoscendo  /'  opera 
del  nostra  grande  Analista  che  pel  can  ale  de'  giarnall, 
o  essendog/i  mancato  il  tempo  e  V  agio  di  consultary 
la,  ha  creduto  di  non  dovere  su  di  essa  interporre  ve~ 
run  giudizia.  II  fatto  e  eke  Ruffini  premendo  le  orme 
dell'  i  I  lustre  Lagrangia  die  aveva  fatte  le  prime  spese , 
e  spingendosi  oltre  /.  cnnfini  entro  de'  quali  questi  ar-~ 
restossi,  ne  ha  tolto,  pud  dirsi,  ogni  lusinga  di  vede- 
re  sciolte  generalmente  per  una  resoluzione ,  a  cui  coni- 
petano  i  caratteri  di  algebraica,  le  equazioni  determi- 
nate. A  ccssare  gli  scrupali,  se  n  ha  mestieri ,  potrebbe 
fra  gli  altri  addursi  il  suffragio  del  celebre  Paoli,  da 
cui  dirhiarcui  gimtn.  in  Ogni  sua  parte  e  rigorosa  la  di- 
mostrazione  del  nostra  collega;  e  che,  sconfortando  gli 
analisti  dull'  occuparsi  piu  oltre  di  una  soluzione  im- 
possibile  ad  ottenersi ,  aggiugne  riguardo  alia  storia 
del  problema  una  riflessione  affiicciatasi  congiuntamen- 
te  ad  un  alrro  scrittore ,  che  si  compiace  assai  d'  esse- 
re  in  do  d'  accordo  con  un  uomo  tale.  Os%ervano  en- 
trambi  che  in  Italia  nel  secolo  deciniosesto  fra  le  ma- 
ni  dei  Ferri,  dei  Tartaglia,  dei  Ferrari,  dei  Bombel- 
li  f  Algebra  finita  riuscl  a  sciogliere  compiutamente  le 
equazioni  del  terzo  e  quarto  grado.  Qui  essa  arrestos- 


)(VIII)( 

si ,  e  incontro  iino  sco^//i)  a  cut  nippcro  gU  sforzi  som- 
fiii  dciiH  anaiisfi.  Aiiche  a  nostra  menioria  I'  acuro 
Van  II  g  I'/te  siil/e  prime  iinmagiiiava  di  aw  re  scinlte 
general iiicntc  le  c(piazioiii  del  quinto  grado  si  avvide , 
senza  c/i'  idcri  ne  f  aninionisse,  dell'  ahbaglio ,  e  si  af- 
fretto  a  confcssar/o.  Fiiialineiite  Lagrangia  e  Ruffiiii , 
it  priino,  conic  d  detio ,  addiiando  la  strada,  I'  aliro 
battendola  c  raggiangcndonc  il  lerininc  felicrinente ,  ne 
hanno  obhlignii  a  rinunziare  omai  a  ogni  speranza. 
Cost  deir  algebra  finira  pud  dirsi  esser  dessa  una  scien- 
za  dagh  ingegtii  italiaiii  aperia  e  chiuaa. 

Poiclie  ci  e  occorso  di  far  menzione    dell'  illustre 
Lagrangia,  di  cui  i'  Italia  si  pregia  d'  es%ergH  parria, 
niun  torto  noii  si  farebbe  a  veruno,  e  nulto  nieno  al- 
ia gloriosa    Nazione  chc   lo  possiede    attualinente  ed  e 
d'  alrronde  si  ricca  chc  non  ha  niescieri  di  crescere  del' 
le  spoglie  alfrui,  cfii  inectessc  fra  gli  ar.qiii<tt    procrtc^ 
ciati  dagl'  Italiuni  alle  scienze  esaite  iiel  giro  di  anni 
coniprcso    nel  raggtiaglio    oiiche   a/cane  produzioni    di 
fjiiesto   rarissimo    ingcgno.    Fra    le    altre    nppartiene    a 
fjuest  epoca  F  insigne  lavoro^  per  cui  non  conreiiro  egli 
di  /acre  allargati  oltreinisura  i  con/ini  del  calcolo  su- 
bfinie,  ha  voluto  anche  rischiararne  I' ingresso  e  stabi- 
lirne  i  princi/iii  sopra  basi  pia  salde^  proscrivendo  nel- 
/'  npfi/iuid/tis^iina  sua  Teoria  delle  funzioni  analiciclie 
le  idee  per  lo  nieno    inesntte  c  nebbiosc  dell'  infinito  e 
dcUinfuiiicsinio.  Alia  nobite  iinpresa  non  poteva  mail' 


)('X)( 

care  il  voto  degli  amici  del  rigore  assoluto.    Molti  fra 
essi  commossi  da  I  suo  esempio  sonosi.  affrettatl  a  seguir- 
ne  le   insegne,  e  consapevoli   delle  lor  forze    mostrano 
di  non  curare  gran  fatco  che  la  nuova  strada  sia  for- 
se  ulquanto  men  breve  e  plana  e  agiata  della  comune. 
In  fatti  non  ha  problem  a  si  arduo  fra  fjiielli ,  ai  qua- 
il si  apphca  utilmente  il  calcolo  difj'erenziale  e  integra- 
le,  di  cut  essi,  ialendosi  del  nuovo  metodo,  non  trion- 
fino  feliccmente.  Jntorno  a  che,  a  risico  che  la  sicur- 
td  venga  dichiarata  eccessiva ,  non  sia  disdetto  di  tor- 
nare  un  momenta  sopra  di  un  articolo,  su  cui  nel  dls- 
corso  premesso  alia  prima  parte  di  questo  tomo,  si  eb- 
he    il  coraggio    e  /'  ardimento    quasi  di   porre    qualche 
parola    in  bocca    a    Bacone.    Jiestringendo   il    tutto  in 
una  sola  osser\'azione ,  cerio  che  com'ien    confessare,  e 
congraiularsi  con  V  anallsi  che  le  modificazioni  intro- 
dotte  dalla  teoria  delle  funzioni  nel  adcolo    sublime  ^ 
ne  assodnno  le  fondamenta  senza  scemar  panto  in  lui 
r  attitudine  a  sciogliere  ogni  pi  a  arduo  problema.  Ma 
d'  altra  parte  saranno  forse  di  quelli ,  che  non  si  cre- 
deranno    per  questo    tenuti  a    rinunziare    al    vantaggio 
di  giugnere  alia  mcta  per  una  strada  piii  corta  ahjuun- 
to  e  spedira.  A  qtiesta,  diranno  essi,  ci  atterrem  quin- 
cV  innanzi    con   piu    coraggio,   giacche    fortunatamente 
la  teoria  delle   funzioni  c  sopravvenuta  a.  rassicurare  i 
nostri  passi  pel  lame  che  aggiugne  alia  metafisica  del 
ccdcolo  sublime.  Jggiugneranno  essi  forse  che  potendos 


)(o( 

conte  s/oia  sperarlo,  lo  stcsso  culcolo  dilatare  le  sue 
coni/i/i'ste,  e  ncmpicndo  le  molte  lacune ,  die  v'l  s*  in" 
contrano  per  ognl  dove,  awantaggiarsi  dl  nuovi  me- 
todi,  c  jiorsi  per  essi  in  iscato  di  aff'ronrare  rlcerche 
ognor  pill  astruse  e  innccessibili  alle  attuali  sue  forze , 
ragion  vuofe ,  eke  non  si  abbia  a  vile  niuno  comecchc 
lieve  conipcndio  e  comodo  die  contribuir  possa  ad  age- 
volarne  e  aff^rectarne  e  reiiderne  comumpie  nieno  f(J-ti~ 
cose  le  opcrazioni .  Chi  sa  eziandio  die  alcuno  fra  essi 
non  triigga  innanzi  con  una  supposizione  ne  illecita 
per  V un  verso ^  c  acconcia  per  V  nliro  a  spurgere 
qualche  lame  ulteriorc  suW  argomento?  Pitengad,  di- 
ra  esso ,  die  a  toglier  di  mezzo  le  accuse  niosse  al 
calcolo  infinitcsiniale  diretto  e  inverso  basta  I  inter" 
petrare  a  dovcre  i  termini  d' in/inito  e  d'  infinitesimo, 
chc  colle  cifre  corrispondenti  non  vog/iono  prendersi 
mai  die  nell'  aspetto  di  meri  simboli  destinati  ad  epi~ 
logare  i  rogionamenti  alfjuunto  prolissi,  a  cui  guide— 
rebbe  r  assionia  per  se  stesso  evidcnte,  die  non  ha  (/uan- 
ritii  tanto  graiide  o  tanto  picciola ,  di  cui  non  possa 
assegnnrsi  una  rapcftivnmente  o  mnggiore  o  minore, 
Posto  cio  e  conccduio ,  fingasi  die  nella  fausta  occa- 
sione  del  primo  scnprimento  del  calcolo  sublime  si  fos- 
se off't'rio  alia  sagncita  degli  anulisti  prima  di  tutto 
quello  che  riposa  sidlo  sviluppamento  delle  funzioni. 
Non  ha  dubbio  che  per  trionfi  estesi  a  un  di  presso 
egualmente ,   solo  forse   alquanto    men  rapidi,   non  si 


)( ^^ )( 

fossero  vedute  crescere  e  prosperare  le  paru  tutte  delle 
matematiche  pure  e  miste.  Se  fosse  in  seguito  compnr- 
so  un  Leibniz  e  un  Neuton ,  die  conservando  al  me- 
todo  I'  esattezza  e  il  rigore  col  vnriarne  acconciarnence 
I  simbuli  €  i  segni ,  lo  avessero  addestrato  a  procedere 
con  passi  pin  risaluri,  niuno  avrebbe  rifiutato  di  acco- 
glicre  cog/i  applausi  la  novitii ,  ne  veruno  scrupolo  a- 
vrebbero  in  lui  desto  i  termini  d'  injinitesimi  e  di  Jlus- 
sioni.  Chi  ^  al  presente  cite  rinfacci  al  Cavidieri  V  in- 
troduzione  del  termine  d'  indivisibili  si  duro  e  offensi- 
vo  delle  orecc/iie  severe  ?  Or  facciasi  ragione  die  pres- 
so  quel/i,  i  quail  di  mala  voglia  rinunzierebbero  al  cal- 
colo  iiijinitesimale ,  d'  altro  appunto  non  trattasi  che 
di  men  ere  un  comedo,  di  cui  loro  sembra,  che,  ove 
conforniemente  all'  accennata  supposizione  i  due  meto- 
di  si  fosser  tenuti  dietro  con  ordine  inverso,  avrebbe 
raccolti  a  suo  favore  tutti  i  suffragi.  Per  altro  an  che  i 
jdu  tenaci  fautori  del  calcolo  comune  convenir  debbo- 
no  de'  vantaggi  inestimabili  ad  esso  recati  dalla  teo- 
ria  clello  sviluppumento  in  serie  delle  funzioni  anali- 
tiche.  Armato  di  questo  soccorso  ha  potato  I'  illustre 
Lagrangia  seder  giudice  fra  JSeuton  e  i  due  Bernulli 
Giovanni  e  Niccolo^  e  scorgere  e  additare  I'  origin  ve- 
ra sottrattasi  nli  acume  de"  due  Critici,  di  quel  sottile 
abbaujio ,  che  sfiiggt  ali  Inglese  e  fu  da  lui  corretto 
nella  scconda  edizione  de'  suoi  Principii,  la  dove  cer- 
ca  la  resistenza  incontrata  in  un  mezzo  cjualunque  da 


)(xii  )( 

un  Grave  lanciato  entro  di  esso,  del  quale  siipponga- 
si  die  descr'na  libcramente  una  curva  data.  In  tale 
inconiro  tuttavia  d  soinnio  niateniadco  torinese  /«e— 
gfio  anche  che  non  dell'  esatcezza  del  metodo  fa  mO" 
stra  dc/le  proprie  forze,  ed  ha  wodvo  giustissimo  di 
coinpiacersi  di  questa  si/igolar  prova  del  suo  acucissi- 
mo  iim.c'ino, 

Uvhhonsi    parlmcnte    i.    maggiori    encomli    a    quel 
prodc  aiudista,  nostra  Collcga,    che  nelU  aspetto  qua- 
si di  Mantcnitorc   per  le  prerogative  del    metodo  delle 
funzioni  analitiche   cssendo  disceso  neW  arringo  aperto 
nltiniamentc    dalla    illustre    accademia   di    Padova  ha 
oitenufo  fra  i  concorrenti  la  nieritata    corona.    Benche 
non  pud  fitrsi  menzione  del  chiarissimo  Brunacci  sen- 
za  che  corrano  ali  aninio  congiuntainente  i  suoi  meri- 
ti  verso  le    niateniatiche  e  i  loro   progiessi  appartenen- 
ti  al  pcriodo    compreso  nel    Ragguagiio  c  Compendia, 
che   forma    /'  oggetto  prccipuo   delle    presenti  Osservn- 
zioni.  Cli  sano  queste  scienze  debitrici  per  pi  it    riguar- 
di ,  c  nclle  parti  loro  piu  nohili,  come  a  recarne  pure 
uno  o  due    esempii  fra    i  molti.  Id    dove  ci    si  occupa 
utilmentc  di    quel  ramo  di  aunlisi .,  in   cni  gli  ncquisti 
reccnti  da  cssa  faiii  nel  calcoio  delle    differenze  finite 
la  mettono  in   istato  di  nvvolgersi  con  stcurezza  fra   le 
inccrtczze  delle  probabi/itd,  e  di  sottomettcre  al  calco- 
io   i  capricci  stessi   e  la  tenieritd    della  fortuno ;    come 
pure   Id  dove  ha  desso    spinto  oltre  i  limiiij  ne'    quuli. 


)(xiii)( 

era  rlmasta  fra  le  man!  del  chiarlssimo  Le  Genclre  la 
scouerta  de  critcril  richicstl  a  distiiif^iiere  i  inassiini 
dai  minimi  dclle  formule  integrali  indefinite. 

J\el  periodo  nientovato  cadono  simdinente  parec" 
chie  insigni  scoperte  cite  rendono  il  douissinio  Paoll 
benemerito  di  questi  studii  quanto  veruno.  E  nondime- 
no  incidentcmente  solianto  e  alia  sfiiggitn  e  una  so- 
la volta  il  Santo  lo  nomina  sal  proposito  delle  dif~ 
ferenze  parziali  dette  acconciamente  miste  da  Lacroix; 
e  anzi  gti  si  associa  il  Sig.  Poisson;  ned  egli  certa- 
mente  memore  rfc'  suoi  trionji  ncll'  eta  fresca  di  po- 
co  oltre  i  venti  anni  nan  rifiucerd  la  compagnia  di 
quesio  valoroso  giovine  franzese;  e  certo  della  sua  glo" 
ria,  che  nan  pud  cssere  dal  silenzio  offuscata,  non  si 
lagnerd  ne  anche  che  un  semplice  cenno  renda  con  to 
delle  novitd  rinchiuse  nel  profondo  opuscolo  da  lui 
con  altri  due  aggiunto  ai  suoi  aurei  elementi  di  alge- 
bra,  nel  quale,  a  restringer  tutto  in  breve,  si  percorre 
una  carriera  dischiusa  appena  e  da  lungi  additata  da 
un  Condorcct  e  da  un  Laplace;  ne  che  venga  taciU" 
to  ogni  altro  suo  merito  verso  le  parti  piii  elevate  del' 
V  Analisi  da  lui  provveduta  di  nietodi  ingegnosissimi, 
in  ognun  de'  quali  si  trova  scolpita  V  improntu  del 
nuovo.  Meno  poi  a  lui  premerd  di  non  veder  mento- 
vata  la  correzione  o  modi ficazi one  che  voglia  dirsi,  da 
lui  aggiunta  ad  una  nobile  scopena  delC  illustre  3Ion- 
ge,  al  qual    debbesi  d'  essersi  avveduto  prima   di  ogni 


)(  ^^y  )( 

altro ,  cite  fjiiando  nclle  equazioni  differcnziaU  a  piit 
d'r  ildc  iarinbili  icngon  nieno  i  critcrii  d'  integrabUi- 
td,  nan  iiiolsi  gid  per  qitesto  dichiurartie  disperata 
/'  integrazione .  Ben  dell'  avvlso  pud  dirsi  die  nan  dis- 
piucquc  al  grande  mateinadco  franzese;  giacche  in  fat- 
ti  esso  panto  non  diminuisce  il  mer/to  di  una  osseiva- 
zione ,  da  cut  come  da  germe^  pullulo  un  nuovo  inte- 
ro  ramo  di  analisi.  Di  quest e  dimenticaggini  il  Sig. 
Pao/i  non.  votra  certaniente  adontarsi,  vedendo  di  ave- 
re  in  cio  comune  la  sorte  col  dottissimo  Fossonibroni , 
il  nonie  del  quale  celebre  fra  i  matcniatici  viventi ,  si 
cerca  indarno  nel  compendia.  E  pure,  per  tacere  tan- 
ti  altri  titoli ,  doveva  esso  correre  sotto  la  penna  del~ 
V  egregio  relatore,  allorche  almeno  quest i  annoverando 
le  dtmostruzioni  di  fresco  recate  del  principio  delle  ve- 
locitd  virtuali,  pare  die  non  potesse  sfuggirgli  /'  esimio 
lavoro  nnalitico  pubblicato  su  questo  argomento  da  Fos- 
sonibroni,  die  nel  rnfforzar  quel  principio  della  brania- 
ta  rigorosa  dimostrazione  avverte  incidenteniente  e  di- 
mosira  poter  esso  sussistere,  qnand'  cinche  le  differenze 
delle  velocitd  virtuali  si  concepiscano  comunque  finite; 
la  qual  ultima  avvertenza  pare  die  non  siasi  ne  an- 
die  sottrutta  all'  autore  della  nuova  esatta  dimostra- 
zione inserita  nel  prinio  di  questi  volumi,  del  princi- 
pio deir  equipollenza,  nel  caso  almeno  speciale^  in  cui 
venga  posto  niente  ai  vincoli.,  die  passando  fra  questo 
principio  e    quello    delle    velocitd    virtuali   permetiono 


)(^v)( 

(Vlnfcrire  a  vicenda  V uno  daW altro.  In  somma,  mnl- 
grado  it  sileiizio  dclla  relazione,  la  Toscana  si  pre— 
gia  di  possedere  in  lui  Paoli,  in  un  Fossombroni ,  in 
un  Brunacci  chi  ha  diritto  di  aver  posto  onorevule  fra 
quelli  che  a'  di  nostri  sono  concorsi  a  soUevare  a  mag- 
giore  altezza  un  edificio,  che  mentre  quinci  reggesi  sta- 
hilmente  su  la  geometria ,  quindi  nierce  I'  analisi  pog- 
gia  oltre  ogni  conjine  colla  inaccessibile  cima. 

Se  Mnscheroni  fosse  fra  i  vivi ,  certo  cli  ei  si 
compiacercbbe  delle  lodi,  di  cui  il  compendio  e  libera- 
te alia  sua  geometria  del  compasso.  La  compiacenza 
per  altro  non  lo  tratterrebbe  forse  dal  metter  qualche 
lamento  che  in  uno  specchio  de'  progressi  delta  scien- 
za  non  venga  fatta  commemorazion  niuna  delle  fati- 
che  da  lui  utilmente  iinpiegate  intorno  a  una  forniota 
ribelle  agti  sforzi  dcgli  analisti  accintisi  ad  integrar- 
la^  e  ch'  ei  non  pertanto  riusci  a  domare  felicenierite. 
Non  a  torto  gli  stava  a  cuore  una  fatica  che  bastereb- 
be  di  per  se  sola  a  fame  fede  che  non  gli  niancava 
vigore  e  ten  a  onde  ergersi  a  voli  piii  alti,  se  morte  im- 
matura  non  fosse  fntatmerite  sopras'venura  a  troncare 
le  ben  concepite  speranze.  Per  altro  di  questo  infortu- 
nio  gravissinio  die  pose  per  cost  dire  le  Matematiche 
in  latto ,  V  Italia  si  racconsota  mirando  a  quelti  che 
nati  net  suo  seno^  e  costituiti  in  eta  fresca.  si  annun- 
zian  disposti  a  Hstorarla  del  dan  no.  Fra  gli  altrl,  per 
dire  di  un  solo,  permetca  la  modestia,   del  sig.  profes- 


)(  ^vi  )( 

sore  Bfa^'istrini  die  noii  si  passi  sotto  sllenzio  la  sua 
recent  e  opera  e  a  pi  a  riguardi.  originate  sulla  mi  sura 
dc'  Po/igoni.  In  essa  sopra  uii  oggrtro  roccato  piutto- 
sco  die  trattato  finora  ei  si  apre  dinanzi  un  sender 
nuovo,  e  pnsseggia  per  luoglii  =  nullius  ante  trita  so- 
lo =  .  Pcrdie  viiolsi  osservare  die  egli  svolgendo  it  sua 
argomento  inscgna  all'  analisi  metodi  generali  e  lumi- 
nosi,  e  la  nictte  in  israto  d'  intraprendere  con  sicurez- 
za  ricerdie ,  intorno  alle  qiiali  gll  analisti  die  lo  pre~ 
cedcttcro,  piu  die  rion  le  forze  delta  medesiina,  aveva' 
no  mostrate  quelle  del  proprio  ingegne.  Soffra  egli  pu- 
re die  alle  congratulazioni  dovutegU  si  aggiunga  ch'  ei 
net  rivolgere  a  se  gli  ocdii  del  Pubblico,  gli  ha  posto 
congiuntnnicnte  in  mano  siccome  un  pegno  e  un'  arra 
cli  cid  die  gli  e  ledto  di  proniettersi  e  aspetcare  da 
lui  . 

Ma  per  ancnerci  scrupolosameme  ai  liniiti  pre" 
scritti  alia  relazione ,  del  celebre  Oriani  direnio  not 
die  in  essa  gli  si  renda  la  dovuta  giustizia?  o  non 
piutrosto  die  qucsta  riguardo  ad  esso  soffra  qualdie  sen- 
sibite  offesa  ?  Com'  e  die  non  vi  si  fa  motto  de'  suoi 
Elcmenti  di  trigonometria  sferoidica!  lauoro  die  del 
j8o6  coniincio  ad  essere  di  pubblica  rngione.  Forse 
die  in  essi  non  contiensi  una  moltttudine  di  cose  c/e- 
gne  per  la  noviia,  utilitd  ed  eleganza,  die  gli  en  e  sap- 
piano  grado  gli  analisti,  gli  astronomi ,  i  geognifi?  e 
die  gli   ottennero  in  fatti  per  parte   degV  intendenti  i 


)(XVII    )( 

mnssimi   applausi  ?   Forse    die  poteva    all'  autore   del 
Sunto  rimaner  nascosta    un'  opera,  in  cm  per  un  vero 
incremento  della  scienza  spinta  in  essa ,  pud  dirsi,  al- 
ia perfezione ,  vengono  sciolti  compiutamente  problenu 
conformi  ad   iino,  di    cui   erasl  desso    occupnto,  e  del 
quale,    nialgrado    la  sua    singolare  perizia ,    non   era 
giunto  a  recare  salvo  che  una  soluzione  ristretta  e  in- 
comph'ta  ?  Coni  e   duncjue  ch'  ei   dirnendca  un  servi'rio 
tale  renduto  dal  nostro  Oriani  a  una  scienza   che  pur 
gli  €  cara  ?  Gli  si  potrebbe   chiedere    inoltre  il  morivo 
per  cui  egli  parlando  di  Urano,  non   cid  quasi  Oria- 
ni che  per  sngrificarlo  a  se  stesso,  aggiugnendo  cli  es- 
so  per  la  scarsezza  delle  osservazioni  impiegate  non  fit 
abbnstaiiza    felice  nella    detenninnzione  degli    elenienti 
ellitfici  dell' orbira  descritta  dal  plane ta.   Non  s  intea- 
de   di    estenuar  punco  il    merito    delle  sue    Tuvole,  di 
cui  ei  ne   in  forma   che  il  corso   di  ben  diciasseite  an- 
ni  coniprova  L'  esattezza:   pur  scmbra  che    avrebbe  po~ 
tuto  norarsi  il  slngolar  pregio  di  quelle  che  a  vantag- 
gio  grande  dcgli  astrononu  trovansi  inserite  nelle  Effe- 
meridi  di  Milano.  In  esse  per  uno  sforzo  raro  cV  inge- 
gno  trovansi    eglino  provvcduti   di  soccorsi  ne   chiesti  e 
aspettati ,  ne  forse  creduti  possibili.  Jntorno  a  che  non 
vuolsi   omettere  di    avvertire  che    il   vantasaio  cresce  a 
pill  doppii,  clii  ponga  mente  che  gli  ariificii  ingegno- 
sissimi  da  Oriani  impiegnti  inrorno  ad   Urano ,  non  si 
Tcsiringono  ad  esso  solianco ;  com' ei  niosira   npplican- 

d 


)(    XVIII    )( 

(loli  alia  formazione  (idle  Tavolc  poste  ancli  esse  neU 
le  mentovate  Lffemeridl,  di  Merciiiio ,  cui  lo  decermi- 
nnno  a  scealiere  gli  ostacoti  particolan  die  lo  rendono 
aliiiianto  men  docile  ad  ascoltar  questo  frciio,  die  noii 
la  jnu  parte  deglt  altrl  piancti  piimarii.  Ma  su  (JUC' 
sto  proposifo  la  celcbrita  a  cui  e  salito  il  nosrro  eml~- 
neiite  Astronomo  rendc  soverdiia  ognl  ulrenore  osser-- 
vazione.  Di  lui  e  dc'  coltivatori  pari  a  lid  delta  scieri' 
za  dcgli  astri  e  lecico  il  dire  die  per  un  privilegio 
speciale  i  loro  nomi  perverranno  alia  piu  tarda  posierl- 
tu  intrccciatl  a  quelii  delle  Costellazioni  da  essi  con-' 
template . 

Fra  gli  acquisti  non  rari ,  de  qauli  soiio  a'  di  no- 
stri  cresciute  le  Mateinatiche  iniste,  merita  quanio  ve- 
runo,  di  arrestare  sopra  di  se  gli  sguardi  degli  intent 
deiiti  quello  di  cui  I'  idrodinamica  e  debitrice  alle  cu- 
re del  chiarissiino  sig,  professore  Avanzini.  Da  una  se- 
rie  numerosa  di  esperienze,  nelle  quali  riluce  per  tutto 
la  sagacita  nell'  imniaginarle,  la  destrezza  nell"  eseguir- 
le,  il  criteria  nell'  interpetrarle ,  e  desso  condotto  ad 
ammonire  i  matematici  a  volere  per  una  indispensabil 
rifurma  introdurre  qualche  cambianiento  nelle  fornude 
da  essi  adottate  a  determinare  la  posizione  del  centra 
di  resistcnza  opposta  da  un  obice  qualunque  all'  azio- 
ne  de"  liquldi.  Senza  cid  vengono  quelle  formule  pale- 
sememe  a  contrasto  colla  spcrienza  e  col  fatto.  Lar- 
^omento  pure  lo  guida   ad   cntrare   aaiinosameiue   in 


)(  x-rx  )( 

zuffa  coi  Bob  ins,  coi  Juan,  cogli  Euleri  padre  e  fi~ 
glio ,  e  ne  esce  ogni  volta  vittorioso.  Una  folia  dl  con- 
seguenze  emerge  dalla  scoperta;  e  le  appUcazioni  mot- 
tiplici  per  cui  pad  fame  suo  profitto  V  idraulica ,  la 
balistica,  la  nautica,  le  aggiungono  importanza  tale  , 
ende  noa  si  esita  a  riporla  fra  quelle,  di  cui  piu  si 
onorano  i  nostrl  tempi .  Del  resto  non  c  molto  a  stupi'- 
re  cite  non  se  ne  parli  nel  compendio  franzcse.  Delle 
merci  italiane  di  tal  natura  e  noto  die  penano  assai 
a  valicar  le  alpi  ,  comecclie  queste  un  Eroe  le  abbia 
omai  col  braccio  e  col  senno  per  cost  dire  appianate . 
Se  il  nostra  Volta  non  recavasi  a  Parigi,  i  Dotti  di 
cold  proseguirebbero  forse  a  perjidiare  die  il  Fluido 
galvanico  e  diverso  dall'  elcttrico.  Intorno  a  die  sia  le- 
cito  di  osservar  di  passaggio  die  quelli  i  quali  si  osti- 
nano  a  riconoscere  differenze  essenziali  fra  i  due  flui- 
dij  inciampano y  senza  forse  avvedersene,  in  un  equi- 
voco  poco  diverso  da  quello ,  in  cui  urterebbe  clii  pel 
motivo  o  pretesto  che  il  dividers  il  tempo  e  un  effetto 
essenzialmente  diverso  da  quello  di  cuocere  un  polio 
immaginasse,  che  la  gravitd,  mentre  nelV  orologio  a 
pesi  e  a  pendolo  guida  in  giro  V  indice  che  segna  le 
ore,  non  fosse  identica  a  quella  che  aninia  il   menar- 

TOStO. 

Ad  un  infortunio  di  origin  con  forme  trovasi  espo- 
sto  con  esso  il  suo  gonimetro  il  nostra  celebre  Pino; 
iebbene  per  I'  un  verso  il  Sunto  non  dinientichi  in  tut' 


)(x^ )( 

to  le  mncchine ,  e  per  V  altro  V  invenzione  non  fosse 
nk  unclte  affttfto  ignota  in  Francia,  dove,  ha  qnnlche 
anno^  nc  nailo  II  giornale  delle  ininiere.  II  fatto  sta 
che  i  Alineralugisti  debbono  super  grado  al  Fislco  ec- 
ccllente  e  Ceologo  som/no  che  gli  ha  provvedud  d'uno 
strumento  dope  I  miglioramend  di  fresco  aggiuntigU 
di  gran  lunga  supcriore  a  qualunque  altro  fnora  pro- 
posto;  che  pub  rivolgersl  ad  usi  sopra  niodo  svariad 
nel  carattere  di  vero  pantometro ;  e  del  quale  ponno 
essi  servirsi  a  guisa  di  filo,  onde  avvolgersi  con  sicu- 
rezza  nel  buio  e  laberinto  dclle  Cave  e  in  que'  luoghl 
riposii  misurare  gli  angoli,  la  direzione ,  la  pendenza 
de'  filoni ,  delle  vene,  degli  strad  terrestri. 

Qui  non  sia  disdetto  d'  interporre  una  riflessione 
suggrrita  dull'  argomento.  La  breviia  del  compendio 
non  victa  uW  egrrgio  relatore  di  arrestarsi  con  qualche 
compiacenza  su  le  opcrazioni  geodesiche 3  =  qunrum 
pars  magna  fuit,  =  che  in  francia  ft  giuocoforza 
intraprendere  a  quell'  epocn  luituosa ,  in  cui  era  quivi 
pur  sorto  il  capriccio  d'  innovar  tutto  .  Diedero  in 
quell'  incontro  i  travagiiutorl  una  prova  e  un  esempio 
illustre  di  zelo  e  di  ferinezza  impenarbabile  ;  detla 
quale  csscndo  uno  di  essi  riniasto  vitdnia,gli  aliri  non 
isgnmendron  per  questo ,  e  a  traverso  gl'  inciampi,  i 
disagi,  le  avversita  senza  numero  ch'  ebbcro  a  sosrene- 
rc,  guidarono  a  termine  la  malagevole  imprcsa.  Fra  i 
vantaggi  quali  dlrctd ,    quali  subalterni  ad  essa  dos/ud 


)(    XXI    )( 

we  ottennero  pur  qiiello  di  potere  per  una  grande  e 
universale  rijorma  riferire  le  misure  tutte  ad  una  sta- 
bile unitd,  scegliendo  all'  uopo  la  dieciniillionesima 
parte  del  (juadrante  di  an  meridiano  terrestre ,  e  deno' 
minandola  metro.  Delia  pennanenza  di  questa  unitd 
ci  e  in  certa  guisa  niallevadore  il  Globo.,  finch'  esso 
aliheno  ritcnga  la  sua  atruale  figura;  e  ove  col  volger 
de'  secoli  nasca  pur  qiialche  dubbio  sulla  giustezza  de' 
campioni  del  metro  die  serbansi  all'  uso  di  servire  di 
norma,  sard  sempre  led  to  di  rifarsi  da  capo,  e  con 
nuove  misure  di  un  arco  del  Meridiano  ccrcar  nclla 
terra  il  moddlo  die  per  avventura  si  sospetti  perduto. 
Pfrb  non  a  torto  gli  Astrononii  compiaccionsi  di  ave- 
re  procacciato  a  gli  uomini  quesro  vantaggio;  e  quan~ 
d'  an  die  nel  mng/ii/icarlo  trascorrnno  a  qualche  eccesso, 
sanbbe  sconesia  lo  sgridarnegli,  giacche  non  si  vuol 
pietendere  die  ad  un  oggetto  qualunque,  intorno  a  cui 
siasi  impiejiata  nioltn  faticn ,  non  si  redii  eziandio 
niolta  iniponanza.  Certo  die  di  questo  nuoi'O  sistema 
di  misure  menasi  al  presente  il  romor  grande;  ne  non 
sarebbe  panto  a  stupire  die  qualche  o  severo  o  fast  id  lo- 
so  trovasse  alquanto  esagerati  i  vanti,  pe'  quali  direb- 
bcsi  die  ndV  ipinione  di  cilcuni  mcrce  questo  soccorso 
€  quello  pure  delle  nuove  nomenclature  dehba  /'  inge- 
gno  unnino  nwtter  le  ale  e  spaziure  con  piii  agilita 
pe"  cam  pi  ddio  Scibile.  Aon  manca  dii  ml  l/nguag- 
gio  die  tiene  annunzia  speranze  cost  magnijidie,  sen- 


)(  xxu  )( 

za  forsc  por  nicntc  die  Ic  vere  conquiste  ncllo  studio 
del/a  Nafiini  dcbhonsi  per  solito  alia  compnrsa  di  at' 
ami  di  ijue'  rari  uomini ,  ai  quail  per  la  luce  iinprov' 
visa,  die  sii  di  esso  diffondono  b  conceduto  di  ajjfret^ 
tanie  i  progressi.  Dircni  noi  die  conseguentcmcnte  alle 
novna  proposte  e  in  pane  adoctate  sorgeratino  quind'  in- 
nanzi  con  ptii  frequenza  i  Laplace  in  Fraiicia,  in  Ita- 
lia i  Lagrangia?  Davvero  die  seinbra  lecito  di  dubitor' 
ne.  Ae  per  qucsto  gia  punto  scenia  il  merito  di  quegli 
Astronomi  coraggiosi,  che  mirando  alio  scopo,  non  fu~ 
ron  disanimati  doi  pericolic  fra  i  quali  si  avvolsero, 
Ae  sieno  ad  essi  grozie  senza  fine.  Cost  a  qualche  com- 
penso  delle  low  fatidie  consentono  le  nazioni  ad  ac~ 
cettare  d'  accordo  contro  il  loro  costume  le  nuove  ml'- 
sure.  Per  tal  modo  si  eviterebbe  la  fatica  e  la  noia  del 
tradurre,  come  spesso  interdene,  le  misure  di  uii  paese 
in  quelle  di  un  altro.  Diasi  che  in  cib  consista  unica' 
mente  il  profitto ;  ne  per  esso  ottengasi  che  il  sollievo 
de'  pigri.  Forse  die  non  e  quasi  possibile  d'  impedire 
che  gli  uomini  a  tratto  a  tratto  non  ascoltino  la  pi" 
grizia?  della  quale  pero  giova  con  acconci  provvedi- 
menii  tener  lonrani  gli  effetti  sinisiri. 

Prima  di  cnngedarsl  dalla  parte  matematica  del 
compendia,  poiche  in  esso  I' angusiia  dello  spazio  non 
hu  impcdito  die  I'  egregio  rdatorc  non  vi  collochi  al- 
cunt  libri  meramente  elenwntari ,  a  sua  imitazione  sia 
lecito  iti   citurne  uno  uscito  presso  noi,  ha  pochi  anni^ 


)(    XXIII    )( 

di  questa  ultima  specie.  Debbesi  esso  al  chiarissimo  sig. 
Professor  Venturoli ,  che  co'  suoi  dementi  di  Meccatii- 
ca  e  Idraulica  rigunrdo  a  questi  rami  delle  Matemati- 
che  applicnte  ha  provveduto  egrcgiamente  ai  bisogni 
delta  pubblica  istruzione.  la  essi  ci  si  offre  siccome  uri 
esemplare  compiuto  e  an  niodello  di  cjuesta  sorta  scrit~ 
tare;  e  il  discorso  neW  afferniarlo  non  intende  che  di 
far  eco  a  que'  dotti  uomini,  che  non  contenti  di  com- 
mendargli  altamente ,  nelle  scuole  meritamente  loro  af- 
fidatc ,  sonosi  affrettati  a  sceglierli  a  preferenza  per  te- 
HO.  Benche,  di  questa  opera  elementare  pud  dirsi  che 
con/ina  assaissimo  con  quelle,  cui  colloca  in  una  clas' 
se  pill  elevata  il  prcgio  della  invenzione  e  delle  origi- 
ncili  scoperte.  Non  le  manca  un  lustro  tale ,  comecche 
forse,  chi  non  aguzzi  alquanto  la  vista,  non  si  giun- 
ga  a  discernerlo;  con  tale  acQorgimento  ha  il  dottissi" 
mo  Professore  saputo  intrecciare  e  innestare  nel  corpo 
della  dottrina  osservazioni  nuove  e  propria  di  lui,  che 
lo  dichiaran  capace  di  estendere  i  con/ini  e  crescere  il 
vatrinionio  della  scienza,  Di  ciu  potrebbonsi  addurre 
prove  ed  esempii ;  se  non  che  si  teme  di  offendere  la 
modi'stia  dell'  Autore ;  al  quale  se  nel  concetto  propo" 
ito  del  sua  Uworo  sembra  per  awentura  che  abbia  qual- 
che  pane  I'  amicizia,  non  gli  si  vieta  di  crederlo,  pur- 
chd  ricenga  congiuntamente,  ch' essa  intervenendo ,  noa 
fa  niun  vela  al  giudizio. 

Parimente,  poiche  nel  passare  in  rassegna  i  pro" 


)(    XXIV    )( 

grcssi  (It  una  scienza  II  rein  fore  si  crede  permesso  dl 
accoppiare  ag/i  scopritori  i  sempllcl  storici,  e  no/uina 
fra  (lucsri  Bosmt,  e  Montucla,  e  fino  le  informi  e  tu- 
luulfunrie  aggiunte  futte  non  senza  I'  ajuto  di  gualche 
assistcnte  uir  opera  di  fjuest' ulciino  daW  ast,ronomo  La- 
lande,  le  quali  per  altro  non  basiano  dl  gran  lunga  a 
trarla  dull'  imperfezione,  in  cui  I'  autore  lasciolla,  dav 
vera  cJic  (juesto  onore  lo  nieritava  asset i  piii  I*  opera 
net  JYQT  comparsa  presso  noi  del  chiarissinio  Cossall 
sail'  origine  e  i  primi  passi  dell'  Algebra .  Oh  in  que- 
sta  si  clie  risplende  per  tutto  il  molto  sapere,  I' erudi- 
zione  estesissinia,  la  critica  luminosa ,  il  giudizio  seve- 
ro.  A  resiringere  le  molte  in  poco ,  essa  hen  /nostra  die 
lo  Storica  allorche  riesce  a  disotterrare  norizie  per  I'una 
parte  autcntiche ,  e  per  I'  altra  peregrine,  e  sepolte 
neW  oblivione ,  ptio  aspirare  e  preiendere  al  vartto  del' 
le  scopcrte.  Se  non  die  come  lusingnrsi  die  nel  sun- 
to  si  trovasse  nientovata  un'  opera  die  svela  e  addita 
i  grnii  abbagli  ne  poco  frequenti,  ne' quali  inctampa 
Montucla.,  e  strascina  V  incauto  lettore? 

Passando  ora  alia  seconda  parte  del  compendio , 
andie  in  questa  s'  incontrano  parecdiie  lacune  riguar- 
do  ni  nieriti  drgli  It  a  Hani  verso  la  Fisica.  nel  periodo 
ptit  volte  omai  inentovato.  Ae  recheremo  cosi  per  sag- 
gio  pocliissinii  eseinpii,  nella  persuasione  die  il  diia- 
rissimo  e  umanissinio  relatore  lungi  di  ndontarsene  ama 
die  gli  vcngano   addiiate.  Cli  si   diiede  pure  licenza 


)(xxv)( 

di  porre  interamente  da   pane  la    Ch'unica  ,  su   cui  ei 
si  arresta  ulfjitanto  a   lungo ,    ravvisaiulo    in   essa  pro- 
babilniente  la  base  prccipua  in  jatto   di   Fisica  ,   della 
gloria  naziunule.  Delia  nota  grande  livoliizione  a  (jue- 
sti  uliimi  tempi  scgiiita  nella  Chimica,  non  sembra  vie- 
tiKo  il  dire  cli' essa  trovasi  attuulmente  sotto  una  spe- 
cie di  processo.  Pur  ora  e  stata  dessa  chianiata  dinan- 
zi  al  tribunale  e  posta,  per  cost  dire,  sotto  la  tortura 
del  piliere  di   Folta^  strumento  nieraviglioso ,  nel  qmde 
non  solo  e    rinchiuso  I'  arcano  forse  non  piii    tale  de' 
pid  astrusi  fenonieni  aiumali,  ma  c  pur  rij)osto  V  agen- 
ts meglio  di  ogui  altro  ejficacc  a  svelare  i  intima  com- 
posizione  de'  corpi .  Fin  die  I'  esito  del   processo  pende 
incerto ,  ragion   vuole  che  si  tcnga  sospeso    ogni  giudi- 
zio ,  ne  nullii  non   si  jtronunzii  su  i  diritti    de  Neochi- 
mici  raccolfi  sotro  Ic  iuseaue  di  Lavoisier  ad  aver  luo- 
go  fra  i  bcnefattori  della  scienza,    riguardo,  s'  inten- 
de ,  a  certe  idee  s/sremntic/ie ;  giacche  rigunrdo  ai  van' 
taggi  e  aumenti  reuli  ad-  essa  procacciati  dalle  grandi 
fatiche  e  urilissime  de*  mvdesinii ,  niun  ecpio  e  iinpar- 
ziale  estintatore  vorra  rifiutar  loro  cjuesto  diritto    Ben 
nel   mcttere  in  tutto  da    banda  un    raino  delle    scienze 
jisiche ,  del  rpiale  non  si  dubita  che  non  abbia  prospe- 
ntto   e  certo  e  sopra  ogni   altro   coltivato  a'   di   nostril 
non   vuolsi  omettere  di  avvcrtire   die  in   un   compendio 
ove  irovansi  legi strati  oltre  i  frnnzesi  i  nomi  di  parec- 
dd  ChimicL  stranieri  per  veto  dire  reputatissum,  pare- 

f 


)(    XXVI    )( 

vn  chi'  a  iin  onor  con  forme  potesse  ammettcrsi  qunhht 
Jraliano  Un  Briignatelli  per  mo'  cli  esempio ,  un  Fab- 
broil i ,  un  Cioberti,  un.  Bonvicini ,  per  vigor  d'  ingegnOj 
per  copin  d't  cognizioni j  per  htancabile  zelo ,  per  uti- 
litii  e  varieiii  d'l  scopcrtc  non  cedono  ai  piu  rinomati  . 
Diraasi  die  I'  intero  ragguaglio  non  nianca  di  fame 
menzione ;  ma  cssi  risponderiwno  che  bramavano  di 
non  essere  dimcnticati  e  che  i  loro  nonii  si  udlssero  in 
un  discorso  detto  in  una  occasion  solenne  e  alia  pre-- 
senza  di  un  Sovrano ,  che  nella  grandezza  deW aniino 
suo  accoglie  ugiialmente  ogni  suo  suddico. 

Permetta  in  olire  ii  dottissimo  relatore  che  gli  si 
chiegga  come  ailorclie  parla  della  dilatabilicd  de'  cor- 
pi  prodotta  da  I  colore,  e  cita  Dal  ton  e  Cay-Lussac, 
non  gli  sieno  corsi  all'  animo  i  diritd  anteriori  su  que~ 
sto  ramo  di  fisica  del  nostra  illusire  Volta?  Questi  non 
page  del  priniato  concedutogli  da  ognuno  su  la  elettri- 
cita,  e  inteso  a  gi  ova  re  ad  altre  parti  dello  studio  del- 
la  Naiura,  con  ana  serie  di  esperienze  dirctte  e  deci- 
sive ne  assicuro  che  I' aria  comune  diradasi  uniforme- 
mente  al  crescer  pure  unifonne  della  teniperatura  entro 
I  liiniti  alineno  quinci  del  gelo ,  quindi  delV  acqua  bol- 
lente .  Per  una  niisura  che  consente  assai  e  coincide 
quasi  con  quella  del  celebre  De  Luc  ei  determina  in 
oltre  I'  auinento  uguale  di  volume  corrispondente  ad 
ogni  ugual  grudo  di  riscaldamento.  Egli  scopre  per  ul- 
timo,  prevenendo  in  cid  di  parecchi  anni  V  osservazio- 


)(    XiXVII    )( 

Tie  dl  Gay~Lussac ,  II  fonte^  donde  eniersero  gli  abba" 
gli  pill  o  men  gmvi  presi  da  quelli  die  lo  precedettero 
veil'  indogine,  fni  gli  a  led  e  sopra  gli  altii^a  Mor" 
veau.  J  I  perche  a  gran  torto  i  Fisicl  comuneniente  met- 
tone  in  non  cnle  i  suoi  diritti;  ne'  quali  vond  senza 
ditbbio  il  dotto  ed  equo  relatore  ristabdirlo  nel  suo  rag' 
g^taglio  e  suppUre  con  esso  ai  difetti  del  sunto.  Qui  ci 
ii  fa  incontro ,  e  viene  a  porsi  da  se  una  osservazione. 
Nel  vapor  acqueo  e  giuocoforza  dl  animettere  una  leg- 
ge  con  forme;  giacchc  trovandosi  esso  sospeso  nell'aria, 
entro  ■dclla  quale  I'  elasticitd  sua  lo  costringe  a  sten- 
dcrsi  per  una  spazio  eguale  a  quello  della  medesima  , 
^  manifesto  che  ogni  qualvolt.a  esso  non  obbedisse  a 
quella  legge,  gid  non  potrebbe  osservarla  puntualmente 
V  aggregato  di  aria  e  di  vapore.  Donde  ognora  me- 
glio  si  scorge  che  il  germe  dell'  iniera  teoria  intorno 
agli  effetti  del  calore  sopra  ogni  maniera  di  arie  e  di 
vapori  trovasi  rinchiuso  in  uno  stato  di  notabile  svilup- 
pamento  nelle  sperienze  di  Volta. 

Queste  cose,  poiche  ne  tace  il  compendia,  converrd 
che  supplisca  il  fogguagUo ;  in  cui  inoltre  permetta  I'e- 
gregio  relatore  che  gli  si  addid  un'  Opera,  la  quale 
ben  merita  cli  ei  le  serbi  un  luogo  distinto  e  cospicuo. 
S*  intende  quella  che  il  nostra  illustre  Venturi  pubblico 
col  1 1  tola  d'  Indagine  fisica  sopra  i  colori ;  lavoro  in-- 
signe  di  cui  senza  esagerazione  niuna  pud  affermarsi 
che  per  esso  la  teoria  de'  colori  e  spinta  oltre  i  iuniti 


)(    XXVIII   )( 

a  cut  fuidolla  quel  Grande,  die  nella  sua  immoT'- 
mle  Ottica  cuigiiinse  per  cosi  dire  alia  siessa  luce  una 
nuova-  cliiarezza .  Per  un  Analisl  dianzi  non  tentata  , 
c  a  ctrti  ri guard i  piu  esatta  die  non  quella  die  su  la 
luce  pud  effi'ttuarsL  col  prisma^  <^o^'->  d^h/igundo  i  rag- 
gi  a  fi/trarsi  anraverso  di  piu  corpi  diafani  e  vario" 
tinti ,  riusci  a  tergcrli  dogni  eterogeneitd  e  ad  ottene- 
re  colori  pun,  mondi ,  scevri  di  qualunque  mesdiianza. 
GuiddCo  dalle  sue  esperienze  ,  a  lie  origini  del  colora- 
mento  conosciute  in  addietro  tre  in  nuniero,  per  rifles- 
sione,  per  n frazione ,  e  per  accoppminento  e  avvicen-' 
damcnto  ddla  riflessione  e  dclla  trasinissionc,  ne  ag- 
giugne  una  quarca  da  niuno  non  avvernta,  nella  qua- 
le nc  riflessione ,  ne  ri frazione  non  ha  luogo ,  ma  sib- 
bene  la  semplice  rrasmissione  .  E  perdie  forse  e  scnza 
forse  frequenii  e  numcrosi  sopra  gli  nltri  sono  i  colo- 
ratnenri  di  questa  ultima  origine,  si  coniprende  agevol- 
mente  come  tra  manl  si  esperte  debba  projitiarne  ed 
csserne  per  un  insigne  aumento  promossa  questa  nobil 
parte  delle  teorie  ottidie;  e  come  al  vantaggio  parteci- 
pi  ogni  Arte,  die  manipola  e  mesce  colori .  Bciiche  rl- 
guardo  andie  ai  colori  di  origin  diversa  I'  (fj)era  e  ric- 
ca  per  ogni  dove  di  osservazioni  nuove,  acute,  projon- 
de ;  come  la  dove  difendendosi  Neuton,  dene  convinto 
di  crrore  il  franzese  du-Tour ,  die  scostandosi  d.il  graa 
Britanno  interpctrava  nati  da  ri  frazione  i  colori,  de' 
quail  la  riflessione  e  la  trasniissione  ahernando  adonia- 


)(    XXIX    )( 

no  h  sottili  trasparentl  lamlnetre ;  e  la  dove  con  pro- 
ve apcrinientali  si  mostra  non  cssere  I'occhio  uno  stru^ 
jTiento  acromatico;  e  (juando  recansi  congetture  soprain- 
modo  pldusibili  appoggiatc  ancli'  esse  a  prove  sperimen- 
tcdi  sti  la  forniazione  di  alcune  mcteore  enfaticlie;  e 
quando  si  rende  rogione  d(dle  time  e  cadenze  diverse 
dvW  azzurro  atinosferico.  Bastano  cjuesti  pochi  ceiini 
a  fame  credere  die  all'  cgregio  relacore,  come  in  lui  la 
cortesia  udegua  d  raro  stipere,  dispiacerd  di  non  ave^ 
re  rammeniorata  ua'  opera  tale.  L'autore  di  essa  per  al- 
tro  potrebbe  anclie  querelarsi  die  net  listrctto  per  la 
parte  matematica  vengano  oniesse  in  tutto  te  sue  Hi- 
cerclie  spcriinentoli  sulla  coniunicazione  laterale  del 
inovimento  de'  fliiidi ,  le  rjindi  pure  furon  Ictte  alia 
presenza  dcW  htituto  nazionale  di  Francia,  e  ne  ot- 
tenner  gli  a/iplousi,  die  non  potevano  in  farti  man- 
care  a  an  lavoro,  da  ciii  deriva  all'  Idrodinanuca  teo- 
rica  e  pratica  iin   rea/e  incremento. 

Dopo  cid  vend  egli  conceditto  di  prender  posto 
fra  nonii  si  illustri  all'  autore  di  an  opuscolo  piibbli- 
cato  da  prima  in  i  tali  an  o,  poi  rccato  in  franzese  snir  u- 
so  dclle  Anastoniosi  nc'  va'ii  delle  macdiina  viventi? 
A  prendersi  qnesta  siciirid  lo  conforta  /'  iniportanza 
del  soaiietro.  Cnn/ida  egli  di  avere  sdolto  an  problema 
ardno  nsfioi  d'  Jdraulica  antmale,  e  ove  abbia  raggian- 
to  lo  scopo ,  come  ne  fiene  lusinga,  di  aver  pure  reca- 
to  qualdie  servigio  alia  dottrina   del   circolo  del    san- 

S 


)(    XXX    )( 

giic;  del  qual  ciicolo ,  chi  non  tolga  dl  mezzo  uno  scO" 
glio  die  del  use  gl'i  sforzi  de'  p'tii  solenni  Fisiologi ,  non 
si  comprende  come  si  cjfettui  e  sussista.  Ma  i  vincoli 
strettissimi ,  pe'  cpmli  I'  autor  del  I'  opuscolo  forma  un 
tutto  con  fpiello  del  presence  discorsoj  non  perniettono 
di  aggiiigner  altro. 

In  I'cce ,  per  (pielli  die  fosser  dlsposd  per  avven- 
tura  a  chicder  ragione   alio  scrittore  del  suo  silenzio, 
sulle  uTili  loro  fan'che  c  scopene,  a  qualche  sua  scusa 
e  difesa  vaglia  V  ingenua  e  apena   protesca  ch'  ei  gict 
non  si  e  proposto  di  render  con  to  di  tutto;  die  gliene 
mancavano  i  mezzi;  ch'  ei  non,  ha  inteso    die  di  ad- 
ditare,  recandone  un  semplice  saggio,  i  luoghi  bisogno- 
SI  di  supplemento  nello  scritto  franzese;  die  in  somma 
ei  nspcrta  i  diritti  di  ognuno,  i  quali    riniangonsi  in- 
tattiy  e  servir  ponno  a  mettere  in  salvo  ognora  meglio 
quelli  del  la  P  atria .  Di  questa  per  altro  pud  dirsi  che  ri- 
fiuta  le  cosiffatte  difese,  ne  vuole  averne  bisogno.    Jl 
qual  proposito  il  celebre  David  Hume  nella  sua  eccel- 
lente  Storia  d'  Inghilterra  osserva  che  I' Italia  e  si  ric- 
ca  e  sazia  di  gloria  letteraria  ant'ica  e  moderna ,   che 
non  tien  cura,  ne  mostra  di  accorgersi  che  altri  prenda 
il  passo  sopra  dl   lei.   A  quelli,    che  ne    mettesscro  in 
dubbio  i  vanti ,  forse  il  profondo  e  imparziale  Storlco 
e  Fdosofo  risponderebbe   =  Ch'  ella  k  si  glor'Cosa  cha 
non  ode  = . 


)(XXXI    )( 

ANNOTAZIONI 


(Pag.  XXI.  Lin.  12)  Nel  compendio  die  si  esami- 
na  leggonsi  le  seguenti  notabili  parole  =  Borda  e  Cas- 
ilni ,  recando  alle  osservazloni  una  precisione  in  tutto 
nuova,  misurarono  la  lunghezza  del  pendolo ,  <:he  bat- 
te  i  secondi  a  Pan'gi ;  onde  ottenere  il  rappono  esatto 
di  (juesto  pendolo  al  metro  =.  Non  ci  si  dice  che  alle 
fatiche  corrispondesse  I'  esito.  Pur  senibra  che  si;  nel 
qual  case  e  d' uopo  convenire  che  nel  pendolo  ci  si  of- 
fre  una  niisuraj  la  quale j  ove  nel  corso  degli  anni  sor^ 
ga  sospetto  die  qualche  alterazione  sia  sopravvenuta  ai 
Campioni  del  metro ,  pub  servire  acconcianiente  a  veri- 
ficarlo;  giacche  non  si  tratta  piu  che  di  assicurarsi , 
impiegando  le  Industrie  e  diligenze  praticate  da  Borda 
e  Cassini ,  se  fra  la  lunghezza  del  mentovato  pendolo 
e  quella  de'  campioni  su  cui  cade  il  dubbio,  sussiste  il 
rappono  scoperto.  Questa  operazione  e  senza  confron- 
to  meno  faticosa  di  quella  di  misurare  di  nuovo  un 
arco  del  Meridiano.  Piu:  poiche  della  lunghezza  del 
pendolo  a  secondi  in  Parigi,  come  in  qualunquc  altro 
parallelo ,  non  ha  dubbio  che  non  sia  stabile;  e  ch'es- 
sa  inoltre  conseguenteniente  al  rappono  suo  colla  lun- 
ghezza  del  metro,  ^  nota ,  a  taluno  purer  potrebbe  die 
fosse  stato  da  prima  miglior  partita  di  assumerla  co-^ 
me  modulo  e  unita  di  ogni  sorta  misure.  Cost,  preteu- 


)(    XXXII    )( 

dcra  esso,  si  sorcbbcro  evitnte  le  ipotesi,  deUe  qunVi  ri- 
mane  un  tal  poco  infctta  la  scclta  a  quest'  uso  del  me- 
tro ;  alia  deterin'inazione  del  quale  si  e  giunto  /m/«a- 
ginando  e  supponendo  die  i  gradi  del  Meridiano  ter^ 
restre  nel  procedere  dull'  E(piatore  nl  Polo,  crescaao 
con  una  certa  legge ;  menire  d'altra  pane  senibra  cer- 
to  sollanto  ck'  essi  crescono ,  ma  nan  si  sa  con  qual 
legge;  anzi  i  niigliori  al  presence  conscnrono  die  il  Glo^ 
bo  non  debba  riporsi  fra  le  figure  die  appellansi  di  ri- 
voluzione.  Ma  a  die  proposito,  diranno  alcuni,  muo- 
vere  quesd  scrupoli?  Pel  modvo  unico  die  recandosi  co- 
muneniente  a  quest'  oggcito  rnolta  importanza ,  senibra 
die  non  sia  dispregevole  in  tutto  qualunque  osservazio^ 
ne,  la  quale  ad  esso  si  riferisca. 

(Pag.  XXI.  Lin.  24)  Malgrado  la  drcospezione  e 
la  nniiditd  quasi,  con  ciii  I'  autore  del  discorso  espri— 
nicsi  in  questo  luogo,  ci  non  pertanto  nel  lasciarsi  ca- 
dcr  (Iidia  penna  le  nuove  nomenclature ,  punto  non 
isttipirvbbe  die  alcuno  fra  i  Neodiiniici  sorgesse  a  sgii- 
darnelo,  e  ad  ammonirlo  severamente  die  non  dcbbe 
un  pro  fun  o  arrognrsi  di  stendere  la  niano  all'  Area. 
Talc  presso  di  essi  e  la  nuova  nomendatura ,  in  cid 
al  pin  al  piii  e  conccduto  ai  conoscitori  e  agli  Adepti 
d  introiliirre  qualdie  innovazione.  E  pure,  poichd  il 
nuovo  linguaggio  s'  inilirizza  al  Pubblico^  pare  die 
anche  a  lih  iioni  del  popolo  non.  debba  essere   in  tutto 


)(    XXXIII   )( 

disdetto  dl  proporre  qualche  sua  osservazione . 

E  per  la  prima,  eld  ne  assicura ,  die  conforrne-' 
mente  ad  una  riflessione  recata  poco  dopo  net  discorso 
i  nuovi  mezzl  offertici  dai  Pillere  di  Volta,  dl  decom- 
porre  i  corpi,  non  cosiringano  i  Cldinici  a  riformare 
in  piu  luoghi  il  loro  linguaggio?  A  buon  conto  del 
pri/icipio  dichiarnto  comuneniente  generators  drgli  aci- 
di  un  valoroso  Chiniico  inglese  pretende  die  concorra 
alia  formazione  degli  alcali.  Ove  la  novita  si  amniet- 
ta,  converra  die  i  Chiniid  risolvnno  di  cangiar  nome 
alia  sostanza  poco  nota  per  vero  dire ,  intanto  die  noa 
manca  chi  si  ostina  a  dichiararla  ipotetica,  alia  cpia- 
le  si  affrettarono  d'  imporre  il  nome  di  Ossigeno.  Poi- 
die  le  conipeterebbe  egualmente  quello  di  Alcali geno , 
e  probabUe  di'  essi  ammonid  daW  esempio  de'  perico- 
li ,  a  cui  espone  la  J  ret  ta,  si  porranno  in  cerca  di  cpial- 
che  altra  proprictd  del  principio  megUo  opportuna  ul- 
V  intento.  Ben  vuolsi  credere  die  rifiuteranno  V  offerta 
seriamente  forse,  ma  furse  andie  per  ischerzo  lor  fac- 
ta della  denominazione  di  Pantogeno.  In  secondo  luo- 
go  non  ha  nome  per  quanto  sembra,  di  cui  gli  autorl 
d<fl  nuovo  vocabolario  p/u  si  mostrin  contenti ,  quanto 
di  qurllo  da  essi  introdotto  di  calorico;  riguardo  a  cui 
ponno  in  fntd  essi  preginrsi  del  siiffrngio  de'  Fisici  die 
in  ciu  (/'  accordo  con  essi  non  isd*'gnano  di  valersene. 
Sul  qual  proposlio  unn  fra  qucsd ,  degno  senza  dubbio 
quanto   veruno  di   parlare  a   nome    degli    altri ,    in  un 

h 


)(   XXXIV    )( 

suo  esrratto  inseriro  nelLa  Biblioteca  britnnnicn,  deoll  ele- 
iiienri  fisici  di    Tibcrio  Cavallo  si  es/iri/ne  come  segue. 
=  II  fuoco  c  la    cagione  che  fra  gVi  aliri   suoi  ejfctd 
produce  ncgli  esseri    aniinatl  qiicUa    scnsazione  indefi^ 
it'ibde  che  si  a p pell  a  calore.  Peio  I  dotti  Autorl  della 
IVomenclarura    chiniica  franzese,    col  cliiamare    questo 
eleniento  il  calorico,  gli  hanno  dato  un  noine  soprammo- 
do    coiwenience,   che  ne  fa  sovvenire    di  una    delle  sue 
pn\  principali  caratteristiche  propriefa,  avvisandoci  nori' 
diineno  cli'  esse  gid  non  la  manifesta  in    ogni  incon- 
tro^  potendo,  guand'anche  non  si  prova  sensibil  calore  j 
esisrer  fuoco  imbrigliato  comunque  e  mascherato  =.  Dav- 
vero  die  questo  tratto ,  chi   non  conoscesse    d'  altronde 
il  nostra    insigne   Fisico  e  la   ingenuita  ed   elevarezza 
de*  suoi  sentiinenti ,  potrebbe  muover  sospetto  die  in  es- 
se anzi  che  /'  apologia   egli  intenda  Ai  far   la   satira 
del  [ermine  calorico.  II  ragionamento  interpetrato  a  ri- 
gore  guida  a  questa   consegucnza;   che  i   JSeochimici, 
poiche  il  fuoco  pud  risvegliare  la  sensnzione  detta  ca- 
lore, hanno  adoperato  saviamente  sostituendo  il  vocabo- 
lo  calorico  a  quello  di  fuoco,  e  proscrivendo  quest' ulti- 
mo: vuol  dire  die  ncW  opinion   lore  il  Pubblico   ave- 
ca    mestieri  d'  essere    aivertito   che  il  fuoco    scotta.  Oh 
verrebbe  pur  voglia  di  esclamnre  =  quantum  est  in  rebus 
inane!  =  Bendie   sono  poi   essi  i  Chimici  e  in  genere 
anzi  i  Filosofi  si  certi  die  presso  il  popolo  e  nella  cO" 
mane  significazione  del  tcrmine  colla  parola  calore  si 


)(    XXXV    )( 

dcnoti  la  semnzione?  o  non  jnuttosto ,  come  si  e  in  al- 
tro  luogo  avvertito ,  ne  si  reputa  inutile  cli  ripetere^  net 
rimprovero  fatto  al  popolo  per  pane  de'  filosofi,  rin- 
c/iiuddsi  una  vera  calunnia?  Eh  die  non  ha  uonio  si 
rozzo ,  il  quale  concepisca  nella  punta  di  un  ago  nul- 
la di  simile  al  dolore  della  puntura.  Per  simll  mode 
esso  non  immagina  nel  fuoco  nulla  di  conforme  alia 
sensazione  risvegtiata  dal  calore;  termine,  die  metten- 
do  da  parte  e  lasciando  senza  nome  la  sensazione , 
cui  ben  sa  di  non  poter  confondere  con  verun'  altra, 
vlene  da  esso  impiegato  sempre  a  denotar  la  cagione . 
Certo  che  nebbiose  assai  sono  le  idee,  che  di  questa  for- 
masi  il  popolo.  Esso  ne  abbandona.  la  ricerca  ai  filo~ 
soji.,  de"  quali  bonariamente  immagina  che  meglio  la 
conoscano;  in  cib  forse  onorandoli  di  troppo ,  e  igno~ 
rando  di  essi  all'  opposto  lo  disprezzano  al  segno  di 
supporre  che  confonda  miseramente  le  proprie  sensazio- 
ni  culle  cagioni ,  che  le  producono .  Or  se  a  queste  e 
non  alle  prime  vuolsi  nel  comun  senso  riferire  il  vocabo- 
lo  calore,  cessa  ogni  moiivo  o  pretesto  d'  innovazione . 
Anche  un'  ultra  osservazione:  perche  si  pud  chie~ 
dere  ai  JSeodiimici  per  quale  dimenticaggine  abbiano 
essi  trascuntto  di  arricchire  il  loro  vocabolario  de'  ter- 
mini a  cagion  d'  esempio  di  odorico  e  di  saporico  . 
AdotiandoU  avrebbero  tolto  di  mezzo  lo  sconcio  secondo 
le  loro  idee  inevi labile  di  valersi  de'  nonii  di  odore  e 
sapore    nel  doppio    significato  di   cagione  e  di  effetto. 


)(    XXXVI    )( 

E  a  (jiiesto  propnsi'to  si  nod  eziandio  che  ne  libri.  di 
I'lsi'ca  e  Cliiniicu  modcrnl  ridensi  IL  nome  di  frcddo 
e  rifencndo/o  non  si  crede  necessario  di  opporre  verun 
dparo  agfi  cfjidvoci  temud  per  pane  di  (jue/lo  di  ca- 
lore,  di  ciii  e  desso  reciproco.  Agli  auiori  anzi  di  quesd 
libii  lion  si  crede  disdetto  di  chieder  ragione  delLe  fre- 
qiiend  contradizioni ,  die  presso  di  essi  s'incontrano  fra 
le  massime  e  la  pradca.  Come  accade  ch'  essi  inciam- 
pino  si  spesso  a  valcrsi  del  termine  colore  nelle  occa-^ 
sioni,  in  cui  pare  che  quel  di  calorico  dovesse  preferir- 
si?  Parlano  essi  non  di  rculo  del  colore  diretto ,  riper- 
cosso,  raccolto,  raggiante,-e  nel  farlo  ben  mostrano  che 
Jianno  per  ozioso  il  vocabolo  calurico.  Qnalche  diffici^ 
le,  e  se  cost  vuolsi,  sofistico,  potrebbc  an  che  pregarli  a 
voler  dime  per  qucd  niodvo  siasi  sosdtuito  al  vocabolo 
ana  quello  di  gaz,  o  gas;  del  qiial  vocabofo  ignobile  e 
barbaro  non.  si  e  avuto  scrupolo  di  contaminnre  e  iin- 
barbarire  la  lingua^  onde  scorgasi  vie  nieglio  non  avc- 
re  in  tutto  il  torto  i  Saggi ,  che  gemono  sul  pericolo^ 
da  essi  temuto  che  un  secolo  diccntesi  colto  torni  di 
galoppo  alia  barharie. 

Per  ultimo  non  rincresca  loro  di  mostrare  i  van- 
taggi  inesdmabili ,  si  dice,  della  niiova  nonienclaturn , 
recandone  la  prova  sopra  ogni  ultra  efftcace  a  conver-^ 
tire  gli  increduli.  II  niiglior  partito  sembra  quello  di 
addurre  qunlclie  csempio  di  qualche  nlquanto  impor-^ 
tante  scopcrta  dovuta  unicamente  al  nuovo  soccono,  ta- 


)(    XXX  VI I    )( 

Ic  cioe  die  senza  di  esso  non  avrcbbe  potato  otteiicrsi. 
Cost  rlusciranno  esst  a  chiudere  la  bocca  ai  detrattoii 
me<^lio  nssai  die  cog/i  encornu ,  de'  qiiali  sono  larg/il 
verso  it  nuovo  vocabolario ,  di  cui  non  ccssano  di  pre- 
dicate die  csso  per  iiii  suo  privilegio  porta  scoipita 
I'  inipronta  delta  reale  coinposizione  de'  corpi .  JSon 
bastuno  di  gran  liinga  qiiesti  enconiii  a  tranfjiiillare  i 
tiinidi ,  i  quail  loderanno  a  cielo  lo  scopo ,  e  dichtareran- 
no  f  assunto  nobile ,  tnagni/ico  al  maggior  segno;  ma 
ravviseranno  in  esso  molti  pericoU,  quello  fra  gli  altri 
e  sopra  gli  altri  di  esporsi  per  avventura  a  mettere  it 
suggello  e  dare  una  specie  di  sanzione  alle  ipotesi ,  in- 
nestandole  sul  linguaggio.  Ma  non  serve  di  accutnula- 
re  le  osservazioni ,  quando  in  vece,  come  la  Nota  ha 
da  principio  avvertito,  giova  mspettar  quelle  piu  gravi 
assdi,  a  cui  schiuderd  I'adito  il   Pi/iere  di   Folta. 

(Pag.  XXIV.  Liii.  3)  Da  qiieste  aggiunte  informi 
€  tumultuarie  basteru  conformemente  alio  scopo  del  Di- 
scorso  cstrarre  uno  o  due  ese/npii  de'  torti  die  in  esse 
soffrono  gl' Italiani,  contro  peraltro  le  intenzioni  delCAu- 
tore,  a  cui  vuolsi  render  questa  giustizia,  di  ei  si  mo- 
stra  in  ogni  luogo  per  carattere  e  per  massima  equo 
verso  tutti ,  e  anzi  verso  noi  annunzia  una  cotale  par- 
zialitii ,  di  cui  conviene  sapergU  grado ,  senza  die  per 
questo  siasi  in  obbligo  di  occultarne  le  inesattczze . 
Ndl'  ultimo  tomo  ,  a  proposito  della  Nautica  ,  egli , 
senza  truppo  por  meriie  se  la  gravitd  della  Storia  e  d 

i 


)(    XXXVIII    )( 

tenor  con  forme  con  ciii  dcbhc  in  essa  proccclere  V  espo- 
sizionc ,  tolleri  <juc.st'  injriinie<isa ,  nan  esira  ad  inter- 
porre  una  h'sta  dnisa  secondo  le  varie  nazioni  in  clas- 
si ,  de  Nnviganri  j)iu  rinomad.  Fra  gl'  italiani  notasl, 
mnnco  male,  Colombo,  e  guegli  che  diede.  il  iionie  all'A- 
tnerica.  Ma  jra  gt  ing/esi ,  chi  to  avrcbbe  sognato?  i'm- 
conira  regUtrato  il  vcneziano  Cabotto.  Questa  svista  ne 
fa  sovvenire  un' alt/a  della  sressa  nntura,  nella  quale 
incianipa  I'  autore  dell'  esrratto  inserico  nella  Biblioie- 
ca  Britannica,  degli  elcmenti  di  fisica  di  Tiberio  Ca- 
vallo.  Questo  Fisico  napoletano  e  quivi  battezznro  per 
inglese  e  dichinrato  conipatriouo  del  Neuton .  Non.  riii- 
cresca  al  dottissimo  estrattista  il  cenno  di  un  abbaglio 
die  non  doveva  troi>arsi  in  un  giornale  nieritamente  si 
rcputato;  giacchc  di  simili  lavori  e  lecito  il  dire  ch'es- 
si  radunano  notizie ,  onde  fra  gli  altri  fini  a  cui  nii- 
rano,  servire  acconciamente  alia  storia  delle  scienze  e 
de'  lore  coltivatori.  3Ia  tornnndo  alle  aggiunte ,  net 
primo  tomo  di  esse,  terzo  deW  opera  intera ,  s'  incon- 
tra  un  tratto  onorifico  per  gli  Ttnliani.  Di  essi  non 
senza  encomii  ci  si  narra  che  in  alcune  ricerche  astru- 
se  assai  ban  no  cold  vo  to  egrcgianiente  il  metodo  dcgli  An- 
tichi ;  intorno  al  quale  giova  osservar  di  passaggio,  che 
mal  a  prnposito  viene  nppellato  sintetico  da  quclli ,  che 
arresfandosi  alia  coriecria ,  poiche  il  calcolo  non  e  in 
esse  impiegaro,  sbngliano  miseraniente  lo  strumento  pel 
metodo.  Dupo  gl'/iuUani  vengon  gl'Inglesi,  che  non  a 


)(    XXXIX    )( 

torto  commcndansl  siniilniente.  Pol  dnW  /nahilrerra  si 
torna  sal  Continente,  dove  I'  aiuore  e  chiamnto  da  M^. 
Casidion  ,  di  cui  si  scorge  palesemente  die  gli  e  igiio- 
la  la  puma.  Senza  do  d  gti  avrebhe  dato  htogo  fra 
gli  Italiatii ,  ne  avrchbe  lasdafo  incerto  a  qiial  nazio- 
ne  npparrenga;  e  ci  avrehbe  i/iforniati  die  il  sua  co- 
gnome  di  famiglia  e  Salveniini,  da  lui  per  un  certo 
vezzo ,  o  piuttosto  per  certi  suoi  spedali  motivi,  can- 
gmto  in  cjiu'llo  di  Castiglione  sua  patria ,  terra  nobi- 
le  posta  nel  cuor  dell'  Italia  fra  Arezzo  e  Cortona. 

(  Pag.  XXV.  Lin.  i  )  Bitenendo  la  protesta  fatta 
nel  Discorso  e  didiiarando  di  nuovo  die  s'  intende  di 
mettere  in  tutto  da  banda  la  Chimica,  diiedesi  nan 
per  tanto  licenza  di  collocare  nella  Nota  preaente  una 
o  due  rijlessioni ,  che  ci  si  fanno  incontro  spontanea" 
mente ,  suggerite  dull'  impresa  lodevolissima  a  cui  al~ 
cuni  Valentuomini  sonosi  accinti ,  di  applicare  all'ana- 
lisi  de  corpi  il  Piliera  di  Folta.  Delia  Chimica  seni- 
hra  Iccito  il  dire,  dii  ne  scorra  di  volo  la  storia^  die 
ogni  f/ual  volta  si  e  arricchita  di  fpudche  ingegno  e  ar" 
tijicio  a  deconiporre  i  corpi  dianzi  nan  conosciutOj 
nan  solo  ha  prosperato  imniantincnte ,  ma  si  e  pur  ve^ 
duta  sorgere  in  essa  una  specie  di  rivoluzione .  Come 
son  gli  uomini  disposti  sempre  a  vagheggiare  la  perfe- 
zione,  e  a  sognare  ngevolniente  d' essere  omai  vicini  a 
raggiugnerla ,  non  e  improbobile    che  si  aprisse  V  ani~ 


)(XL)( 

mo  a  grandi  speranze  aflorche  per  I'  invenzione  de* 
Iambi cclii  e  (Idle  stone  riuscirono  i  Ch'iniici  ad  impri" 
gionare  e  raccog/iere  le  soscanze,  che  senza  cid  dile- 
guercbbero  in  forma  di  vapore.  Ma  comunque  di  cid 
si  opini ,  c  cerio  che  in  niiui  epoca  si  accesero  essi  di 
lusi/ig/ie  pin  vive  tjuanto  a"  nostri  tempi  in  seguito  del- 
la  reccnte  scoperta  degli  apparnti  pneiunato-chimici , 
vale  a  dire  de'  mezzi,  onde  afferrare  e  padroneggiare 
que'  JIuidi  sottili  e  f/igaci  die  in  piii  incontri,  eonse- 
guentcniente  al  conjlitto  reciproco  e  ai  nuovi  accoppia^ 
menti  de'  principii  de'  corpi  condotti  ad  agire  gli  uni 
su  gli  altri,  se  ne  svincolano  e  ne  prorompono  in  fol- 
ia, assumendo  congiuntamente  la  forma  aerea.  Non 
ha  dubbio  che  questi  Jliudi  non  abbiano  in  ogni  teni-" 
po  fatta  frequente  mostra  di  se,  ed  e  a  gran  torto  che 
gli  operatori  intenti  per  I'  addietro  ad  opporsi  ai  dan- 
ni  che  daW  impetuosa  loro  energia  per  awentura  so-^ 
prastavauo  ai  vasi,  entro  de  quali  sorgevano ,  costu- 
mavano  di  aprire  ad  essi  uno  sfogo,  ne  curavansi  di 
esaminarli.  Debbonsi  all'  opposro  i  maggiori  encomii  a 
que'  prodi,  die  a  di  nostri  coliivando  feliceuiente  que~ 
sto  nuovo  ranio  di  Chimica  sonosi  procacciati  un  vera 
diritto  alia  riconoscenza  della  postericd,  die  ne  sard, 
loro  tenutu;  quand'andie  non  ritenga  tutte  le  idee  si- 
stematiche ,  per  le  quali  si  annunzian  persuasi  di  ave- 
re  omai  solid  ata  Z'  Arte  al  grado  e  alia  dignitd  di 
Scienza,  traendola  daW  abbiezione ,  in  cui  dianzi  a  lo' 
ro  avviso  giacevasi,  di  un  ignobde  empirisnio. 


)(    XLI    )( 

E  a  proposito  delle  idee  sistematlc/ie  comunemente 
adottate  non  si  repitta  inutile  di  osservare  cite  a  (jiiesco 
carattcre  parted  pa  d  notne  stesso  di  Chiinica  pneuma- 
tica  posto  in  fronte  alia  nuova  dottrina.    E^  desso  un 
nome  die  a  rigore  e  per  propria  significato  compete  al- 
ia raccolta  delle  norizic  intorno  alia  costituzione  delle 
arie.    Ma   nelV  opinione   de'  Neochimici   gli  si  da    un 
senso  piu  largo  assai.  Sono  eglino  persuasi  d'  esse  re  per 
grande  ventura  della  Scienza  giunti  a  scoprire  nelle  a- 
rie  i  prindpii  piu  semplici  e  piu  universali  d^ogni  ma- 
niera  di  Corpi,  di  cui  son  di  purere  die  in  esse  annidino 
nella  loro  quasi  assoluta  ed  elenientare  purezza ,  asso^ 
ciati  soltanto  al  principio  igrieo.    In  cid  e  riposto  sic- 
eome  il  perno  ,    intorno  a  cui  raggirasi  la  nuova   dot- 
trina, ed  e  riguardo  alia  ferinezza  e  soUdita  di  questo 
die  propongonsi  essi   di  consultare  il  Piliere  di  Folta 
noti  senza  lusinga  di  ottenerne  risposte   die   tronchino 
le  dispute.  Ben  nell' iinpiego  di  questo  nuovo  strumen^ 
to  attivissinio,  per  cui  con  armi  dianzi  ignote  vengono 
assaliti  i  cor  pi ,  e  all' oggetto  di  svelarne  I'  intima  com- 
posizinne  rivolta  V  efficacia  sovrnggrande  dell' a  gen  te  e- 
lettrico,  converra  ch'  essi  procedano  con  piu  ritegno,  che 
non  forse  in  nddietro.  I  Fisici ,  co'  quali  pregiansi  di 
avere  contratta  lega ,  gli  ammoniranno  dell'  obbligo  di 
aver  presente  che  non  a  torto  fu  dagli  antichi  Sapien- 
ti  simboleggiata    la  Antura    net   Proteo  della    Favola  ; 
ch'  eisa  sotto  i  lor  occhi  e  fra  le  lor  mani  e  pronta  a 

& 


)(XLII)( 

vestir  m'lUe  forme  e  senihianze  diverse,  e  a  prender  Va- 
sjjcrto  or  d'  aria,  or  d'  acqua,  or  di  fuoco;  mentre  di 
essi  fjuo  tenicrsi  fondaramente  che  non  <li  rado  sbagli- 
no  quesrc  trasformazioni  pe'  chiari  oracoli  e  per  le  aper- 
tc  risposte  delta  medesima .  Senza  quest' aw ertenza  po- 
trcbhc  accader  loro  di  urtare  in  uii  abbaglio  poco,  se 
si  osa  dirlo ,  diverso  da  quello,  die  prende  il  Rusdco, 
allorclie  immagina  che  per  una  cotal  virtu  magica  pos- 
scduta  dal  Giocolatore  siasi  convertito  in  un  pulcino  il 
pugno  di  niiglio  da  lui  poco  prima  veduto  porsi  sotto 
il  bossolo.  Non  si  adontino  di  grazia  i  Valentuomini 
di  un  confronto  niente  offensivo,  chi  rijlctta  die  la  sa- 
gacitd  loro,  coniedie  grande ,  rinia/isi  di  un  immenso 
inicrvallo  at  disotto  della  calliditd  ineffabile  clella  JVa- 
tura  . 

Non  e  improbabile  che  il  nuovo  ordine  di  ricer- 
che  guiderd  i  Chiniici  a  nconoscere  qualche  piu  o  men. 
iiotabile  composizione  in  molte  sostanze  dichiarate  seni- 
plici ,  o  a  meglio  dire,  a  non  ojfcndere  la  Logica,  in- 
decomposte.  Delle  cosiffatte  sostanze  il  numero  e  oggi- 
mai  grande  oltremisura  e  cresce  ogni  di  pin,  tahnente 
che  qualche  difficile  e  poco  disposto  ad  ammettere  tan- 
ta  mohitudine  di  esscri  tali  forse  ne  inferirebbe  che  una 
scienza  la  quale  confessa  di  non  possedcr  mezzi  onde 
chinrirsi  alniono  se  i  corpi  la  piu  parte  siano  semphci 
o  composii ,  o  si  arroga  di  assumere  un  nome  che  non 
le  compete,  o  trovasi  tuttavia  in  una  siato  d'infanzia. 


)(   XLIII    )( 

Benche ,  qiiesto  difficile  potrehbe  prender  coraggio  c 
chiedere  inoltre  se  sieno  poi  essi  si  cenl  di  non  avere 
in  pill  incontri  decompostl  realmente  que'  corpi  stessi 
die  dichiarnn  restii  ad  ogni  scomposizione .  Chi  sa 
che  a  tenerla  low  nascosta  non  concorrano  per  avven- 
tura  le  idee  sisrematiclie  da  essi  adottate  ?  Trattasi  ne' 
cast  qualunque  di  spiegare  acconciamente  certi  fenome- 
ni  sensibili.  Certo  che  ne  rendono  essi  quanta  busta  ra- 
gione ,  ritenendo  che  incite  sostanze  non  soffrano  niu- 
na  deconiposizione .  Ma  se  ben  si  mira,  riescono  all'in- 
tento  impiegando  la  scomposizione  di  qualche  altra  so- 
stanza,  dell'  acqua  fra  le  altre  e  sopra  le  altre ,  che 
molto  opportunamente  al  loro  uopo  rinvengono  per  o- 
gni  dove.  IVe  gid  si  mette  in.  dubbio  che  le  interpetra- 
zioni  non  sieno  plausibili.  Solo  si  avverte  che  per  tu- 
na parte  la  logica  rigorosa  ne  imporrebbe  di  astenersi 
dal  proferire  che  i  corpi  suggetrati  alle  sperienze  ri- 
tnangansi  indecompostij  e  la  comparsa  delle  sostanze, 
che  veggonsi  emergere,  debbasi  unicamente  alia  deconi- 
posizione deU'ncqua,  e  per  V  altra  che  questo  appunto 
pare  uno  di  que'  luoghi  numerosissimij  su  i  quali  prO' 
mette  qualche  luine  il  piliere  di  Volta.  A  nodrir  le 
lusinghe  concorrono  le  sperienze  recenti ,  che  al  pre- 
sente  traggono  a  se  gli  occhi  di  tutti-,  dell'  inglese  Da- 
wy.  A  proposito  anzi  di  questo  eccellente  chimico  for- 
se  alia  scoria  del  la  scienza  e  a  quella  pure  dello  spi- 
rlto  uinano  non  k   in  tutto  inutile  di   osservare  che  la 


)(    XLIV    )( 

cons^cttiira  di  If  act ,  e  di  Cavendish  suW  indole  com- 
posta  dciracqna,  die  sarehbe  forsc  perita  net  nascere^ 
ebbe  fortuna  migliore  in  Francia,  dove  Lavoisier  adot' 
tandola  e  incorporandola  al  suo  sistenia  le  procaccib 
gli  opplausi  e  il  favore  universale  quasi  de  chimici , 
intanto  die  n'  ha  jmr  podii  die  noii  la  tengano  per 
una  veritd  dimostrata  per  analisi,  si  dice,  e  per  sincesi. 
Questo  singolare  incidente  comnwsse  finalnrenie  gV  in- 
glesi  a  cogliere  le  opportunica  di  rivendicare  alia  pro- 
pria nazione  il  nierito  e  il  diritto  alia  scoperta.  In 
faui  Dawy  fra  gli  altri  abbattendosi  a  parlarne  non 
esita  ad  appellarla  la  grande  scoperta  di  Cavendish, 

Concedasi  per  ultimo  alia  nota  di  aprire  un   suo 

desiderio.    Di   questa   proposizione   quanto    niun'  altra 

fondamentale  della  miova   chimica  e   noto    die  a  di- 

spetro  del  favor  generale  da  essa   ottenuto  non  manca 

dii  rifiuta  di  ammettcrla,   movendole   difficolta,   delle 

quail  non  pud   non    bramarsi    die  venga   condudente- 

mente  mostratu    i  insussistenza.    E  lasciando    stare  gli 

uliimi  aitacchi  o  vigorosi  o  violenti    die  debban   dirsi, 

di  Sigorgne,  ben  sembra  die  non  debbano  disprezzarsi 

qnelii  con   cui  si  accinse  a  combatterla   i  autore  illu- 

stre  deW  introduzione  alia  Jisica  terrestre .  K  vero  die 

a  proteggeiia  sorse  a    nonie   per   cost   dir   della   scuola 

/'  estensore  dell"  cstratto  dell"  opera  mentovata  the  leg'- 

gesi   nella  Biblioteca  francese   e   negli  Annali    clumici 

ill  Parigi.  Ma  e  vero   altresl   die  il  grande  Fisica  di 


)(  -^I'V  )( 

Cincvrn  insert  In  fjitesti  stessi  nnnnli  una  sun  risposta, 
la  quale  per  I' una  parte  pofrcbbe  a  inluno  parcrc  ro- 
bnsta ,  nientre  per  /'  altra  non  senza  qnnlchc  sorpresa 
rhnansl  luttavia  senza  replica. 

(Pag.  XXIX.  Lin.  3)  Ax^  solo  nclla  iiuuiginc  Jisica 
sopra  i  colori  ci  si  Ja  toccare  con  ma/io  non  essere 
V  occhio ,  qual  lo  ininiaginava  V  Eulero ,  una  strumen- 
to  acromatico :  ma  la  nuova  prova  recntane  non  e  die 
una  conferma  e  illustrazione  dl  quella  non,  meno  ro- 
busta,  con  cui  gid  tempo  nel  terzo  tonio  della  Socie- 
td  Italiana  it  nostro  illustre  Collega  sorse  il  primo  a 
combattere  la  supposizione  del  sommo  Maternatico  sidz- 
zero.  Intorno  a  die  per  un  fenomeno  singo/are  quasi, 
non  e  inutile  d'  osservare  die  /'  Eulero ,  coniecdie  par- 
tisse  da  un  duto  meno  die  giustu,  e  prendesse  inoltre 
(jualdie  altro  nbboglio,  indovino  nondimeno  il  rimedio 
e  segreto ,  onde  togliere  ai  canocdiiali  un  vizio  da 
Neuton  didiiarato  immedicabile.  Ma  do  niettendo  da 
parte,  h  nieglio  in  vece  osservare  die  il  diritto  di  prio- 
ritd  compete  a  I  nostro  Fisico  per  ogni  titolo.  Non  cer- 
to  valgono  ad  indebolirlo  i  meri  dubbii  e  privi  del  ca- 
rattere  di  prove  dirctte  mossi  all'  Eulero  dal  celebre 
Dalembert.  D'  altra  parte  gli  argomenti  piii  fondati 
die  contro  la  mentoiata  prerogativa  dell' occhio  leggon- 
si  presso  il  sig.  Blair  nelle  1  ransazioni  cdimburgliesi 
furono  dl  qualdie  anno  preccduti  dalla  pro^a  pur  ofa 


)(    XLVI    )( 

citata  inaerita  nelle   Mcmorie    delta  Societa   Italiana. 
Noil  si  ^  crcduto  inutile   conic  di  toccave    di  volo    net 
Uiscorso,  cosi  di  ripetere  alquanto   pid  estesamente  in 
questa  nota   an  fatto    appartenente    all'  occliio  e    alia 
teoria  quanto  niuii' alcra  iniponantc ,  delta  luce  e  del- 
la  i'isione.    II  perclie  si  pena   alquanto  a  comprmdere 
come  accada  die  libvi  anche  recentissimi,  quail  riferisca' 
no  nudamentc   il   ragionamento  dell'  Eulero ,   quail  si 
mostnn    disposti  a   crede/io  giusto.    Eppure  a   renders 
agli  aucori  loro  sospetto  alcun  poco  il  supposto  privi~ 
legio  delL'occliio  bastava  forse  una  rijlessione  assai  sffin- 
plice.  De'  canocchiali  acromatici  e  nolo  die  I'  arteji^ 
ce  per  sole  to  e  contento  di  correggere  il  vizio  della  len- 
te  obiettiva.  Ei  si  crede  lecito  di  trascurar  quello,  co- 
mecdie  lasciandolo   senza  rimedio,  reale  e   inevitabile , 
aella  oculare:  ne  in  cib  non  ha  torto  interaniente;  glaC' 
chh  pel  breve  tragitto  dt'  raggi,  la  separazione  di  que- 
&U  cade  entro  i  Umiti  die  /' occhio  pud  soffrirla  inipu- 
nemente  e  senza  die  attorno   all'  o<rgetto  vediito  coni- 
pnnscano  [range  vario-colorate .  Il  fmomeno  in  fatti, 
sia  I  ocdiio  o  non  sia  fornito  della  mentovata  prero" 
gativa ,  pare  die  non  ammetta  die  quest' uriica  spiega- 
zione;  la  quale  con  segue  ntemente  pub  applicarsi  a  quel- 
la  tenue  divisione  qualunque   die  i   raggi  soffrono  per 
avvcntura  ncll'  nrtraversare  gli  uniori  dell'  ocdiio.  Po" 
tra  durique  questo  fur  senza  comodamente  della  fucol- 
tu  di  riunirc  i  ra^gi ;  e  la   natura   die  non  fa  nulla 


)(    XLVII    )( 

indarno  poteva  lasciarnclo  prlvo  ne/la  vhionc  ordina- 
ria,a  cut  era  dessa  soltanto  tenuta  dl  pnnvedcre.  Ma 
non  serve  dl  porsl  a  puntellare  una  sentenza  appog- 
glata  solidamente  alle  sper'ienze  decisive  del  nosr.ro  Col- 
lega  . 

Si  rammeniori  piuttosto  iin  altro  suo  men'to  verso 
I'  Oitica ,  c  nel  farlo  si  supplisca  ad  una  oniissione 
del  Discorso.  In  quesco  non  senza  motivo  fu  detto  che' 
V  analisi  della  luce  istiruita  co'  metodi  descritd  nellf^ 
Indagine  fisica  de'  colori  ^  a  ccrci  riguardi  sorpassa 
nelLa  esattezza  quella  die  pud  effettuarsi  col  prisma. 
In  essa  ci  si  offrono  nuovi  argoinend ,  onde  cessar  fi- 
nalmente  ogni  disputa  sul  numero  de'  colori  priv.iitivi, 
e  impor  silenzio  a  quelU  che  di  fresco  anche  e  fra  gll 
stessi  Jnglesi  sono  coniparsi  a  sostenere  doversi  restrin^ 
gcre  a  tre  sole  le  sette  specie  alle  qucdi  Neuton  ridus- 
SB  i  colori  senza  numero  rinchiusi  in  ogni  raggio  qual 
giiignc  a  noi  scagliato  dal  sole.  Fra  questi  vuolsi  an- 
noverare  I'  irlandese  sig.  Matteo  Young;  a  cui  sembra 
probabile  che  non  convenga  riconoscere  per  semplici  e 
primitivi  che  tre  colori,  il  rosso,  il  giallo ,  I'  azzurro; 
e  a  Jin  dl  fissnre  le  idee,  del  verde  opina  che  debbasi 
all'  accoppianiento  de'  raggl  giulli  e  azzurri  ,  fra  i 
quail  tgli  suppone  che  n'  abbia  sempre  parecchl  capa- 
ci  di  iin  egiial  grado  dl  rijrazlone,  per  cul  si  gll  unl 
che  gti  altrl  vcngano  piegati  verso  il  mezzo  dcllo  spet- 
tro  prisniatlco  la  dove  fa  mostra  dl  se  il   color  verde. 


)(   XLVIII    )( 

Certo  die  amnic^aa  qiiesta  siippoaizione  divengono  inu- 
tili  i  tcntalivi ,  ai  qiicdi  i  fautoii  del  Neuron  costunia- 
vano  di  ricorrere,  tratli  dalla  rifnizione  o  dalla  rijies- 
stone.  E^  giuocoforza  i/npiegare  all'  uopo  la  trasmls- 
sione.  £  bene;  perinetta  il  sig.  Young  eke  gll  si  ad- 
ditino  alcunl  esperlnientl  del  nostra  Venturl  e  venga  pre- 
gato  a  ripetergU;  qaello  a  cagion  d'  eseniplo ,  in  cul 
la  luce  e  costretta  a  Jiltrarsi  prima  per  una  soluzione 
allungata  a  un  certo  grado ,  di  ranie  neW  anwionia- 
ca,  poi  per  un  ultra  siinilmente  a  un  certo  grado  di- 
luita  di  gomnia  gotta,  acqua  e  alcool.  La  prima  in^ 
tercetta  il  color  gialio;  la  seconda  /'  azzurro.  Secondo 
i  suoi  principii  il  verde  dovrebbe  sparire.  Or  gli  si  osa 
annunziare  cJi  esso  si  scorgerd  linipido  e  puro ,  e  col- 
la  sua  presenza  lo  convincerd  ch' esso  neW  emerger  dot 
sole  non  e  altrimenti  composto  de'  due  primi,  ed  e 
quanta  questi  omogeneo  e  primitive. 


M  E  M  0  R  I  E 

DELLA   CLASSE 
DI  FISICA   E   MATEMATICA 


FINE    DEGLI    ELEMENTI 

Dl  Trigonometria  Sferoidica 
Di     Barn  ABA     Ouiani 

Presentato  in  novemi;ie  i{Jc6 
P  li  O  B  L  E  M  A       VII    • 


104-  A-Jaii  nel  trii 


[04.  JL/ati  nel  triangolo  sferoidico  elittico  i  tre  ele- 
menti  a  ,  cp ,  sr  trovare  1'  angolo  ^ . 

SOLUZIONE       I 

Sieno  A',  $'  le  latitudlni  sulla  sfera  inscrltta  cor- 
rispondenti  alle  ladtudiai  date  ^  ,  cp,  e  I'acciaino  per 
brevita 

I 


2  O  R  I  A  N  I 

<r=/3  .(F— F')  -f-2/3  .  [i]  -H-2/3  .[a]  -4-ec. 

1"  equazione  XVI  diventera   w-+-<r=Z  —  Z',   da  cui  si 
otterra  come  sopra  (§  95) 

cos ^ senl's  -+-  7)  -+- sen^ seny cos{:!! -^(y)=:sen^ cos >.' tang(p' 

Sara  per  conseguenza  tang  (  = ; -  ^' — . 

•i  "  COS/,  tang <p — sen/>  cos[,  -^y) 

Pongasi  ora  z:  -^  7  =  u;  e  sia  o-  =  *  « ,  avremo  1'  equa- 
zione 

o=ar  —  u  -i-  <i>  u 

dalla  quale  ricaveremo  (§§  48,  44) 

a.  a  u  2,.6au 

avvertendo  di  mettere  nel  second©  membro  di  quest' e- 
quazione  =1  in  luogo  di  u  dopo  tutte  le  differenziazio- 

.   ,         .  .  dJ'i'uY   rr(t>uY 

ni .  1  termini  — -j—^  ■>      '  ,    ,  ■>  ec 
2.au        2,.o  a  ti 

si  otterranno  facilmente,  poiche  sara  in  generale 

e    dalla   preccdente    equazione    cot  ^  sen  u  ■+■  sen  /.'  cos  u 
=  cos  a'  tang  $•  si  ha 

(IK 

-r—=senK  cos  ^  cot  u  —  sen  t^  sen  A' 

a  u 


TKIGONOMETUIA    SFEIIOIDICJA. 


Uunque  tanto     \    '■    quanto  — ,    /    »  — ,    ,     ,ec. 


si  potranno  sempre  determinare  colla  sempllce  differen- 
ziazione,  giacclie  sono  fuiizioni  delle  variabili  ^,  ?i  e 
delle  costanti  /',  4>'.  Dal  valore  poi  di  a  si  dedurra  1'  aii- 
golo  ^  inediante  1'  equazione 


tang  ^  = 


cos  a'  tang  cp'  —  sen  a'  cos  u 

io5.  Propongasi,  per  esempio,  di  trovare  I'angolo 
^  per  mezzo  dei  tre  elementi  a',  ^',  w  ,  negligentando 
la  sesta  e  le  piu  alte  poteuze  dell'eccentricita.  Avreino 

te*       e*  ~\  e"' 

— -H  —  {i-¥-senp>^)    [V—V')senp'-^  —  senp' cosp'^-^il 

{<!.«)'-  =^1^[V-V'ysenp>^ 

^du        a^^  ^      ^      ^du\scnp'         d  <^  d^      J. 

JMa  si  e  gia  trovaro  (§  70) 

d.senp'  ,     ,^    d(V—V')  r        ', 

^  r=^senp  cotZ  •■>  -^ '-  =tang p'^ cot ^ {tang  T —tang  V) 


tang p-'' cot Z sen  ( V—  V)  . 
cos  V  cos  V 


mettendo  pertanto  ss  in  luogo  di  a,  e  supponendo  Tan- 
golo  H  tale,  die  si  abbia 

tangH=z ; '— . ;  fatto  inokre  per  brevita 

cos  A  tung  ^  r—  sen  /■.  cos  v  * 


O  U  I  A  N  I 


A=^-r-=-  -7—  1  sara 
a  a        a  ar 


a./«       a*    ^  '      ^    L  °^  cosy  cos  y  J 

ed  il  calcolo  tleirangolo  ^  si  potra  dispone  come  segue 


sen  or 


I  )  tang  11= . 

C05  a'  tang  (p'  —  sen  /.'  cos  or 

a  )       A      =  senll  { cos  H  cot  w  ^-'  sen  H  sen  ;/) 

3  )    senp'  =  sen  II  cos  a' 

4)    senV'=^J!LL 
cosp' 

5  )     senV  = 21 

cos  p' 

L^.1.  (i  ^senp'^)  \{F—V')senp'-^L^senp'cosp'\[i'\ 

H-l!  A{F-F')cotHsenp''  \v^  F'^tangp''"'"^J^'~^')'\ 
•  a  L  tosFcosF'J 


7 )  tang  Z  = 


je/T  « 


co^  a'  tang  <p'  • —  sen  a'  cos  u 

SOLUZIOKE       3 

io6.  RitenenJo  le  due   equazioni  della   prima  so- 

luzione,  Cioc  tang  ^  = sen  {^  ^  s)      . 

cos  /  'ta  ng  <f' —  sen  a  cos  ( a  h-  j  ) 

tanT  IT sen^a:  rl.tangH 

cos  /  tang  q.'—sen  a' cos »-'        *  dm 


TUICONO!\ILTRIA    SFEHOIDICA. 


,       iV .  tan":,  IT  (P .  tang  // .  „„       >  .        , 

b  = r-T^—  '  ^  = f—f —  '  ^^-  etr  in  oltre 

a  Ti  a  V 

*  ^  =:  a  .  «•  -f- 1 —  -4-  ec,  avremo  1  ennazione 

o  =  tang  H  —  tang  C  -+-  *  ^ 

Quindi  facendo  come  sopra  (§  90) 


otterrenio 

-+■  ee. 


^  =  H-^^H. COS H  -^1-21 H^ — — 


a  2.0 


avvertendo  di  niettere  in  (*'^)%  (*"C)'  ?  ec.  dopo  le  dif- 
ferenziazioni  II  in  vece  di  ^. 

107.  Limitandoci  all'esempio  precedente  in  cui  om- 
mettonsi  le  potenze  dell'eccentricita  superiori  alia  quar- 

ta,  avremo  <i>^  =  a  .  s- H — '—,  vale  a  dire 
*  4"  =  [^  -i-  -^(i  -H  senjj'')!  a  {V—  V)senp' 

-»-—<»  5e«/;'coi/?''.[i]  -H  __  h  {V—V'Y  sen  p''- 

W=  iUl? )!£££«  =- 1' a.  (F- rr  s,np-  sen  f  c«  f 


—  a  [y — y  ]senp'  cose  I -'__< i -'  I 

a     '  '      ^  Lsenu'         d:  dl      J 


5  O  n  I  A  K  I 

d.senp'     d{V—V') 
sostituenJo  i  valori  (§   loo)  cli  — jy— '       j^^       ' 

dH     „      dd  H  .,,      ,,•• 

e  faceiulo  A^-j-  ;  B  =  -T-r,  cosicche  abbiasi 

il  31  lb   W 

A          ,       B  -\-  2.  J^  tans,  H      i, 
o=  — ttt;  l^  = ,,,  „a  °      ^   1  equazione 

COi  ii  COS  H 

tz=zH-^^H.cosH  -^^ — ^ •   nsultera 

a, 

^=  //-4-  f- -H  —  (I  -t-  JC/i/?'')!  A{  V—  V')senp' -+-  -^Asenp'cosp'\[i\ 
L  a       a"  J  a 

ii  a  \ 


•  tangp 


,2SeniF-V') 


cos 


y  cos  v] 


le  quantiia   H ,  A  ,  p' ,  V  ,  F  si  avranno   dalle  cinque 
foriiiole  precedend  (§   io5),  e  B  dalla  ibrmola  i 

__         ,.      sen  2  H 
Bz=.A  (cos  2  H  cot  :iT -~  sen  a  H  sen  /) 1  • 

io8.Teno;hiamocontosolaiuentc  del  quadrato  dell'ec-  ; 

centriciui;  sara  j 

^  =  H^€A{F-F')senp'  j 

i 
Volendo  poi  rendere  quest' espressione  indipendente  dal-  i 

la  slera  luscritta,  si  prenderii  uii  angolo  A  tale  die  sia  ; 

«  1 

tans  h  = ^!^-^^ Ora  h  diventa  H  quan-  '■■ 

cos  A  tan^  ^  —  sen  /  cos  a?  j 


< 


TUIOONOMETUIA    SrEUOIDIGA.  7 

do  ill  It  si  mettono  a',  (p'  in  luogo  di  /,  (p;    ed  essen- 
do  (§  33) 


.a 


},'—  ;^  —  ^^sen2,>.;(p'=<p—~  sen  2.(p,  si    avra 

In  luogo  delle  cjnantita  p\V  —V\  A   gia  moki- 
plicate  in  e    si  niettera  rispettivamente  p,  u  — i^', 
Jen  h  cos  h  cot  is  —  sen  K'  sen  x  ,  e  1'  ordine  del  calcolo  di  ^ 
per  mezzo  dei  tre  elementi  a  ,  $  ,  sr  sara 

,  sen  Ts 

I  )    tans  h  = 

'  °  cos  ?.  tang  (p  —  sen  /  cos  nr 

a  )    jera  p    =  ^era  /i  coj  A 

3\  ,  sen  A 

)   sen  v' 


cosp 


,  V  sen  cl) 

4  )    sen  u    =: 1 

cos  p 

5  )    ^  =  A  -+-  L  sen2,hcos >  I  cos/-^{v—v'){cotzu'—sen?tangIi)senh  I 

109.  Facendo  uso  deU'eqiiazione  pritnitiva  (§§  25, 
27),  la  quale,  negligentando  la  quarta  e  le  piii  ake  po- 
tenze  deireccentricita,  e  ritenendo  il  valore  di  -  (§  101,) 
si  ridiue  a  sj-+-s=s  —  s',  otterremmo  un' altra  espres- 
sioue  di  ^  indipendente  dalla  si'era  inschtta,  cioe 


d  vs' 


ossja 


^     T      e*        J  ,  ,  ,,r         ,      seniv — v)cos\>~\ 

^=-n-^  —senhsemhcosMcotm — senxtans.h)\  y— i^'-t- ^ I 

4  L  cosu         J 


o  O  II  I  A  N  I 


o 


e  si  potrebbe  agcvolniente  mostrare  1'  identita  di  qu  e- 
sto  valore  di  ^  col  precedente  (§   lOo). 

r  11  O  U  L  E  ]\[  A        VIII 

HO.  Dati  nel  triangolo  sferoidico  elittico  i  tre  ele- 
meiui  <P  >  ^  i  ^  trovare  la  latitudiiie  a. 

SOLUZIONE       3 

Dicansi  $'  ,  a'  le  latitudini  nella  sfera  inscritta  cor- 
rispondenti  a  cp ,  a  ,  e  ritongasi  il  valore  di  o-  come  nel 
problema  VI,  si  avra  1' ecjuazioiie  (§  qS) 

coi ^ sen{i: -i- t)=  tang  p'cos  a'  —  cos{x  -+-  <r)  sen  a' 

tangtp'^i — tang  I  /'') — 2 cos {::-*- a-)  tang  I  a' 

I  -♦-  tang  t  A'^ 

d'  onde  si  ricava 

,    ,       — 5e/itcoj'$'cos(37-Hv)±\/r5en^* — coj$''.?e«(-~HJ-)"l 

tang  7  a'  = ^^ — —^ 2 r^ — 

sen  f  sen  (p'  -+-  cos  ('  cos  cp'  sen  [v  -^  a) 

Poiiendo  era  z<=3!--t-s'  =  2?-i-*u,  otterrenio  (§§  43 ,  44) 

2,  a  u         a.D  a  II 
purche  dopo  le  dilTerenziazioai  si  ponga  w  in  liiogo  di 

.  ..<£('t)«r-   (r{'\>nY         . 

It   ne  termini  ——r-  »  — t— r^  ,  ec.   Avremo  in  seguito 

J        ,    , — sen '^ cos (p' cos u±\/ {sen t"  —  cosii'^senu')  . 

sen  ^  sea  (p'  -+-  cos  ^  cos  tp'  sen  u 

e  finalmente  alia  latitudine  a'  si  troYcra  (§  33;  la  sua 
corrispondcnte  a  uello  sleroide. 


TniCOXOMTITiaA    SFEIIOIDICA 


III.  Propongasi,  per  eserapio,  dl  tietermlnare  ;.'  co' 
tre  elementl  <?' ,  C »  af  nel  caso  clie  si  trascurino  le  po- 
tenze  deireccentricita  superiori  alia  quarta,  avremo(§67) 

f — i-i-{i -{-sen jr')  \{V~V')senp'-{-^— se?ij}'cos/y''.[l] 

a* 

3.du~2.'^  '      ^   '^dJLsenp'  '      d\'  d ?,'      J 

Ma  abbiamo  gFa  trovato  (§  80) 

<ZA'  ^  o  ^^,  COS  p'  ' 

e  dair  equazione  precedence 

^4,      tans <p' cos \' — sen)^'cosu     .   , 

co^^= — 2-1 SI  ha 

sen  u 

d  a'  tang  a'  —  tang  $'  co5  11 

d  u       sen  u  {tang  a'  tang  :^'->r-cos  u) 

Siipponendo  pertanto  che  a'  diventi  L'  quando  si  met- 

d  U 

te  w  in  luogo  di  a,    e  facendo  per  brevita  ^  =  -j —  » 

ne  risulteranno  le  seguend  formole  per  calcolare  la  la- 
titudine  a'  : 

V  ,  ,, —  sen ^cos<p'cosT!:±^ {sen ^^ — cos<P'^seni!!^) 

sen  ^  sen  <p'  -t-  cos  ^  cos  (f'  sen  s 


a)       A      = 


tang  L'  —  tang  $'  cos  m 


sen  a;  {tang  L'  tang  41'  -t-  cos  3) 

2 


10 


O  i;  I  A  N  I 


3  )    sen  //'  =:  sen  ^  cos  L' 
senV 


4  )  sen  J''  = 

5  )  sen  V 


cos  p 

sen  cp' 
cos  p' 


6)  u^^  ^  S^L^t,[i^senp'^)\{V—V')senp'^^-  sen  p' cos  p'\\\\ 

4  4 

^\A{V—V')^tangL'senp"—-J{V—V')tana,L'tan^p'\senp^HanV->rCck 
sen  ^  cos  $'  cos  u  r±=  \/  {sen  ^'  —  cos  (p'"'  sen  u') 


7)  tan^.A^ 


sen  ^  sen  cp'  -+-  cos  ^  cos  cp'  sen  u 
S  O  L  U  Z  I  O  N  E       2 


1 1 2.  Conservancio  i  yalori  di  o-  ;  iang  i  L' ;  tang  I  a' 
stabiliti  nella  soluzione  priaia,  pongasi 


d  .  tans:  i  L'     ,        d\  tang  h  L'  d\  tang  i.  L' 

dss  d  w  d  TS^ 


ee. 


e  di  pii 


lU 


*  3 


'  $  /,'  =  a  .  (T  -i-  b  . ^  c .  — 3  ■+-  ec. 

a  a.D 

avremo    1'  equazione   o  =  tang  ^  L'  —  tang  i  a'  h-  *  a'  ,   la 
quale  ci  dara  (§  8i) 

a>'A')\coj'L''       sl' i<i>" ?.')'. cos iL'^ 

A'=Z'-t-a<l'Z,'.co5iZ''-H  -^^ 1 ■ '—o -^  ®<^- 

a  a. a 

purclie   si    ponga   in    (*' a')S  (f"^')'^  ('^"' a^  ,  ec.    dopo 
tutte  le  dirterenziazioni   L'  in  luogo  di  a'. 

11^3.  Piendiamo  lo  stesso  esempio,  in  cui  si  om- 


TUICOXOMETRIA    SrCROIDICl  II 


niettono  la  sesta  e  le  piu  alte  potenze  dell'  eccentrici- 

9 

ta,  sara  <t>?.'=a.ir-^h.  —  ,  vale  a  dire 

^  —  asenp'  cos p'\  [i]  -+- —  b  {V  —  Vf  sen p'^ 

(«  Ay=  -^  a'  {V—  V')\  sen  p'' 

(<!)'/')  =  -ii — ^— J  =5 -a  {F—F')senp'^ COS U'  tangle' 

^ta'{F-F')senp'^cos^A'S=}^.±Ifll^^J^:=n-] 
ovvero  (§  ii i ) 
(*'/')'=  —  \a^{F^Fysenp^cos\h'\itang>!^tanq,\>!) 

——a'(F—F!)tangp'^cosbA''tangx'{senp''^tangF-^-coiF') 

Ponghiamo  ora  L'  in  luogo  di  /',  e  facciamo 

A^^^^' .   n      ^^^'     1'       1      •  1                    ^         . 
•^=:7—  >  -0=  j~«~i  a  onde  si  ha  a  = r-irn  ' 


i  r-* 


*'  = r-/  z — -;  1  equazione  ^'=  L' -i- a  4>  L' ,  cos  1  L 

^a.^i'f'yy.coshL'^ 


SI  cangera  in 


I  a  O  u  1  A  N  I 

— -»-^  (i  -*-senp-')  Ll(F—F')senj?'-^i-^Asenj?'cosp'\[i] 

-^fL{V—V'ysenp''  (5  -  a  A^ang  L') 

1  ^'  [V—V)  tang p'^ tang  L'  {sen p'^  tang  V-^cot  V) 

Le  quantita  Z',  A,p\  V ,  V  sono  state  sopra  (§  iir) 
deienninate,  e  ^  si  avra  dalla  formola 

J5  _,  ^fl^g-  $'  -4-  a  ^  5e^  a-  —  .^'  (M^g  <j'  -f-  Mwg  L'  cos  w) 
tang  L  tang  q.'  -h  cos  bt 

» 
114.  L' equazione  A' =  Z' -H-  _^(F— Fl^enz;',    • 

die  contiene  solamente  il  qiiarlrato  dell'  eccentricita,  si 
puo  rendere  indipendeiite  dalla  sfera  iiiscritta,  prenden- 
do  r  angolo  L  in  maniera  clie  si  abbia 

tans.  ^  L —  ■^g^  C  -^g^  ^  cos  g  ±  \/  [sen  ^*  —  cos  (|)*  sen  ai')  . 

^era  i;  sea  4)  -i-  coj-  ^  cos  cp  jt/i  ar 

c  siccome  L  diveuta  L  quando  in  L  si  mette 
^'  =  '^— -z^««a«P  in  luogo  di  cp  (§§  33  ,  77),  sara 


■P  :i     ra/zg  c}>  ^^«g  Z  -H  cos  w 

Inoltre  si  ha  >'  ^^-.^seniA^iA  —  ^lsen  ^  L  .    Duncrue 

a  a  1 

cainbiaiido  le  quantita  y^,(r-F'),je«//rispettivameute  in 


TUIGONOMLTRIA    SF£110IJJ1CA  I  3 

tan<i  L  —  tan"  0  cos  w 


— , ,  (y— !>')  J  jeny;  per  esscr  qiieste 


sen  a  {tang  L  tang  ^  -h  coi  s) 

gia  moltiplicate  in  f\  la  stessa  equazione  diventera 

T       e' r       r        r       ("  —  v')  seii^{sen  L — tang:)cosLcos^)  —  taiis.Zsen-5s~\ 

,s=:L-^-  —  I  sen  L  COS  L-^- ■ ; f— ^— I 

a  L  sen  m  [tang  L  tang  4)  -+-  cos  s)  J 

nella  quale  sara 

p         r  sen  ^  ,       sen  L 

sen  p  =  sen  ^  cos  L ;  sen  u  =  ;  sen  i/'  = . 

cos p  cos  p 

1 1 5.  Possiamo  ottenere  per  mezzo  dell' equazione 
primitiva  (§§  25,  27)  uri  akro  valore  della  huitudine  a 
indipendente  dalla  sfera  inscriita,  poiclie  negligentando 
la  qiiarta  potenza  dell' eccentricita,  e  supponeudo 

^  —  -senp  .Iv  —  u  H i '- ),  la  delta   equazio- 

a  \  cos  u  I  ^ 

ne  diventa  (§   ioj),  ar-t-s=z~s',   dalla  quale  ne  ri- 
sulta  (§    1 10) 

sen  ^  sen  ;p  -t-  cos  ^  cos  i|?  sen  ( s  -t-  I) 
Facendo  pertanto 

tang  i  L  =  —  -^g"  K  sen  j)  co^  sr  =b  v/(jc/z  C'—  cos  cp'  jgra  ar') 
5t;«  ^  jtf«  (p  -I-  coi- 1,  cos  ^  sen  s  ' 

3i    2.yrxtangl,=tang\L-^Z.(il^3r^>^^    ossia 
'^  =  ^-<- - -(j^),  vale  a  dire 


^ ^_»_l!  ■  •'"^^^{senL— tang  0  cos  Leo  s")    I 

A       Jew  w  (^<i«g  ^  tang  L  -\-  cos  w  J      V      ' 


scnL — x')cos'\ 

H \ — —L 1 

cos  J  ) 


1^  O  R  I  A  N  I 

116.  L' U30  di  quest' ottavo  problema  debb'  essere 
fiequente  iiella  geodesia,  allortjuaiido  1' angolo  dato  Z  e 
retto,  e  quantumiue  sia  facile  T  adattare  le  date  solu- 
ziodi  a  questo  caso  (§  71),  nori  sara  forse  inopportu- 
no  il  ricavare  diretiuniente  dall'  equazione  XUl  una 
niiova  soluzione  iiidi pendente  dalJa  sfera  inscritta.  Sia 
pertanto  da  irovarsi  la  latitudine  <>  per  mezzo  dei  tre 
elementi  (p  ,  w  ,  ^  =  go"  non  ommettendo  die  1'  ottava 
e  le  piu  alte  potenze  dell'  eccentricita.  Facciamo  per 
brevita 

»)  =  Z?  .  i|/  -+-  27  .  sen  a  d/  -^  B  .  sen  4  4'-^  6c. 
01  *  ' 

I'eqnazione  (XIII)  sara  3=90"  —  ^ — »,  da  cui  si  con- 
chiutle  (§   102) 

tans;  d)      _,.  ,  ,       seni)      cos(Pcos(js-}-k) 

tang},  =  — ■——   Si  ha  ancora  coi4/= =  — ^^ -9 

cos[:b -i-ij)  sen  A  cos  A 

ovvero  sen  I  =  cos  :^  sen  {is -^- if) .    Pongasi    ora    w-+-ij  =  w-) 
ed  K  =  t>u,  lie  verra  T  equazione 

0  =  37  — M -+- *?/:,  la  quale  ci  dark  (§§  43  ,  44) 

tt=ar-f-<t)orH 1 '    ,    ;  -+-  ec. 

.id II         a.o  a  u 

Ma,  ne2;ligpntando  1' ottava  e  le  piu  alte  potenze  deU'eC" 
ceuiricita ,  si  ha 

<t>  u  =  *i  =  B  .>!'-<-  ^  •  sen  a  J/  -♦-  B  .  sen  4  4' 

01  3 

k>!.Y=  B'  .V-^  2B    B   ^l.sen2  4^ 

o  01 

(*  uy  =  B'^.  4'  3 


TllICONOMETRIA    SFEKOJDIOA  l5 

Avremo  quindl 

H-  (^)  .[b'  .i^-^D    B  {sen  2  vj.  -t-  a  |  coj  a  i{.)l 
^d  u'    L.     o  o     »  J 

d*(<\>uY  r      dB  d^~\'      I  „,    ,^f,ddB^ 

d u     d  u  o^  diir^A 

e  siccome  dall' equazione  precedence  sen  cp  =  cos  4^  sen.  ^ 

si  ha  (^—)  =  co^  /  CO*  v{/ j  similmente  dall' equazione 

tang(p=iang>.cosii  si  ha  (-= — )^=^sen^cos^. tang u=sen?. tang 4^; 

d  u 

otterremo   pertanto  ( Ji^)  =  ( J") ( 51,)  =  '^^•^ ^ '• 
■    ^   =  —  sen  A^  tang  4^-  Ixioltre  abbianio  (§  70) 

o       ^  a  2.4  ' 

5  =  -L  (A:' Jew  a'  -4-  /T"  je«  A*)  coj  A 


1        a 


B  =  -^  .  K"  sen  A*  coj  A 


Quindi  sara 


I  6  O  II  I  A  N  I 

=  — A  sen  >  H-  -  K'  (2 —  3  sen  ?^)  sen  A 

_  =•  -;  A '  (i  —  3  sen  a')  sen  A 


d  A        a 


\ 


~j~^=  (~r-^)  (~)=  —  sen  >'  tang  4,1  K—- K' (n-^3  sen  ^')  ( 
d u        ^  d  A  ^ d u'  L         a,  J 

J  5.       ,d  B      J  y  , 

'  =  (_^)  (^/)  =  _L  A''  (i  -  3  sen  >')  sen  a^  tang  4^ 
d  u  d  A      d  u        ix 

ddD^ 
■    -  =  —  A  sen  A  cos  >.  {i  -h  3  fang  v|>')  . 

Sostituciido  questi  valoii,  avremo 

'—. —  =• — ysenf^cosytanai']  <!/iK-\-  -K' sen?.'') -^—^K' sen  a  sen  2.^  I  j 

tkd  u  La  a  J 

\K-lK'{^—3sen>.')~\  \ 

-+-  -^  KK'-^sen  2  v|/  tang  ^  (a — 3  sen  A^)senA^  cos?\-\-K'li  cos  a  ^  .[K-\-K'senx*) 

H — 5-  KK' sen  A*  coj  a'  (^en  a  i^  -t-  a  vf/  coi  a  »|^) 

=  A'\  J/  C05  A  (co*  a' —  ^  tang  ^  sen  a') 

KK' 
H J-  .  4/  /a/7g  i|'  ('1'  ■+-  sen  ^  cos  i^)  sen  A  sen  4  a 

KFC 

H (a  ij/  -H  vf'  coj  a  4^  -»-  J««  v|/  coj  vf/)  J^n  a'  co^  a' 

■A 

d*  (<t>  nV         r'»      ,  /         ,       ,  .  ,v, 

J-J—i  =  A     .  4-  CO^  A  (CO^  a'—  4/  ?fl/?g  4/  5e«  A*)* 

.  v{/-  jea  a'  co^  a'  1 3  tang  4,  -♦_  4,  (r  n-  3  tang  'V)  \ 


'I 


TKIOONOBrr.TRIA    SrEKOlDICA.  I  7 

Laonde,  chiamando  Z  Tangolo  ^,  e  q  I'angolo  ^  quan- 
do  si  incite  m  in  Inogo  di  u,  si  avranno  le  seguenti 
equazioni  per  determinare  la  cercata  latitudine  a. 

i)tangL  =  t5!lS^ 

cos  ar 


a  )    sen  q  =  sen  tss  cos  ^ 


1.3 


3  )   u=:  w  -H  q{K-i-  '  K'senL'-i-  —  K"  sen  V)  cosL 

a  a.4 


-^-^sen^q[K'-\-K"senU)senUcosL-¥---K"ten^qsenVcosL 
a  a 

-^  K'  .  q  cos  L  {cos  U —  q  tang  q  sen  U) 

H — 1 KK'  q  tang  q  sen  L  sen  4  L  {q  -{-sen  q  cos  q) 

"+-  -  KK' sen  Ucos U  [^.q  -\-  q  cos  2,  q  -i~  sen  q  cos  q) 

-*-  K^  .  q  cos  L  {cos  U —  q  tang  q  sen  L'Y 

—  -  K^q'senUcosU  {%tangq-^q{i  -^Ztangq^)  ) 

cos  u 

avvertendo  clie  si  ha  (§  70) 

J,      I  J       r.i  I-I-3  «  .  ^,_i.3         »-3^. .  rr„_  1.3.5   , 

a  a.4  a.4.0  a.4         4-^  a.4.0 

117.  Rappresentiarno  con  ijl  la  somma  di  tutti  i 
termini  di  u  affetti  dall' eccentricita,  si  avra  «=37 -+-/*• 
Ora,  siccome  L  diventa  a  quaado  si    mette  u  in  luo- 

3 


■ec.  ' 

I 


1 8  O  K  I  A  N  I 

go  di  or,  ne  risukera  (§  76) 

d  s''       a       d  js    '      a. 3    ^rf  w*^ 

Supponghianio  che  si  oinmetta  ancora  la  sesta  potenza 
deir  eccentricita,  essendo 

_       tane.  4>  •     I- 

tang  L  =  — 5 —  5  sen  q  =  sen  m  cos  cp ,  e  quinax 


cos  ar 


<?Z>  T     ^  d^    L  T  T     ,  1\ 

-—  =  sen  L  tang  q  ;   - — -  =  sen  LcosL  [i  -^  si  tang  q) 

(t   H  Ct  '3d 


e* 


M*  =  —  q^  cos  U  ;  otterremo  i 

y-^L-^qtangqsen^Ly—  ^t-{'i,^lsenU)\^'L.e''  senq"-  senV  sen'xL  \ 

e*  •<  ' 

■^  —  q tangqsen2 L{cos L^—qtangq sen r)-{--  q'scn2.LcosV{i-^-!itangq^)  \ 

a  a''  I 

j 

Problem  aIX  i 

i 

118.  Dati  nel  triangolo  sferoidico  elittico  i  tre  an  ; 

goli  ^  ,  9 ,  s; ,  irovare  la  latitudine  a  .  I 

SOLUZIONEI  i 

Siipposta  a'  la  latitudine  sulla  sfera  inscritta  cor-  j 

rispondente  a  ',  e  ritenuto  il  valore  di  s  come  nel  pro-  J 

blema  VI,  1' equazione  (XVI)  diventera  i 

V  -^  s  =  Z  —  Z' .  Essendo  poi  (§  88) 

tang  V=  \/A^'~^enp'^)  .  ^,  ^  tang  x'  ^ 

sen  ^  cos  ,.'  cos  6  "  cos  ^ 


TUIGONOMETUIA    SFEROIDICA.  1 9 

nc  yerra 

/  \       ^        irj     rf,\        senp' (tang  F— tang  V') 

tang  (a;  -H  j)  =  tang  IZ—Z')  = LA — -5 -—s ^, 

^  ^         '  ^  ^  ^      I  -H  senp-'  tang  Vtang  V 

vale  a  dire 

,         .      — senlsenx'cos^-^cost\/{sen^^ — senp'^) 

tang{m-k-<i)= !i ^  ^ ^^ 

cosi^  cos  9  -t-  sen  (^'sen  ?^'\/{sen  9  —  senp'  ) 

e  quindi 

,  >      — sen  t  sen  >.' cos  $ -t- cos  ^  x/ (sen  d"^  —  sen  p'^) 

JCAj  ( sr  -H  0- )  = :;: ——^ — — ■ 

cosp' 

I  y,       cos  t  COS  ^-i-sent  sen  a'  v/ (sen  i* —  senp''') 

cosp''' 

Eliminando  i  radicali  da  queste  ultima  espressioni,  ot- 
terrerao 

, cos  Z  cos  {■ST -^  a)  —  cos  d 

sen  Z  sen  [m  -\-  a) 

Ora  facendo   t?  -i-  «•  =  «,   ed  in  oltre  <s  =:<\>  n  ^    avremo 
r  equazione 

0  =  nr  —  U  -¥■  ^  II 

donde  ricaveremo  (§§  48  ,  44) 

M  =  w  -+-  <l>  OT  -»-  — i '-  -+. ^ '—  -+■  ec. 

^  d  u  a. 3  d  II 

avveitendo  di  mettere  dopo  le  differenziazioni  w  in  luo- 
go  di  u  ne  termini         ,   ■  -  ,  — \  ,    ,  ,  ec.    Si  avra  in  se- 


■iO  O  K  I  A  N  I 

COS  t  COS  u  —  COS  9  .  •     r      1 

giiito  sen  A'  =  — ^ ;  e  Si  trovera  iinalmente 

sen  ^  sen  u 

(§  33)  la  latituuine  ?.  siillo  sferoide  corrispondente  a  /'. 
119.  A  rischiarare  la  soluzione  del  problema  pren- 
dianio  I'eseinpio  in  cui  si  trascmano  la  sesta  e  le  piu 
ake  poteiize  dcU' eccentritita.  Avieino  (§  67) 

<^u  =  y=\-^t^^{i^senp<')\{V—V')senp'-^\senp'cosp>\[\\ 

a.du        a'^  '      ^     \senp'        d  a'  d  a'     r  d  u^ 

...                                                             cos  ^  cos  a' 
Avendosi  poi  cosV=ztan^p'cot^\  cosV'= ; —  j 

ne  verra  (§89) 

a  a'  cos  p'  cos  p'      senyseny 

si  avra  in  seguito    '     ,     =  —  senp'  tang  /'.  Inoltre  dall'e- 

quazione  precedence  sen  /'  sen  ^  sen  u  =  cos  Z  cos  u  —  cos  9 

d  x'      — cot  Z  —  sen  a' cot  u     t  1  ..1 

SI  ottiene  -r-= ^^- •  Laonde,   mettendo 

d  U  cos  a' 

V  in  luogo  di  u  e  supponendo  che  in  questo  caso  a  di- 

d  L' 
veniiZ/':  facendo  ancora  per  brevita  ^^='^r~->  ne  risuUera 


TRICONOTIETKIA    SILUOIDIOA  31 

ml  u  J.  \  cosp'  senyseny  I 

e  le  seguenti  forniole   serviranno  a  determinare  la  la^- 
titucliiie  a' 

cos  ^  cos  TB  —  cos  i 


I  )  sen  L'  = 
a)       ^      = 


fen  t^  sen  v 
cnt  C  —  sen.  V  cot  » 


cus  L' 

3  )     sen  p'  =  sen  ^  cos  L' 

,  V  .7,        sen  L' 

4  )    seny  '  = 

cosp 


5  )    sen  V  ^  tang  p'  cot  J 

t''      e*  1  e* 
H-   (i  -i-senp'^)  \{V'—V')senp'-+-—senp'cosp'*.[i] 

-.'l,AiV~F')tansL'senp''{F-V'^       '"".^^~/'\,) 
a  \  cosp'  senyseny  / 

.             ,       cos  t  cos  II  —  cos  d 
7  )     sen  a'  =3= — . 

SoLUZIONE       2 

120.  l^itenute  dalla  prima  soluzione  le  due  equa- 

r,        cos  ^  cos -^ COS^  .        cost  COS  (:j!  -i-<r)  —  C0s6 

Zioni  senL'= — ^ ;sen/,'= ? — - — '— — ^ —  , 

sen  <■  sen  ar  sen  ^  sen  ( ^  -»-  j ) 

d.spnL'     ,        d\senV  d\senL' 

pongasi  «=__,  Z,  =  _^_^;  c  =  -^3- J  ec. 

Sia  inoJire 


3:3  O  R  I  A  N  I 

<t>  x' =1  a .  (T -\ 1 5- -+- ec.  avremo  1  equazione 

a         a. 3  ^ 

0  =  sen  L'  —  sen  a'  h-  <^  A' 

la  quale  confrontata  coU'  equazione  (§  43) 

o  =  «  —  X  -\-  <^  X 

ci  da  sen  L'  =  ct ;  sen  y  =  x;  *  a'  =  *  a; .  Quindi  se  si  vuol 
avere  rinimediato  valore  di  a',  si  fara  Yx  =  ?v'  ^  cosicche 

y    d'Y  X  ,  d  A  I         T^ 

sara  —, —  =W x=-r-'= , .  Uunque  posto 

a  X  a  X      cos  A  I        tr 

d  {^i^""\        d  r^^^n        d  [{^:::3n 

Lcosa'  J  Lcoja'  J  „       Lcos  a'  J      , 

~dv- =("' '')>    a.'    =('^"^') '  -~dir-  ={*"'^'r; ec. 

avremo 

A'=Z,'H ^,-H-5^ '■j-,-\ 4 ^,  H-   ec. 

COS  L       a  cos  L       a .  o  cos  L 

e  si   metteru.   ne' termini  (*'a')S   (*"  a')S  ec.   dopo   le 
diflerenziazioni  L'  in  luogo  di  a'. 

121.  Applichiamo  questa  seconda  soluzione  all'  e- 
sempio  precedence,  in  cui  non  si  tien  conto  della  sesta 
e  delle  piu  ajte  potenze  dell' eccentricita .  Sara  in  que* 
sto  caso 

(px'=a.::-^ ,    OVVerO 

a 

*  '*^'  ==  I  ^ — i-—^{f-i-senp'^)\{F—F')asenp-^t^asenp'cosp'\li] 
■+-^lb{F—Vfsenp'' 


TRICONOMETRIA   SFEROIDICA.  a3 


{<»  A'y  =:^l^a' {V-Vf  sen p'' 


I  tang  a' 


o 


d  k'  a  cos  a' 

a  cos  a'  \  je«/''        <i  /.'  <Z  A'     / 

vale  a  dire  (§119) 

a^      '  C05A'  \  cosp'^seiiVsenV't 

Mettianio  ora  Z'in  luoo-o  di  a',  e  sia  ^=-7 —  ;  B=z  — — -  , 

sara  a  =  A  cos  V;  h  =B  cos  L' — A^sen  L'.  Onde  reqiiazione 

y  =  L'  -^ T-,  •+■ 77  diventera 

cos  L'       a  cos  L 

a*'  '  "     '     a  u*  <.     senysenF' 

Le  quantita  Z',  ^,yj',  F',  F  si  otterranno  dalle  prime 
cinque  formole  precedenti  (§119),  e  ^  dalla  formola 
B  =z  tang  L'{i  ■+■  cot  ar*  -+■  A")  —  A  cot  ar 

122.  Da  quest' ultima  eqnazione  si  puo  ricavarne 
un'altra  die  ci  dara  il  valore  della  latitudine  a  sullo  sfe- 
roideiadipeudeiitemeute  dalla  sfera  inscritta.  In  latti  I'ar- 

r.     I  •        ^       J    IP  r.       COStCOSuJ  —  C0S9 

CO  L  determinate  dall  equazione  senL=. — ^-— 

*  sen  ij  sen  rs 


a4 


O  II  I  A  NM 


h  lo  stesso  tanto  suUa  sfera  irsscritta,  quanto  sullo  sfe- 
roide;  quindi  tutti  i  termini  del  secondo  membro  di- 
pendonti  da  L'  e  dai  tie  dati  elementi  ^ ,  H  ^  ^  resteran- 
iio  invariabili.  11  priino  membro  poi  sara  (§   33) 

(?*  e'* 

/'  =  A -sen  a  A -sen  2  A  (2  —  cos  a. /) 

a  a"* 

Laonde  col  nietodo  sopra  (§  92)  usato  troveremo 

i  4 

A  =  Z:'-+-  -{senL'cosL'-^-^{F—F')senp')-^.^sen2L'{2-^cosaL') 

■  (i  -t-  senj)'"- -H  4  coj  a  L')  A  {V—  V)  senp' 

Asenp'  cos p'"^  sen  [V—V)  cos  (T-t-  V) 

■L. (F—  V'Y  senp''  {B  —  2.  A'  tang  V) 


A^  (r-  V)  tangp'^  tang  L  '^^^- 

sen  y  sen  y' 


e  si  calcoleranno  le  quantita  L\  A  ^  p\  V ,  F,B  col- 
le  formole  gia  accennate  (§§   119,  121). 

123.  Qualora  rangolo  <  sia  retto,  ne  verra, 
/;'=9o''-L';  V'  =  go\  e  sara 


ten  L'  = 


cos  9 


sen  57 


Quindi  posto  ^=90"^^!",  si  avra  (§  71), 
cos  F=~ sen  ^'  =  cot  6  cot  L',  owero 
tang  Y'  x  cos  L  tang  » 


TRIOONOMETUIA    SFEKOIDICA  iS 

^  .  X         >  T  I  .  13  t(l"^  L'  I  COS  W*  \ 

Inoltre  sara^  =  -^«"gL  co^-J  ^=  "W  (' "^  ^^77?) ' 

Facendo  pertanto  le  dovute   riduzioni ,  ed  avvertendo 
che  ruliiino  termine 

_  !!  A'  (V-V)  tangjr'  tang  L  'IliS^ZlE^  diventa 
a'       *  '       °  sen  y  sen  y 

—  -,  ^'  Y'  co^  L'  /►ang  Y'=  -  ^  -v'  cos  L' ,  otterremo 
a  2. 

e*  <?" 

;\  =  Z'  H (senL'cosL'—fsenL'cotvr) -f '('-+- 9COiI'')jenL'cofs 

a  a"* 

a  a 


.$en  37 


Lo  stesso  valore  di  /  si  potrebbe  ricavare  dall'  equa- 
zione  (Xlll),  oppure  dall' etjuazione  (XVI),  qualora 
(§  71)  si  poiiga  ill  questa  ^  =  90". 

P  11  O  B  L  E  M   A       X 

124  Dati  nel  triangolo  sferoidico  elittico  i  tre  ele- 
meuii  Cj^>=',  trovare  la  latitudine  a. 

SOLUZIONE         I. 

Posta  >'  la  latitudine  nella  sfera  inscritta  corri- 
spondente  a  ^ ,  si  sostituisca  iiellVquazione  (XVI)  in  vece 
di  V  \\  siio  valore  trovato  soj)ra  (§§  46  ,  5i).  Per  age- 
volare  la  sostituzione ,  si  noii  (§  44)  die  si  ha 


aft  O  u 


I  A   N  I 


P  O' 

tita  a' ,  a"  ,  «'"  ec.  sono  le  stesse  die  «, ;  «a '  *3  5  ^c.  (§  66).;  , 

quindi  facendo  per  brevita  ! 

»•  s=  —  tt  P  -\-  a.   sen  a  ^'  -t-  jf   jen  AV-^-  a   sen  6  F'  -4-  ec.  1 

e  I  a  '  3  ] 

-\-a'Asen'x{V'-^P—a  P)-\-a" BsenAlV'-^P—rj  P)^ec.  j 

o  o  ' 

I 

-^a'A'sen^[^V'-h-P—ct  P)-^-a"B'sen2{3V'-i-!iP—!ix  P)-+-ec.     j 

O  O 

H-a'j'''j«raa(P-«  P)-Ha"2?'''ie/ia(F'^-aP— a«  P)-t-ec.  ; 

*  c  I 

I 

\ 

-+-  ec. 

i 
avremo  r=  P -+- P -+- j- .  Ora  nell' equazione  (XVI)  ' 

vr=zZ  —  Z'  —  fiJF—F')  —  2fi  -[i]  — a/3  .[a]  — ec.  .  ( 

si  ha  , 

Z  =  Ang.tang[senp'tangF]  =  Jng.tangisenp'tang{F'-*~P-^T)]i  \ 

Z'=Ang.tang{senp'tangV'],  e   supponendo  per  brevita  ' 

x-=V'-^P;  y  =  Ang.tang[senp'tangx],  ed  in  oltre  • 


n dy       t'     rr  y        t*      d^  y 

dx       a     dx         a. 3    ^ji^ 

secondo  il  teorema  di  Taylor  si  avra  Z  =  y  -¥-  R,  e  sara 

d  y  sen  p' 

d  X       I  —  cos  p' '  sen  x^ 

d'  y sen  p'  cos  /?'*  sen  a  x 

dx'       (i — cosp^senx^y 


TIlIGONOME'l'lUA    SrEUOIDiCl  27 

d*  y       A  sen  p' COS  p'*  sen  a,  x^       o,  sen p' cos  p'^  cos  a  x 
d  X*         {i  —  cosp'^senx^y  (i — cos p'^  sen  x'^f 

ec. 

Rimettendo  in  vece  di  x  ,  j  i  loro  valoii,  ne  risultera 

Z — Z'=Jng.tang\senp'tang[V'-\-P)'\ — ^ng.tang[senp'tangV]-^R 

Sara  inoltre  generalmente 

[i]=scni{P-i-T)cosi{2,F'-i-P-\-T);  vale  a  dire 

[i]=seniPcosi{iF'^F)-^-(2iT-^^^  -+.  ^^^J  -ec.)  cos2i{V'-^P) 

s.\    %  a.iJ.4       a.3.4.5.6  /  ^  ' 

Dunque  supponendo 
ff=— i?-H/?  (PH-T)-t-ai3  .filH-aS  ra]-t-a/3  rSl-i-ec. 

la  stessa  equazione  (XVI)  diventera 

w  -4-  «•  =  Ang.  tang  \senp'  tang  ( V  '-hP)]  — ^«g.  tang  [senp'tang  F'] 

da  cui  ricaviamo 

tang (i>^A  =  '_f!Ltl±"A {^"-^  P)- senp'tang  P 
1  H-  je«/?''  tang[V'  -+-  P)  ^a«g  F' 

sen  p'  tang  P 

cos  V'''  ->>~  sen  F'^senp'''  —  cosp'^sen  V  cosV  tangP 

sen  ^  tang  P 

cos  a'  —  sen  /'  cos  ^  tang  P 

Reciprocamente  sara 


a8  O  u  I  A  N  I 

,      sen^senPcosPcos{--^T)±cos::senP\/(i''n{--\--Y—sen!:'senF-) 

cos  >  =  — — jT^. -. ^ ■ — 

( I  —sen  (,'  sen  P  )  sen  (^j  -i-  a) 

Pongasi  final  iiiente  M  =  w-+-r  =  ti^-^-<^Mdi  maniera  die 
sia  <r  eguale  ad  una  fuiizione  di  a,  ne  verra  1'  equa- 
zione 

O  =  ar  —  u   -\-  <J>  U 

la  quale  ci  dara  (§  45  ,  44)  . 

d{<t>uY      d'it^uY 

u  =  m  -<-  <I)  B  H -. 1 —J — i  ■+■  ec. 

Q.  a  u        n.D  a  u 

avvertendo  di  mettere  3  in  luogo  di  u  ne'  termini 

^  ,  '  ,  — ^  ,  \  ,  ec.  dopo  tutte  le  differenziazioni .  JLd 

e  manifesto  die,  essendo  ^u=is  fiinzione  di  a'  e  del- 
le  costanti  P  ,  ^  ,  sara 

e  dair  equazione  precedence 

sen  ^  tans  P  ,     ■ 

tangu  = ,    ^ avendosi 

cos  A — sen  A  cos  i,  tangP 

d  A  sea  t  tans  P  , 

T~  = n ; -, z Ks  1  n<?  segue  che 

«  u       sen  u  [sen  x'  -t-  cos  a'  cos ^  tang  P)  ° 

d  (0.  u)""     d"  (*  uf     d'  (1>  ?/)" 


lu  du' 


,  ec. 


u 


saranno  pure  funzioni  di  a  ,  a'  e  delle  cosranti  P,^  fa- 
cilmente  determinabili  colla  sempiice   differenziazione. 


TUIGONOMETIUA    SFP.KOIDIOA.  2^ 

II  trovato  valore  di  u  sostituito  nella  formola  precedents 

,      senP\  sen^cos  Pcosjizt:cos^\/(seni/ — senCsen  P')'\ 

cos/.= 5^—^ — 

(i  — sen  ^'^ sen  P')  sen  u 

ci  dara  la  latitudine  a',  a  cui  si  trovera  (§  33)  la  cor- 
risj)Oiidente  latitudine  a  sullo  sferoide  elittico. 

125.  Sia,  per  esempio,  da  trovarsi  la  latitudine  a' 
per  mezzo  dei  tre  dati  elementi  ^ ,  P ,  m  nei  caso  che 
si  trascurino  la  sesta  e  le  piii  alte  potenze  dell'  eccen- 
tricita.  Facendo  per  brevita 

[i]  =  sen  P  cos  (a  P-h  P)  ;  [a]  =  sen  a  P  cos  2  (a  V  -¥■  P) , 

avremo  in  primo  luogo  (§§  5i  ,  124) 

r=r'H-P-t-r=r'-HP— «  P  — a*  seniP—^^  P)cos[iV'-^P~x  P) 

•  1         ^  o     '         \  o     ' 

—  a*  .[a]-+-4a*  .[i]cos<i{V'-k-P) 

cioe  sara 
rr=  — «    P— a«  .[l]-Hafl!  a  Pcos^{V' -ir-P)~%^  .\%\-^^a*  .[\'\cos%{V'-\-P) 

ossia  (§  66) 
sr:—\-^cosp^^-^cosp^*cosi{V'^P)\{P~-[i])^^cosp''{i/^V—i()[\]-^['i\) 

Posto  inoltre  per  brevita 

.       sen  p' 

I  —cosp<^~sen{y'-^-Py 

^    T>        .          A"  T- .  cos p'^  sen  ^  (V -^  P) 
ne  verra  /?  =  a  r  -1 L ^ :  , 

a  sen  p' 
Essendo  poi  (§  67) 


3o  O  R  I  A  N  I 

C  .(P^r)-Ha/3  .\i]=[-^^{^-^cosjf')'\Ps€np'-^-'-L^enycosp'\[i] 
se  ponghiamo  ancora 


n  =  (P  —  [i])  coj/?'  H i- 


avremo 


a*  a.   \  senp' 

^6senp'[P{^-*-cosp'')'-'[i]cosp-^]j 

^^Acosp''Up{Z-^iisen{F'-^Py)-8[i](i-^2'Sen(F'-i-Py)-^[o.]J 


^       '         a^ 


e  sara 


£.^=,_A_ .  ±f^-^^A^cotp'sen{V'-^PYt^^^cosp'cot{V^P).  ^) 
<i/      Jen//'       (1/  ^        ^  '  \    dh'  d  t^l 

^,=  a[P-[.]-^P^en(F'-^Pr]co.y(f?-£^') 

—  ^cosp''  \Psen^{V'-^P)  —  senPsen{;:i  r-v-P)l(^') 
vale  a  dire  (§  80) 

d\  r  ,rr,  «v,/  ,  cot  V  cot  (F  -^-  P)     1 

li:  =  —  A  fa«£  A'     I  —  a  A  ien  (F'-H  P)\senp'  -+-  -11-1 ^ '-s 

dK'  ^      L  ^  «e«/  ^J 


TniGOXOMnTJUA    SFEROIDICA  3  I 

~=2tang>.'^{Pcos2{F'-¥-P)  —  [i])senp''—cotF'{Psen2{F'^P) 

—  senP  sen  (a  V  -+-  P)  )\ 
Supponendo  pertanto  che  a'  diventi  L'  quando  si  met- 
te  m  in  luogo  di  w,  e  facendo  ^=2 — Jl  calcolo  del- 
la  latitudine  a'  si  potra  ordinare  nella  mauiera  seguente 

I  \  cot L' ^^"  Pjsen^ cos P COST ±cns^\/{sen:ii^—sen^^ sen P^)] 

( 1  —  se?i  ^'  sen  P')  sen  m 

a)     ^      —  sen  ^  tang  P 


sen  57*  {sen  L'  ■+■  cos  V  cos  ^  tang  P') 
3  )  senp'  =  sen  Z  cos  L' 

4\         77,      sen  L' 
)  sen  V'= 

5)       A      = 


COS  p 

sen  p' 


I  —  cos  jr'  sen  (V  ^  Pf 
6)       n    =(/>-[,])  CO. />''-f-^Z£!^' 


A 


-\                  ^     ,  r,      i^\^cosp''sen2(V'-^P)   ,„      ,  tu 
7)  ii=ar-t-— .An ->  i- 5 1    lp—\l^f 
'                 a              a*'               senp'  ^         ^  ^' 

-^d sen p'[P{%-y- cos p'^)  —  {i'\cos p'^'\  \ 
—  — Acoj/?'"  j  2/>(3-t-8.e«(P-t-Pn— 8[i](r -+-aje;z(r'-*-/')')-»-[2]  ^ 

^-,AA^n^tangL'\,-^Asen{V'-^PY\senp'^'JiI^'S^-S^'\  \ 
^  '  L  sen  p'  J  ' 


3a  O  a  I  A  N  I 

^AA'ntangL'\{Pcos2{r-^P)-[i])^enp''-'CotV'{Psen!i{V'-^P) 

'-senPsen{iV'-k-P))\ 

avvertendo  che  si  ha 

li]  =  senP  cos  (a  F'-»-  P) ;  [a]  —  sen^P  cos  a  (a  V'-^  P)  . 

Finalmente  sara 

,      senP[sen^cos  Pcosu±cos^\/{senu'—sen(:^senP^)] 


8  )  cos  A' 


( I  —  sen  ^*  sen  /*')  sen  u 

SOLUZIONE       2 


126.  Colle  sostituzioni  e  denoiniiiazioni  della  pri- 
ma soluzione  si  arrivera  all'  equazione 

, senP[sen  ^  cosP  cos{w-i-t)±cosZ  \/{sen{ii  ■+■  y)^ — sen  j^*  sen  P^)] 

(i  —  sen  (J^  sen  P')  sen  (»  -♦-  a) 

Facendo  quindi 

senP  \sen  ^  cos  Pcos:s±  cos^  \/(sen  ©' — sen  ^*  sen  P')} 

cos  L  = 7 1 =r- 

( I  —  sen  <;   sen  r  )  sen  m 

d.cosL'      ,       d'.cosL'  cP  rosL'  ,  .      , 

a  =  — 1 ;  ^=  — r-i—  '  '^^  — J— T-  '  ^■^'  ed  inoltre 

a  37  as  ii  a 

<^  A'  =  a.a-  H 1 r-  -H  ec. 

a  2.0 

lie  verra  V  equazione 

o  =  cos  L'  —  cos  >.'  -+-  1>  a' 

Onde  se  noi  pongliiamo  come  sopra  (§  74) 


TRICOXOMLTRIA    SrEUOIDICA  35 

otterremo 

x'=L' r,-^- — h Q T'~^  ^^• 

sen  L       a  sen  L       a .  o  sen  L 

purclie  cloj)o   le  differenziazioni   si  rnetta   nel  secondo 
membro  di  quest'  equazione  L'  in  liiogo  di  /'. 

127.  L' esenqiio  precedente  (§  i25),  in  ciii  si  om- 
inettono  le  potenze  dell'eccentricita  snperiori  alia  quar- 
la,  puo  servire  a  rischiarare  ancora  questa  seconda  so- 
liizione.  Avremo  pertanto  *  a'  =  o  .  a-  h-  Z* .  «■%  ossia  rite- 
nendo  le  denominazioni  di  a  ,  n  ,  [t]  ,  [a]  gia  stabilice 


senp 


.,,        A*  A*        VA^COSp'*  SenO.(V'-^-P)  ,r,        r    -,\z         r  ,,r,,  ,» 

♦  A=-,.aAn-pa[ —7^ ^  {P-[y]y^Gsenp\P{^^cosp'') 

-[.]coj/;'')j 


—  iJaAcovr''(aP(3-i-8^e«(PH-P)^)-8[i](i-+-2je«(r'-H/Y)-+-[2]) 


a.' 


b  \'n' 


a* 


K/r  =  _k^£^=i;«'An.(an^H-2A^-Anc.n') 

'  d  K'  u'     sen^K         dx'  d  a'  / 

Sostituendo  i  trovati  valori  di  -,  -, »  -y—,  ,  e  facendo 

d  A'    d  a' 


34 


O  R  I  A  N  I 


dV  (V  L' 

A  =  -r^  ;  B  =  —, — ~  ,    cosicche   abbiasi   a=  —  A  sen  L'  ; 

dm  dm 

h  =  —  B  sen  L'  —  A"*  cos  L' ,  avremo 

^  ^       '  sen  J)' 

-[i]cosp'')], 

a  c 

a" 
-^^A\A'ntangL'!>[Pcos:i{V'-^P)  —  [i'\)senp'^  —  cotV{Psen2.{V'-^P) 

sen  Psen  (a  V  -\-P) )  I 

nella  qual  equazione  le  quantita  L' ,  A ,  p\  F' ,  a  ,  n  si 
otterranno  colle  precedenti  (§  laS)  sei  formole,  q  B  si 
avra  dalla  forrnola 

■B  =  —  J  cot  zn  {a.  -^  A"  sen  ts') 

138.  Possiamo  dall'  una  o  clall'  altra  sohizlone  di 
questo  problenia  ricavare  la  latitudine  cercara  sullo  sfe- 
roide  elittico  indipendenternente  dalla  sfera  inscritta, 
poiche  I'arco  L',  e  le  quantita  p',  F',  A  ,  n  ,  J  ,  ^  che 
da  esso  dipendono,  rimangono  le  inedesime  tanto  sul- 
la  sfera  inscritta  quanto  sullo  sferoide;  onde,  stando 
neir  esempio  della  seconda  soluzione,  bastera  sostituire 

(§  33)  in  vece  di  a'  il  suo  valore  a ^^e/zaA-t- 

a 


1.^ 


TllIGONOMETKIA.    SFEROIDICA.  35 

^5e«aA  (a-+-coja/),  e  col  metodo  sopra  (§  92)  usato,  si 

trovera  facilmente  la  cercata  latiturline  sullo  sferoide, 
vale  a  dire,  posta  per  brevita  =1-  la  somma  de' ter- 
mini mokiplicati  in  A"*  nel  precedence  (§  127)  valore 
di  a',  si  avra 


—  {sen  a  L'  -H  ^ .  A  n)  -H  _ 
a*  a 


A  =  L'  -4-  —  {sen  a,L'-^  A.  AH)  -{-Z- A  .An  cos  2  L' 


A* 

.  sen  a  L'  (a  — •  cos  a  £')-+-  ^ 

a-*  *  ' 

Ommettendo  ancora  la  quarta  potenza  dell'  eccentrici- 
ta,  avremo 

,       T>     «T         r.      A         ,1    T,     PsenPcos{2V'-^P)  ^^,„,A1 
a^L  ^V  i~^cosp''sen{V'-^P)'  /J 

e  le  quaiitita  L' ,  A  ,  p\  F'si  calcolano  colle  prime  quat- 
tro  formole  sopra  (§   i25)  esposte. 

129.  Dalle  due  equazioni  (§§  27,  40) 

„      „,      e*           /n      sen  P  cos  v'\ 
vs  =:z  —  z'  —  —  sen  y  ( P  -h I 

a        ^\         cos{u'-^P)/ 

„       e*r,„      „        „       ,  _, ,  ,      a.cosu'senp'~i 

,  =  ,'^P^^^^(^P_SsenPcos{^v'^P))cos/-^^^j^^^j 

si  ottiene  un'  altra  espressione  della  latitudine  a  indi- 
pendente  dalla  sfera  inscritta,'  nelT  ipotesi  die  si  ne- 
gligeiitino  la  quarta  e  le  piu  alte  potenze  dell'  eccen- 
tricita . 

Col  metodo  usato  nella   soluzione  prima  (§  124), 
facendo  per  brevita 


36 


O  K  1  A  N  I 


senp 


COSJ)'s€ll{o'-^P)-     L        -'    ^  COs\y'-^P)       J       ? 

\  cos(y-+-Pj/» 


a  jera 


'si    ha 

'^ -t--  =  -^/?g. /ang^ [^e«/?^fl/7g(u'-+-P)]  — y^ng. tang[senptangv']  , 
da  cui  si  ricava 

cos  A  —  sen  a  cos  ^  tang  P 
e  per  conseguenza  sara 

.  __  senP{sent,cosP  cos{-^->^^.)±i  cos  ^  \/[sen  ( -^-t-i- )'—  sen  'Csen  P*)] 


cos 


(i  — sen  ^^  sen  P)  sen  (37  -h  I) 

Dunque  prendendo  Y  arco  Z'  in  maniera  che  sia 

cos  L'  =  ^^"  ^  [-^^^^  ^  go-y P coj  ?T  ± co.f  f  \/{sen  •n'-—sen  Csen  P')] 

{ 1  —  sen  ^  ^  sen  P')  sen  a 

SI  avra  a  =  L'  h-  s  .  -^—  ,  vale  a  dire 


^—L'^-,A\   ~\  ,  .    co5y/(P_3je«Pcoi(au'-i-P)). 


2  jen  P  (  P 


je/z  P  C05  t 
co7(7IhP) 


;)f 


nella  qual  espressione  e  senp  =. sent,  cos L'\sen\)^r=z- ; 


2  sen  p^ sen  Peas  'A 
'cos(y'^P) 


sen  L' 


A  — 


sen  ^  tang  P 


sen  m"-  (sen  L'  -+-  cos  L'  cos  (  tang  P) 


m 


TniCO>'0]\IETKIA    SrlLKOIDICA  Zj 

\^o.  Se  r  angolo  dato  C  e  reito,  si  potra  ottene- 
re  la  latitucline  ^  sostituendo  nelT  ecjuazione  (Xlli)  il 
valore  delT  angolo  4^  =  90"  —  u  determinato  precedeu- 
temeiite  (§  55),  e  seguendo  le  stesse  tracce  delle  due  da- 
te soliizioiii  (§^  124  e  seg:).  Ma  noi  dedurremo  piti 
brevenieme  la  laiitudine  /  daH'ultima  eqnaziotie  (§  128). 
Essendo  in  cpirsto  caso  F' =:  90" ; /^' =  90°  —  L' ,  avre- 
mo  le  seguenti  fonnole  per  calcolare  la  laiitudine  /  sui 
tre  dati  elementi  ^  =  9o''.P,x,  cjnalora  non  si  tenga  con- 
to  delle  potenze  dell'  eccentricita  supcriori  alia  quarta 

cos  L'=  tang  P  cot  m 


,  cos  L' 

A     = 


sen  X  cos  u 
cot  L 


\  cos  a     / 


B  =  - 

sen  Si 

P'  =  P  —[\]  =  P  -^  sen  P  cos  P 

cos  L'  sen  1  m 

1  —  sen  Z,'*  cos  P^      sen  2  P 

sen  P^ 


A     = 


n   .  =  P'  senL'^  -^2.P 


sen  m* 


a=I,'h--,  {seniL'-^A.Ar.)-\-^A.M-lcos2.L'~-jen2.L'{^—costi.L') 
2  a  a"* 

—  ~AcosL'Up-^lP'senL''—P'senL'UangL'''^^!:-C^^,\ 
ax  sen  P  cos  P  J 

^t.  A.  A  sen  L'  [P'  (3  -^10  cos  F')  —  ^Pcos  P'] 

-.A'n\B-^A'tansL'cosi:c)-i--^A\A*asenL''tansL'{P'-'!iPcosP') 


a' 


38  O  R  I  A.  N  I 


Pkoblema     XI 


1 3 1 .  Dati  nel  triangolo  sferoidico  elittico  i  tre  de- 
menti, A  ,  P  ,  m,  trovare  1' angplo  ^. 

SOLUZIONE        I 

Conservando  le  denominazioni  di  r  ,  7? ,  b-  stabili- 
te  nella  soluzione  prima  del  problema  X,  avremo  I'e- 
quazione 

t^^„.^  ,  ,)-  senQangP ^ a  tang  P  tang  l^ 

°^  '      COS),' —sen  a' tang  P  cos  ^      cos{a' ->t-P)-^cos{h'—P)tanghC 

Keciprocamente  sara 

,     sen  P  cos  {-^  ■+-  a)  dr\/  [sea  P* —  cos  A'*  5era(-ir-Ho-)*] 

tang  -iZ—  cos  {>.' —  P)  sen  [:!!  -^  <r) 

Pongasi  m-H(rt=w=a;-t-*7^,  cosicche  sia  ir  eguale  ad  una 
fiinzione  di  u,  Y  equazione  o  =  =j  —  zi  -h  *  k  ci  sommi- 
niscrera  (§§  43  ,  44)  il  valore  di  a ,  cioe 

dl'\>nY      d'{i>ny 
a,  a  u        2..0  a  u 

e  si  mettera  nel  secondo  membro  di  quest'  equazione 
^  in  luogo  di  u  dopo  tutte  le  differenziazioni.  Essendo 
poi  general  mente 

— i '■—  =  m  (<^  11)        ( )  (  — 1 ) 

e  dair  equazione  precedence 


TUIGONOJTKTRIA    SrEKOIDIOA.  3() 


sen  t  tans  P  ,     . 

tang  K  = ; —r^^ 7i  avendosi 

C05A — sen/i  cos ^  tang  r 


d^_  I 

d  u       cot  ^  sen  u  cos  u  —  sen  a'  sen  u'' 

.,        ,        .  .        .  .  di'Vur  d' {fur 

e  evidente   clie  tutti  i  termini  —^, — —^  — ,    ,'-, 

au  a  u 

d^  (twr  r       •      •    1-  o         1  II 

— ,    ,^— >ec.  saranno  iiinzioni  di   a,^   e  delle   costanti 
a  u 

y  ^  P  le  quali  si  determineranno  colla  semplice  diffe- 
renziazioiie.  Quindi  I'angolo  cercato  ^  si  otterra  sosti- 
tuendo  il  trovato  valore  di  u  nell'  equazione 

J     sen  P  cos  u  zt.\/  {sen  P*  —  cos  A'"  sen  u^) 

°  ^  cos  (a'  —  F)  sen  u 

1 32.  Si  cerchi  per  eseinpio  T  angolo  ^  per  mez- 
zo dei  tre  elementi  /' ,  /* ,  w  nel  caso  clie  si  trascuri- 
no  le  potenze  dell'  eccentricita  superiori  alia  qiiarta. 
Riteuute  le  denominazioni  di  [«]  ,  [a]  ,  a  ,  n  adotiate 
sopra  (§   125),  si  avra 

A*  ^*  /\''cosp^'sen2(F'-^-P)  ,r,      r  n\t 

•+■  6  o-e/z/>'  [P  (a  -^  cosp"  *)  —  [  i  ]  cosp''^]  j 


40  O  R  I  A  N  I 

e  sara  i 

d  C      Jert/v'       ^/^  -TV  '  \    d  Z  ^        "^  d  U 

'■^  =  2{Pcos2{P-^-P)-[i])cosp\'!::^f^-'2cosp''[Psen^{V'-^P) 

1   dV 
—senPsen{%F'-^P)j{-^) 

c       •  ^  •  •    /<-      A         1     •    T  ^  .sen p' 

bostituendo  pertanto  i  trovati  (§  70)  valori  di  — -7-p — ; 

d.cosp'    dV  , 

^-=:Acot^—^A^senjycot<:sen{V'-^Py[i  —  tangV'cot{V'-^P)) 
d  Z 


d  n 


=  A  [cot  ^  —  a  A  cosp'  sen  P  sen  [V  -+-  P)  ] 
~~^!i.senp'^cotK\Pcos^{V'-^P)-[\^-^tangr{Psen^{P-^P) 

—  sen P  sen  {a,  T-hF))  | 

=  —  2  sen p'  cosp'  [P  cos{F'-+-  a  P)  — sen  P  cos  {F'-\-  P)] 

Qiiindi   se  noi  supponiamo   die  C  divcnti  //  allorche 

......  ^       ^fi 

SI  meite  u  in  luogo  di  u,  e  sia  jn  questo  caso  A  =  -j—  » 

avjemo  le  seguenti  forraole  per   determinare   T  angolo 
cercato  ^  : 


TRIGONOMETIUA.   SFEUOIIHGA.  4 1 


.,        I  rr      sen  P  COS  m  ±  \/ (sen  P^ — ens  y^  sen  m^) 

cos  (a'  —  P)  sen  w 

a)      ^       =. 


sen  ST  ( cos  m  cot  H  —  sen  w  sen  A') 
3  )    sen  p'  =  Je/i  //  cos  a' 
jert  a' 


4)  senV 

5)  A      = 


cosp 

sen  p' 


6)       n     =(P— [i])  co^/?'^-+- £- 


A 


\  ^     .r.      i^*  r^  cosp'' sen o-il ' -^ P)  ,r,      r  ^.z 

7)  «  =  ar  -♦-  —  .An J •'  {P—U\) 

'  '  a  2.'\_  senp'  ^         *-  ^' 

'+-6senp'[p{2,-t-cosp'*)  —  [i]cosp'^]  I 
^^^.Acosp''Up{3^8sen{V'-i-Py)—8[i]{i-^!isen{F-i-Py)-\-[a,]\ 
-t-  — ,  //.A^n'  [cof  H—nA  cosp' sen  P sen  (P-f-P)] 

—  ^  /4.A'n5era/?'coj/?'[Pcoi(F'-t-aP)— w/zPcoj{r'H-P)] 

nella  qual  formola  e 

[i]=senF  cos  (2  r'-+-  P) ;  [2]  =sen2P  cos  a  (aF'-t-  P) 

8  )  /flWg  7  t  =:  ^^"  P  ^Q-^  «  ±  y/  (.yg/z  P'  —  coj  A''  sen  ^^') 

C05   (a'  —  P)  5e«  tt 


42 


O  R  I  A  N  I 


SOLUZIONE       2 

i33.  Dalla  soluzione  pmna  si  hanno  le  due  equa- 

sen Pcos ( x -i-  - ) -±z\/\sen  P' —  cof  y'sen  (n:-*-  o-)*] 


zioni  tang'_.^ 


cos  ( '.' —  F)  sen  {ss  -i-  a) 


,  __       sen  P  cos  w  rt  \/(.fe«  P' —  f05  >'*  je«  ro*) 
fang  i  //  == ,   /     p, -'   . 

Onde  se  ponghiamo 

_cLtanglH  d\tanglH       _d\tanglH 

a J ;  y  —        -J — a ;  c  —         -    ^         ; 

a  la  am  a  a 


ec. 


ec. 


e  di  pill  *  C  =  O..S  .  . 

ne  verra  I'equazione 

o  =  tang  i  H  —  tang  ^  4"  h-  4>  ^ 

Quindi  facendo 


avremo  (§  8i) 


d^ 


=  {\>"T ;  ec. 


^=H-^2.t>H.coshH  -i '- 1 5 — li_^ — :^ — -+-ec. 

a.  a. 3 

avvertendo  di  porre  nel  secondo  membro  H  in  luogo 
di  ^  dopo  le  ditlerenziazioni. 

I  34.  Stando  nel  precedente  esempio,  in  cui  si  om- 
mettono  la  sesta  e  le  piii  alie  potenze  dell'  eccentrici- 


TRIGONOIVIETKIA.    SFCIIOIDICA.  43 

h     * 

ta,  si  avra  semplicemente  <t  ^  =  a  .  s-  h — '- — ,  vale  a  di- 
re  (§    1 32) 

a  a       \  senp' 


Quindi  sostituendo  i  trovati  (§  i32)  valori  di^>  j^  > 

mettendo  H  in  luogo  di  ^,  e  facendo  A  =  -j—  ,B=-, — r» 

J.  .  ,        .  J  ,       B-\-A'tanghH 

di  maniera  che  sja  a  = tj.  ;  b  = — ^^ —  ;. 

2.C0S  :,  H  a.  COS  iH 

V  •  o  rr  rr  T    rra  tlH<\>' tX -COS  ^.  H' 

1  equazione  ^  =  //  -h  a  1>  i?  .co5  J  //"  h ^-—^ 

diventera 

?=f/^^U.An--^^(-^'^^^^''""-^i^I:^^(F--[.]r-i-6.e;./>'[P(a^co./>-') 


44  O  R  I  A  N  I  ,,  ., 

^^  A.  A  cosp"* (2  P{3-^8seJi{P -^ Py)-8[i]{i  -¥-asen{V'^PY)^[a.]\ 

.A'n'[B-\-2A'{cotrr—2Acosp'senPs€n{F'-^-P))] 


a* 


—  ^  /<• .  A'  n  senj/cosp'  [  Pcos  (P  -na  P)  —  sen  Pcos  {V -t-  P)] 

Delia  qual  espressione  le  quantita  H  ,  A  ,p\V'  ,  a  ,n 
si  calcoleranno  coile  sei  prime  formole  precedenti  (§  i  32), 
e  jff  si  avra  dalla  forniola 

B  =  A'\  senm  cos  m  ( asen  a  -h 777  )  —  cos  zm  cot  H  I 

L  sen  n  J 

i35.  Tenendo  conto  solaiueme  del  quadrate  dell'ec- 
centricita,  si  avra 


e' 


Z=H-^-,A.An 
a 

Volendo  poi  rendere  quest'espressione  indipendente  dal- 
la sfera  inscritia,  bisogiiera  prendere  un  angolo  h  tale 
die  si  abbia 

,,        sen  P  cos  vr  ztz  \/(sen  P^  —  cos /^  sen  w') 

tang  :'  h  =  ^— ^ '- 

cos  (a  —  F)  sen  w 

ed  essendo  (§  33),  quando  si  ommettono  le  potenzc 
deir  eccentricita  superiori  al  quadrate,  /'  =  a ^  je/za  ;i , 


ne  verra   H=  h ^  ^en  a  a  .  (  _  )  .  Ma  I'equazione  (§  1 3 1 ) 

senh  tangP  ,  •      •    «     i    1  *. 

tang:!:= " ,  da   cui   si  e  dedotto 

cos  A  —  sen  A  cos  n  tang  F 


TflTGONOlMETlllA    SFEUOIDICA.  46 

il  valore  precedente  di  tang  Wi ,  ci  da 

d  A  sen  /.  sen  h  —  cos  h  ">  ^ 

avremo 


^  =  /i  —  -  (/J/  5fn  a  A  —  ^  .  A  n)  ; 

r  angolo  k  si  calcolera  coUa  formola  precedente  che  da 

il  valore  di  tana  i  A,  ed  M  col  valore  trovuto  di  ^—  ; 

it  A 

,     .  .  ,  ,^,       sen  A 

sara   in   seffuito  senp  =  senhcosx;senV'  = > 

o  *  cos p 


.  I  sen  p 

sen  -a  [cos  m  cot  h — sen  w  sen  /)  ^  1  —  cosp'  sen  ( F '  -i-  py  ' 

n  =  {P-senP  cos  (a  V'-^-P) )  cosp"  -t-  ^^^^"^  . 

1 36.  Anche  dalle  due  equazioni  esprimenti  i  valori 
di  t;  e  di  ar  (^§  27,40)  si  puo  avere  T  angolo  ^  seiiza 
passare  per  le  laiitudini  sulla  sfera  inscritta.  Imper- 
ciocclje,  ritenendo  il  valore  di  2  sopra  (§  139)  stabili- 
to,  nel  ca?o  che  si  negligentiuo  le  potenze  dell' eccen- 

tricita  superiofi  al  quadrato,  si  avra  C  =  ^-»-S.(  — )  , 

d  ra' 

vale  a  dire 
K^h^'l^AU  \cosf{P-lsenPcos{^J^P\\^  o^enp^ senPcosxTx 
.    „  r„        senP  cos  i/'  ~\  \ 


46  O  n  I  A  N  I 

nella  qnal  espressione  le  quantita  h  ,  p  ,  A  si  cakole- 
ranno  coUe  tbrmole  ora  (§  i35)  acceniiate,  e  saia  iiioltre 

sen  A  sen  p 

sen  I/'  = i  A  = ;: i         --         ^Tj  • 

cos/f  i—'Cosp  sen{u'  -+-  F) 

P    U    O    B    L    E    M    A        XII 

1.37.  Dati  nel  triangolo  sferoidico  ellttico  i  tre  ele- 
menti  ^,0,/,  trovare  la  laiitudine  cp. 

SOLUZIONE 

La  soUizione  di  questo  problema  e  facilissima  , 
poiclie  cliiamando  a'  ,  cp'  le  latitndini  sulla  sfera  inscrit- 
ta  corrispondenti  a  ^  ,  «P,  V  equazioae  (XIV)  ci  da  im- 
mediatamente 

sen  t  I 

COS  (P'  =  :  COS  A' 

sen  9 

e  dal  valore  di  <p'  si  dedurra  (§33)  quello  di  4).  Se 
poi  si  vuol  presciiidere  dalle  latitudini  sulla  sfera  iii- 
scritta,  1'  equazione  (§  22) 


sen  !^  cos  ^        /  i  -4-  A*  cos  0''  \ 

cos  (p  \  I  H-  A^  cos  a'  / 


sen 

ci  dark 

*       sen  t 
cos  <P  =  i  COS  A 

sen  d 


1 38.  Ci  resta  ora  da  mostrare  che  le  soluzioni  dei 


TKIGONOMrTUIA    Srr,K01I)I0\  47 

dodici  precedenti  problenii  bastano  a  risolvere  i  venti 
casi  clie  si  possono  proporre  in  uii  triangolo  sferoidico 
elittico.  La  1'avola  seguenie  contiene  I'indice  di  questi  ca- 
si, ed  ill  essa  si  rileva  die  le  soluzioni  del  3^°  e  del  4  °  si 
deducono  dal  caso  2  °,  ovvero  si  hanno  mediante  I'equa- 

zione  (XIV),  vale  a  dire  sen^=  — ^sen  b;cosx'=  — -cos^  . 
^  '  cos  a'  se/i<^ 

I  casi  6,9,  12,  i5,  18,  20  rientrano  ne'  casi  rispetti- 
vamente  precedenti  5  ,  8  ,  1 1  ,  14  ,  17  ,  19  cangiando  9 
in  180°—,^,  cp  in  A  e  viceversa.  Possiamo  dunque  con- 
chiiidere,  clie  iiei  proposti  problemi  si  comprendono  tut- 
te  le  principali  questioni  della  trigonometria  sferoidica. 


43  O  R  I  A  N  I 

I   N    D   I    G    E 

DEI  mOBLEMI 

DELLA  TRIGOMOMETRIA  SFEROIDICA 


Elementi  dati 

Elementi  cercati 

I 

•^     5     tP     5     C 

P^TB  ,h  dal  problemu  I 

a, 

A    ,    (p    ,    9 

P,37,f  dal  I  rnutando  $  in  A,  9  in  i8c"  —  f  e  viceversa 

3 

A    ,   ^    ,    « 

^  dal  XII  .  P,=i  dal  I 

4 

^  ,  C  .  9 

AdalXIImutando$in  A,9in  180"—  ^  ;  P,  w  dal  I 

5 

A    ,    C    >    ^ 

$  dal  II;  w  J  9  dal  I 

6 

c?)  ,   fl  ,   P 

A  come  5*°mutando  <J>  in  A, 9  in  180"  —  ("e  viceversa 

7 

A  ,  cf)  ,  F 

^  dal  III  ;   ar  ,  9  dal  I 

8 

45  ,  ^,  ^ 

A  dal  IV  ;  0  , 9  dal  I 

9 

A    ,    9    ,    P 

<p  come  8''°  mutando  A  in  4) ,  9  in  180" —  ^ 

lO 

^ ,  ^ ,  p 

A  dal  V;  $  dal  XII;  =r  dal  I 

1 1 

A    ,     ^    ,     =7 

(p  dal  VI;  P,  9  dal  I 

la 

C?    ,     9    ,     07 

A  come  1 1"""  mutando:pinA,9iui8o°  —  ^evlceversa 

i3 

A    ,   Cl)   J   a? 

^  dal  VJI  ;  P  ,  9  dal  I 

'4 

Cp  ,   ,^   ,   sr 

A  dair  VIII;  P  J  dal  I 

i5 

A     ,     9      ,      TiT 

$  come  14""°  mutando  /  in  4) ,  ^  in  180"  — fl 

i6 
'7 

:  ,   9   ,  »• 

A  dal  IX;  cp  dal  case  3^°;  P  da  11 

C  ,   P  ,    =: 

A  dal  X;  $  dal  II;  9  dal  I 

i8 

9     ,     P    ,     u7 

(J)  come  17"°  mutando  A  in  cp  ,  ^  in  180" —  6 

'9 

A    ,     P     ,     ST 

4'  dall'  XI;  $  dal  II;  9  dal  I 

ao 

(p ,  p  ,  ^ 

9  come  19""*  mutando  <J)  in  A  ,  ^in  180°  —  fl 

TRICONOMETRIA    SrEROIDICA.  49 

Neir  ultima  coloiina  dl  questa  Tavola  sono  indicati  co' 
Humeri  romani  1,  II,  111,  ec.  i  problemi  donde  rica- 
vansi  i  tre  elementi  iucoguiti.  Cos\,  per  esempio,  nel 
caso  5.'°  dati  i  tre  elementi  >>  ■>  K  •>  P ,  si  trova  in  primo 
luogo  (|)  col  projjlema  II,  in  seguito  dagli  elementi 
>^  ■>  K  i<P  si  trovano  ^  ,  9  col  problema  I. 

139.  Ma,  dirh  forse  taluno,  non  si  potrebb'  egli 
nel  citato  caso  5.'"  trovare  1'  angolo  9  per  mezzo  dei 
tre  elementi  a  ,  ^  ,  P  senza  esser  obbligato  a  cercare 
prima  V  elemento  (p?  Non  v'  ha  dubbio  che  cio  si  pos- 
sa  fare.  In  fatti,  avendosi  (§  88)  Y  erjuazione 

.        cos  t  cos  (P  —  r)  —  tans,  >:  sen  iP  —  r)  ,  , 

cot  9  =  — :! i '- -2. 1 L  ,    col    metodo 

sen  ^ 

iisato  nelle  precedenti  soluzioni  si  otterranno  le  spguen- 
ti  Ibrmole  per  caicolare  1'  angolo  fl  su  i  dati  elementi 
^'  i  K  ■>  I'  allorche  si  negligentano  la  sesta  e  le  piii  alte 
poienze  dell'  eccentricita  (*) 

\       X  ri       COS  Z  cos  P  —  tanii,  /'  sen  P 

I  )  cot  G  = ^= 5 

sen  ^ 

»         .    ('^G    sen  C  {cos  ^  sen  P  -^-  tang  x'  cos  P) 

3)  B   =C^AS)  —  ^enGcosG{i-+-a.A') 

4)  sen  p'  =  sen  ^  cos  \' 


(*)  In  vccc  della  formola  i  )  si  possono  usaie  le  due  &eguenii 

tang  ?  =  CO. ^cot  a'  ;  coi  H=  ^^tlscn(i-P)  _ 

icn  I 


So  0  11  I  A  N  I 

sen  A' 

5  )  sen  F= : 

6  )  cos  V  =  tangp'  cot  G ;  oppure  V  =  V  -^-  P 

7)  fl  =  G--l^co5/7''(/'-[!])-+-^^co5/''''('4^-^6[i]^-[a]) 
A*  „  .  /r,      r  TM      A*  .i/n     r  T.senv'cosD'^cosQ.V 

avvertendo  che  si  Iia 

[\]=senP  cos  (a  F'  -<-  P) ;  [a]  =  5en  a  P  coj  a  (a  F'h-  P) 

140.  Nella  citata  equazione 

costcosiP — t)  —  tansysenlP — r)  .       .      , 

cot^= — ^ ^ ^ pongasi  d>'  in  luo- 

sen  ^  r      D 

go  di  a'  ,  ?  in  luogo  di  i8o*  — 9,  e  viceversa,   avremo 

cos^cosiP — T)-*-tane(p'sen(P — r)       ,  ... 

cot^= ^ —^-^ ,  da  cui  SI  ricava 

sen  9 

,.        — cos(^cos(p' dt\/ [cos(p'^—sen(:^sen(P — t)*1 

tans  i  9  = ^ ^-— t — .: 5 LJ.  . 

^  "■  sen  ^  cos  ((p'  -i-  P  —  r ) 

Si  potra  pertanto  nel  caso  8.''°  dedurre  1'  angolo  9  dai 
tre  dati  elementi  cp' ,  ^  ,  P  colle  seguenti  forniole,  qua- 
lora  non  si  tenga  conto  della  sesta  e  delle  piii  alte  po- 
tenze  dell'  eccentricita  (*) 


(*)  Per  r  uso  de'  logaritmi  in  luogo  della  formola  i )  saranno  piii  c«« 
mode  le  due  seguenti 

«                       -  „               tang  P  sen  f 
tang  i^z=  cos  P tang ^i  jcre(C  — {)= — -  • 


TllIGONOMETUlA    SFEROIDICA  5 1 

^cos?:cos(i>'z^\/{cos(p>^—sen^^senF) 
'  )  f^"SiG= sen^cos{<f'-^  P) 

a)      J      = '-^ -{tang<p'^cosGtangP) 

'  I  ■+■  cos  G  tang  (p'  tang  P 

3)      B      — ^^ \AtangP{'xsenQ-^Atang^') 

'  i-i-cosGtangqi'tangPi- 

__coi_01_j  p 

4  )    sen  p'  =  sen  G  cos  <p' 

5  )    cos  V  =  tnngp'  cot  ? 

6 )   sen  V  =  ''^^,  ■  ovvero  T  =  F'  +  P 
'  cos  p 


7)  a  =  C--,//co^/7'^(P-[i])-+-^^co^;?"'(i4^-'6[i]h-[2]) 

^-A'cotGcosp'\{P—[\])[senp'^tangVcosQ,  F—cotVcos-i  V) 

141.  Essendosi  trovata  (§  ii8)  nel  proWema  IX 
1'  erjliazione  cos  9  =  cos  ^  cos  {m  -+-  a)  —  sen ^ sea  (sr  ■+■  e)senx'^ 
nrlla  stessa  ipotesi,  in  cui  si  omniettono  le  potenze 
dtr-ir  eccentricita  superiori  alia  qnarta,  potremo  nel  ca- 
80  1 1. 'no  ricavare  immediatameiue  I'angolo  9  dai  tre  da- 
ti  eleinenti  /^' ,  ^  ,  ^^  colle  seguenti  furmole  (*) 

CJ  Alia  formoia   1)  si  possono  sostitiiire  ([uc^te  due 

^       cos  u-  cos  (  r  +  f  ) 

tang  I  =  sen  \  tang  o;  cos  G  = -^— — : 

sen  f 


52  O  R  I  A  N  I 

1  )  cosC=cos  ^  COS  rz  —  sen  ^  sen  m  sen  a' 

J  /-I 

2  )       A  =  — ^  =  COS  <f  sen  a?  -+-  sen  ^  cos  x  sen  a' 

it  ^ 

3)      B  ='^-^  =  cotG{i-A') 
(I  m 

4  )  senp'=  sen  ^  cos  A' 

r  X         ,„      sen  a' 

5  )  sen  I  = 

cos  p' 

6  )  cosF=  tang  p'  cot  G 

7  )  fl=G-t.  f-  -H^(i  -+-  senp'')!  A{V—  V')senp'-^  -  A  sen  p' cos  p'^lil 

142.  Cangiando  a'  in  $' ,  f  in  i8o°  — 9  e  vicever- 
sa  nella  medesima  equazione  del  problema  IX,  essa 
diventa  cos  f  =  cos  ^  cos {s  -^-  a)  -^-  sen  ^  sen  {:s  H-  ^ )  sen  ^'  , 
doude  si  ricava 

tans. ' 5=  ■^^^^'•^^"(°^-*-°')— v/[-y<'"r  — <'O'y0''-?e^(g^-»-<r)n 

CC/i  i(^  -t-  COi  {  3   -I-    (t) 

Quindi  nel  caso  ^.\P'>  si  potia  ottenere  T  angolo  fl  dai 
tre  dati  elementi  $' ,  ^  ,  sj  usando  le  formole  seouenri 
qiiaiido  si  tralasciano  le  poteiize  dell'  ecceiitricita  supe- 
nori  alia  qiiarta  (*) 


(*)  L  aiigolo  C  si    calroleiii  piu    I'acilincnte   co"  lojjaiitmi    sostiiueiido 
alia  foriuola  i  )  ie  due  segiienti 

tang  5  =  sen  p'  tang  u  ;  cos{C-^)=,  £2lL^2L^  . 

CO.*  a 


TRIGONOMETRIA    Sl^EROIDICA.  5$ 

.^        .„      setKP' Sin  w  ±  \/ {sen  ^*  —  COS  (p*  sen  w^) 

cos  C  -*-  cos  37 

,         .            dG         sen  $'  —  tang  w  co^  G 
a  )      A       s=  - —  =  1 S—- 

aw        I  —  /flrtg  ar  cot  G  sen  (J) 

„.        „        ddG i  —  /isen<p'         jAiangw cot  G\ 

da^       i—tangmcotGsen<^'\  senG''        cosm^l 

4  )    sen  p'  =  sen  G  cos  <p' 

5  )     cos  F'  =  tang  p'  cot  % 

,  V  ,r       sen  (p' 

0  )      sen  V  = 1- 

cos  p' 

7  )    «  =  G  -^  [-  -H  -^{i^senp'')'\A{V—  V')senp'-\-  -^  A  senp'  cosp'\  [i] 
{V-F'Y  senp''  { B -^- z  J' cot  G) 
-^A'{F—V')tangp'\otG{senp''tangV-i-cotF') 


e* 


a» 


e^ 


143.  Queste  soluzioni  dirette  pero  non  abbreviano 
noraliibnente  il  calcolo  dell'angolo  9,  poiche  dal  pre- 
cedente  indice  de'problemi  e  dalie  date  soluzioni  di  es- 
si  e  manifesto,  che  ci  fanno  solamente  risparmiare  la 

forinola  sen6  = sen  ^  la  quale,  essendo  semplicissi- 

cos(p  '  ^ 

ma,  co'  logarirmi  si  calcola  farihnetite.  Altronde  acca- 
dera  rare  volte,  che  dai  tre  dati  elementi  abbiasi  a  ri- 
cavare  un  solo  dei  tre  elementi  incogniti;  il  caso  piu 
fre(]uente  sara  quello,  in  cui  si  dovranno  determiua- 


54  O    U    I    A    N    1 

re  tuttl  e  tre,  ed  allora  coiivcna  attenersi  alle  regole 
acceimate  nelT  iiulice  de'  pioblciui. 

144.  Abbiaiuo  dato  solaineute  due  soluzioni  di  cia- 
scun  probltfm.i,  ma  ognuno  vede  facilmente  che  sd  ne 
potevaiio  dare  tante,  quante  sono  le  funzioni  coUe  qua- 
li  si  puo  esprimere  Telemento  cercato.  Cosi,  per  esera- 
pio,  nel  caso  5'<*,  in  cui  si  cerca  (p  per  mezzo  degli  e- 

lenienti  a,^,P,  abbiamo  determinato  V=Jng.sen\  — — ,  f 

Leo*  p  J 

nelVunica  soluzione  data  del  problema  TI,  si  potevano 
pero  aggiungere  due  altre  soluzioni  analoghe  a  quelle 
de'  probiemi  precedenti,  serveudoci  dell' equazione 

sen  <p' =^  sen ^' cos  [P — r)-^cos  ?^'  cosZsen{P — t).  Una  quarta 

soluzione  si  avrebbe  cercando  (§  139)  prima  fl,  e  de- 

1     •  •       ^1       in  •  .       senp' 

termmando  m  seguito  <^  coll  equazione  cos<^=  — *—. 


seny 


Anzi  si  poteva  variare  la  soluzione  data  in  maniera  da 
ottenere  il  valore  di  F  sotto  la  forma,  a  cui  1' abbia- 
mo ridotto  posteriormente  (§5i)  nell'esempio  di  quel- 
la  soluzione. 

145.  A  compimento  di  questi  elementi  dovremmo 
era  applicare  le  formole  trovate  ad  alcuni  casi  pratici, 
ma  oltreche  Tapplicazione  e  per  se  stessa  facilissima,  ne 
abbiamo  gia  dato  altrove  (*)  qualcbe  esen)pio.  Giovera 


(*)  Monntlidie  roirespondenz  zur  beforderiing  der  Erd   und  •Hiramels- 
Kuiide  ,  liriauff;c};eben  vom  Freylierrn  F.  von  Zarh.  XI  Band.  Gotha   i8c5. 
Ellcoiefidi  astronoauche  di  Milauo  per  gli  aoDi  1807,  ^^^^  ^  segu. 


TRIGONOMETUIA.  SFEUOIDICA  55 


pero  notare,  clie  le  qnantita  indicate  colle  lettere  y/,-ff, 
p',  F^',  F,\q  cjuali  euirano  ne' termini  mokiplicati  nelTec- 
centricita  snpposta  assai  piccola,  possono  valutarsi  sola- 
mente  in  gradi  ed  in  minuti  primi,  ovvero  fino  ai  mil- 
lesinii  dAV  unita.  Ma  e;li  archi  o  angoli  espressi  dalle 
prime  ed  ultime  formole  negli  esempj  delle  soluzioni 
prime  dovendo  calcolarsi  con  maggior  esattezza,  conver- 
ra  per  I'uso  de'logaritmi  servirsi  delle  note  regole  del- 
la  trigonometria  sferica,  le  quali  ne'proposti  problem! 
si  riducono  alle  seguenti . 

(S  73) .  .  .  .  tang .^^     /  ^^^-(^'-4)'-HF)co.^(y^4)'-^PL 

(S8o) tans'^^cos^tangP  ;  sen{L' -t-k)='J!l^^ 

cos  F 

(5  89)  ...  .  tang^=cosPtang^  ;       iting  L' =  — -^^^U     </ 

sen^ 

Sostitnendo  ?  in  luogo  di  P  si  avra  nella  prima  for- 
niola  tang  {  ^  invece  di  tang\H ,  e  nelle  altre  si  avra  a* 
invece  di  L' .  Parimente  sostitnendo  nelle  formole  se- 
guenti u  in  luogo  di  sr,  si  avranno  <^*>Ki^'  invece  di 
F \  H,  L. 

(§  97) .  . . .  tangl^sen>nang^  ;  tangF' =^^^ll^I^!^±^ 

sen  ^ 

(S  io5) . . .  tang  i=cos^  cot  $'  ;  tangH=  -"J  ^  ^^"  ' 

COs{a'-^-^) 

(Sin)...  tang^=cos  =r  cot^  ;  cos{L'-^^)=*^!l^LlJf!!J 

tangZ 


■30  O  R  I  A  N  I 

Mettendo  nelle  seguenti  formole  a  in  luogo  di  w,  si  a- 
vranno  a'  ,  ?  invece  di  L\  H. 

(S  iiS)  ....  tangk^cosKtangP\  cos{L' ^^)=^.^!lll^^ 

,«    «.  .                                 I.                    ITT      ,\      cot  f^' sen  ^ 
(5  182) tang^^—senx'tangis  ;  sen{tI-i-^)= -- 

Nel  tempo  stesso  die  si  calcola  sopra  queste  regole  la 
prima  Ibrinola  di  ciascnn  eseinpio,  si  potra  aumuMuare 
P  ovvero  ^  successivarnente  di  nno  e  poi  di  due  miiiu- 
ti  prinii,  donde  si  ricavera  facilmeiue  la  variazioiie  ri- 
suliante  neli'angolo  //,  o  L' ,  o  F\  e  rpiindi  se  ne  de- 
duira  J,  die  esprime  il  rapporto  del  la  vanazloue  di 
P,  o  di  ar  a  quella  di  //,  o  di  L',  o  di  F  ;.  e  dalla 
differenza  di  A  si  otterra  ancora  il  valore  di  B. 

146.  Per  chi  vorra  esercitaisi  in  qnesti  calcoll  ac- 
cenneremo  tutti  gli  elementi  d'  uii  dato  triaagolo  sfe- 
roidico.  Ritenendo  pertanto  le  diniensioni  ddio  sferoide 
tcrrestre  sopra  (§  i5)  stabilite,  suppongasi  die  il  trian- 
golo  sferoidico  venga  formato  dal  meridiano  di  Cadice, 
dal  meridiano  di  Pietroburgo,  e  dall' arco  terrestre  die 
misura  la  via  brevissima  fra  queste  due  dtta,  avrexno 


A    : 

= 

36" 

3a' 

i" 

> 

// 

=  36" 

27' 

6"  , 

<P 

= 

59 

56 

a3 

> 

<f' 

=  59 

5i 

55    , 

OX 

■:— 

36 

35 

45 

c 

;  33 

17 

^7  : 

>4 

TIUCONOMETRIA    SFER0ID1C\  5? 

e  =  61"  33'  58"  ,  5 

P=  33      8   a6    ,  5.  Via  brevissima  =  1886465'"%  3 

Onde  immaginando  che  sieno  dati  tre  di  questi  elemert- 
ti,  sara  facile  il  verificare  coUe  date  soluzioiu  i  tre  al- 
tri  elementi. 

1 47.  AUorche  si  suppone  1'  eccentricita  eguale  a 
zero,  lo  sferoide  elittico  diventa  una  sfera ,  e  non  ri- 
mangono  per  la  soluzione  de'  propnsti  problemi ,  che  le 
formole  indipendenti  dall'ecceiuricita,  cioe  quelle  stes- 
se  die  servono  alle  soluzioni  de'  triangoli  sterici.  Per 
conseguenza  la  trigonomeiria  sferica  non  e  che  un  ca- 
so  particolare  della  trigonometria  sferoidica.  Le  tre  e- 
quazioni  fondamentali  nel  caso  di  e  =  o,  souo  (§§22,27) 

,.„  A      cos  A         ^ 
sen  6  = sen  ^ 

cos  <p 

■a  ■=.z  —  s' 

la  terza  delle  quali  diventa  superflua,  poiche  nel  trian- 
golo  sferico  non  e  necessario  che  uno  degli  angoli  sia 
in  un  punto  determinato,  ovvero  nel  polo  come  nel 
triaiigolo  sferoidico.  Anzi  siccome  dalla  seconda  equa- 
zioue  si  ricava  (§  72)  la  formola 


cos^ 


sen  (J)  —  sen  >  cos  P 

cos  A  sen  P 


la  quale,  chiamando  i  tre  angoli  d'un  triangolo  sferico 
A^  B,  C  corrispondenti  a  ?,  180°  — fl,ar,  ed  1  tre  lati 
rispeitivamente  opposri  a,b,c  corrispondenti  ago"  — <?>, 
90°  ~  / ,  P ,  si  cangia  in 

T.  IL        P.  IL  8 


58  O  R  I  A  N  1 

-«.  A       COS  a  —  COS  b  CCS  c 
cos  A  = 

sen  U  sen  c         ' 
questa  sola  forinola  ci  puo  dare  la  prima 

sen  B  = sen  A  e  tutte  le  altre  della   trisonometria 

stn  u  o 

sferica,  come  ha   elegantemente  diraostrato  il  sommo 
geometra  Lagrange. 


•" 


N>-     q     ui 


N^ 


-Q- 


59 

CONTINU  AZIONE 

Delle  osservazioni  e  sperienze  sopra  la  teoiia 
della  resistenza  de  Jluidi  del  sig.  Juan 

Di    GiustrPE    AvANziNi 

riccvuta  il  di  priiuo  d'ottobre.  i3o8 


38.  J_ja  teoria  della  resistenza  de'fluidi  del  si'g.  Juan 
non  si  restriuge  alia  sola  ipotesi  finora  consideraia  {aj 
che  il  solido  sia  totalinente,  e  indefinitameqte  iinmer- 
So  riel  fluido.  £ssa  si  estende  anche  al  caso  che  il  so- 
lido non  sia  tutto  immerso,  e  che  la  porzione  ch'esce 
dal  Huido  non  sia  minora  dell'  altezza,  alia  quale  in 
tale  circostanza  deve  il  tluido  innalzarsi  davanti  al  so- 
lido. L'  esame  di  questa  seconda  parte  della  teoria  di 
Juan,  tanto  importante  per  1' applicazione  che  ne  fe- 
ce  alia  scienza  del  moto  dei  bastimenti,  forma  il  sub- 
bietto  delle  seguenti  osservazioni  e  sperienze.  In  es- 
se noi  fareino  uso  del  metodo  seguito  nelle  preceden- 
ti  rivogliendole  alia  discussione  tamo  dei  principj  teo- 


(a)  1st.  Naz.  Tgrn.  2.  di  Fis.  c  Mat.  P.  1. 


60  A  V  A  N  Z  1  N  I 

retici,  qiianto  degli  sperimenti  ai  quali  I'illustre  Geo- 
metra  appoggia  la  sua  leoria.  ^ 

39.  Egli  iiicomincia  dalla  supposizione  che  il  so- 
lido  sia  un  parallelepifjedo  rettangolare  che  si  muova 
orizzoiitalmeiue,  e  in  direzioiie  nonuale  alle  facce  aii- 
teriore  e  posteriore,  e  con  velocita  o  iiguale,  o  niinore 
dclla  lungliezza  del  parallelepipedo  inedesinio.  In  qne- 
sta  ipotesi  egli  trova  che  chiarnata  u  la  velocita  del 
parallelepi|)edo,  b  la  Innghezza,  «  V  altezza  a  cui  tro- 
vasi  imtnerso,  la  resisteuza  ad  esso  solido  opposta  dal 
lluido  debba  essere  ^_^ 

m  b ,        , —       u*  ,  TJX 

40.  Questa  formola  e  dedotta  immediatamente  da 
due  supposizioni;  cioe  che  la  pressione  esercitata  dal 
fluido  contro  la  faccia  anteriore  sia 

mbi-i'-^ !^t -«-  —  «'' f  H -)  .  .  .  .  (t),  ed 

a  b  ^  64  0.04"'  ^     " 

a  ^  04  0.64" '  ^      ' 

quella  contro  la  faccia  posteriore.  Di  fatto  essendo  la 
resistenza,  siccome  abbiamo  altrove  noiato  (§2),  la 
ditl'erenza  delle  due  sopraddette  pressioni,  sottraendo 
la  seconda  (t')  dalla  prima  (t)  si  ottiene  appnnto  Tes- 
pressione  .  .  .  .  {/?).  JNoi  ci  faremo  quindi  ad  esami- 
nare  i    principii   coi  quali   Juan   dimostra    le   formole 

41.  Supposto  gc  (fig.  1*)  il  profilo  del  parallele- 
pipedo, XZ  \\  livello  del  fluido,  e  percio  ^  c  la  por- 


6ULLATE0U.DELLA  RESIST.DE'fLUIDI  DI  JuaN      6 1 

zione  immersa  del  parallelepipedo  stesso,  PF  1' altez- 
z.i  dell'  intiimescenza  del  iliiido,  le  ipotesi  sulle  quali 
e  foiidaia  la  forinola  (t)  sono  i*.  che  la  pressione  con- 
tro  uii  rettangoletto  b  d  t  della  faccia  anteriore  Pc  sia 

mbde{^  e^lu)\  ovvero    m  h  d  i  {^~7 -\- ^liY 

supposta  /i  r  altezza  dovuta  alia  velocita  u.  2*.  che  il 

fluido  s' innalzi   di   tiuta   la   P  F  =  r- u  \    V.  che  la 

64 

pressione  contro  un  rettangoletto  di  P  F  d\  altezza 
</ 1',  e  distante  da  Z'  della  quantita  «'  sia 

Tw^i  c' (—v/ 1' -+--«)' .  Di  fatto  integrando  la  formola 

mb di{\/ 1  -^  ~uy    si  ottlene  per  la  pressione  contro 

tutta  la  Pc 

7nb{-  -*-—-\/ 1  -^  ^—^)-^C  .La  costante  second©  Juan 

deve  esser  tale  che,  fatto  f  =  o,  la  pressione  si  ridu- 
ca  a  quella  esercitata  dal  fluido  contro  P  F.  Per  ri- 
trovarla  egli  passa  all'  integrazione  della  formola 

mb  dt' {  —  >/ c' -i--iiY    che  ritrova 
o 

"»*('— —  ~*'\/''-+-^''"' ),  e  sopra  tutta  la  PF^ 
mb(ILEl^'.u,PF^'FF^±  PFu'}-m3L  per  la  2\ 


6a  AvANziNi 

ipotesi  P  F  =  j-ru" ,  dunque  sostituendo  si  ottiene 

-7 — -—  per  la  pressione  contro  PF;  e  percib  la  pres- 

sione  contro  tutta  la  cF  sara 

mb{i-^"'^    !^i^^_JL_)  cheeappunto  la  for- 

inola  (t)  . 

42.  Quanto  alia  prima  ipotesi,  cioe  die  la   pres- 
sione contro  un  rettanKoletto  b  de  sia 


,—      I 


mb d e  {y/ e-i--uY    si  osservera  ch' essa  ne  contiene 
o 

altre  due.  1'.  che  il  fluido  non  abbia  altra  velocita,  se 
non  quella  clie  nasce  dalla  pressione  della  colonna  so- 
Traincombente  ,   e   la   velocita   u  del   parallelepipedo. 

2\  che  la  pressione  sia  uguale  al  quadrato  di  v^  *  -♦-  5  "* 

Ora  vedremo  che  tali  ipotesi  non  sono  conformi  ne 
alia  ragione,  ne  all' esperienza. 

Per  cio  che  spetta  alia  prima,  considerando  atten- 
tamente  il  moto  che  concepisce  il  fluido  innanzi  al  pa- 
rallelepipedo ac  (fig.  2')  si  osserva  i"-  che  un  filo  flui- 
do, per  esempio  Y*,  a  qualche  distanza  dalla  faccia 
«c,  come  in  V,  si  divide  nei  due  fili  v  «a',vT'c,  lascian- 
do  lo  spazio  a  ^  t'  ripieno  di  fluido  stagnante.  2"*  che 
gli  altri  fili  si  piegano  per  aa' ec.  S' S  ec.  t' e  ec.  Don- 
de  apparisce  che  il  solo  fluido  davanti  alia  a  t'  avra 
le  due  velocita  sopraddette,  ina  che  il  fluido   davanti 


SULLA  teor.dellaresist.dl'fluidi  di  Juan      63 

alle  porzioni  aa',TC  oltre  quelle  velocita  viituali  ne 
avra  una  di  reale  e  parallela  alia  faccia  a  c. 

Rij^uardo  alia  2"  ipotesi,  dai  ragionamenti  del  §  3i 
rimane  evidentemente  dimostrato  che  la  pressione  con- 
tro  un  diderenzio-dinereuziale  si  della  porzioiie  a  t', 
come  della  aa\  e  t'g  non  deve  gia  essere  espressa 
iudistintaniente  come  vuole  Juan  da  una  funzione  del- 
la sole  £,M,  e  che  questa  funzione  non  puo  essere  il 

quadrato  della  somma  di  \/  6-^^u.  Nulladimeno  a  to- 

gliere  anche  il  sospetto,  che  malgrado  cio  potesse  pu- 
re essere  ainieno  prossimamente  vera  la  formola  di 
Juan  perche  essa  avesse  pochissimo  a  differire  dal  va- 
lore  delle  sopraddette  funzioni  qudunque  sieno,  ho 
voluto  consultar  gli  speriuienti.  Prima  pero  di  espor- 
ne  i  risultati,  e  fame  il  confronto  con  la  formola,  fa 
d'  uopo  conoscere  gli  artifizj  coi  quali  s'  istituirono. 

43.  gc   fig.  3*.   e  una  (assetta  rettangolare  di   le- 
gno  forte  e  bene  stagionato,  e  si  fortemente  coniiessa 
che,  rimanendo  nel  tluido  non  abbia  a  sortrire  sensibile 
alierazione  nella  figura.  E e,  Ee,  (fig.  4'.)  sono  due  pez- 
zi  di  ottone  terminanti  in  due  lamine  rettangolari  FF^ 
ff^FF,//,  e  normali  ad  essi  pezzi  £e,Ee.  La  casset- 
ta  e  stretta  fra  le  due  lamine//,/"/,  col  mezzo  di  quat- 
tro  viti,  come  lo  dimostra  la  fig.  5."  Le  altre  F F^FF 
sono  utjite  ai  due  parallelepipedi  G  H,G  If  (fig.  2.'  ta- 
vola  2.  mem*.  1'.  Nuove  ricerche  ec. ),  scorrevoli  tra  le 
due   liste  fc.f'c',  (fig.   i'.)  immerse  a  tale  profondita 
nelVacqua  da  lasciare  fuor  d'essa  quella  porzione  del- 
la cassetta  che  piu   piacesse.         ' 

Mediante  i  due  pesi   motori  P,P   (fig-  i'-  c^f^e 


64  A  V  A  N  Z  I  N  I 

sopra)  moventi  i  paiallelepipedi  G  H,G  H  ^  lungo  le 
sopiatldette  liste  si  fece  correre  la  cassetta  per  I'acqua 
del  canale  descritto  al  §  10.  e  seguenti  della  mento- 
vata  memoria. 

44.  A  renderml  certo  che  la  cassetta  si  avesse  o- 
rizzontalmente  ebbi  1'  avvertenza  di  assicurarrni  ben 
bene  che  le  liste,  sicconie  pure  la  faccia  superiore  ga 
della  cassetta  medesima  (fig.  3'.)  fossero  orizzontali,  os- 
sia  parallele  alia  siiperficie  dell'  acqua  perfettaniente 
tranquilla.  Essendo  poi  le  lamine  FF^FF,  nonnali 
ad  e  E ,  e  E,  (fig.  4'.)  ed  e  E^e  E  a  squadra  colle  fac- 
ce  laterali  g  c,  nm  (fig.  3'.)  e  fuor  di  dubbio  che 
anche  le  facce  ac^no^  anteriore  e  posteriore,  dovran- 
no  essere  normali  alia  direzione  del  loro  moto. 

4.5.  A  muovere  la  cassetta  con  velocita  uniformi  e 
differenti  tra  loro,  feci  uso  del  metodo  descritto  ai  §§ 
14  ec.  della  citata  memoria. 

46.  Assicurato  che  in  tal  modo  il  parallelepipedo 
moveasi  come  lo  ricliiedeva  il  caso  considerato  da  Juan, 
non  mi  rimaneva  se  non  di  rinvenire  V  artifizio  per  mi- 
surare  le  pressioni  dell' acqua  contro  i  diflerenzio-diffe- 
renziali,  ossia  porzioni  piccolissime  della  faccia  anterio- 
re a  c.  A  quest' uopo  riputai  convenieniissimo  1' ordi- 
gno  gia  accennato  (§5)  del  sig.  cav.  Dubuat;  facendo 
nella  faccia  anteriore  del  parallelepipedo  un  foro  lun- 
go la  linea  che  la  dimezzava  verticalmente,  del  dia- 
metro  di  due  linee,  ed  apy^licando  ad  esso  un  tubo  ri- 
curvo  mno  (fig.  5\)  aperto  in  tutte  e  due  I'estremita. 
Scorgesi  chiaramente,  che  se  la  cassetta  tuffata  nell'a- 
cqua  tranquilla  fosse  ferma,  I'acqua  salirebbe  nel  brac- 
cio  mil   lino  al  proprio  livello,  ma  che  movendosi  la 


SULLA  TEOR.  DHLLA  RESIST.  De'fLUIDI  Dl  Ju\N      65 

cassetta,  I'acqua  contenuta  nell'altro  braccio  no  urte- 
ra  continuaiuente  Tacqua  esteriore,  o  cio  die  torna  al- 
io stesso,  r  acqua  esieriore  preinera  in  o  V  acqua  del 
braccio  on,  e  iara  salire  quella  del  braccio  n  m  ad 
una  tale  altezza  sopra  il  deito  livello,  die  il  peso  del- 
la  colonna  d' acqua  di  quesc^  altezza,  e  di  base  ujua- 
le  alTarea  del  foro  o,  eqnivalga  all'indicaia  pressione 
deH'accjna  esteriore  contro  o. 

47.  Posto  cio  e  manifesto  die  per  trovare  le  j)res- 
sioni  conveiiiva  misurare  esattamente  V  altezza  a  <  ui 
doveva  salire  1'  acqua  nel  tubo.  A  quest'  og2;etto  mi 
servii  di  un  piccolo  cilindro  a  (iig.  6".)  di  sugbero  gal- 
leggianie  sull'  acqua,  e  portanie  un  fusto  ac  di  paglia, 
il  quale  passando  per  un  foro  aperto  in  un  coperchio, 
die  diiudeva  I'estremita  m  del  tubo,  dovesse  ascen- 
dendo  1'  accjua  salire  verticalmente  senza  inclinarsi  or 
verso  una  parte,  or  verso  1' alt ra  del  tubo.  A I  coj)er- 
diio  si  uni  una  laminetta  es  divisa  in  qnarti  di  Imea. 

Giunto  il  parallelepipedo  al  moto  uniforme  si  no- 
tava  r altezza  a  cui  era  salita  I'estremita  c  della  paglia, 
indi  fermavasi  la  cassetta,  e  riacquistata  dall  accpia  la 
sua  perfetta  quiete  notavasi  lo  spazio  per  cui  la  stes- 
sa  estremita  c  era  discesa.  JNiuno  potra  certamente  du- 
bitare  die  un  tale  spazio  non  sia  precisainente  1'  al- 
tezza alia  quale  il  fluido  s'innalza  sopra  il  proprio  li- 
vello a  cagione,  come  si  disse,  della  pressione  del  llui- 
<lo  esteriore. 

48.  E  percbe  non  rimanga  timore  alcuno  su  T  e- 
sattezza  di  un  tale  metodo  giovera  rammentare  i^  die 
pervenuta  la  cassetta  al  moto  uniforme,  il  galleggian- 
te  rimaneva  costanteniente  air  altezza  cui  era  salitOj  e 

T.  II.      P.  n.  9 


66  A  V  A  N  Z  I  N  1 

CIO  in  virtu  del  moto  fisiraniente  uniforme  procciirato 
al  solido  inecliante  gli  artifi^j  clesc  ritti  al  §  i^.  mrin. 
1*.  JSuove  riccnlii\  ec,  e  tiello  s[^azio  ch^*  percorrtr-va, 
fisiramff.te  anch'esso  parallelo  ala  siiperlicie  drl  livfl- 
jo  del  Huido.  2".  the  lo  spazio  percorso  da  I  la  cassetta 
uniforniemeiite,  riinanendo  il  galleggiaine  coutimiamen- 
te  alio  stesso  sito,  era  di  20  e  piu  piedi.  3^  die  aii- 
mentaiido  o  dimiiaiendo  alcuii  poco  la  velocita  del 
solido,  si  aumentava,  o  diminuiva  in  proporzione  anche 
I'altezza  a  cui  perveniva  il  galleggiatite;  d  die  mostra 
dr esso  non  incontrava  nel  salire  e  scendere  ostac-olo  al- 
cuno.  4°.  die  per  assicurarmi  della  prerisione  nella  mi- 
sura  dello  spazio  percorso  dal  galleggiante,  inoliiplicai 
ciascuna  sperienza  dieci  e  piu  volte. 

49.  Dal  fin  qui  detto  non  apparisce  evidentetnente 
die  se  la  formola  m  d  hd^  ( y/  7~-+-  \/"A )'  della  pressione 
rinvenuta  da  Juan  e  la  vera,  essa  dovra  trovarsi  uguale 
alia  pressione  dello  sperimento,  die  e  quanto  dire,  the 
(v/t  -<-  \/~fif  dovra  essere  uguale  alia  soniina  della  di- 
stanza  e  del  foro  o  dal  livello  del  tluido,  e  delPaltezza 
del  galleggiante  sopra  il  livello  del  fluido  esteriore?  Le 
seguenti  tavole  presentano  ii  confroiito  di  lali  pressio- 
ni  e  ie  loro  djflere«ze. 


SULLA  TEOU.  BELLA  UE31ST.  DE'  FLUIDI  D1  J  UAN      67 


Immersione 

Velocita  u 

Altezza  h  do 

vuca  alia 

12  poll. 

1^  piedi  in  i" 

velocita  w,  lin.  2,17 

Mtezze  e 

Pressioni  dello 

Pressioni 

Diffcrenzc 

sperimento 

della  formola 
di  Juan 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

I  32 

134  ,  80 

168  ,  04 

-t-  33  ,  24 

lao 

123  ,  33 

164  ,  57 

-H   3l    ,  2zf 

108 

III  ,  5o 

14©  ,  57 

-H  29  ,  07 

96 

99  '  5o 

127,  17 

-^-27,67 

84 

87  ,  5o 

113,17 

-4-   25   ,  67 

72 

75  ,  5o 

99  '^^ 

-+-  23  ,  73 

60 

63,  5o 

84.97 

-H  21  ,  47 

48 

5i  ,  60 

70,57 

-H    18  ,  9- 

36 

39  ,  7-5 

55,77 

-4-    16  ,  02 

24 

27,80 

40  ,  57 

-+-    12,  77 

68 


A  V  A  N  Z  I  N  I 


II 


Immersione 

Velocita 

Altezza  dovuta  alia 

12   poll. 

:t  piedi  in  i" 

velociia.  4 

lin.  40 

Altezze  € 

Prcssionl 
sperbnemaU 

Pressloni 

dclla  formola 

dl  Juan 

Differenze 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

l32 

i35  ,  25 

184  ,40 

-»-  47  ,  i5 

120 

126  ,  00 

1 70  ,  40 

H-    44    ,40 

io8 

114  ,  25 

i56  ,  00 

-+-41,7^ 

96 

102  ,  25 

141 ,60 

-+-  39  ,  35 

8  + 

90  ,  25 

\2()  ,  80 

-H  36  ,  55 

72 

78,25 

112  ,00 

-H  33,75 

60 

66  ,  25 

96  ,  90 

-H  3o  ,  65 

48 

54  ,  33 

81    ,60 

H-  27  ,  27| 

36 

42  ,  40 

65  ,  60 

-4-  23  ,  20 

24 

— . 

3o  ,  5o 

49  ^00 

-H  18  ,  5o 

1 

SULLA  TEOU.DELLA  RESIST.  DE'fLUIDIDI  Juan      69 


III 


Immersione 

Velocita 

Altezza  dovuta  alia 

12  poll. 

2  piedi  in  1" 

l 

velocita.  lin. 

5,  36 

Altezze  e 

Prcssioni  cltllo 
speriniento 

Pressioni 
delta  formula 

Differenie 

- 

di  Juan 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

l32 

i38  ,  00 

190  ,  96 

-+-  52  ,  96 

120 

128  ,  00 

175  ,  o5 

H-  48  ,  o5 

108 

1  16  ,  25 

161  ,  12 

^  44  ,  87 

96 

104  ,  33 

1 46  ,  76 

-H  42  ,  43^ 

84 

92  ,  33 

i3i  ,76 

-+-  39  ,  43^ 

1            ^^ 

80  ,  33 

116  ,  56 

H-  36  ,  23 

60 

68  ,  3.3^ 

loi  ,  36 

H-  33  ,  o3 

48 

56  ,  33 

85  ,  36 

-•-  29  ,  o3 

36 

44  ■>  5o 

68  ,  96 

■^  2^  ,  46 

1 

24 

32  ,  60 

52  ,  20 

■+-  19  ,  60 

70  A  V  A  N  Z  I  N  I 

Una  si  grande  disparlta  tra  le  due  presslonl  sopra 
ognuna  delle  dieci  porzioncelle  della  faccia  anteriore 
del  parallelepipedo ,  deve  al  certo  convincerci  che  la 
formola  di  Juan  e  ben  lontana  dall'  esprimere  la  fun- 
zione  che  rappresemi  le  vera  pressioni  del  tluido. 

5o.  Passiaino  ora  all'  esame  della  seconda  ipotesi; 
cioe  che  1'  altezza  P  F  (fig.  i". )  del  fluido  sia  eguale 

ad  j-.u- 

La  pressione,  dice  il  sig.  Juan,  sopra  un  rettafi- 
goletto  b  d  i  preso  alia  distanza  f  sotto  il  livello  XZ  del 
fluido  e 

m  b  d  e  {y/  e  -i-  -uy 
o 

Nel  colmo  F  la  pressione  dovra  esser  zero,  e  percio 

mb  d  £  (\/  i  -i —  uV  =iO 
8 

quindi  \/  £=  —  -  m  espressione ,  soggiunge  egli ,  riella 

quale  il  segno  negative  indica  che  il  pnnto  al  quale  cor- 
rieponde  il  valore  di  e  e  al  di  sopra,  di  P  origine  di  e. 
Quadrando  1'  equazione 

v't  =  — ru,  si  ottiene  e=—-u'  altezza  di  P  F.  fa) 

Sopra  tale  ragionamento  si  osservera    1°.  che  la  pres- 
sione sopra  un  rettangoletto  bds  della  superficie  imtner-i 


(iy  §  5i;4  deir  opera  citata. 


SULLA  TEOR.DELLA  RESIST.  De'fLUIDI  1)1  JuAN      7  I 

sa  e  ben  diflerente  (^§43,  49)  da  mbcU  (  v/^-t--  a)'. 

2^  clie  se  la  pressione  sopra  il  detto  rettangoletto  fos- 
se anche  (piale  vieiie  siipposta  da  Juan,  da  cib  non  se- 
guirebbe   tlie    nel   colmo  del    lluido   dovesse    essere 

V'«  =  ~  o  II.  Per  dimostrarlo  bastera  che  ci  ricordiamo 
o 

clip,  secoiido  Juan,  y/l  esprime  la  radice  dell' altezza 
del  lluido  sopra  il  rettangoletto  bd^,  ossia  la  veloci- 
ta  con  la  quale  il  llmdo  clie  e  al  contatto  del  suddet- 
to  rettangoletto  penetrerebbe  a  traverso  di  esso  a  cau- 
sa della  pressione  del  fluido  che  gli  sovrasta.  Ora  al 
colmo  del  fluido  essendo  zero  quest' altezza  c,  ed  ivi  il 
fluido  essendo  pure  urtato,  o  premuto  dal  parallelepi- 
pedo  con  velocita  a,  che  e  quanto  dire,  die  dove  c 
zero  la  f,a  continua  a  ritenere  un  valore  finito,  non 
si    potra   giaminai  suj)porre  clie  nel  colmo  del  fluido 

possa  essere  N/t=— -m,  poiche   allora    una  quantita 

picciolissima  ,  o  zero  dovrebbe  essere  uguale  ad  una 
quantita  finita.  IVIa  si  obbiettera  forseda  taluno  essere 

pure  verissimo  che  supposta  w  6 1/ .  ( \/  *  ^-  -  m)'  la  pres- 
sione sopra  un  rettangoletto  della  parte  iininersa  P  c , 
la  qnal  pressione  nel  colmo  dr^bba  essere  zero,  a  ren- 
derla  tale   sia   di    uecessita   che   \/~  divenga    uguale 

a  -'-u. 

La  risposta  e  facilissima.  Secondo  i  principj  di  Juan 

neir  equazioiie  v/~=  — 5  u  il  segno  —  deve    signiGca- 

o 


72  A  V  A  N  Z  I  N  I 

"  -"1 

re  soltanto,  die  a  rendere  zero  la  pressione 

m  b  d e  (^y/  e  -i-  -  u)'  conviene  che  le  due  velocita,  cioe 

quella  dovuta  alia  pressione  della   colonna  dell'  akez- 

za  £  del  fluido,  e  1'  alcra  -  a,  in  luogo  di  avere  dire- 

zioni  opposte  cospirino  entrambe  ad  uno  stesso  scopo, 
ed  una  delle  due  sia  uguale  aU'altra.  In  fatti  egli  e  in- 

dubitato  die  allora  la  velocita  y/  ^  -^  -  u   di  urto   di- 

verrebbeY/T— 5  u,  ed  essendo,  per  ipotesi,  y/T=o  ^* 

la  pressione  sarebbe  zero.  Ora  una  tale  cospirazione 
ed  uguaglianza  si  verifica  bensi,  come  vedremo,  die- 
tro  al  parallelepipedo,  ma  non  giammai  nel  fluido  in- 
nanzi  ad   esso.    3°.  finalmente  che  supposto   pure  che 

nel  colmo  del  fluido  sia,  come  vuole  Juan,y/T=  — «"» 
il  segno  —  annesso  alia  x  a  ben  lontano  dal  dover  in- 

dicare  che  il  punto  F  sia  sopra  P,  dimostra  all' op- 
posto  che  esso  punto  dovrebbe  essere  di  sotto.  In  fat- 

ti  perclie  \/ '  = — ■«  w  potesse  provare  che  il  valore  di 

f  deve  essere  negativo  cioe  sopra  P ,  non  e  egli  evi- 
dente  che  dovrebbe  essere  negativo  non  gia  il  valore 
di  v^  < ,  ma  bensi  qnello  di  <?  Ora  lo  stesso  Juan  tro- 

va  f=  — a',  vale  a  dire  «  positivo;  dunque  essendo- 


dULLA  TEOll.  DELLA  UESIST-DeVlUIDI  D1  Ju AN       yS 

si  preso  i  positivo  disceudendo  da  P,  y/  e  =  —  -u  mo« 

strerebhe  che  e  devesi  prendere  sotto  non  sopra  P. 

Queste  ridessioni  diinostrano  cliiaramenie  clie  dal 
ragionainento  di  Juan  non  pub  dedursi  ne  che  il  flui- 
do  deljlm  innalzarsi,  come  gli  sembra  di  poter  inferi- 
re  dalla  sua  foruiola,  ne  che  dtbba  innalzarsi  all'  al- 

tezza  =  7-  a". 
64 

5 1.  La  verita  di  questa  2'.  conclusione  e  pure  con- 
fermata  irrefragabihnente  dalla  sperienza.  I  sig/'  Alem- 
bert,  Condorcet,  e  Bossut  ne'  loro  classici  sperimenti 
eopra  la  resistenza  de'  fluid i  osservarono  che  1'  altez- 
za,  a  cui  sali  1' acqua  davanti  ai  parallelepipedi  che 
fecero  muovere,  parte  immersi,  e  parte  fuori  del  flui- 
do,  cresceva  aumentando  la  loro  velocita,  e  che  in  pa- 
rita  di  circostauze  si  aumentava  [nire  crescendo  la  lar- 
ghezza  ;  e  per  I'opposto  si  diniinuiva  aumentando  I'  im- 
mersione  .  In  breve,  che  l'  altezza  dell'  intumescen- 
za  e  una  funzione  non  solo  della  velocita,  ma  anche 
dell'immersione  e  larghezza  del  parallelepipedo;  cjuan- 
do,  so  fosse  vero  che  1' altezza  suddetta  dovesse  esse- 

re  espressa  da  —  u'  ,   come   crede   Juan,  sarebbe  una 

04 

funzione  della  sola  velocita. 

52.  Che  una  tale  altezza  non  sia  uguale  ad  -^  u" 

ce  lo  dimostrano  direttamente  i  sperimenti  instituiti  dai 
Roprammentovati  Matematici  sopra  un  parallelepipedo 
di  6  piedi  e  un  pollice  di  lunghezza,  e  19  pollici,  ed  3 
liuee  di  larghezza,  e  riferiti  ai  §§  801,  802,  SoS  dell'I- 
T.  J  I.        P.  IL  JO 


74 


A  V  A  N  2  1  N  I 


N 


tlrodinamica  cli  Bossut.  JNelle  tavole  seguenti  espongo 
il  coiifroiito  delle  altezze  osservate,  e  cli  quelle  che 
dartbbe  la  foiiuola  cli  Juan. 


laimersione  7 

poll.   10  lin 

Mczzi  secondi 

spat  a  pcrcorrcrc 

5o  piedi 

AUezze 

osscnate  del 

labbro 

Altczze 
secondo  Juan 

Dijfcrcnze 

Li  nee 

Li  nee 

Linee 

41    ,    75 

2|    h 

i3 

-111- 

37  ,  »o 

32    I 

16 

-  16  i     ; 

34    ,    75 

38 

19 

-  19 

32  ,  5o 

46 

22 

-  24 

29  ,  90 

5o 

26 

-  24 

II 


Iniinersiorie   12 

poll.  5  i  lii 

1. 

Mczzi   secondi 

sptii  a  perrorrere 

So  piedi 

Altczze 

osservate  del 

labbro 

Altczze 
secondo  Juan 

Differciize 

Linee 

Linee 

Linee 

52  ,  00 

i5 

9 

_    6 

46  ,  o5 

18 

11 

-     7 

42  ,  07 

20  i 

i3 

-    7  i 

37  ,  25 

26 

j6 

—  10 

35  ,   18 

32    i 

'9 

—  i3  I 

jULLATEOR.DELLARESISr.DE'FLUiDIDI  Juan       7$ 


III 


Iminersioiie   i5  poll.    10  liii.                        1] 

Mfzzi    sccoiuli 

sjjc'ii  a  pcrcorrcre 

5o  picdi 

ALtczze 

osscn'dtc  del 

labbro 

Ahezze 
sccondo  Juan 

jDiJfercnzc 

Liiiee 

Linee 

Linee 

5o  ,  7.5 

i5 

9 

-     6 

46  ,  5o 

18 

1 1 

-     7 

41  ,  00 

24 

H 

—  10 

36  ,  5o 

33 

18 

_  i5 

33  ,  69 

39 

21 

-  18 

53.  Una  legirtima  e  immediata  conseguenza  della 
erroneita  dell' altezza  a  cui  secondo  Juan  deve  il  (lui- 
do  elevarsi  innaiizi  al  parallelepipedo  troveretno  la  3* 
ipotesi,  cioe  che  la  pressione  che  il  tluido  innalzato 
esercita  coniro  un  reitangoleuo  6  ch'  della  P F,  (fig.  i'.) 

sia  (§  41 )   mb  dt'  (  —  v/"?  -h  ^  u)" .  Dalla  supposizio- 

ne  che  nelT  equazione  \/  e  =  —  -u  (§  5o),  il  segno  — 

indichi  che  il  pnnto  al  quale  corrisponde  il  valore  di 
*  sia  negative,  cioe  sopra  P,  il  sig.  Juan  deduce  CaJ 
per  corollario,  che  per  deterininare  le  pressioni  del  lluj- 
do  innalzato  non  si  avra  che  a  rendere  negativa  la  v/  « 


(^)  §  ^90  dell'  opera  ciuta. 


76  A  V  A  N  Z  I  N  I 

iiella  formola  m  b  d  ( {\/  >  -»-  ^  a)*  della  pressione  con- 

tro  un  rettangoletto  bd^  della  parte  immprsa  Pc;  e  che 
qiiindi  la  pressione  coiitro  un  rettangoletto  b  d  -'  della 

PF  sara  m  b  d  ^  (  — \^  s' -^  ~  u)' .  Cib  premesso,  non 
essendo  giusta  (§  42,49)  la  formola  mbd^  {\/  e  ■+■  «  ")*» 

da  cui  Juan  fa  nascere  iaimediatamente  ]&  y/ t  =  —  -  iiy 

e  ne  tampoco  essendo  vero  (§  5o)  che  il  segno  —  ab- 
bia  il  sigiuficato  da  esso  supposto,  si  dovra  necessaria- 
meute  coucluudere  che    ueppur    vera,    ne  giusta  potra 

essere  V  espressione  m  b  d  t'  {  —  \/  s'  -^  -^ii)'  . 

'  64.  Con  tutto  cio  ripntai  importantissimo  il  con- 
sultare  anche  so[)ra  di  cio  l'  esperienza  investigamfo 
con  gli  artifizj  dei  §§43  —  48  le  pressioni  sopra  caique 
porzioncelle  della  parte  P  F. 

La  seguente  tavola  presenta  i  risultati,  ed  il  loro 
confronto  con  quelli  della  formola 


m  dbd  i'  {—  y/  e  -^^-u)\ 


sullateok.dellaresist.de'fluididi  Juan    -"i 


Immersione 
12    poll. 


Velocita 
8  piedi  in  4" 


Altezza  dovuta  alia 
velocita    9  lin.  64 


Aliezza  P F  dell'  Ii)tumescenza    i5  li 


nee 


Aucizc  —  i 

Linee 
I  ,  5o 
a  ,  5o 
3  ,  5o 
7  ,  5o 
1 1  ,  5o 


Fiessioni 

dello  spcriincnto 

L 

inee 

12 

,  33 

9 

,  83 

8 

,  33 

4 

,  33 

I 

,  5o 

Frcssioni  delta 
formola  di  Juan 

Linee 

3  ,  60 

2    ,    28 

I  ,  48 
I  ,  04 
O    ,    10 


Diffcrenze 
Linee 

—  8  ,  73 

—  7  '  55 

—  6  ,  85 

—  3  ,  29 

—  o  ,  40 


Da  questa  tavola  si  scorge  cliiaramente  die  I'espe- 
rienza  concorda  peilWtameute  nel  dimostrare  die  an- 
che  la  formola  per  le  pressioiii  contro  P  F  h  e^^ual- 
meute  erroiiea  della  formola  delle  pressioni  contro   P c. 

55.  Passando  poi  allVsaine  della  formola  (t)  (§  /40) 
per  la  pressione  contro  la  parte  posteriore  Qo  ((ig.  T.) 
rilletteremo  prima  di  tntio  die  le  ipoiesi,  dalle  quali 
essa  e  dedotta  sono:  1°.  die  la  [)ressiorie  contro  um  rec- 
taiigoletto  mbdi  ddla   o  ^   disiante  dal  livello  Q   di 


f  sia  m  6  c/  ^  ( >/  .  - 1  M )' :  2^  die  il  fluido  si   abbassi 


-S  AVANZINI 

di  tutta  la   Q  E=  j-  it' .  E  in  fatti  integrando  si  avra 

a       6  04 

La  costante  deve  esser  tale  che  fatto  1  =  E  Q  che,  co- 
me si  disse,  secondo  Juan  e  =  —  u' ,  la  pressione  di- 

venga  zero.  Percio  supposta  nell'  equazione  preceden- 

I      a  ,.  m  b  .  li*      ,  , 

te  «  =  —  a    essa  diventa    7 — F"5"'  dimque  la  costan- 

m  b .  u*  •    1-  1  1         IP 

te  =  — -  V — ^-j-  e  quindi  la  pressione  sopra  la  o  £- 

=zmb  {  —  _«cy/j_4_5j^»_  —     u* ) ,  conforme 
a      6        "  64  6  .  64 

perfettaniente  alia  formula  (t'). 

56.  Per  cio   che   risgnarda  la  i'  ipotesi  si   consi- 
derera  che  la  pressione  contro  il  rettangoletto  bd^  non 

potra  certamente  essere  misurata  da  mbcU{y/  ^  —  -u)' 

a  meno  che  non  fosse  vero  1".  che  dietro  al  paralle- 
lepipedo  il  fluido  non  avesse  altra  velocita  se  non  quel- 
la  di  tendenza  contro  la  faccia  posteriore  cagionata 
dalla  pressione  del  fluido  sopraincombente,  e  che  in 
oltre   la  funzione    esprimente  la   pressione   mentovata 

avesse  ad  essere  il  quadratoJi    \/7—  ^  u  piuttosto  che 


SULLA  TEOK.DnLT.A  RESIST.  DE'fLTJI  DID  I  JuAN      79 

qnalche  altra  funzione.  Ora  ponendo  attenzione  al  mo- 
to  che  coricepisce  il  lluido  dietro  al  parallelepipedo  si 
osserva  ch'  esso  e  ben  diderente  dal  rriDto  iminagina- 
to  da  Juan;  conchiudtreino  quindi  che  ben  diHerente 
dalla  vera  dovra  essere  aiiclie  la  foraiola  ch'  egli  ne 
porge  della  pressione. 

57.  Intorno  a  questa  importaiiiissima  conseguenza 
vpgglamo  ora  cosa  ne  dica  lo  speriinento.  Posto  il  si- 
foiie  iir  tanti  forami  aperti  nella  faccia  posteriore  del- 
la  cassetta  gc,  (fig.  5'),  lutigo  la  linea  che  diinezzava 
la  faccia  stessa  verticalmente,  e  mossa  la  casseita  co- 
me iiegli  speriinenti  del  §  ^i^  si  trovo  che  il  galleg- 
giante  ac  (fig.  6'.),  in  luogo  di  salire  discendeva  ri- 
nmnendo  pure  costantemente  senza  oscillare  alia  stes- 
sa altezza  in  tutto  il  tempo  in  cui  la  cassetta  percor- 
reva  uniformeinente  i  20  piedi.  Applicando  a  questo 
caso  il  ragionamento  del  §  ^6,  si  raccogliera  che  la 
pressione  contro  una  porzioiicella  della  faccia  posterio- 
re della  cassetta  uguale  a  qiiella  dell' area  o  del  sifoue 
deve  essere  misurata  dal  peso  d'una  colonna  di  lluido 
che  ha  per  base  1' area  sopraddetta,  e  per  altezza  T  al- 
tezza a  cui  si  sostiene  il  lluido  nel  braccio  n  m.  Mi- 
surata con  r  artifizio  del  §  47  una  tale  altezza  si  eb- 
bero  per  le  pressioni  contro  dieci  porzioncelle  della 
faccia  posteriore  i  valori  espressi  nelle  tavole  feeguenti, 
le  quali  offrono  pure  i  valori  della  formula  di  Juan. 


8o 


A  V  A  K  Z  I  N  I 


Imrnersione 

Velocita 

Altezza  dovuta  alia 

12  poll. 

1^  piedi  in  i" 

velocita.  2 

lin.   17 

Altezzc  t 

Pressioni 

Pressioni 

Dijferenze 

dello 

della  formula 

speninento 

di  Juan 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

1 3a 

1 3 1  ,90 

100  ,  40 

—  3i  ,  5o 

1 20 

119  ,  84 

89  ,  93 

—  29  ,  91 

108 

107  ,  84 

79.57 

-  28  ,  27 

96 

95  ,  84 

69,17 

—  26  ,  67 

84 

83  ,  84 

58,17 

—  25  ,  67 

72 

71  ,84 

49'  17 

—  22  ,  67 

60 

59,  86 

59,37 

—  20  ,  49 

48 

47,88 

29.77 

—  18  ,  11 

36 

35  ,  90 

20  ,57 

-  i5,33 

24 

23  ,  95 

II  .77 

-  12  ,  18 

SULLA TEOU.DELLAIlESIST.DE'rLUIDl  DjJtJAN      8l 


II 


Immersione 

Velocita 

Altezza  dovuta  alia 

12  poll. 

!  piedi  in  i" 

velocita  4  ] 

in.,  40 

Akezza  e 

Pressioni  dello 
sperimemo 

Pressioni 
della  formola 

Differenze 

di  Juan 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

l32 

i3i  ,  10 

88  ,  24 

—  42  ,  86 

120 

118  ,  80 

78  ,  40 

—  40  ,  40 

ic8 

ix)6  ,  80 

68  ,80 

—  S8  ,  00 

96 

94  '  80 

59  ,  20 

—  35  ,  60 

84 

8i2  ,  5o 

5o  ,  00 

—  32  ,  5c 

72 

70  ,  5o 

40  ,  80 

—  29  ,  7c 

60 

59  ,  00 

32  ,  00 

—  27  ,  CO 

48 

47  •>  10 

23  ,  20 

—  23  ,  90 

36 

35  ,  5o 

i5  ,  20 

—  20  ,  3o 

24 

23  ,  60 

7,80 

_  i5  ,  80 

T.  II.        P.  II 


11 


82 


A  V  A  N  K  I  N  1 


III 


Imrnersione 
12  poll. 


Velocita 
t:  piedi  in  i" 


Altezza  dovuta  alia 
veluciia.  5  lin.  36 


Alcezza  e 


Li  nee 

1 5:2 
I20 

io8 
96 

8| 

72 
60 
48 
56 

24 


Prcssione 

dello 
sperinicnto 

Li  nee 

i3i  ,  20 
119,  10 
107  ,  10 
95  ,  10 
82  ,  90 
70  ,  90 
59  ,  00 

47  .CO 
35  ,  10 

23  ,  60 


Press!  one 

dcUa  fonnula 

di  Juan 

Linee 

84  ,21 

74  ■>  16 
65,56 
55  ,  96 
46  ,96 
38  ,06 
29  ,  5o 
21  ,  36 
1 3  ,  5o 
6  ,  70 


Dif 


erenze 


Linee 

•  46  ,  99 

■  44  ■>  94 
■41  ,  5^ 

■  39  ,  14 

■  35  ,  9+ 

-  33  ,  84 

■  29  ,  5o ; 

-  25  ,  64 
-21  ,60 

•  1 6  ,  90 


SULLA  TEOR.DELLA  RESIST.  Ul' FLU  11)1  Dl  JuAN      83 

Facendo  considerazione  alle  differenze  tanto  sen- 
sibili  tra  le  pressioiii  dello  sperimento,  e  della  formu- 
la di  Juan,  dovra  ognuno  rimaiiere  convinto  ch'  essa 
€  ugualmente  inesatta  e  inammissibile  come  quella  dal- 
le pressioni  anteriori. 

58.  JNiente  meno  viziosa  ritroveremo  la  seconda 
ipotesi,  cioe  che  il  Uuido  si  abbassi  di  tutta  la 

Siipposto  vero  cbe  la  pressione  contro  un  rettan- 
goletto  bde  di  oE  sisi  mb  d^  {>/  e —-u)'  e  indubi- 
tato  cbe  il  fluido  dovrebbe  abbassarsi  di  tutta  1'  akezza 
Q  E  =  —  u  ^  o  piu*  esattarnente  che  il  fluido  dovreb- 
be rinianere  staccato  dalla  faccia  posteriore  di  tutto  il 
tratto  Q  E  =  -r-  .u.  Imperciocche  in  vigore  della  for* 

mull  niedesiina,  e  del  significato  di  \/  e  die  espriine  la 
velocita  dovuta  all' akezza  f  ^  e  manifesto  dovervi  esse- 
re  nn  punto  E  talmente  distante  dal  livello  Q,  che  la 
"velocita  dovuta  alia  pressione  della  colotina  dell'altezza 

Q  E  sla  =  -  u.  Ma  non  potendosi  assolutamente   ara- 

mettere  (§57)  che  la  pressione  contro  il  sopraddetto 
retiangoleito  sia  quale  la  crede  Juan,  non  potreuio  iiep- 

pure  esser  sicuri  che  sia  Q  E  =  ■--  u'. 


«4 


A  V  A  N  Z  I  N  I 


59.  A  persiiadersene  anche  col  fitto  si  esamini 
nella  seuuente  tavola  il  coiitronto  ira  l'  abbassainento 
del  llnulo  rinveuuro  con  e?aiti  e  ri[)ftiiti  sperimenii  su- 
pra la  cassrtta  (fig.  5\)  e  rabbassauieiiio  ricbiesio  dal- 
]a  formula  di  Juan  . 


Iniinersione  della  cassetta   12  poll. 

ydocicti 

ossia    spazj 

pcrcorsi  in   i" 

Abbassarnrnti 
corrispondcnti 

Abbiissamcnd 

secondo  la 

formula  di  Juan 

Differcnze 

Picdi 

Linee 

Linee 

Linee 

3 

4  '  37 

9  ^54 

-+-  5,  17 

I    i 

3  ,  5o 

5  ,36 

-^  I  ,86 

60.  Se  le  pressloni  elementari  coniro  le  due  fac- 
ce  anteriore  e  posteriore  d«'l  parallelepipedo  di  tanto 
si  scostano  dalle  vere,  coine  tiuto  il  fin  qui  detto  con- 
corre  a  porlo  fuor  d'  02;rji  dnbbio,  anrlie  le  pressioni 
totali  (  f  ) ,  (t')  che  il  si*.  Juan  ne  dedus^e  dovranno 
indubitatamente  tenersi  per  tn)ppo  inesaite,  e  perrio 
imperfetta,  e  pericolosa  antbe  la  formula  (i?)  della 
resistenza  (§  39) . 

61.  Ma  potrebbe  a  taluno  insorgere  il  dnbbio  che 
gli  errori  delle  due  forniule  (  -),  { ■^' )  potessero,  sot- 
traendo  1'  una  dalT  altri  per  otteuere  (§40)  la  resi- 
stenza, compensarsi  a  vicen<la,  e  (pnndi  uialgrado  la 
loro  inesattezza  dovessero  somnnnistiare  un   valor  ve- 


SULLA  TEOIl.DELLA  RESIST.De'fLUIDI  D1  JuAN      85 

ro  dflla  resistenza  medrsiraa.  Se  cosi  fosse  e  indubl- 
tafo  (he  la  formula  {/?)  dovrebbe  per  la  resistenza 
iiicoiitrata  da  un  parallelepipedo  moventesi  per  V  a- 
cqua  irafupiilla  porgtre  un  valore  del  lutto,  o  prossi- 
iiiameme  coiiforine  a  qiullo  della  sperienza.  Vegj^iamo 
aduiu|ue  se  si  trovi  veramente  una  tale  corris[)ondenza. 
62.  Senza  iiistituire  a  quest'  og2;etto  nuovi  speri- 
menti  mi  si  vorra  al  certo  accordare  die  a  quest'  uo- 
po  esser  debbano  valevolissimi  quelli  degli  altrove  men- 
zionati  Matematici  francesi,  e  gli  altri  che  due  anni 
dopo  intraprese  il  sig.  Bossut ,  e  riferiti  ai  §§  991, 
10 1 2  della  sua  idrodinamica.  Ecco  il  confronto  delle 
resisteuze  riuvenute  dai  sopra  mentovati  Geometri  con 

quelle  che  porge  la  formula  -„-  (u  e  y/T-t-  ^,  "*  )  . 

Un'  occhiata  sopra  le  enormi  loro  differenze  bastera, 
io  spero,  a  levare  fin  anche  ai  piu  scrupolosi,  e  ai  piu 
aderenti  alia  teoria  di  Juan  qualunque  lusinga  ch'  es- 
sa  dovesse  pure  per  le  addotte  ragioni  ritenersi  alme- 
no  per  probabdnieiue  vera. 


86 


A  V  A  N  Z  1  IJ  I  . 


Lunghezza  del  parallelepipedo  6  piedi   i   poll. 
Larghezza   i8  poll.  8  liii. 

Immersione  7  poll.   10  lin 

• 

JIh'zzi  second i 

spcsi  a  percorrcrc 

5o  piedi 

Resiitcntc 
ilello  spcniucnto 

Resist cnzc  ilella 
Jonnola  di  Juan 

Dilf'ereiizc 

Marchi 

Marchi 

Marclu 

41    ,    75 

16 

88 

-i-    72 

37    ,    80 

20 

96 

-+-    76 

34    ,    75 

24 

104 

-t-    80 

32  ,  5o 

3o 

1 1 1 

-H     81 

29  ,  90 

36 

120 

-H    84              j 

II 


LuiJghezza  e  larghezza  del  parallelepipedo          1 

come  sopra 

1 

Immersione  12  poll.  5  i  lin.                      1 

Mczzi   secondl 

Rciistcnze 

Resistenzc 

Differcnze 

spcsi  n  percorrcrc 
So  picdi 

dcllo  spcrimento 

delta  formula 
di  Juan 

Jlarchi 

Marclu 

JIarchi 

52    ,    00 

16 

i35  1 

-H    119  1 

46  ,  o5 

20 

153  X 

-H  i33§ 

42  ,  07 

24 

168 

-+-  144 

37  ,  25 

3o 

189  i 

H-  i59i 

1       35  ,  18 

35 

200  f 

■+-  i65  3 

SULLA  TEOR.  DELLA  RESIST. De'fLUIDI  DI  JuAN       87 


III 


Luiigliezza  e  larghezza  del   parallelepipedo          | 

come  sopra 
Itnmersioiie   i5  poll,   lo  lir 

1. 

1      Mtzzi    sccondi 
sjjcsi  a  pcrcorrerc 
5o  picdi 

Rciistenze 
dcllo  spcrimento 

Bcsistcnze 

dclla  formola 

di  Juan 

DiJ/ercnze 

March! 

March! 

March! 

5o  ,  75 

20 

201 

-+-    181 

46  ,  5o 

24 

220 

-t-   196 

41  ,  00 

32 

249    3 

-*-217i 

36  ,  5o 

40 

280    ' 

0 

■+■  240  i 

33  ,  69 

40 

3o.5  i 

H-   255   ^ 

I  V 


Lungli 

ezza  del   parallelepipfdo  P'  4               [| 

Larglu'z^a 

2  piedi                                1 

lininersione  2  piedi                                1 

Sicondi 

Rcsistcnze 

Hcsistcnze 

Diffcrenze 

spcn  a  pcrcorrerc 
1)6  piedi 

dcllo  spcrimento 

dclla  formula 
di  Juan 

Libbre 

Libbre 

Libbre 

78    ,    08 

60  -4-  I  ,  8 

149    1 

.+-  88 

57  ,  5i 

110-4-2,5 

202    Ti 

-*-  90  i 

47  ^  44 

160 -t- 2,  5 

245    ^ 

-t-  83  i 

41   .  49 

210-4-2,5 

276 

-<-  64 

37  ,  3a 

^     - 

260-*-  2,5 

314    i 

•*-   52 

88 


AVANZINI 

V 


Lungliezza  del   parallelepipedo  2  piedi 

Larghezza  4  piedi 

Imiiiersione  2  piedi 


Scconiii 

spesi  a  i>crcorrcrc 

72  piedi 


72    ,    00 


Rcsistenza 
lello  speriiuenco 

Libbre 
I  10  -4-  2  ,  5 


Besistcnza 

delta  Jhnuula 

di  Juan 

Libbre 
241 


Dijferenza 
Libbre 

i3i 


63.  Dalla  snpposlzione  delle  facce  anteriore  e  po- 
steriore  del  parallelepipedo  perpendicolari  alia  sua  ba- 
se passando  a  considerarle  inclinate  alia  base  medesi- 
ma  d'  uii  angolo  qualunque  S  vuole  il  sig.  Juan  fa  J, 
che  la  resistenza  che  incontrerebbe  allora  il  parallele- 
pipedo immerso  nel  fluido  fino  alKaltezza  s,e  moven- 
tesi  con  la  velocita  u  orizzontalrnente,  e  in  direzione 
parallela  alia  base  ed  alle  facce  laterali,  sia  espressa 
dalla  formola 


-  m  b  (  u  sin  6  .  s  \/  e 


—      u*  sin*  i 


04' 


) {R') 


Sebbene  non  sia  difficile  a  comprendere  die  non  reg- 
gendo  in  conto  alcuno  la  formola  ch'  egli  adotta  nel 
priino  caso,  non  debba  regf^ere  neppur  quella  del  se- 
cond©, traendola  egli  imrnediatamente  dai  principj  foil- 


(a)  §  640  Examen  Maritime  ec. 


STTLLATEOlLUIiLLA  RESIST.  1>l'j?LUII)1  Dl  JlTaN      89 

tlamentali  della  prima,  tuttavia  non  sara  inutile  1' ag- 
giungere  aiiche  sopra  tal  foruiola  alcune  osservazioni, 
e  sperieiize. 

64.  La  formula  (/?')  come  la  (7?)  e  pure  fondata 
sopra  cincpie  supposizioiii 

La  i\  c  the  la  pressione  sopra  un  dififerenzio-differen- 
ziale   (/  b  .  d  i   della  faccia  immersa  anteriore  sia 

mdb.de  (  y/  t  -f-  -  «  5i«  9  )*  . 

8 

La  2*.  che  il  fluido  s'inalzi  davanti  al  parallelepipedo 
della  quantita  *  =  7^  "'  "^'^'  ^  • 

La  3".  che  la  pressione  sopra  im  diff'erenzlo-differen- 
ziale  della  faccia  col  pita  dal  Huido  che  s'  inalza  si«i 

mdb.de   {-*-\/e-^-ux'm^)'. 

8 

La  4".  che  la  pressione   sopra  un   diflferenzio-differen- 

ziale  della  faccia  posteriore  sia 

VI  d  b  .  d  i   [y/  i  —  -usin^y, 

o 

La  S*.  fmalmente  che  dietro  al  parallelepipedo  il  fluido 

si  abhassi    sotio  il   h'vello    di  «  =  7-  ^   s'm"  9  .  Li    fatti 

eseguite  le  necessarie  integrazioni  di  tali  formule,  e 
sottratio  dairii>tegrale  compleio  delle  pressioni  elemen- 
tari  anteriori  1'  integrale  completo  delle  pressioni  ele- 
mentari  posteriori,  si  trova  che  la  resistenza  del  fluido 
e  per  aj)punto  espressa  dalla  formola  (./?'). 

05.  Quanto  alia  prima  ipotesi  si  osservera,  che  il 
fluido  davdnti  al  parallelepipedo  a  faccie  inclinate,  ron- 
cepisce  \^x\  moto  simile  a  quello   del  fluido   davanti  ai 

T.  IL        p.  IL  12 


C}G  A  V  A   N  Z  I  N  I 

parallolepipedo  a  faccie  perppiidicolari,  e  descritto  al 
§  42,  vale  a  dire  the  siif)j)c)sto  gc  (fig.  11")  il  pro- 
lllo  del  parallelepipedo,  xz  i\  livello  del  lluiilo,  il  llui- 
do  itmanzi  alia  taccia  «c  movesi  per  le  curve  ►«',  i^  c, 
ec,  die  la  velocita  per  e  c  cresce  in  parita  di  circo- 
stanze  quanto  e  piii  acuto  I'  angolo  delle  facce  arite- 
riori,  e  a  misiira  che  il  (Inido  si  accosta  all' estreiuita 
inferiore  c,  il  che  e  del  pari  conforme  ai  princlpj  teo- 
retici  acceiinati  al  §  10  del  la  Mem'.  ■2\  Nuove  ricer- 
che  ec.  Dnnque  il  (luido  iiinaozi  al  parallelepipedo 
avra,  okre  le  velocita  virtuali  ^/T,  a,  anthe  la  veloci- 
ta reale  per  le  curve  suddette,  e  percio  la  pressione 
non  potra  essere  giustatnente  determiuata  dalla  formola 

m  d  b  .  d  i  (  v/  £  H —  u  sin  hV  . 

66.  Che  la  formola  sressa  dissenta  moltissimo  dalla 
vera,  e  compiutamente  dimo>trato  anche  dalla  sperienza. 

Eseguiie  cogli  artifizj  dei  §§  4^....  48  sopra  le 
tre  cassette  (fig.  7'.  8'.  9".)  delle  quali  la  prima  avea  la 
faccia  anteriore  e  posteriore  inclinata  alia  base  oc  pro- 
lungata,  o  alia  direzione  del  mo  to,  sotto  Tangolo  dcZ 
di  67°.,  la  2*.  di  45°.,  la  l\  di  23". 

A  rendere  piu  sicuro  il  moto  orizzontale  di  tali 
cassette,©  parallelepi[)edi,  ritrovai  giovevolissimo,  ch'es- 
se  foss'TO  unite  ai  sostegiii  C Fe  (fig.  10'.)  dop[»j  dei 
sostegui  cF  (fig.  4'.)  della  cassetta  eg  (fig.  5'.)  a  fac- 
ce normali  alia   base. 

Irisultati  di  tali  sperienze,  siccome  pure  i  corrispon- 

denti.  calcolati  con  la  formola  m  d b .  d f  {\/  e  -{-  -  u  sinh )" 

o 

80110  registrati   nelle  quattro  seguenti  Tavole. 


SULLA  TEOU.DELLA  RESIsT.DeVlUIDI  DI  JuaN       9I 


IiiiriKMsione 
■12.  pollici 

Aiigolo  9 
07°. 

V("locitu  8  j)i<'<Ji 
in  3"  ,  io"' 

Altczza  dovula 

alia  vclucita 

i3,74 

AUczzc  t 

Premoni 
dcllo  spcruncnto 

Frcssioni  ilclla 
j  ormolu 

Differciize 

Linee 

Li  nee 

Linee 

Linee 

i3o 

i36  ,  00 

219    ,    45 

H-  83  ,  45 

100 

1 10  ,  00 

179  ,  88 

-+-  69  ,  S8 

91 

io3  ,00 

167  ,  74 

-+-  64  ,  74 

39 

5 1  ,  5o 

93  ,   25 

-t-  41  ,  75 

iO 

24    ,  -00 

43    ,    22 

^    9  ,  22 

1 1 


Immoisione 

Atifjolo  fl 

Velocita  H  piedi 

Altezza  dovuta 

12,  pollici 

45°. 

in  4^ 

alia  velocita 
9  ,  54  linee 

Attezzc  I 

Fresuoni 
dello  speriokento 

Prcssloni 
dellu  fonnola 

Differ  enzc 

Linee 

Linee 

Linee 

Liriee 

1 33 

l32  ,  90 

188    ,    14 

H-  55  ,  24 

108 

III    ,75 

i58  ,   16 

-+-  46   ,  41 

78 

82  ,  5b 

121  ,  34 

-+-  38  ,  84 

54 

59  ,  70 

90  ,  86 

-H    3l    ,    II 

24 

30     ;,     5o 

5o  ,   16 

-t-  19  ,  66 

92 


A  V  A  N  Z  I  N  I 


I  II 


Iiiiiuersioiie 

Antrolo  9 

)«?locita  8  piedi 

Altezza  dovuta 

i:i  pollici 

1 

2.3". 

in  5" 

alia  velocita 
6  ,  ca  liii. 

Alcczzc  I 

Prcssioni 
dellospenmento 

Prcsiioiii 
delta  formola 

Di^crenze 

Linee 

Linoc 

Linee 

Linee 

129 

127  ,  5o 

i5i  ,  5i 

-<-  24  ,  01 

112 

112    ,    00 

i33  ,  02 

-H  21   ,02 

84 

84  ,  25 

102  ,  3o 

-H  18  ,  o5 

57 

58  ,  oc 

72  ,  3o 

-H  14  ,  3o 

26 

28  ,  00 

36  ,  5i 

-H    8  ,  5i 

I  V 


Inimersione 
I  a  pollici 

Angolo  6 
a3». 

VelociUi  8  piedi 
in  3"  ,  4a'" 

Altezza  dovuta 
alia  velocita 
u  ,  34  linee 

Alcezze   e 

Pressioni 
dcllo  spcrimento 

Prcssioni    della 
formola 

Differenze 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

129 

127    ,    34 

108   ,    79 

-+-  3i  ,  45 

I  12 

III    ,    75 

1 39  ,  86 

H-  28  ,    II 

84 

84  ,  5o 

108  ,  33 

-f-  23  ,  83 

37 

58  ,  20 

77  '  32 

-H  19  ,  12 

26 

28  ,  5o 

40  ,  22 

__«p — 

-H    I  I    ,  72 

— 

SULLA  TEOR.  DELLA  RESIST.  DE'fLUIDI  m  JuAN       9^ 

Dal  cosi  grande  dissenso  delle  pressioni  della  spe- 
rienza  e  quelle  della  fonnola  si  raccogliera  ch'essa  sen- 
za  aicun  dubbio  non  esprime  le  vere  pressioni. 

67.  Sopra  la  seconda  ipotesi,  vale  a  dire,  che  il 
fluido  s'inalzi  davanti  al  parallelepipedo  della  quantita 

« =  r-:  "'  ""•"  ^  si   ponno   fare  a  rigore  i  ragionamenti 

del  §  DO,  d'  onde  si  conchiudera  ch'essa  non  e  meno 
erronea  della  prima. 

68.  II  confronto  ch'  io  present©  degli  innalzamen- 
ti  osservati  nelle  mie  sperienze  coi  calcolati    mediante 

la  formola  —  «"  sin'  9  ci  rendera  certi ,  ch'  essa  e  con- 
64 

tradetta  pienaniente  anche  dal  fatto. 


Angolo  9  —  67^ 

Imniersione 

12  pollici 

Alrczze 

dovutc  alia 

vclocita 

Innalzamenti 
osscivati 

Innalzamenti 
secondo  la  formola 

g^  u'  sin'^  9  . 

Dijferenze 

Li  nee 

Linec 

Linee 

Linee 

i3  ,  74 

16    ,    00 

11    ,    64 

-4,36 

8  ,  45 

10    ,    00 

7  '  01 

-2,  99 

94 


A  V  A  X  Z  I  N  I 


II 


Angolo  i 

—  45^ 

Immersione 

12.  pollici 

Altczze 

doiittc  alia 

velocita 

Innalznmcnci 
ossert'UCi 

Iminlzaincnti 

sccondo  la  furmola 

1  u'  sin'  6 . 

Dl^eicnze 

Lince 

Linee 

Linee 

Linee 

10  ,  86 

12  ,  5o 

5  ,  4.3 

-  7.07 

6,11 

4  '  25 

3  ,  o5 

—   I   ,  20 

III 


Angolo 

9  —  23^ 

Immersione 

12  pollici 

Alcezze 

doiute  alia 

velocita 

lunalzamcnti 
osiervati 

Jnnalzamcnti 

sccondo  la  forniola 

1  u*  sill'  6 

Differcnzc 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

14    ,    45 

l5    ,    00 

2    ,    20 

—   12  ,  80 

5  ,  54 

1  1    ,    00 

I    ,    45 

—  10  ,  55 

69.  Dai  ragionamenti  del  §  53  s'inferira  non  po- 
tersi  assumere  per  vera  neppure  la  V.  ipotesi,  cioe  die 
la   pressione    sopra    un    dilTerenzio-differenziale   della 


SULLA  TEOIl.  DELLA  RESIST.  De'fLUIDI  DI  JuAX      qS 

porzione   della   facciu   colpita   dal   lluido   clie    s'  innal- 
za,   sia  , 


r—       r 


mdb.de  {—  \/  i  -i —  u  sin6)*. 

70.  A  rinforzare  vie  maggiormente  la  giustezza  di 
tale  conclusioiie  presento  le  grandi  disparita  rinvenute 
tra  le  pressioiii  della  formola,  e  quelle  raccolte  da  e- 
satti  e  ripetuti  sperimenti. 


Immersione  12  poUici 

Velocita  diBpiediin  3", 20'" 

Angolo  a  = 

=  6f. 

Innalzam".  del  fluido  16  lin. 

AUezzc  —  I 

Picssioni 

Prcssioni 

Diffcrenze 

osservate 

sccondo  la  formola 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

2  ,  00 

l3  ,  00 

3  ,99 

—  9,01 

9  t  5o 

6  ,  00 

0  ,  10 

—  5  ,  90 

12  ,  CO 

3  ,  00 

0  ,  o3 

-2  ,97 

96 


A  V  A  N  Z  I  N  I 


II 


Iinmersione  12  pollici 

Velocita  8  piedi  in  4" 

Angolo  9  = 

=  45^ 

111113123111°.  del  lluido  1 1  lin. 

AUeizc  —  t 

Frcisioni 
osscivutc 

Picsuoni 
secondo  la  formola 

Dijlrenze 

Litiee 

Linee 

Linee 

Linee 

3  ,  00 

8  ,  00 

0  ,  20 

-7  ,  80 

5  ,  00 

3  ,  5o 

0  ,  00 

_  3  ,  5o 

8  ,  00 

3  ,  CO 

0 ,  42 

-2,  58 

III 


■^ 

Iinmersione  12  pollici 

Velociia8piediin3",  i5"' 

Angolo  9  =  23°. 

Innalzam".  del  fluido  i5  lin. 

j'lkczzc  —  i 
Linee 

3  ,  5o 
5  ,  00 

II  ,  7^ 

Piessioni 
usscrvate 

Linee 

8  ,  00 

6,75 
1  ,  5o 

Prcssiuni 
sccondo  la  formola 

Linee 
0  ,    14 

0  ,  56 

3,77 

JDiffcienze 
Linee 

-  7  '  86 

—  6  ,  1.9 
-H2  ,  27 

SULLA  TEOR.  DELLA  ULSIST.  Dt'  FLUIOI  1)1  JuAN      97 

71.  Per  cio  clie  risguarda  la  qiiarta  ipotesi,  cioe 
die  la  pressione  sopra  iin  dineren/.io-dillerenziale  del- 
la  faccia  posteriore  del  Huido  sia 

m  d  0  .  d  e  {y/  e  —  ^  u  sin  a  Y  osserveremo  che  come   riel 

caso  delle  faccie  del  parallelepipedo  normali  alia  ba- 
se, cosi  nelle.  obblique,  il  Huido  olire   le  velocita  vir- 

tuali    y/  f ,  o  M  concepisce  un  moto  reale  simile  afTat- 

to  a  quello  clie  concepisce  dietro  ad  una  lamina  ob- 
bliqua,  e  descritto  al  §  ii;  mexn.  2\  JYuove  ricerche  ec. 
cli'  e  quanto  dire  che  il  (luido  da}  punto  £  (fig.  ii'.), 
dove  si  e  abbassato,  si  muove  verso  1'  estremita  iufe- 
riore  h,  e  con  tanto  maggiore  velocita  quanto  e  rni- 
nore  I'angolo  Ehc.  Quindi  pel  §  65  la  pressione  so- 
pra un  difFerenzio-differenziale  di   Ek  non  potra  es- 

sere  rappresentata  da  mdb  .  d  i{s/  e  —  -usin^)'. 

72.  Finalmente  consultando  le  differenze  contenu- 
te  nelle  seguenti  tavole  tra  le  pressioni  dell'  esperi- 
mento  e  quelle  della  forniola  saremo  convinti  che  es- 
fia  non  conviene  per  niente  con  la  vera. 


T.  IL        P.  II.  i3 


90 


A  V  A  N  Z  1  N  I 


JinilKMSIOlie 

Aii"olo  6 

Velocitii  8  piedi 

Altrzze  dovule 

10,  j)olli(:i 

07". 

in  3"  ,  ao"' 

alia  velocitu 
1 3,74  lin. 

Altczzc  t 

Frciiioiii 

Prcsiioni 

Dijferenze 

dclLo  spcrimcnto 

dclla  furinola 

Li  nee 

Li  nee 

Linee 

Linee 

i3o 

126  ,  33   ! 

65  ,  83 

—  62  ,  5o 

100 

95   ,   25 

43  ,  40 

-  5l   ,  85 

91 

87  ,  00 

37  ,  55 

-  49  '  45 

39 

36  ,  00 

8  ,  02 

-  27 ,  98 

10 

7  »  00 

0  ,  06 

-  6,94 

. 

II 

Imniersione 

Angolo  6 

Velocitu  8  piedi 

Altezze  dovute 

lii  pollici 

45". 

in  4" 

alia  velocita 
9»54 

AUczze  t 

Pressioni 

Pressioni    della 

Dijferenze 

dcllo  sperlmento 

formola 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

i33 

129  ,  5o 

87    ,    29 

—  42  ,  21 

108 

104    ,    67 

67    ,    37 

—  37  ,  3o 

78 

73    ,    75 

44  '  19 

—  29  ,  56 

54 

49  ,  00 

26    ,    67 

—  22  ,  33 

24 

19  ,  00 

7  ,  37 

—  1 1  ,  63 

SULLA  Tj^OU.I>ELLAI<£SIST.»E'rLUiI)IDjJrjAN      99 


III 


ZK>-  cl.fferenz,ah  della  facda  posteriore  del   parallele 
pipecJo  elalsa,  non  sara  nernmen  vero  (§58)  die  il 

fluido  debba  abbassarsi   ddia  quandta  e  =  Lu^sin^s 

64 

74-  La  grande  imperfezione  anche  di  questa  ipo- 
tesi  e  penamente  dimostrata  dalle  differenze  che  non- 
go  sou  occh.o  tra  i  yeri  abbassamenti,  e  qudli  che 
oitre  la  jpotesi  stessa. 


100 


AvANriNi 


Angolo  fi 

67°. 

Inimeisioiie 

12  ])ollici 

Altczzc 

dovitte  alle 

i'clocita 

Abhassnmcnci 
osscnuti 

Ahbassnmcnri 
sccoudo  la  jonnola 

Diffcixnzc 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

i3  ,74 

4  »  00 

I  I   ,  64 

-H   7,64 

8,45 

I  ,  5o 

7  ■>  01 

-H  5  ,  5i 

II 


Angolo 

6  —  ^5°. 

Immersione 

12  pollici 

AUezze 

dovuie  alia 

velocica 

Abbasianicnli 
Oiservaci 

Abba.isamenti 
secondo  la  Jonnola 

Diffcrcnze 

Linee 

Linee 

Linee 

Linee 

10   ,  86 

4  '  5o 

5  ,  45 

-4-  0  ,  93 

6,11 

2    ,    17 

3  ,  o5 

H-  0  ,  88 

Sulla  teou.  della  ke sist. de'  fluidi  di  Juan  i  o i 


HI 


Angolo  9  —  23°. 

Immersione   12  pollici 

Jllnzze 

dovuCc  alia 

vclocilix 

Liiiee 
14    ,   45 

9  '  ^4 

Jbbassamcnti 
osservati 

Linec 

i3  ,  33 

6  ,  5o 

Abbassamcnti 
secondo  la /ormolu 

Linee 
2    ,    20 
I    ,    45 

■DiJfcreiiLe 

Linee 
—  11    ,   l3 

—    5  ,  o5 

75.  Ora  se  tutte  le  ipotesi  fin  qui  esamlnate  sono 
manlfestamente  contradeue  da  giusti  e  sicuri  ragioiia- 
meiiti  non  meno  che  da  esatte  e  ripetute  sperienze,  e 
manifesto  che  dovra  essere  per  \o  meno  nial  sioura 
la  conseguenza  che  se  ne  trae,  che  vale  quanto  dire 
la  forniola  (7?)  della  resisieiiza. 

Per  assicurarci  poi  ch'essa  e  pure  realmente  assai 
lontana  dalla  vera,  bastera  dare  un'  occhiata  alle  spe- 
rienze  esegnite  sopra  parallelepii)edi  a  prore  e  poppe 
obhhque  dagli  alire  volte  menzionati  matematici  pari- 
gini,  e  alT  articolo  353  degli  eleaienti  d'Idraulica  del 
sig.  Prof.  Venturoli . 

76.  Cosi  noi  potremo  conchiudere  con  siciirezza 
che  le  leggi  tanto  della  resistenza  diretta  che  ob!)li- 
qua  di  paralielepipedi  immersi  in  parte  riel  lluido  rin- 


1  02  A  V  A  N  Z  I  N  I 

vemite  con  la  teoria  di  Juan  sono  assolntamente  da  rl- 
fiiitarsi  del  tutto  e  cio  principalinente  perclie  le  pres- 
sioni  elemeiuari  sulla  faccia  anteriore  e  posteriore  dei 
detti  sol  id  i  noii  voglionsi  esprimere  con  le  forinole 

m  d  b  .  d  e  (v/Tdrlw)',     mdb  .  de  {  v/"^—  lusinby  . 
o  8 

77.  In  una  delle  mie  susseguenti  memorie  Nuove 
ricerche  ec.  vedremo  quali  sieno  le  formula  delle  pres- 
sioni  elementari  piu  consentanee  ai  veri  principj  idro- 
dinamici  ed  alia  sperienza;  intanto  ci  giovera  T  osser- 
vare  die  quand'  anche  potesse  omettersi,  come  si  fa 
da  Juan,  la  velocita  del  iluido  moventesi  lungo  le  due 
facce  del  parallelepipedo,   le    fonnole 

md  b  .  d  i  [e  ±h),      m  db  .  d  e  {e  ±h  siri"  6 )  , 

cir  egli  faj  riprova,  sono  ben  piu  conformi  al  fatto 
delle  sue  propria 

m  d  b  .  d  £  { y/TzL  y/li )  %     mdb  .  d  e  {  y/~  =t  \/~^  ^'^^  ^  )*• 

A  persuadersene  piu  agevolmente,  e  con  raaggiore  e- 
videnza  bastera  che  si  confrontino  col  mezzo  delle  se- 
guenti  tavole  le  differenze  tra  le  pressioni  ottenute 
dalle  sperienze  de'  paragrafi  precedenti,  e  quelle  che 
porgono  le  forraule  sopraccennate . 


(a)  §  O44.  Examen  maritime  ec. 


SULLA  TEOR.  DELL  A  RESIST.  DeVlUIDI  DI  JuAN    I  o3 

Differ  en  ze 
fra  le  pressioni  sperimentall ,  e  delle  formole 

( s  -t-  /O  »  ( \/~-^-  ^  "  )• 


Immersione  12  pollici 

h  —  2  ?  17  linee 

Jltezze 

Differenze  tra  lo  spe- 

Differenze  tra  lo  spe- 

e 

r'un.,  e  [e  -t-  h) 

rim".,  e  (^Th-v/'A)' 

Linee 

Linee 

Linee 

24 

-  I  ,  63 

-H     12    ,    77 

36 

-  I  ,  58 

-*-    16    ,    02 

48 

-  I  ,  43 

H-    18    ,    97 

60 

-  I  ,  33 

-H    21    ,    47 

72 

-  I  ,  33 

-H    23    ,    73 

84 

-  I  ,  33 

-♦-   25   ,   67 

96 

-  I  ,  33 

H-    27    ,    67 

108 

-  I  ,  33 

H-    29    ,    07 

120 

-  I  ,  16 

-+-  3i  ,  24 

l32 

—  0  ,  63 

-t-  33  ,  24 

104 


A  Y  A  N  Z  I  N  I 


II 


Imniersione  12  pollici 

h  —  4  »  40  linee 

Altezze 

Dijfcrenze  tra  lo  spe- 

Differenze  tra  lo  spe- 

t 

nm".j  e  ( « -+-  A ) 

riin.3    €  (y/7-H\/7i)' 

Linee 

Linee 

Linee 

24 

■—  2  ,  10 

-+■  18  ,  5o 

36 

—  2  ,  00 

H-    23    ,    20 

48 

_  I  ,  93 

-4-    27    ,    27 

60 

-  I  ,  85 

-H  3o  ,  65 

72 

-  I  ,  85 

H-  33  ,  75 

84 

-  I  ,  85 

-H  36  ,  55 

96 

-  I  ,  85 

-4-  39  ,  35 

198 

-  I  ,  85 

-t-  41  ,  75 

120 

—  I  J  60 

H-  44  ,  40 

I  32 

-  0  ,  85 

-t-  47  ,  i5 

SULLA  TEOIl.  BELLA  RESIST.  DE*  TLUIDI  DI  JuAN   1  o5 


III 


Immersione  12  pollici 

h  —  5  ,  36  linee 

Ahczze 

Differenze  tra  lo  spe- 

^Differenze  tra  lo  spe- 

6 

rirn'.j  e  ( f  -j-  A ) 

rim'^.j  e  iV  ^  -*-\/  ^Y 

Linee 

Linee 

Linee 

24 

-  3  ,  24 

-t-   19  ,  60 

36 

—  3  ,  14 

-»-  24  ,  46 

48 

-  2  ,  97 

-H  29  ,  o3 

60 

-  2  ,  97 

-4-  33  ,  o3 

7- 

-  2  '  97 

-4-  36  ,  25 

84 

-  2  ,  97 

-^-  39  ,  43 

96 

-  2  ,  97 

-+-  42  ,  43 

108 

—  2  ,  89 

H-    44    ,    87 

120 

-  2  ,  64 

-♦-  48  ,  o5 

l32 

—  0  ,  64 

-+-    52   ,   96 

T.  11. 


P.  I  J. 


14 


J 


io6' 


AVA-NZINl 


Diffcre?ize 
tra  le  pressionl  spcrinieruall  e  delle  formole 


{e-h),  (v/T-i^r 


Idimersione   12  pollici 

h  —  2  ,   17  linee"" 

Altezze 

Differcnze 

Differenze 

e 

tra  lo  sperinf.^  e  la 

tra  lo  spcrini". ,  e  la 

• 

formola  {e  —  h) 

formola  {^yy~e  —y/Tif 

Linee 

Linee 

Linee 

24 

-  2  ,   12 

—  12  ,   18 

36 

—  2  ,  17 

-  i5  ,  33 

48 

—  2  ,  o5 

_  18  ,  II 

60 

—  2  ,  o3 

— •  20  ,  49 

72 

—  2  ,  01 

—  22  ,  67 

84 

•—  2  ,  01 

—  25  ,  67 

96 

•—  2  ,  01 

—  26  ,  67 

108 

—  2  ,  01 

—  28  ,  27 

120 

—  2  ,  01 

-  29  ,  91 

l32 

-  2  ,  07 

-  3i  ,  So 

SULLA  TEOR.  BELLA  RESIST.  DeVlUIDI  D1  JuAN   I07 


II 


Immersione   12  poUici 


/i  =  4  ,  40  linee 


Altezze 


Linee 

24 

36 

48 

60 

72 

84 

96 
108 
120 

l32 


Differenze 

tra  lo  sperlni". ,  e  la 

formola  [e  —  h) 

Linee 

—  4  ,  00 

—  3  ,  90 

—  3  ,  5o 

—  3  ,  40 

—  2  ,  90 

—  2  ,  90 

—  3  ,  20 

—    3    ,    20 

—  B  ,  20 

—  3  ,  5o 


Differenze 

tra  lo  sperim'^.j  e  la 

formola  (y/7—^l^Y 

Linee 

—  i5  ,  80 

—  20  ,  3o 

—  23  ,  90 

—  27  ,  00 

—  29  ,  70 

—  32  ,  5o 

—  35  ,  60 
•—  38  ,  00 

—  40  ,  40 

—  42  ,  86 


io8 


A  V  A  N  Z  I  N  » 


III 


Inimersione   12  poUici 


/i  =r  5  ,  36  linee 


Altezze 


Linee 

34 
36 
48 
60 

72 
84 
96 


108 


120 

l33 


Differenze 

tra  lo  sperim^. ,  e  la 

Jormola  {e  —  h) 


Linee 


4 
4 
4 
4 
4 
4 
4 
4 
4 
4 


96 
46 
36 
36 
a6 
26 
46 
46 
46 
56 


Differenze 
tra  lo  sperbif.,  e 

Linee 

—  16  ,  90 

—  21   ,60 

—  25  ,  64 


29 

32 

35 
39 


5o 
84 
94 
14 


41  ,  54 

44  ■>  94 
46  ,  99 


i^ 


SULLA  TEOK.  DELL  A  RESIST.De'fLUIDI  DI  JuAN    1 09 

Differenze 
tra  le  pressionl  dello  speriniento ,  c  delle  formole 

md  h  .dt  [t  -^  h  sirC  4 )  ,    mdb  .de  [\/  e  -^  -u  sin^Y 


0 

=  67°. 

h  —  i3  ,  74 

AUczze  i 

Di^L-rcnzc  tra  to  sperim''. 

Differenze  tra  to  spertm*. 

e  Id  f ormolu  (t  -t-h  siii^  9  ) 

e  la  /ormolu  (^  i  ■*■  '^  u  sin  6)* 

Linee 

Linee 

Linee 

10 

-  a  ,  36 

■+■       9    ,    22 

39 

—  0  ,  86 

-*-  41   '  7^ 

9« 

—  0  ,  36 

-4-  64  ,  74 

100 

-♦-   1  ,  64 

-+-  69  ,  8« 

i3o 

-♦-  5  ,  64 

-*-  83  ,   ^5 

II 


6 

r  0 

/l   _    9    ,    54 

Altczzc  ( 

Differenze  tra  lo  sperim. 

Di  ffcrenze  tra  lo  spertni. 

c  la  /ormolu  ( t  +  /i  sin'  6  ) 

e  la  /ormolu  (■>/  t  ^  j^  u  sin  i). 

Linee 

Linee 

Linee 

24 

-    I    ,    73 

-+-   19  ,  66 

54 

—    0    ,    98 

-+-  3 1   ,   II 

78 

-+-  0  ,  27 

-*-  38  ,  84 

108 

■+■     1    ,    02 

-+-  ^6  ,  -^l 

113 

-+-    4    ,    87 

-+-    D^   ,   24 

'"■■'  ^— -  "*-^^— — —  T 


no 


AVANZINI 


III 


6    =    23". 

h  —  9  »  54  linee 

AUeMze  i 

Linee 

26 

57 

84 
I  12 

129 

Differcnze  tra  lo  sperim. 
e  la  formola  {t—h  sin'  6 ) 

Linee 

-  0  '  77 
-»-  0  ,  53 

-t-    I    ,    23 

H-     I     ,    98 

-t-  3  ,  39 

Differcnze  tra  lo  sperim. 
e  (V~  —  1 "  sin  6)' 

Linee 

•+■    11    1    72 
-H     19    ,    12 

-t-  23  ,  83 

-  2 8   ,    11 

—  3i  ,  45 

SULLA  TEOIl.  DELLA  RESIST.  De'  FLUIDI  DI  JuAN    I  I  I 

Differenze 
tra  le  pressloni  dello  sperimento  e  delle  formole 

mdb.di{e-~hsin'^),  mdb.de  {\/~7— -  u  sin  6)' 

8 


fl 

-   67'. 

h  —    1 3    ,    74 

AUezze  i 
Linee 

to 

39 

91 
100 

i3o 

Dijferenzc  tra  lo  sperini. 
e    ( I  —  A  sin'  «  ) 

Linee 

-  8  ,  64 

-  8  ,  65 
-7,65 

-  6  ,  90 

-  7  ^  98 

Diffcrcnze  tra  lo  spcrim. 
«  (  V~  —  5  «  sin  %  y 

Linee 

-  6  ,  94 

-  27  ,  98 

-  49  .  45 

-  5i   ,  85 

-  62  ,  5o 

II 


d 

-    45". 

/i   —   9    ,    54 

AUezze  I 

Diffcrcnze  tra  lo  spcrim. 
c   ( t  —  /j  siii^  i  ) 

Diffcrcnze  era  lo  spcrim. 
e  (  V  t  —  g  u  sin  6  )= 

Linee 

Linee 

Linee 

24 

-+-  0  ,  23 

-  II   ,  63 

54 

-+-  0  ,   23 

-  22  ,   33 

78 

—    0    ,    52 

—  29  ,  56 

108 

—  I   ,  44 

•—  37  ,  3o 

ii3 

—  1  »  27                    —  42  ,  21 

113 


A  V  A  N  Z  I  N  I 
III 


9 

-     23°. 

h   —    9    ,    54  linee 

Alcezzc  ( 

Diffcrcnzc  tra  lo  speiiin'. 

Diffcrenzc  tra  lo  spcriiu''. 

c  {(  —  h  sin'  e  ) 

c    (  ^/  t  —  i  u  ija  9  )* 

Liiiee 

Linee 

Linee 

26 

-H  6  ,  54 

—    2  ,  85 

^7 

-+-  6  ,  54 

-     8  ,  77 

84 

-+-  3  ,  54 

—  i5  ,  67 

1 12 

-H  3  ,  34 

—  23  ,  09 

129 

-t-   I  ,  54 

—  22  ,  96 

78.  Un'akra  prova  die  la  formula  mdb.cle[edzh) 
esser  dee  molto  nieno  inesatta  della  forraola 


m 


d b'.  d  t  (\/ e  dz-u)"   si   e   questa:   che   la  resistenza 


a 


otteiiuta  dalla  prima  s'  accosta  assai   piu  a   quella   of- 
fertaci  dagli  sperimenti  che  non  fa  la  resistenza  dedot- 

ta  dalla  seconda.   Per  la.  m db.de {(±  ^u)\3i  resisten- 
za. dovrebbe  essere  ^  mb  a  a    (a)^  ossia  2.  mb  ah.,  e 

per  la  m  db  .  di{\/  i±:  -uY  .,  ^  {ui\/  e  -^  ^  ), 


(a)  §  644.  Opera  citata. 


SULLA  tlor.dellauesist.de'fluididt  Juan    I  IJ 


m  h 


(§  39)1  ossia  "^  {?,  a  >y  ah-i-h^)  siipposta  It  I'akezza 

dovuta  alia  velocita  u.  Dal  confronto  di  queste  resi- 
steiize  con  quelle  degli  sperimenti  del  §  62  risiiltaiio 
le  diderenze  notate  nelle  segueiiti  tavole , 


1              b^f,  p.ed. 

a  —  1%  piedi 

i  Mezzi   1"  spesi 

Differcnze  tra  Ic  rcsistcnze 

Difficrcnze  tra  le  resistenze 

a  pcrcorrere 
5o  piedi 

sperimcntali  ,  e 
2  ni  b  a  h 

spcr'unentali  ,  e 

Marchi 

Marchi 

41   ,  75 
37  ,  80 
34,   75 

32  ,  5o 

8 
10 
II 
10 

72 

76 
80 
81 

29  ,  90 

1 1 

8  + 

II 


r 


3^  piedi 


a 


=  n  P'efJ' 


Mczzi  1"  spesi  Diffcrcnze  tra  le  resistenze 


a  percorrere 
So  piedi 


52  ,  00 
46  ,  o5 

42  ,  07 

37  ,  25 
35  ,^ 

T,  11. 


spcrimentali  ,  e 
a  rah  h 


Marcbi 

8 
II 

i3 
18 

»9 


P.  11. 


Differenze  tra  le  resistenze 
spcrimentali  ,  e 

I '6  a  y/  ah  +  hi) 

3 

Marchi 
119 

i33 

144 
1 59 
i65 

lb 


114 


A  V  A  N  Z  I  N  I 
HI 


b  =  : 

4  piedi             1             a  =  ^  piedi 

Mczzi  i"  spcsi 

a  I'd  comic 

So  piedi 

Diffcrcnze  tra  Ic  icsistcnzc 

spcriniciitali  ,  e 

•2  a  in  b  h 

Diffcicnzc  tra  le  rcsisicnze  , 
spciiinciitdli  ,  c 

Marchi 

]\hn    111 

5o  ,  75 
46  ,  5o 

i3 
i5 

181 
196 

^1  ,  00 
36  ,  5o 
33  ,  69 

19 
24 

27 

2.7      ■ 

a  5. 3 

79.  Per  cio  the  risguarda  gli  speriineiiti  ai  rpiali  il 
sig.  Juan  ap[)oggia  la  sua  leona  in  gent-rale  abbianio  gia 
d»-tto  al  §  6  che  iiitti  resiringonsi  ai  cinqne  accennati 
nel  paragrafo  stesso.  Ora  ve<lreino  che  <la  nessnno  di 
essi  niente  si  pub  al  certo  inlVrire  ne  pro  ne  comro  le 
formole  fin  qui  esaminate,  e  (hegh,  fondato  massima- 
nienre  sui  risultati  di  quei  speriinenti,  crede  di  dover 
adottare  per  vere. 

E  ijriinierainente  e  manifesto  ch'  essi  non  ponno  deci- 
dere  circa  le  formole  delle  pressioni  elenientari,  noa 
essendovene  alcuno  col  quale  siensi  investigate  tali 
pressioni . 

Egli  e  poi  facile  da  conoscere  che  non  ponno  de- 
cidere  nemmeno  della  veriia  o  falsita  delle  furniole 
(/?),   (7?')  della   resistenza. 

Non  i  due  primi,  dei  piani  rpttan'j;()lari  p«!posti 
perpendicolarmente  airazioae  di  due  correuti  d' acqua, 


SULLA  TEOU.DELLA  RESIST.  DL'fLUIDU)!  JuaN      I  iS 

poiche  qiiand'  anche  essi  piani  non  fossero  stati  afl'at- 
to  immersi  neU'accjua,  e  eviclente  die  gli  urti  del  fliii- 
do  potrebbero  non  diflerire  grandemente  da  quelli  del- 
le  Ibrniole  (/?)j  {H')  non  gia  perche  esse  fosser  ve- 
re  ma  solaniente  y^erche  il  solido  losse  un  piano  soc- 
tile,  non  un  parallelepipedo,  e  percbe  fosse  il  lluido 
cbe  si  movesse  contro  il  piano,  e  non  il  piano  contro 
il  lluido,  come  lo  ricliiederebbe  il  caso  cbe  si  esami- 
iia.  h\  faiii  non  poirebbe  essere  cbe  intanto  il  piano 
immerso  a  maggiore  piofondita  nella  corrente  avesse 
incontiata  maggior  resistenza  cbe  immerso  a  profondi- 
ta  minore,  unicamente  percbe  a  maggiore  profondita 
r  acqua  avesse  velocita  maggiore?  JNegli  sperimenti  di 
Juan  non  e  notato  se  la  velocita  della  corrente  siasi 
misurata  misurando  la  velocita  della  superficie,  oppu- 
re  la  velocita  media  delle  due  correnti  d' acqua  urian- 
ti  il  piano  nelle  due  dilferenti  altezze.  Quando  parlero 
della  teoria  di  Juan  relativa  all'  urto  de'  lluidi  discu- 
tero  con  maggiore  dettaglio  i  ragionamenti  faiii  su  ta- 
li sperienze. 

Intanto  rilletteremo  cbe  se  queste  potessero  pro- 
vare  in  favore  della  formola  cbe  risguarJa  la  resisteu- 
za  incontrata  da  un  parallelepi[)edo  moventesi  per  I'a- 
cqua  tranquilla,  a  piu  forte  ragione  dovrebbero  deci- 
dere  in  favore  della  formula  medesima  gli  sperimenti 
del  §  62.  Ora  essendo  questi,  sebbene  eseguiti  nell'a- 
cqua  quieta  e  sopra  parallelepipedi,  contrarj  del  tutto 
alia  formola  sopraddetta,  ne  dedurremo  di  necessaria 
conseguenza  cbe  gli  sperimenti  dei  piani  immersi  nella 
corrente  debbono  essere  insufficienti  per  lo  meno  a  pro 
vare  la  venia  della  formula  inedesnua. 


11 6  A  V  A  N  Z  1  N  I 

Veramente  fa  sorpresa  che  ipotetiche  come  sono 
per  sua  siessa  confessione  (a)  le  f'ormole  di  Juan ,  si 
voglia  da  esso,  e  da  alcuii  altro  geoinetra,  die  lo  spe- 
rinieuto  particolare  de'  piaiii  immersi  nella  correiite 
comprovi  le  forniole  suddette,  e  piu  ancora  sorpiende- 
rebbe  se  qnesto  speriinento  si  volesse  preferire  agli 
sperimenti  da  noi  istituiti  o  citati  che  le  dunostrano 
tanto  loiuane  dalle  vere. 

8o.  lo  certamente  nori  vorro  poi  persuadermi  che 
da  qualcuno  possa  avvisarsi  essere  troppo  in  piccolo  i 
nostri  come  i  sperimenti  de'  matematici  fiancesi,  oiide 
possan  decidere  veramente  contro  la  teoria  di  Juan.  E 
quanto  ai  nostri  mi  restringero  a  far  ridettere  che  ese- 
guiti  in  grande,  ch'e  quanto  dire,  con  parallelepipedi 
che  s'immergono  a  maggiori  altezze  f ,  e  si  muovano 
con  maggiore  velocita  a,  ben  lontani  dal  favorire  la  teo- 
ria del  geometra  spagnuolo  dovrebbero  per  lo  contra- 
rio  mostrarne  piu  decisamente  I'imperfezione .  In  faiti 
considerando  le  tavole  degli  sperimenti  del  §  49  si  ve- 
de  che  le  differenze  tra  i  risultati  della  formola 

mdb.de{\/e -+--7iy  e  quelli   della   sperienza  crescono 

moltissimo  e  regolarmente  crescendo  «,  ed  u. 

Circa  gli  sperimenti  de' matematici  francesi  da  nes- 
suno  ch'io  sappia  si  e  messo  in  dubbio  se  essi  possano 
essere  decisivi  per  cagione  della  loro  picciolezza,  e  fa- 
rebbe  certo  sorpresa  se  questi  sperimenti  fatti  con  tanta 
esattezza,  e  ripetuti  tante  volte,  e  de'quali  non  pochi  '| 
furono  instittriti  -piu  in  grande  di  cjuelli  de'  piani   im-         >} 


(a)  g  6.1.4.  Opera  citaca . 


SULLA  TEOU.  DELLA  RESIST.  Dl'  FLUIDI  1)1  JuAN    1  I  7 

mersi  nella  corrente,  si  volessero  posporre  agli  speri- 
menti  de' piani  medesinii ,  quand'anche  quelli  provas- 
sero  pur  qualche  cosa  in  favore  di  Juan. 

81.  Quanto  al  3°  speriinenio  di  questo  geometra 
consistence  nella  velocita  delle  navi  la  quale,  calcolata 
con  la  sua  formola,  trovo  convenire  con  la  velocita  os- 
servata,  dico  clie  neppur  esso  come  i  due  prinii  puo 
comprovare  la  giustezza  della  sua  teoria  nella  parte  che 
risguarda    il    caso  clie    presentemente    consideriarno  . 

Quando  parlero  della  teoria  di  questo  geometra  re- 
lativa  ai  solidi  dotati  di  una  figura  simile  a  quella  de* 
bastimenti,  vedremo  che  neppure  la  corrispondenza  tra 
la  velocita  delle  navi  calcolata  con  la  sua  formula,  e  la 
velocita  osservata  ,  e  sufficiente  a  dimostrare  ch'  essa 
fornmla  possa  adottarsi  come  vera  almeno  in  questa 
circostanza,  che  sarehbe  delle  piu  importanti. 

Ma  una  tal  prova  sia  pur  anche  se  si  vuole  favore- 
vole  alia  teoria  spettante  alia  resistenza  incontrata  da* 
bastimenti,  dico  ch'essa  poi  non  puo  esserlo  in  alcun 
modo  alia  teoria  medesima  applicata  al  caso  de'  paralle- 
lepipedi.  Tn  f'aiti  non  potrebb'essere  ch'essa  teoria  fosse 
falsa  in  riguardo  ai  parallelepipedi  e  che  gli  errori  ch'es- 
sa contiene  venissero  a  distruggersi  quando  si  applica 
alia  resistenza  incontrata  dalle  navi  dotate  di  una  figu- 
ra  ben  dilTerente  da  quella  de'  parallelepipedi  ? 

82.  Finalmente  per  cio  che  spetta  al  quarto  e  quin- 
to  sperimetito  di  Juan  e  manifesto  ch'essi  appartengono 
a  due  casi  tropj^o  diversi  da  quello  che  si  e  finora  di- 
scusso,  e  che  quindi  non  ponno  assolutamente  addursi 
in  prova  della  veriia  della  formola  spettante  al  caso 
medesimo. 


ii8 


A  V  A  N  Z  I  N  I 


CORREZIONI  E  NOTE 


ad  alcuni  paragrafi  delle  memorie  precedenu 


( I )  Le  due  ultime  tavole  del  §  5  {Osseivazioni , 
e  sperienze  sopra  la  teoria  della  resistenza  de'  Jluidi 
del  slg.  Juan)  si  cangino  nelle  segueuti. 


Pressioni 

Pressioni 

Diffcrenze 

dcllo 

della 

sperimento 

formola 

Linee 

Linee 

Linee 

201 

3 18  ,  07 

ri7 ,  07 

202 

319  ,  24 

117  '  H 

204 

828  ,  96 

124  ,  96 

205 

332  ,  52 

127  ,  53 

222 

387  ,  64 

1 65  ,  64 

225 

599  ,  29 

174  ,  29 

23o 

414  ,  75 

184  ,  75 

232 

4'9  '  74 

187  ,  7^ 

SULLA  THOU.  DELLA  RESIST.  DJe'fLUIDI  D1  JuAN      1  1 9 


Prcssinnl 

ddlo 
spcriniento 

Pressionl 

delta 
formola 

Differcnze 

Linee 

Linee 

Linee 

171  ,  00 

82  ,  84 

-     88  ,   j6 

170  ,95 

80  ,  97 

-     89  ,  98 

i63  ,  95 

59  ,  89 

—  J 04  ,  06 

i5i  ,  00 

40  ,  26 

—  no  ,  74 

I  So  ,  00 

38  ,  71 

_   III   ,29 

(2)  Nel  §  36  della  stessa  meiuoria  in  luogo  del' 
la  espressione 

(i-*-5)  (a;-Hjtt-4-A) : —  I  z  dz  .  u 

7    -^ 

—  {h'  -4-  5') (x  -H «  -H  1^'- A)  -H  ti^  fz'  dz'  .u'   si  legga 
(J-+-B)(a?-+-A)-f-^.jot : — ?  I  z  d  z  .  u 


^\h'-^B')  {x-i-ci  —  h)^b'.^' 


a  .  22 


fz'  dz'  .u' 


e  invece  della  formola  .  .  (aj  si  ponga 

A  {2 h  —  c() -i- b . lA  —  6'./*'—-  ~  '  ^^  (  / z d z . u  —  /z' d z' . u') 


120  A  V  A  N  Z  1  N  I 

(3)  L' eqiiilil)rio  delle  lamine  clie  servlrono  agli 
sperimeiui  della  memoria  i."  Nuove  ricerche  ec.  si  ot- 
tenne  (come  puo  rilevarsi  dal  §  19  di  essa  memoria, 
e  dai  §§  precedenti,  e  successivi)  quando  esse  lamine 
trovavansi  gia  del  tutto  immerse  nel  tliiido.  Di  modo 
die  il  cosi  da  me  deito  centra  di  gravita  dellc  lamine 
era  il  ceiuro  comune  della  loro  gravita  as'soluta,  e  della 
spinta  verticale  del  lluido.  Da  cio,  e  da  quanto  io  fe- 
ci osservare  nella  suddetta  memoria  rendesi  manifesto 
che  nei  sopraccennati  sperimenti  la  spinta  verticale  del 
fliiido  non  poteva  in  alcun  modo  distrarre  daH'  asse 
deir  eqnihbrio  delle  lamine  il  centro  di  resistenza  ad 
esse  opposta  dal  tluido,  e  che  il  principio  da  me  as- 
snnto ,  che  il  centro  di  detta  resistenza  dovea  cadere 
su  I'asse  medesimo  d'equilibrio  e  rigorosamente  e  ge- 
neralmente  vero. 

(4)  Gli  sperimenti  del  §  28  {Osservaziont ,  e  spe- 
rienze  sopra  la  teorui  di  Juan)  si  fecero  in  un  gran 
vaso  d'  acqua  alto  piii  di  cinque  piedi,  e  largo  quattro 
incirca,  cosi  che  si  scorgevano  benissimo  i  moti  del 
pendolo  descritti  nel  medesimo  §  28. 


121 

IVr  E  ]M  O  R  I  A 

SOPRAICRITERJ 

chc  cUstinguono  i  Massimi  dal  Minimi  clelle  Fortnole 
Jntegrali  do p pie. 

Dl       ViNGENZIO       BllUNACCI 

ricevuta  il  di  8  di  Aprile  1801) 


I 


.0  non  so  die  alcuno  siasi  avvisato  di  spingere  le 
dottrine  sopra  i  criterj  che  distinguono  il  inassiino  dal 
miniino,  siiio  alle  lormole  iutegrali  doppie.  Egli  e  ve- 
ro  che  tal  ricerca  e  una  delle  piii  scabrose  iiel  per- 
fezioiiamento  dtiranalisi;  ma  e  altresi  indubitato  che 
essa  e  iinportantissima  per  la  determinazioue  di  quel- 
le siiperticie,  le  quali  goder  debboiio  di  una  certa 
proprieta  di  massiuio  e  di  iniiiiuio. 

Per  cio  che    riguarda  le   t'ormole   inregrali    sem- 

plici    Legeudre    il  primo  ne  asseguo  i  criterj    (i).  lli- 

prese  a    tratcare   ([uesta   dottriua    il    Lagrange   ed    al- 

cune  condi/ioni  aggiunse  alle  tbrmole  del   primo  (2). 

In  seguito  (3)    io    niosirai   come    Legeudre,    ira- 


(1)  Alii  dcir  Ace.  R.  di  Fiaiicia  del   1780. 

(2)  Teoria  delle  Funz.  Aiuilii. 

(3)  Atii  dcir  1st.  Naz    Ft^l.  Toui.  I.  i\  II. 

Tom.  J  I.     P.  IL  16 


122  B    U 


U    N    A    C    C    I 


sciiraiulo  alcnnl  termini  dilVerenziali  del  secondo  or- 
diiie,  clie  ei  doveva  apprezzare,  si  era  iiigaiinato  in 
una  certa  classe  di  casi,  e  corressi  le  di  lui  formole. 
Ora  mi  propongo  in  questa  memoria  d'  indagare 
i  crircrj  per  distinguere  il  massimo  dal  minimo  delle 
formole  integrali  doppie,  cioc  di  J  f"^  d  x  d  y,  e  co- 
si  di  portare  un  cjualche  avanzamento  nella  dottrina 
generale  dei  massimi  e  dei  minimi,  (i) 

Onde  poi  riesca  pin  semplice  la  lettura'di  que- 
Pto  scritto,  incominciero  a  trattare  di  nuovo  le  teo- 
rie  soj)ra  i  cricerj  degli  integrali  semplici,  per  cosi  tar- 
mi  straila  a  qnelle,  clie  sono  Toggeito  della  memoria. 
§.  I.  Essendo  ^  una  fnnzione  di  x  ,  y,  si  diman- 
di  qnal  relazione  esister  debbe  tra  quelle  due  varia- 
bili,  onde  f^vdx  riceva  un  valor  massimo  o  minimo 
estendendo  T  integrale  da  x  =  a  siao  ad  x  =  6;  e 
quale  debbe  essere  il  criterio  per  distinguere  il  mas- 
simo dal   minimo. 

Se  noi    iudicbiamo   per  w  una    qnantita    qualun- 
que  indeterminata  fnnzione  di  .«,/,  le  leorie  spiegate 
nel  cap.   16.  del  mio  corso  di   cal.    sublime  ci   danno 

r  equazione  (y— )  =  o  per   stabilire   quella   relazione 

tra  X  ed  y. 

Le    stesse    poi   ci    dicono   che    per    distinguere    il 
massimo  dal  minimo  coaviene  esaminare  se  Tintegra- 


w'  ( -7— t)  d  X   esteso  tra  i  limiti  x  =  a,   x  =  b   e 

a  r  ' 


(i)  Questa  dottrina  generale  di  massimi  e  (niniiiii  h  auche  cotiosciuta 
sotto  jl  titolo  di  Calcolo  delle  Variazloni. 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGl' INTEGRALI  DOPI'J      123 

una  qunntlti  positiva  o  negatlva:  se  e  positlva  la  for- 
mola  f'i'dx  e  minima;  e  iiel  caso  diverso  e  massima. 
Ora  nel  liiogo  citato  si  dimostra  questo  Teorema 
„  L'  integrale  f  f  (x)  d  x  esteso  tra  i  liiniti  x  =  a, 
„  x  =  b,  essendo  b  >  a  ii  seinpre  una  qiiantita  posi- 
„  tiva  se  tale  sempre  si  conserva  / (r)  per  tutti  i  va- 
„  lori  possibili  die  ponno  darsi  ad  x  compresi  tra 
„  X  =  n  ,  X  =  6,  purche  pero  nessuno  di  qiiesti  va- 
„  lori   renda    infiniti    alcuiii   dei   coeflicieriti    differen- 

„  ziali  (7-)  1  (7-4)?  ec;  ovvero  e   negativa  se   quei 

„  valori  sono  tutti  negativi. 

0)'  (  -J— J )  d  X  esteso   tra    i 
limiti  .r  =  a  ,  X  =  6  e  positive,  se  la  quantita  (7—1  ) 

e  positiva  per  tutti  i  valori  di  x  tra  i  limiti  a  ,  b;  e 
negativo  se  quella  quantita  c  negativa  per  gli  stessi 
valori;  dunque  la  relazione  tra  x,y  condurra  al  mas- 

simo  o  minimo  se  la  quantita  (7— r)  e  negativa  o  po- 
sitiva per  tutti  i  valori  di  x  compresi  tra  x  =  n,x  =  b ■ 
A   questa    condizione    conviene    aggiungere    clie 


d  T 
rappresentando  (7-1)  per  F  (x),  non  sia  infinita  al- 

d  F  d^  F 

cuna  delfe  funzioni  /"(x),  (-7-  )  ,  (7— i)-)  ec.  per  qual- 

(t  X  CL  90 

cheduno  di  quei  valori  di  x. 


(J  y , 


124  B    R    t;    N    A    C    C    I 

§.  2.  Essencio  "¥  una  fiuizione  di  x,y,  {''-)=p, 
il  Cap.  citato  nel    §  ant.  ci  insegna    clie  la   relazione 


dv 


r/T, 


dataci  (Jall'eqiiazione  ( -^    )  --      -  d  (  j—)  =0,    ren- 


dy 


d  X 


dera  I'integrale  f  ^  d  x  massiino  o  rninimo  tra  i  liniiti 
dati  X  =:  a  ,  X  =  6;  e  che  pt^r  distingnere  il  niassiuio 
dal  niininio  conviene  esaniiiiare  se  iiKlipeiideutenieu-« 
te  dal   valore  di  a,  \  iiiteo;rale 


/; 


"^-rz^)-^''''^!-)^  1—1-)  -^   -7-    b-  '     \'^''' 

d y  dx      dydp  dx       dp 


e  una  qnantita  negativa  o  positiva,  esteso  tra  i  liini- 
li  X  =  fl  ,  X  =  6  . 

Indicliianio  per   L  ,  M ^  N  qnei  roefficienti  dif- 
ferenziaii,  e  I'integrale  preadera  la  tbrina 


A 


■ji   L 


^.(i:f)M^Cl^yN\dx. 

d  X  d  X  ' 


Sia  (?  -H  y  f*  quella  porzione  sbavazzata  dal  se- 
gno sonunatorio,  die  [)no  ottenersi  [)t'r  mezzo  delTrf- 
fettiva  integrazione,  ove  C  e  supposto  costaiiit ,  e  ^  iuu- 
zione  di  x. 

Avreino  allora 

/*L'L-H3c-(4^')3/-H(l:')Wj^a;=C-H-.«'-H/7a-'(Z-(^-''))-H 
J    *■  dx  dx         '  y  t  dx 


.{^){3i^u)^{pyN}d^ 

d  X  d  X 


MASSfMI  E  MINIMI  DEGl' IXTEGR\LI  DOPPJ      125 

Dovra  clunque  essere  questo  secondo  membro  una 
cjiiaiuita  lu'gativa  nel  inassimo,  positiva  nel  minimo, 
ebtesa   I'  inteo,razione  tra   i   liiniti  x  =  n  ^  x  =  b  . 

Ptr  (io  (he  riguarda  la  quanfiLa  adeita  dal  se- 
gno integrate,  sara  cjuesta  una  quaniita  positiva,  o 
negaiiva  se  tale  e  la  qnauiiui 

ax  ax  ax 

per  tiirti   i   valori  di  x  compresi  rra  a   e  6. 

Ora  dalla  onlinaria  teoria  dei  massimi  e  dei  mi- 
nimi si   sa  clie  una  quantita   di  qnesta  forma 

ax  ax 

e    positiva    indipendentemente    dai    valori    di    w    e    di 

(  .—  )  se  le  due  quantita  A,C j  sono  quantita  po- 
sitive; e  negativa  se  quelle  sono  negative;  dunque 
qiielP  integrale  sara  una  qnantita  positiva  tra  i  li- 
niiii  X  =  a  ,  X  =  b,  se  le  quantita 

dx'       ,    N 

saranno  positive  per  tiuti  i  valori  possibili  di  x  da 
a-  =  (I  sino  ad  x  =  b;  e  sara  la  snddetta  quantita  in- 
tegrale una  qnantita  negativa,  se  tali  saranno  qneste 
due  idtime  qnantita. 

Prr  soddi^fare  alia  condizione  che  rende  positiva, 
0  negativa  la  secoadd  di  quelle  due  quantita,  uoi  po- 


126  BuUNACGI 

tremo  disporre  dell'  arbitraria  y,  la  quale  potrebbe 
anche  determinarsi  ia  modo  cbe  si  aiimillasse  la  me- 
desima  quaniita.  AUora  il  mdssimo,  o  miuliuo  ci  sa- 
rebbe  dato  dall'  essere  negativa,  o  positiva  la  quan- 

tita  N,  cioe  (  -r-r )  per  tutti  i  valori  di  x  da  x  =  a, 

^  dp   '   *■ 

sino  X  =  b. 

Riguardo  poi  alia  porzione  sbarazzata  dal  segno 
iiitegrale,  cioe  C  -t-  u  w\  estesa  qiiesta  tra  i  limiti 
X  =  a  ,  X  =  b,  o  dcbbe  esser  nulla  tanto  pel  niassi- 
mo  cbe  pel  minimo,  ovvero  positiva  ntl  minimo,  e 
negativa  nel  inassiino.  Indicbiamo  per  ("«')"  il  valo- 
re  di  vu'  al  principio  dell'integrale,  cioe  quaudo  x  =  a, 
ed  avremo  C -♦-  (y  «')''  =  o,  quindi  C  =  —  {"  ^^f  ^  ed 
u  0)*—  (t/  (j')°  sara  allora  quella  quantita.  Estendiamo 
r  integrale  sino  ad  x  =  6,  e  sigiiificbianio  per  {<j  w'y 
il  valore  di  v  w*  in  cjuesto  limite,  ed  avremo  ('  «')'  — 
(yw*)°,  cbe  debbe  essere  o  nulla  tanto  pel  massiino 
die  pel  minimo,  o  negativa  nei  massimo  e  positiva 
nel  minimo,  e  tutto  cio  dando  ad  w  il  valore  cbe  le 
condizioni  del  problema  esigono  nei  limiti  delT  inte- 
grale, o  lasciandolo  indeterminato  se  quelle  condizio- 
ni non  lo  determinano, 

A  tuttc  queste  condizioni  conviene  aggiungere 
che  nessuna  delle  quantita  L  ,  M ,  N ,  i',  ne  dei  lo- 
ro  difTerenziali,  divenga  infinita  per  qualcuno  di  quei 
valori  di  x. 

§.  3.  Essendo  ^  una  funzione  di  x  jy,{—^)=p, 
{-j—i )  =  <2^  se  si  cerca  la  relazione  tra  x  ed  y  onde 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGL  INTEGIlALl  DOPI'J      I27 

r  integrale  f-v  d  x  esteso  tra  i  limit!  x  =  a  ,  x  =  b, 
sia  uu  massiino  o  un  miniino,  si  avra  questa  rela- 
zioiie  dair  iiuegrazione  dell'  eqaazione  dillerenziale 

(        )-        d  {-—)-^—-^d  (  _  )  =  o 
ay         ax         dp  ax  d  q 

Oiule  poi  distiiigiier  si  possa  il  massimo  dal  mi- 
nimo  coiivieiie  esainiuare  se  la  quantita 

dx     dx       d  q  dp  d  X         d  q 

e  negativa  o  positiva 

Scriviaino  cosi  quest'  integrale 


/ 


Sia    C-t-d:«^-4-  0.  ^  u  { -7-)  -^  y  { -J-  y  q^i^ll^  porzione 

sbarazzflta  dal  segno  integrale,  che  puo  ottenersi  con 
Teirettiva  integrazione.  Per  C  indicliiamo  una  costan- 
te,  per  «  ,  |3  ,  ?  funzioni  di  x  da  determinarsi. 
JNoi  avremo  dunque 

dx       I  dx  dx 

[.l/-(^;;)]«v.[i^^-«-(^)]^•('^)H-2(p-/2)«rjl-:)-H 

ax  d  X         dx  dx 


A 

A 


128  BnUNAGCI 

(/  .1'        (I  X  a  X      a  X  a  x        ' 

Poniamo   5  =  ^;   I{~yz=A-,   P -p  =  J";  ()- a /3  - 

rintegrale  del  secoiido  membro  della  superlore  cqua- 
zioiie  prendeni  la  lorma 


/ 


<l  U) 


2  B' <»  {—) -^  C  <o'  Idx. 
ax  ) 


Quest'  integrale  sara  pol  positive  o  negative,  se  la 
qiiaiitita  sotto  il  segno  integrale  sara  positiva  o  ne- 
gativa  per  tiitti  i  valori  possiljili  di  .r,  coinpresi  tra 
i  liiniti   dell'  integrale  x  =  a  ,  x  =  b. 

Le  coiidizioiii   perche  quella   qiiaiitita  sia   positi- 
va  o   negativa    indipendentemeiite   dai   valori   di    w  , 

(,-),(  ,— , )  si  haniio  dalla  ordinaria  teoria  dei  mas- 
dx^      ^ dx  ' 

sum  o  del  minimi;   ponendo '  Z!*  =  ^  —     -;  L' =  B'  — 

A' A"  A"^  L'^  .      . 

— ;— ;  Mz=C -;  X=]\I — — ,  la  indicata  teoria 

A  A  L  * 

ci  dara  y^>o,  Zi>o,^>o,  per  le  condizioni  che 
stabiliscono  l'  essere  positiva  quella  quantita  sotto  il 
segno  integrale;  e  le  inverse  per  T  essere  negativa. 


d'v. 


Se  dunriue  sara  5>o,  ovvero  {-,— ^)>o 
^  a  q 


,    avre- 


I 


3IASSnrT  E  MIXIMJ  DEOL    INTECRALI  DOPTJ      1  29 

ino  il  mliiimo,  piirclie  nello  stesso  tempo  possano  aver 
luoji^t)  le  altre  clue  cotulizioiii  Z/  >  o  ,  X>  o.  VI  sa- 
ra  poi  il  massiino  se  S  <  o ,  purclie  possano  nello 
sresso  tempo  aver  luogo  aaclie  le  altre  due  concUziuiii 
Z<o,    A"  <  o  . 

INulla  abl)iain  detto  sin  <pii  sopra  la  deterinina- 
zione  delle  quaiitita  a  ,  "3  ,  v  ;  ebbene;  dovrau'io  ipie- 
ste  determinarsi  in  tal  modo  clie  si  adem[)iano  le 
condizioni   da   unirsi  a  quella  dataci  da  .S. 

Se  poi  si  volesse  die  dalla  sola  »S  ci  fosse  dato 
il  criteno  per  disiinguere  il  inassimo  dal  minimo,  al- 
lora  dovrenuno  deterniinare  x  ,  li  ,  y  in  tal  guisa   clie 

fosse   L  =:  o  ,  JT  =  o.   Essendo   ^Y  =  M ,-  ,  sara 

31  L  —  L'^  =  o  y  quindi  L'  =  o  .  Le  due  equazioni 
adunque  saranuo 

{N-.-Cil)\S-{ll~y){P-(i)  =  o. 

Ove  si  vede  clie  tre  essendo  le  indeterminate,  e  due 
le  equazioni,  resta  sempre  u\\  indeterminata  al  no- 
stro  arbitrio^  la  (juale  ci  poira  facilitare  di  molto  i 
calcoli. 

Quelle  condizioni  poi  debbono  verifirarsi  per  tnt- 
ta  V  esteusione  deir  integrale,  cioe  per  nuti  i  valori 
da  x  =  b  ad  x  =  a.  E  qui  conviene  pure  osservare 
die  nessuna  delle  quautita  xl/,  zV,  P ^  Q ■,  /^,  5,  ^ ,  ,i,  y 
divenga  inlinita   per  alcuno  di  quei   valori  di  x. 

U.  IL    i\  If.  11 


l3o  C    11    U    N    A    G    G    I 

iapporto  alia  qiiantita  «&•  -f-2«(—  )/3_7/(— ) 


se  noi  la  rapprescnteremo  per  {A)  al  principio  deirin- 
tegrale,  e  per  {B)  alia  fine,  dovremo  avere  (B)  ~ 
(A)  t=  o  pel  massiino  e  pel  miiiimo,  ovvero  del  me- 
desinio  segno  di  5.  A  qneste  condizioni  potremo  sern- 
pre  soddisfare  e  per  mezzo  dei  dati  del  problema  nei 
liniiti  deir  integrale,  e  per  mezzo  dell'  indetermina- 
zione  che  resta   nei  valori  di  «  ^  (3  ,  y. 

E  di  qui  senza  progredire  piii  oltre,  scorgesi  co- 
me ci  dovremmo  regolare  se  la  Funzione  "f  contenes- 
se  anclie  i  coeflicienii   dillerenziali   del  terzo  ordine 

</*  r 
( -T— 3  )  e  dei  siiperiori  . 

§   4.   Veniamo  alia  formole  inr.egrali  doppie . 

Dal  Teorema,  che  noi  abbiamo  riportato  al  §  i, 
dediirre  si   puo  quest'  ahro  . 

„  L' integrale  doppio  f  f  F  {x  ,  y)  d  x  d  y,  (  nei 
„  limiti  del  quale  y  e  una  funzione  di  x)  esteso  rap- 
„  porto  ad  y  da  y  =  u  =  ^  (x)  ad  y  =  /3  =  cp'  {x)^ 
J,  e  rapporto  ad  x  da  x  =  a  ad  x  =  6,  e  sempre  una 
„  cpiantita  posinva,  se  F{x^y)  e  positiva  per  tut- 
„  ti  i  valori  di  y  da  y  =  <p  {x)  =  »  ad  y  =  $'  (x)  =  ^, 
„  posto  /3>«,  daudo  ad  x  tutti  i  valori  possibili  da 
„  X  ■=  a  ad  X  =  b. 

Sia  in  fatti  /F  {x  ,  y)  d  y  =  f{x  ,  }')•  ^^  ^^  P*^^ 
teorema  citato  clie  sara  f  {x  ,  <p'  x)  —  f  {x  ,  <?  x)  una 
quantita  positiva  se  tale  sara  F{x,y)  per  tutti  i 
valori  di  y  da  y  ^  <p  x ,  sino  ad  y  =  <i>' x  conside- 
randosi  x  come  lui  valorc  lisso  e  costante .  Sia 


MASsnn  E  MINIMI  degl'  in tegrali  doppj    i3i 

^x=f{x,cp'x)— f{x,<px),   ed  a viTiiio 
f  d  X  f  F  {x  ^  y)  d  y  =  f  "V  X  .  d  x 

Rappresentaiido  quest' ultimo  integrale  per  rx, 
si  sa  egualmente  che  sara  v  b  —  va  una  quaniita  po- 
sitiva  se  Yx  e  tale  per  tutti  i  valori  possil>ili  da  x  =  a 
slno  ad  x  =  6 .  iNIa  y  x  ovvero  /"( x  ,  <?'  x )  — /( x  ,  c|)  x ) 
e  positivo  per  tutti  quel  valori  di  x  se  per  ciascuno 
di  essi  c  positivo  F{x^y)  dando  ad  y  tutti  i  valo- 
ri possibili  da  y  =  $  x  siao  ad  y  =  $'  x;  duuque  T  b  — 
va  sara  una  quautita  positiva  se  F{x^y)  sara  sein- 
pre  tale  per  tutti  i  valori  che  si  ponno  dare  ad  x  da 
X  =  a  sine  ad  x  =  6,  e  per  tutti  i  valori  simultanei, 
che  si  pouno  dare  ad  y  da  y  =  <j)  x  sino  ad  y  =  $'  x, 
di  modo  che  ad  ogni  valore  di  x  corrisponde  un  nu- 
mero  iufiuito  di  valori  per  y. 

Cosi  fatto  X  =  m,  se  i  due  valori  estremi  della 
y  sono  y  =z  M ,y  =  M\  dobbe  /^(x  ,  y)  essere  una 
cfuautita  positiva  per  tutti  i  valori  di  y  da  y  =  M 
sine  ad  y  =  M'. 

Oltre  questa  condizione,  la  quale  stabilisce  quan- 
do  r  6  —  r  a  e  una  quautita  positiva,  conviene  ag- 
giungere  quest' altra,  die  nessuno  dei  differeuziali  par- 
ziali  di  (pialunque  ordiue  di  F  {x  ,  y)  divenga  iuliui- 
to  per  qualuutjue  di  quei  valori  particolari  di  x  e  di  y. 

Oude  il  valore  di  quest'  integrale  doppio  fosse 
negative,  dovrebbero  essere    tali   tutti    i   valori   di  F 

§  5.  Rappresentando  per  t  una  qualunque  fun- 
zione  di  x  ,  y  ,  z,  si  cerca  la  relazione  che  esser  deb- 
be  tra  queste   tre  variabili,   onde   1'  integrale   doppio 


1 32  B  u  n  N  A.  c  c  I 

f  ff  d  X  d  y  csteso  tra  i  liiniti  ,v  =  a  ,  x  =  ^^ ,  y  =  cj^  ;v, 

'>=^'x,  (livciiga  massiino  o  ininiino,  eel  i  criterj  per 
clistinr>;nere  il   inassimo  dal   nilnimo. 

Supponiamo  die  z  cliven<j;a  z  r*z  i '^  essendo  w  viiia 

qiialimqiie  fmizioiie  in(Ieieni)inara   di  :i, y;    ed  i  una 

costaiue,  cui  si  puo  dare  im  valore  qiiaiito  si  vuol 
piccoIi>simo. 

Per  (jiiesta  supposizioiie  la  nostra  formola  diverra 

yy^  d X d'y±ijy^{  'II) . dx<h H-  '^-ff{'Ll^)/dxdy±  ec. 

Oiide  diinquesiavi  il  niasslmo  od  il  miniino  dovra  esserc 
J  J  ('  ~)  ui  d  X  dy  =  c. 

d  Y 

Quest'  equazione  ci  da   subito  {-?-  )  =  o,  cbe  confer- 

ra  la  relazione  cercata  tra  s  ,  x  ,  y,  onde  quell'  inte- 
.  grale    doppio   sia    massimo  o  minimo.  Sara  poi  niiiii- 

mo  se  la  quantita  f  f  ^^  (  — . )  d  x  d  y   sara    positiva  ; 

massimo  se  negativa:  ora  a-*  essendo  sempre  positivo, 
quest'  integrale  doppio  esteso  tra  quei   liniiti  sara  j)0- 

r/"  ^ 
siiivo  o  negativo  se  lo  sara  il   cotfliciente  (7-7)    P^"^ 

tntti  i  valori  possihili  da  y  =  ?  x  ad  y  =  ^'  x,  om- 
binati  con  tuiti  i  posslbili  da  ,i=rt,  ad  x  =  6;  clun- 
que  il  proposro  integrale  /  /^  d  x  d  y  esteso  tra  quei 
prescritti  limiii,  avra  uu  massimo  o  mluimo  valore  se 
tra    x\y  ^  z    vi   sara    la   rela/ioue    dataci    dall'  equa- 


MA.SSIMI  E  MINIMI  DEGl'  INTECRALI  DOPPJ       I  33 

,  (I  ^ 

zione  (  -)  =  o;  e  sara  iniaiino  se  ridotta  la  <7uan- 
tita  (      ,)  a  non  essere  che  una  fuuzione  cli  x,j  per 

llf  lit 

mezzo  della  sostituzione  di  ;:  dato  per  x  ,  y  sarii  es- 

sa    (7-7J  sempre  positiva  per  tutti  1  valori  da  y  =  4>.'C 

ad  y  ■=  (fi'  .T,  combinati  con  quel  di  x  da  r  =  a  ?ino 
ad    X-  =  6;    sara    poi   inas^imo    per   tutta    la    suddeita 

(V'  f 
esteiisione  se  la  quaiitita   (  v^)  avra   un   valore    ne- 

gativo  . 

A  (]u«"s(a  coiidizione  aggiiignlamo  che  per  alciino 
di  quel  valori  della  y  e  della  x  non  debbe  la  quan- 

tiia  (     -j)   essere   infinita;   e  questa    avvertenza    inten- 

diamo  che  si  al)I)ia  anrora  in  tutti  i  criterj ,  i  qiiali 
daremo  nel  seguito  per  quanto  non  ne  faremo  piii 
parol  a  . 

Se  dando  ad  x  e  ad  y  tutti  i  valori  che  essi  pon- 

.      cV^ 
no  ricevere  entro  i   prescriiti  limiti,  i  valori  di    (^— 1) 

dair  esser  positivi  passeranno  all'  esser  negativi  ,  e 
viceversa ,  allora  in  <[u;'lla  porzione  di  snperficie  da 
noi  cercata,  avra  hiago  ed  il  massimo  ed  il  niininio:  vi 
sara  il  massimo  per  la  p  )rzione  di   superficie  per  cui 

1  valori  di  (-7— r)  sono  negativi,  ed  il  miiiimo.   qnan- 
d  z  ° 

do   quei  valori  sono  positivi . 


1 34  B    U   U   N   A    C    C    I 

Si  dlinandi  per  esempio  1'  equazione  della  super- 
licie  ciirva  per  la  quale  la  lorniola 

w*  /  /  ■ -— ^  d  X  d  y  e  uii  massinio  o  un  mini- 

mo,  siipponendo  che  la  superficle  passi  per  un  coiv 
toriio  disegnato  nello  spazio,  e  die  quella  proprieta 
debba  regiiare  per  tiitta  1'  estensioiie  della  superficie 
conipresa  tra  quel  contoriio,  che  equivale  a  dire,  clie 
r  iiitegrale  debba  estendersi  tra  i  limiti  a:  =  a  ,  x  =  6, 
y  =  $  a:  ,  ^  =  1$'  X  esseudo  questi  dati  dai  massimi  e 
mmimi  valori,  che  ricevouo  le  coordinate  x  ,  y  nella 
projezione  del  contorno  sul  piano  di  quelle  stesse  co- 
ordinate. 

Sara  in  questo  caso  (tralasciando  m*  che  resti- 
tuiremo  alia  line) 

5  \  -I—  ) 1 J  [  - — I  ) 1 —  • 

xyz  dz  xyz  dz  xyz 

Ora  r  equazione  che  ci  da  la  cercata  relazione  e 

(  .-)  =  o;  avrenio  percio  nel   nostro   caso   z^  ~  x^  — 

y*  =  o ,  ovvero  s  =  \/  (-^^  -t-  y*)-  La  superficie  che 
gode  di  questa  proprieta  e  dunque  una  superficie  co- 
nica,  il  cui  vertice  e  nell'  origine  delle  coordinate;  il 
cui  asse  e  lo  stesso  asse  degli  z\  ed  il  cui  lato  fa  un 
angolo  di  4-5    gradi  con  I'asse. 

Siccotne  nell' e([uaziont;  trovata  non  vi  sono  ar- 
Litrarie,  cosi  non  la  possianio  assoggettare  a  passarc 
per  un  dato  contorno  nello  spazio,  quando  questo  non 
sia  tale,  che  le  equazioni  da  cui  e  detenninato  abbia- 


WASSIMI  E  MINIMI  DEGl'  INTEGKALI  DOPPJ      I  35 

no  necessariamente  liiogo  insieme  con  I'equazlone  del- 
la  supeiTicie;  cosi  se  quel  coatorno  p.  e.  fosse  un  cir- 
colo  j)aralIelo  al  piano  degli  x,y,  di  un  ragglo  ugna- 
le  alia  sua  distanza  dal  piano  orizzontale,  allora  la 
superficie  conica  estesa  quanto  bisogna  passera  per 
quel  circolo, 

Suppoiuamo  die  non  sia  prescritto  il  passaggio 
della  superficie  per  quel  contorno,  nia  sia  data  la  di 
lui  projezione  sul  piano  degli  x  ,  y;  siano  dati  cioe 
i  limiti  tra  i  qiiali  estender  si  debbe  1"  integrale;  al- 
lora la  porzione  della  superficie  conica  la  quale  go- 
de  della  voluta  proprieta  sara  quella,  die  sarebbe  in- 
tercettata  da  una  superficie  cilindrica,  il  cui  asse  fos. 
se  paralldo  a  quello  degli  s,  e  la  cui  base  fosse  la 
stessa   projezione. 

11  criterio  oude  distinguere  il  massimo  dal  mini- 

mo  consiste  nell'esaminare  se  la  quantita  (-7—1)  c  po- 
sitiva  o  negativa  tra  i  limiti  dell'  integrale, 

Ora  (  -r-. )  = -r—. 5-,  .    Se  dunque   suppo- 

d  z  '        xy  v  ( ^  -t-  /  ) 

niamo  clie  la  projezione  sul  piano  degli  x  ,  y  sia  un 
triangolo  rettangolo  die  abbia  un  angolo  acuto  nell'o- 
rigine  delle  coordinate,  un  lato  sopra  T  asse  degli  x, 
la  cui  lungliezza  sia  ^,  e  la  tangente  di  queir  ango- 
lo egnale  ad  a,  saranno  j=o^y  =  ax  i  limiti  re- 
lativauienie  ad  y,  ed  .1;  =  o  ,  x  =  6  quei  relativamcn- 
te  ad  X.  Ma  quel  criterio  e  sempre  positivo  per  tut- 
ti  i  valori  di  y  compresi  tra  y  =  o,  ed  y  =  aa\,  dan- 


i36 


J3    U    U    N    A    C    C    I 


do  ad  X'  un  valor  qualunnuo  ira  x  =  o  sine  ad  xrzrb, 
dan(|ue  qufllu  supeiljcie  gode  di  una  j)ropneta  di 
iniiiimo. 

Se  pol  noi  sostituiaino  ii\  quell' integrale  dopplo 
il  valore  di  :;  dato  per  x  e  per  j,  cioc  j3  =  \/(x'  -^  y'' )} 
axreiuo  la  quaniita 

/  /    5:— ^^-^dxdy  la  quale  integrata,  ed  este- 


se  le  iiuegrazioni  tra  quei  prescrltti  liiniti,  sara  uii 
niiiiirno. 

Ill  generale  il  criterio  essendo  sempre  una  quan- 
tita  positiva,  qualmique  valori  diaino  ad  x  e  ad  y, 
purche  sieiio  aiuhi  posiiivi  o  ainbi  negaiivi,  ue  segue 
clie  ipialuuque  porzioiie  di  quella  superlicie  conica 
godera  di  ([uelia  proprieta  di  miniiuo,  se  pel  coutor- 
no  della  di  lei  projezioue  sul  piano  degli  x  ,  y,  que- 
ste  coordinate  saranuo  positive  nello  stesso  tenij)o,  o 
nello  stesso  negative.  Quando  poi  la  porzione  della 
superficie  couica  sara  tale  die  delle  coordinate  del 
coiitorno  della  sua  projezioue  una  sara  positiva  e  Tal- 
tra    negativa,   allora    essa   godra    della    proprieta    del 

niassiino. 

dz 
%    6.  Sia  Y  una  funzioue  di  x  ,  y  ,  s,  e  (— -  )  =  p, 

ax 

e  vogliasi  la  relazione  tra  x,y,s  onde  f  f  ^v  d  x  d  y 
esteso  tra  i  linuti  come  e  detto  sopra ,  sia  massinio 
o  uHuinio,  ed  i  criterj  per  distinguere  il  massinio  dal 
inininio. 

Se  uoi  pouiamo  z  :±.  I  <>>  in  vece  di  ;;  la  nostra 
furiiiola  divcrra 


MASSIMI  E  MIXIMI  DEGl'  INTEGRA  LI  DOl'I'J      ]  3 -7 

Dovra  dunque  csscre 

tra  quei  limiti;  e  tra  quei  medesimi  I'integrale  doppio 

dovra  essere  negativo  nel  massimo  e  positive  nel  mi- 


ll iino. 
Ora 


dunque 

a  z         d  X        dp 

sara  \  ecpiazioiie  die  ci  determinera  la  relazione  cer- 
caca  tra  le   variahili  x  ,  y  ,  c. 

L'lntegrale  poi/^(~)(/y,    (il    quale   dee   ri- 
T.  IL     P.  1 1.  ^'  i8 


lV3  B    U    IT    N    A    C    C    I 

giiartlarsi  come  una  fuiizione  di  x,y,  giacche  vi  dob- 
l)iamo  sostituire  il  valore  di  z  dato  per  x,y)  esieso 
tra  i  liiniti  prescritti,  debbe  esser  nullo  aiicora  esso 
indipendeiiteinente  dal  valore  di  w;  cio  che  otterre- 
nio  per  mezzo  delle  indeterminate  contenute  nel  va- 
lore di  z,  avendo  pero  prima  riguardo  alle  xondizio- 
ni  particolari  del  problema  nei  bmiti  dell'integrale. 

Per  r  altra  condizione  sia  fi^'  ^  d  y  la  qnantita 
che  puo  ottenersi  facendo  un'  integrazione  riguardo 
ad  X,  ed  avrenio,  indicando  per  P  ,  Q  ,  R  le  quantita 

a  z  a  'z  a  p  a  p 

ff>  -JP-^  2  u,{'L^^)Q^{'^^YR  J  dxdy  =  f<.'  CL  dy  -H 

J  J     i  d  X  d  X  d  X  ] 

Ora  I'ordinaria  teoria  dei  massimi  e  minimi  c'in- 
segna  che  la  quantita 

d  X  ax  ax 

e  positiva  o  negativa  se  positive  o   negative   sono  le 

quantita  R  ,  P  —  {  —)  —  '  '  ;   dunque  vi  sara  il 

massimo  se  /?  <  o; 

r.        I  da..         (Q  —  ^X  ^  1-1         •• 

P  —  ( -7— )  —  -^^-= — -  <  o ;  ed  il  mmimo  se 
dx  R 

il>o-,  P--(  )-iX__l  >0. 

dx  ii 


MASSIMI  E  MINIMI  DKGl'iXTEGUM.I  DOI'l'J      1  ^Q 

II  niassimo  ed  il  miniino  sara  iudicato  dul  coef- 

ficiente  (•     -),  e  la  quantita  ^  dovra  detcrminarsi  in 
dp 

modo  che  la  scconda  concii/Jone  combiiii  con  la  pri- 
ma nello  stabilire  il  massiiDo  od  il  iiiiiiimo. 

Qiieste  due  coiidizioiii  debbono  aver  luogo  per 
tutti  i  valori  possihili  delle  variabili  x  ,  y  compresi 
tra  i  lirnici  ad  esse  assegnati  dal  problema. 

Potrebbe  ancbe  deterininarsi  «  onde  fosse 

d  X  R 

ed  allora  il  solo  criterio  /?>o,  ovvero  i?  <  o  ci  di- 
stiiiguera  il  niassimo  dal  minimo. 

A  riguardo  della    cpiantita  /  w'  «  rZ  y,    quest'  in- 
tegrate esteso  tra  i  limiii  prescritti  dovra  indipenden- 
teiiiente  dal   valore  di    w   essere   nullo,   ovvero   nega- 
tive nel  massiino,  e  positivo  nel  minimo,  cio  che  suc- 
cedera    se    sara   ^   una  quantita   negativa ,   o   positiva 
per  tntti   i   valori  posbibili  di  y  tra  i  suoi  liiniti.  An- 
zi   indicando  per  (aw")'  —  ( j;  w* )"  quella  funzione  di 
y  cbe  nasce  dalP  estendere  V  integrale  o*  u  da  uii  li- 
inite  air  altro  dei  valori  di  x  dato  per  y^  se   awi  il 
minimo,  dovra  f  \  ( i:  a-*  )'  —  (  ^  w"  )°  \  d  y  esser  nullo, 
o  una  quantita  positiva,  estendendo  1' integrale  da  an 
limite  all'  altro  della  y;  questo  avverra  se    (  ^  "^^  )'  — 
(a  j'  )"  =  o,  ovvero  una  quantita  positiva  per  tntti  i 
valori  di   y  presi  tra  i  suoi   limiti:  cpiando  poi   vi  fos- 
se il  niassimo  d()vra  essere  (*  w^ )'  —  (»  u'  f  =  o,  ov- 
vero una  quantita  negativa. 


140 


Brunacci 


Qnesta  condizione  debbe  verificarsl  indipendente- 
nieiite  dal  valore  di  f,  aveiido  pero  riguardo  ai  da- 
ti   nei  limiti   dell' integrale. 

Per  es.  Sia   t  =  y/  ( i  -*-  p"  )i   ed  avremo 


(7-)  =  ^  ,  (—  )=  ^^—- 

d  z  dp  V  (  1  -+-/'    ) 


J.  ./{1I)=_Z 

d  X        dp  (  I  ^_  y/  ) : 


d'z. 


e  la  cercata  relazioue  sani  </  =  o,  ovvero  (  ,-^)  =  o, 

dulla    quale   si    ricava    z  =1  x  f  {y)  -^  f  {y)    essendo 
f  1  j'  due  fuiizicjui  arbitrarie  di   y.   Si   ba  poi 


f''^%^'^'=f'' 


f{y)  'ly 


V[  '  -+-/(/)'  ^ 


il  quale   integrale 


debb' essere  nuUo  esteso  tra  i  suoi  limiti.  Supponia- 
mo  che  il  coucorno  per  cui  passar  debbe  la  su[)erli- 
cie  sia  dato  nello  spazio,  allora  i  valori  di  «  saran- 
110  ill  esso  nulli;  quuidi  quell'  iutegrale  si  auuullera 
eft'ettivameute. 

I  criterj   poi   per  distiuguere  il  luassiino  dal   mi- 
nimo  souo  dati  dalle  (piaiuica 

Jl  ,  P  —  {  ,-)  —  ^-^^ — ,/       deterniinando  »  iu  tal  mo- 

do  che  quest'  ultima  espressioue   si   anuulli  o  diven- 
ga  del    medesiuio   segno  di   II.  Ora  /*  =  o  ,  ()  =  o  , 


/?  = 


{i^p'y 


- ,   dunque  quelle  quantita  diverrauno 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGL    INTEGRALI  DOPPJ      I4I 


{^^p) 


_      )-«     (l    -+-/7    ) 

J  ax 


la   prima  essendo   positiva  noi  avremo  il  minimo,   e 
detenninereino   «    oiicle   sia 


fix 


( ^^  )  H-  «*  (  I  -<-/  )'  =  o  ,  la  quale  da 


J  ( I  -^-/Z)-  d  X 


dove  C  e  la  costante  arbitr;iria    che  porta   V  integra- 
zione,  e  che  puo  esser  fuiizione  di  y. 

I'liialiiiente  1'  iiiteji;rale  y  «'  «  <^^  J^    cioe 


d  y 


{^-^f{xr\-(^-^c) 


debbe  essere  nullo,   o  nega- 


ftivo  nel   massimo  e  positivo  nel  miiilmo.  Egli  c  nullo 
percbe  u'  =  o   nei  bmiii  dell'  iiitegrale. 

§    7.  Se  la  fuiizione  r  conterra  oltre  le  quantita 

^indicate  nel  §  ant.  anche  {■,-■)=  p  ■>   allora   facendo 


d'Y 


relazione  tra 


lie  variabili.  la  quale  porta  il  massimo  o  minimo  del- 
fla  forinola  fj'i'  d  x  d  3-,    sara 


1^3  BnUNACCI 

N-  -L  (IP 
a  X 

—dp' 

d  y 

D'^vni  poi  la  qiiantita  fuPdy-\-fi'i  P'  d  x  esser 
nulla  tra  i  limiti  delie  variabili  a:  ,  y  iiulipendente- 
mente  dal  valore  di   w. 

Iiioltre   vi    sara  il   massinu)   od   il    mini  mo    se   la 
qnantita 


J  J   I      dz  dx     dzdp  dy     dzdp         dx      dp 

dx      dy     dp  dp  dy      dp'       ) 

e  negatlva  o  positiva,  estendendo  T  integrale  tra  i  li- 
miti  prescritti. 

Ora  io  osservo  che  dalla  quantita  f  a'^  x  d  x  -t- 
f  ui^  ^  d  y  (differenziaiido  la  prima  parte  rapporto  ad 
y,  e  la  seconda  rapporto  ad  x)   si  ha 

/I' «  ^/ .c -t- /^' /3  J/ =  AA^  ^'( 'i^ ) -t-a  « ( 'ij^ )  « -t- e.^  ( ^ ) -f. 
/  J  J  J    i      dy  dy  dx 

•^  2.  u  {^   'f.)  12\  d  x  dy  ; 
d  X       ' 

dunque  indicando  per  Q  ,  R  ,  ec.  quei  coefficienti  dif- 

fereiiziali   (-7— 1),(   /_,-)?  ec,  e  supponendo  die 
iL  z  iiz  tip 

f  u>^  01  d  X  -^  f  u^  &  d  y  sieiio  le  due  quantita,  che  pon- 
no  aversi  scevre  di  un  segno  integrale,  sara 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGL    INTI'GIl.VLI  DOPPJ      I4J 

JJ  \  dx  "7  dx  dx      dy 

H-(i±')'  ]•  Y^<h=f--dx^f^.\ly^ff>^  "'t<?-(  ~)  -  (^)]  -»- 

-Ha.(^-"){/?_/3)-Ha.(l:^)(5-.)-f-(^^rr-*-i.(l-")(4_>-i- 
a«  rtj  «.r  dx     dy 

^[^)^Y\dxdy. 
d  y  ) 

A  qnesto  integrale  doppio   del   secondo   membro 
diamo  la  forma  seguente 


2.  B'l~)<^-hC^'ldxdy 
dx  > 


e  r  ordinaria  teorla  dei  massiml  e  dei  minimi   ci  di- 
ra   die   quel    coellicieiite    di  d  x  d  y  e  positive   indi- 

pendentemente  dai  valori   di   «,  i  j~)A-j—)^  se  facte 

/t'"  A'    A"  A"' 

L  =  B-—  ,  L'  ==  B'  ~  d-A-  ,  31  —  C  —±-  , 
A    '  A  A 

/f  =  iJ/-^;  sara  ^  >  o;  L  >  o  ,  // >  o. 

Dunque  queir  integrale  doppio  esteso  tra  i  prescritti 
limiti  sara  positive  se  J>o,L>o,/f>o,  cioc  se 


1^4 


B    U    TJ    N    A    C    C    I 


a  y  ax 


r 


>0i 


T- 


r 


sara  poi  negative  se  tutte  quelle  tre  qnantita  saran- 
no  negative  per  tiitti  i  valoii  dell' a-,  e  dell' y  compre- 
si  tia  quei  limiti.  11  massinio  dunque  o  il  ininimo 
ci  sara  dato  dall'  essere 

qnantita  negative  o  positive.  Dovremo  poi  prendere 
per  -z  , /3  tai  funzioni  di  x  ,  y,  che  conq)iaiio  T  altra 
condizione  // >  o  ;  o  die  rendano  H=o.  Una  per- 
tanto  delle  due  indeterminate  restera  arbitraria. 

La  qnantita  f  ^^  x  d  x  ■+-  f  ^^  ^  d  y  estesa  tra  i  ]ire- 
scritti  limiti  dovra  in  oltre  esser  positiva  nel  niinimo, 
negativa  nel  massimo,  indipendentementc  dal  valore 
di   w,   ovvero  nulla  nei  due  casi. 

Prendiamo  a  determinare  la  superficie  per  cui  la 
qnantita 

e  un  massimo  o  un  minimo. 


dz. 


Avremo   in   questo   caso  t  =  (^)»_  a'(  — )%  c       * 


qunidi  (^^- )=o,  (^)  =  -  2  a'p  ,  (;7^,)  =  ^p';  avre 


l\lASSIl\tI  £  MINIMI  DEGl.'iNTEGUALI  UOPI'J      \  ^^) 

nio  aJum|ne  ])er  deterinifjaie  il  inassiaio,  o  iniiiimo 
(]iieste  due  eqiiazioni 

il/  dx 

/%  (i  {~)d  X  —  /  a  a'  w  (  — )  J  J  m  o  . 
d/  J  d  X 

L' inregrale  della  prima  e  2  =  $(x-<-a  j) -*- /"(.r  — r/ j), 
esseiulo  <^  ^  F  due  I'unzionl  arl)itrarie:  tale  sara  1' e- 
qua/.ione  della  supeificie  cercata. 

Suppoiiiaino  che  questa  siiperficie  debba  passare 
per  uii  contorno  ovale  coiidotto  nello  spazio,  le  cui 
equazioui  siuuo  y  =  in  x  -*-  a,  z  =  \/  {r  —  x' ).  Con- 
verra  detenuinare  queste  fuuzioiii  onde  sia  compita 
quella  coiidizione  e  ci  basiera  la  deterini\iazioiie  di 
una  sola.  Deceruiiiiata  op[)ortuiiainente  la  prima  fuiv- 
zioiie  si  avra 

s  =  \/  {  3I-{-N{x-^a/)  -hL(j;  -^-a/Y  i  -^  F{x-~ay) 

essendo 

jrj- r'  (  I  -4-  g  m  y  —  a^  n* 

( I  •+-  a  mf 


N= 


2,  a  n 


{  I  -i-  a  my 


x  = 


—  I 


(  I  -^  a  my 

Considerando  il  contorno  per  cui  passar  debbe 
la  superficie,  vedremo  clie  i  limiti  tra  i  qnali  esten- 
der  si  debbe  quel  donpio   iiiteiirale  sono 

T.jj.  Ail    ^^        ^  19 


146  Brunacci 

Esaminiarao  ora   il   ciiterio   del    massimo   e   del 
minimo. 

biccome  ( -7—1 )  =  a  ,  (  ——  )  =z  —  a,  a  , 
dp'  dp 


(.^.) 


{ )  — i £ =  —  a  a   5 

\ip''' 

qiialnnqiie  valore  si  dia  ad  x;  dunque  dl  qiieste  due 
quantita  titia  essendo  positiva,  1'  altra  negativa,  noii 
saranno  adempite  le  condizioni  del  massimo  ne  del 
minimo;  non  vi  sara  dunque  ne  massimo,  ne  minimo 
in  qnella  superficie. 

Clie  la  cosa  debba  essere  in  questa  gulsa  si  ri- 
levera  ancora  dall'  osservare  che  quella  relazione  tra 
le  variabili,  da  ^  =  o,  quindi 

//"¥  d  X  d  y  =  ffo  d  x  dy—fdxfo  c?  y  =  J  a;  =  o, 

se  estenderemo  1'  integrale  tra  quei  limiti  x  =  —  r, 
X  =  r . 

Di  tutte  le  superficie  curve,  le  quali  si  terminano 
ad  uno  stesso  contorno  disegnato  nello  spazio,  e  dato 
di  posizione,  trovare  quella  della  minima  estensione. 


« 


MA.SSIMI  E  MINIMI  DEGL*  INTEGRALI  DOPPJ       147 


L'  iiitegrale  doppio 

ci  esprinie  restensione  cli  qualunque  porzione  di  su- 
perficie,  qiiando  estendasi  tra  i  liiniti  die  si  conven- 
gono  a  quella  porzione.  avrerno  dunque 

,  d  z  •.      ,       I  d  z  y.  (d^  Zs.        ,       /d^  z  X 


</'  z 
r  =  {-, — ^)}  ed  avrerno 
ax  ay 


,dr, 


a  z 


i'Y 


p=(-V^)  = 


dp  y/  (  I 


P' 


TT  » 


■P'') 


P'=z{'ll)=  

dp'  ^{i-^-p 


■pn 


^e  V  equazione  della  ricercata  superficie  sar4 
g{i  -+-/?'*)  -^q'  {  t  -*-p^)  —  2.pp'r  =  o  ,  ovvero 

.d z^  /d Zk  ,    d^  z    V 
ax     d y      ax  ay 

equazione  a  differenziali  parziali  del  secoiido  ordine. 


148  B    U    U    N    A    C    C    I 

Per  r  integrale  di  qiiesta  equazione  si  veda  il 
§    2  515.  Tom.   Ill    del  Corso  inio. 

Ad  una  si  fafta  e([uazione  dilferenziale  parziale 
soddisfa  r  ei(iiazione  di  u\\  piano  z  =  A -t- B x -*- Cy  ^ 
esseiido  //  ,  Z/  ,  C  le  costanti  die  deterininano  la  po- 
sizione  del  {jiaiio,  e  cui  dobhiamo  dare  tali  valori , 
die  Facciano  passare  qiiesto  piano  pel  coiitorno  da- 
te nello  spazio,  coiuoriio  die  debbe  essere  ancora 
esso  tutto  ill  uii  piano. 

I  criterj  poi  per  distinguere  il  massimo  dal  rnl- 
uimo  ci  dicono  die  il  piano  c  una  superficie  della 
minima  estensione. 

A  qndla  eqnazione  della  inassima  o  della  mini- 
ma supoiTicie  soddisfa  z  =  A  cM^+/v'-«l  essendo  A  ed 
»  due  costanti  aibitrarie. 

§    8.  Sia  ora  "¥  una  funzione  di  x  ,  y  ,  s, 

I   (I  Zx  id  Z^  ,     iCr   Zy,  ,       d"   Z       X  ,     I  Cr    Zy.  „ 

e  cerchisi  la  rdazione  tra  .T,y,s,  onde  //"¥  d  x  d  y 
sia  un  massimo  o  iin  minimo,  ed  il  criierio  die  di- 
stiimne  il  massimo  dal  mininio. 


-  =  ^v, 

a  z ' 


Se  noi  facciamo  ( '-  )  =  iV,  C ,    )  =  P  •>  {^-r—,)  = 

a  z'  dp  '  a  [J  ' 


cei'cata  sara  data  dall'  equazione 


MASSniI  E  MINIMI  DEGL    INTEGRALI  DOPl'J     I49 


ax  ax 


l.dP'-^-J-- 
d X  dx dy 


d'Q'  ^=0 


d  y 


,  d'Q' 


Dovra  poi  la  quantita 


/{ 


,i"+(?''(£^)-.('^')-»(^')  1''^ 

d  y  d  y  ax' 


esser  nulla  tra  i  limiti  delle  variabili  x  ,  y  indipen- 
deiitemeiue  dal  valore  di  u  e  dei  suoi  ditTerenziali, 
avuto  riguardo  alle  coiidizioni  del  problema  nei  limi- 
ti deir  inttgrale. 

11  criterio  poi  per  distinguere  il  massimo  dal  mi- 
nimo  si  desuinera  dall'  essere  il  seguente  integrale 
doppio  una  quantita  negativa,  o  positiva, 


m-'^i 


estpso  tra  i 
Ora  SI 
juantita 

d  avremo 


SI  A  S  S   I  M   I      E      MINIMI      D  E   G   l'      I  N  T  E  G   R  A  L  I      D  O   P  P  I 


i5i 


JJ  \        ^dz^'       \lx'     Uzdp'  \ly'\lzdp''  ^dx^'^dzdq'  dxdy      dzdq''  \iy'^d>/-dz' 


^/ «        dp 


dy       dp  dp 
i  y         d  pf 


.dui.,d'a.,    d'r    .^„,d-^\i    d' a    ,,    d'r     \    .    „  /'^"^/'/'i'v,    d'Y      , 


dx  dq  dx      dxdy     dqdq  dx      dy      il  q  <l ,/' 


r/'  a 


dxdy        d  a' 


^dxdy'^dy''\/.j'd,j"' 


^  df  '  ^  d  q"'  ' 


d  X  d  y 


eslcso  tra  i  proscriiti  limit!  dell'  x  e  clell'  y.  Rappresentiimo  rjiirsta  qiiamita  per  { 3f). 

Oia  supponiaino  die  faceiulo  una  tlelle  due  integrazioiii  possano  levarsi  di  sotto  al  doppio  segno  somniatorio  le  due 
<jii;intita 


d  a  ,1 


f).^.^:..^'l^t)^^{'Ll)^y^^ii,'L^)f^'LJl)\dy 
■'     '  a  X  a  X  dx       ay     S 

c.  *  -t-au  (        )/3'-t-  (  —  )  y'-4-a,J'  )  (  -_  )  {dx 

■  dy  dy  dx       dy     ' 


< '^1  avrerao 


(i 


Brtjnacci 

I  53 

"/  dy      clx  dy 

rt*  dx 

-f-  w^  F  ^  dxdy 
ove  e  facile  vedere  clie  i  valori  di  quei  coefficienti  saranno  come  segue 

dpd  q"  d z  d  q "  d  q'  dqdq 

dp'dq''  ^dpdq''  dzdq'  dq 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGl'  INlTGllALI  DOPPT     1 5  3 

B.=  (f^)-(^*)-(!"'), 
a  pap  ax  dy 

dzdp'  dy 

£  =  ("£!)-. ,3-(4r), 

az  dp  a  X 

f=(!^)-(l_«)-(!Ll'). 

a  z  d  X  d  y 

Facciamo 

{M)=fGdy-^fHdx^ffOdxdy 

e  questa  quantita  dovra  essere  negativa  nel   rnasslmo 
e  positiva  nel  minimo. 

Peiche  r  iiitegrale  cloppio  ffOdxdy  esteso 
tra  i  prescritti  limiti  sia  positivo,  o  negativOj  convie- 
ne  che  la  quantita  O  sia  essa  medesiina  positiva  o 
negativa  per  tutti  quei  valori  cH  x  ,  y  compresi  tra 
qiiei  lirniti  stessi  .  Per  T  altra  quantita  f  G  d  y -^ 
flldx  o  debbe  qiiesta  (estesa  tra  i  bniiti  assegna- 
ti )  essere  nulla,  o  del  medesinio  segno  di  O.  Onde 
la  quantita  O  sia  positiva  indipendentemente  dai  va- 
lori di  «  e  del  suoi  dilTerenziali  parziali,  si  banno  le 


1^4  Brunacci 

condizioni   della   ordinaria   teoria   dei    massimi   e  dei 
nHiiiini . 

Qiiesta  teoria  ci  dice  che,  supponendo 

3I=B-  —  ; ]\r=B'—dl£' ; M"=B"^-€:^; 3I"'=B"'—^^; 3r=B''-~~  ; 

A  A  A  A  A      \\ 


iV  =  C  —  ^^     ;N'  =  C'  —  £-^  :  N"=  C"—  ^^-^  ;  iV"'=C"'— ^-1  ■■ 
A  A  A  A    ' 


)  ' 


L=D-.^-i::i,L'=.D'--d::j^;L"==D'-f:^,\ 

A     "  A  A     ■< 

H—E-—  ;  H'  =  E'-d-^-  ] 

A  A    \\ 

A    '■  : 

M  M   '  M    '  M    '\.\ 

M  M  M      l\ 


^  7|r»,,i  M"'M''' 


31       ^  31 


n  =  i 


31      ■  \ 

5  =  P  -  1'-  i  5'  =  P'-  ^^  ;  S"=  P"~  £^'  ii  i 

K                       K                         K      \  ] 

A     '            ^          A-     '  ^ 

A'"'* 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGl'  INTEGRALI  DOPPJ      1  5S 
o  o 


Y=Z-fL  ; 

sari  la  quantita  O  positiva  se  tali  lo  saranno  le  quan- 
tita  J  ,  J/,  A' ,  iS ,  JT,  Y;  e  negativa  se  quelle  quan- 
tita saranno  negative. 

Avremo  dunque  il  ininimo  se  ^  >  o  ,  il/>  o  , 
/<r>o,  5>o,  X  >  o  ,  Y  >  o  ;  ed  il  massimo  se 
A  <  o,  M  <  o,  K  <  0 ,  5<o,  X<o,  F<o,  per 
tutti  i  valori  possibili  die  noi  possiamo  dare  ad  x,y 
compresi  tra  i  limiti . 

Le  quantita  poi  «  ,  (3  ,  y  ,  ^ ,  a'  ,  j3'  ,  y' ,  ^  deb- 
bono  deterniinarsi  in  mode  die  quelle  condizioni,  nel- 
le  quali  esse  s' incontrano ,  abbiano  luogo,  insienie 
con  le  condizioni  indipendenti  da  esse. 

Le  tre  quantita  A^M^K  non  contengono  alcu- 
na  di  quelle  indeterminate;  cosi  la  loro  determina- 
zione  non  ba  luogo  die  per  soddistare  alle  ultime  tre 
condizioni,  o  per  annullare  quelle  ultinie  tre  quan- 
tita; il  massimo  adunque  ed  il  minimo  ci  e  sempre 
dato  dalle  tre  prime  condizioni. 

£  di  qui  si  vede  che  potremmo  estendere  la  ri- 
cerca  anclie  al  caso  nel  quale  in  Y  si  contenessero  i 
differenziali  parziali  degli  ordini  superiori;  ma  i  cal- 
coli  vengono  cos\  prolissi,  die  non  niette  il  conto 
trattenervisi. 

T.  IL    P.  IL  ao 


i56  BnuNAcoi 

§  9.  Sla  y  una  funzionc  di  x  ,  y  ,  s,  (~  )  =p, 

(^-p)=7J'.  r,   esseiulo  F  dato  dair  equazionc  a  dif- 
ferenziali    parziali    (-— -)  =  c|),   indicando  per   ^f   una 

(6)  funzionedix,y,r,(i^)=^;,(^^)  =  7/,  r,  (^^)  =  ^: 

si  dimanda  la  relazione  die  esser  debbe  tra  x ,  y  ,  3, 
on(.]e  Jf -ir d  X  d  y  sia  massimo,  o  miuiino,  ed  i  cri- 
terj  onde  distiiiguere  il  massimo  dal  minimo.  Sup- 
poniamo  che  qiiando  z  divieiie  s  -t-  i  w,  la  ([uantita 
F  divcnga  F  -^  if);  c  qiiando  z  diviene  z  ~  i  <.>,  F 
divcnga  F  —  i  6'. 

Se   noi   indichiamo    ancbe   per    '^{z^j)^p\F) 
(p  [z  ,  p  , p\  F,g)  le  funzioni  'i',  <?,  le  due  dillereiize 

{e) .  ...yy^Y^z^  i.-,j.  +  i{il)  ,p'^i{i^),r^  i^yixdy 

~yyr{z,p,p',p')dxdy, 

-ff^  {2,p.p\V)dxdy, 

dovranno  essere  simultatieamente   positive  nel   mini- 
mo e  negative  ncl   massimo. 

Trattiamo  per  ora  la  prima  di  queste  dne  diffe- 
renze^  la  (e). 


M.vssnii  E  MINIMI  degl'  integrali  dopi'j     1 57 
Noi   avremo 

ilzUy  ax      up  ax     ay      dp  dp 

.      /^"\«/    d'r    V   ,   /du.i.d'-r,        tdu!.,,   (V  ^    V 
■^'^J-x^'^didV^^^Ty^  ^JF^^^'W^d^-^ 

-^^'('~)yixdy 

La  seconda  si  ridurra  ad  una  serie  consimile  nel- 
la  quale  i  segiii  degli  integrali  doppj  saranno  aker- 
iiativi,  ed  in  tutta  la  serie  safa  d'  invece  di  9. 

Ora  faccianio 

/"/"v      /d'i'.       idi''udr.^,du,.,dr.       I,, dr.-,    J      J 

=   /"(  ;d  fl  H-  13  c  -f-  J  )  df  -+-    /'{  ^'  9  -t-  /2'«  -4-  5'  )  J  ;C  , 

ed  avremo 

dz         ax      dp         dy     dp  dV  dx  dx 

d  X  d  X  d  X  dy  d  x 

^«(  -t-^'  )-l-(    -); 

ay  dy  "/ 


i58  Brunacci 

Ma  r  eqnazione 

i~  )  =  (p{z  ,p,p',r,q)  c'l  da. 
ax 

^d-J='^d-J'^^d'J^d}'-^^d}^'^d]P^^^^dP^'*'^d-J^d^^ 


r/d'cp 


(d  u^i  d^  <p 


d'<p 


d'(p 


ay     dzdq         ax      dp  ax     dy     dp  dp 


,d  «x„/   <f  *  (J)  ^  ,  ^t^i  '^xifl  Ki   ^'  $  N    .    i(i  '^'^rid^  ^ 


dx      dpdv  dx     dy     dpdq         dy      d  pf 


cc. 


Indicando  dunque  per  {F)  la  quantlta  contenuta  tra 
queste  parentesi  \    >,  avremo 


j^. 


dV, 


(£.^)^(^)-,-i«(F). 


MASSIMI  E  MINIMI  DECL   INTEGRALI  DOPPJ        I  5<) 

Da  questa  equazione  si  ricava 

(.) (7^)-»(^)-(^>-(^')  =  »' 

clz  dz  cLx         ay 


<'» 'S'-<g'-'^  =  ^ 


9 


(3) lil)~a{'Ll)-^'^0, 

(5) «(1$)-H.'  =  0, 

d  q 


Dalle  prime  cinque  equazioni  eliminando  «  ,  /3  ^ 
«' ,  ^'  ,  si  ottiene  una  equazione,  la  quale  ci  dark  la 
ricercata  relazione  tra  le  variabili  x,y,z,  ossia  1' e- 
quazione  della  dimandata  superficie  curva .  Si  trove- 
ranno  in  seguito  i  valori  di  «  ,  |3  ,  «'  ,  /3',  ed  avremo 
in  fine  la  serie  clie  esprime  quella  differenza  (e). 

§  10.  Indichiamo   per  E^F^G^H^I^K^L, 

M  y  JV ,  Oy  i  coefficienti  di  «*,  2  w  (  ,— )»ec.  nella  pri- 

d  X ' 

ma  serie  trovata  per  (e);  e  per  E'  ^  P  ^  C\  H\  I' , 
K' ,  L' ,  M' ,  IS' ,  O' ,  P\  Q' ,  R' ,  S\T'  '\  simili  coef- 
ficiemi  nella  quantita  {F)  ed  avremo 


i6o  Brunacci 

-+- L  /T^'(^--^^')-Haa{4^)(f-«F')-*-a«('5")(G-«G'). 
%J J    I  ax  ay 


-t-a 


id  9i    r»      id '■'m/ '^       ' \        idus.id u\ 


^  dy  dx  dx'  ay 

dx  dx     dy  dy 

,do,,,dK     T,,  .   ti>r^      ..riA     ../l/^\ 


.o(i^)5(^^_«,Y')_a('i^)(ii_V/?•-^-()^(O-«O0-29r-).5' 

'dy 


^(ilfccTldxdy  1 


ec. 


Per  r  altra  serie  (e')  facciamo  * 

JJ\  ^Tz^^^dJ^TjJ^dy'^dp'^^UV^    f 
=  -  /"^  «  6'  -+-  /3  0,  I  dy—r\  *'«'-+-  /3^' }  J  X  ^T  dy  -^p  dx 

-(f)»-(f)('L")-(i-';)('5-')-(^)»-=-.d^)- 

dz         dp     dx         dp      dy         dv  ax 


tn  d  u 


dPj 


d  w 


\/.t  \lx'      ^dx'       ^dx  dy' 


»6'(^')-M^^V/3'(y-)-^(^')- 


dy 


d  y 


dy  d  y' 


Ora  r  equazione 


1 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGl' INTEGRALI  DOI'PJ      l6l 

(  i_  )  =  (p  (::,/;  ,y  ,/%  y  )  ci  da 
a  X 

a  X  a  z  a  x      a p  up      ay         dv 

-(^)(f^')-Hi(F')-^ec. 
a  q      ay  2, 

indicando  per  (/"')  la  stessa  espressione  indicata  per 
(/")  nella  quale  si  scrive  S'  in  vece  di  6;  avreuio 
dunque 

-(!^).-(^^)('|-")-(i-^)('L")-{i;)«=-j.(^)- 

a  z  dp     dx  dp      dy  dV  I      dz 

-•-(7-)  p-jM7^)-t-«'M7-)^-(:r^'*" 

a  y     ^  I      d  q  )      dy  d  x 

-*-(-—)   -f-  -  «(  P  )  • 

d  y  a 

E  di  qui  ricavianio  le  medesime  cinque  equazioni  che 
noi  alibiamo  novate  sopra,  quindi  la  stessa  equazio- 
ne  della  superficie,  e  gli  stessi  valori  per  «,«',^,/^'. 
La  sesia  equazione  poi  sara 

dx  d  y  2, 

Troveremo  pertanto     per  (e')  quest' espressione 


i6a  Brunacci 

(e')  =  —  i  /")  a  6'  -H^w  \dy  —  ir\  «' fl' -h  /3'  w  I  Ja;  -t- 

-/ /  I  la  stessa  quantita  clie  era  in  (e)  mutandovi 

§11.  Facciamo  per  semplicita  di  espressione 
(c)  =  j  y  I  «9-4-/3w  J  J/-+-Z  /*i  «'  d  -H  ^'  «  I  c?x  -t- 

(  C  )  =—  /y  >  «  fl'  -+-  /3  w  J  <^7  —  i  /*!  «'  fl'  -*-  /3'  w  I  J  a;  -H 

-»-  -/7^1  /  ^'  }^/xv//-t-ec. 

I  termini  ove  si  contiene  un  solo  segno  somma- 
torio,  estese  le  integrazioni  tra  i  litniti  delle  variabi- 
li  a; ,  y,  debbono  annullarsi  indipenflentemente  dal 
valore  di  «,  di  fl,  e  di  9',  nei  due  valori  di  (e),  (e'), 
CIO  clie  si  conseguira  per  mezzo  dell'  indeterminnzio- 
ne  che  resta  nei  valori  di  «  ,  a' ,  ^  , /3',  avendo  ri- 
guardo  alle  condizioni  speciali  del  problema  nei  li- 
miti  deir  integrale. 

I  termini  poi  ove  si  trovano  due  segni  somma- 
ton,  debbono  essere  positivi  nei  minimo:  negativi  nei 
massimo  indipendentemente  dai  valori  di  w  ,  5  ,  6'^  e 
dei  loro  dilFerenziali  parziali. 


MASSIMI  E  MINIMI  DEGl'  INTEGRALI  DOPl'J      l63 

Ora  snpponiamo  die  eseguendo  una  delle  inte- 
grazioiii,  ])03sano  toglicrsi  di  sotto  al  doppio  segno 
le  duf  (jiiaiitita 


/{g«- 


a  /«  9  01  -H  71 


H. 


iy^f\&'^" 


-J-  a7?r  5  w  -t-  7i'  6')  J:c 


\' 


DilT'erenzianio  la  prima  di  <pieste  due    quantita    rap- 
porto  ad  x,  c  la  secoiida  rapporto  ad  y,  ed  avremo 


.d  ^. 


(1  a', 


,d 


d& 


ilx'  ^dx'^  \l  x'  ilx'  ^dx' 

,i,dn.         i.,dK  xids,\   ,    „     td<^^',^t,     ,dm  , 

dx  dx  dy  dy  ay 


•  I.  id  w.  I    ,d  i  ^      .1  ,dn  s.         t  id  '^  \    I 

aw6(  — )  H-aw  w(-— )-l-6  (__)-j-a  9{--)  7j 

dy  dy  dy  dy 


Ora 


(a/7.«-4-a577)(4^)  =  (amt.-t-a9«)j«(''^)-*-('4^)(4^)-H 
dx  I       d  z  dx     dp 

ily'iljf'         en'         ilq'cly'   ' 

iDunqae   la    somma    del    differenziali    di    quelle    due 
Iquaiuita  sara 


fZcp 


d  ni 


dU  !> 


d  (p 


d  z  dy   '    ^  (ly      ^  d  ij      ) 

T.  II.    P.  II. 


21 


164 


B   R   t;   N   A    C   C   I 


2  (  —  )  ^\  m  -\-  n 
d  X 


('i*)jH-V{(4:')-^.„(l|) 
dp      5  dx  dV 

(         )      -»- 2(  __    9  >  w  -t-ji{-Jl)   C  ^  a  6     —      |/i 
d  7      '  dy       I  ^  dp'      '  -  dy 


d  y 


ec. 


Indichiamo   per    E"  ,  i^"  ,  C"  ,  //"  ;  /"  ,  K" ,  L"  , 

M",N",   i  coefiicienti  di  «%  2  =.  ('4^),  a  «  (1^),  ec. 
ed  avremo 


ar  A  S  S  I  M  I       E       H  I  N  I  M  I       D  £  G  l'      I  X  T  E   G  II  A  L  I       r.  0  I'  P  I  1O5 

\ff[f'^ )  d  X  dy  =lf{s'J  +  ^  m  .«-»-«  5'  }  dy  -*-  i/'^j  g' <^' -^  ^  "^'  '^  ^ -*- ^' '''  }  d  -v 

d  X  "  •*■      "  >  "  x  (/  X      ay 

■+■  ( ^ )\M  -  «  ilf )  -t-  a  ( '4-" )  3  (^ -  «  ^V'  -  BI")  -H  2  ( '^." )  ( '^.' )(-«/?') 
«/  dy  dy      dy 

-i-  (I'  {0  -  ccO'  —  L")-i-  2.t{~)  (-  u  S'  —  N") 

dy 

^{ilyi-«T')\dxdy 
dy  ' 

•+■  ec. 

E  qiicsto  secoiido  mennbro  dovra  es  sere  negative  nel  massimo,  e  positive  nel  minimo.  All' integrale  doppio,  che  in  csso  si  tro- 
va,  diaiiio  la  scgiiciite  lurina. 

2,/ y    '■\lx'  ^dx'^dy  ^dx'    dy'  dx'  ^dx' 

^dy'  ^dy'    dy'  dy'  \ly' 

dy  dy  dy 

-^aE\dxdy 


MASSIMl  E  MINIMI  DECL'  INTEGRALI  DOl'I'J      167 

Ove  sara 

A  =  l—I'x 

A'  =  K-xK' 

A"  =  —  cc  Q' 

A'"  =  L~uL'~  K" 

A'"  =  F-ccF'-F" 

B  =  3I—uM' 

B'  =  -uR' 

B'"  =  G~aG'-G" 
C  =  —  uT' 
C'=.~uS'-  N" 
C  =  -  «  P'  -  T" 
D=0-xO'  -L" 
D'  =  n~u  H'  -  II" 
E  =  E  —  »E'-E" 


a  jj 


i 


1 68  Brtjnacci 

iji>       ,  Am  >  I  <J  ^  \           I  ds> .        ,  dm  » 

//    =                   H_  „2  (            )  ^  ;j  (              -H                 ) 

a  X  dv                a  z            dy 


I   =m  -^m[  — !- ) 
d  tj 


dp 
d  <j 

A    =  w  -4-  n  {  -J-  ) 
dp 

t" f  d  n  >.    ,    ^      ,  d  (b  ^       ,  dn  s 

dp 

at"  '   .        I  d  (^  s 

d  (j 

§  12.  Ora  secondo  cio  die  abbiamo  cletto  alia  fi- 
ne del  §  8  con  i  coefficieiiti  A^A^  ec,  B^B\  ec.  ec. 
( 1 )  formando  le  quaiuita  M  ^  K  ,  S  ^  X ^  quest'  ulti- 
mo integrale  doppio  sara  positive,  o  iiegativo,  este- 
so  tra  i  prescritti  liiniti,  se  per  tutti  i  valori  di  x  e 
di  y  conipresi  tra  i  liiniti  dati,  avremo  J>o;  iM>o; 
K>  O;  5  >  o ;  X >  c ;  ovvero  J  <  o ;  i)/  <  o ;  A"  <  o ; 
»S  <  c;  X  <:  o. 

E  siccome  si  trovano  le  medesime  condizioni  per- 

clie  sia  positiva  la  quantita  -  /  /  {f^' )  d  x  d  y  con- 
tenuta  nel  valore  della  eeconda  difl'erenza  (e),  quin- 


(  I  )  Si  avverta  di  non  confondeic  tia  loio  i  si^nilirati  (Jelle  lettere 
M ,  K  ,  I ,  ec-  dei  tre  §§  antecedenti  con  quel  delle  stesse  lettere  de'. 
§  i> ,  die  qui  si  riportaoo . 


MASSnri  E  MINIMI  DECI,'lNTEGRALI  DOPPJ      1 69 

di  concluderenio ,  die  la  cercata  superficie  godera 
della  proprieta  del  massimo  se  J<io;  M<co;  K<.q\ 
S  <.  o;  X  <  o;  c  del  minimo  se  tutte  queste  cpian- 
tita  saranno  positive. 

Riguardo  poi  alle  quantita  afiette  da  un  solo  se- 
gno difierenziale  nei  valori  di  -  /  /  {f^)dxdy, 

-//{f^)dxd'y  debbono  queste,   estese  le  inte- 

grazioni  tra  i  limiti,  rendersi  o  positive  pel  minimo, 
o  negative  pel  massimo,  o  nuUe  in  anibedue  i  casi, 
indipendentemente  dai  valori  di  w  e  di  «,  avendo  pe- 
ro  riguardo  alle  condizioni  del  problema  nei  limiti 
deir  integrale.  Cio  conseguiremo  per  mezzo  dell'  in- 
determinazione  clie  resta  nei  valori  di  m  ,  n  ,  g  ,  m  , 
n  ,  g\   della   quale  noi  possiamo  disporre. 

Nelle  tre  quantita  A,M,K  non  entrano  le  in- 
determinate Tii,n,g,ni^n\g;  in  fattir  essendo  (§  ant.) 

dp  dp' '  ^  dp  dp'  ' 

dpdq 

^  dp'^ '        ^  dp'' ' 
B'  =  -ul   ^'^    ) 

^dp'dq' 


170  B    K    U    N    A    C    C    I 

a  q 

Le  formole  del  §  8  ci  danno  A^M^K  espresse 
per  qiiesti  soli  coefHcienti :  esse  diinque  non  coiiter- 
ranno  le  iiideteniuiiate  siiddette.  Tali  iudeteriniiiate 
si  iroveraaiio  solameiite  nelle  (|uaiitita  5  ,  X ^  e  dj- 
vremo  deteniiinaile  in  modo  die  »S  ,  X  siaiio  dello 
stesso  segno  delle  akre  tre,  ovvero  siaiio  nulle  .  11 
massiino  aduiiqiie  ed  il  miiiimo  ci  sara  dato  dalTes- 
sere  J  <  o,  iJ/ <  o ;  /^ <  o ;  ovvero  A>  o,  M >  o, 
Kyo.  Alle  akre  due  condizioni  soddisfarenio  per 
mezzo  delle  quantita  ni  ,  n  ,  g  ,  in  ,  a  ,  ^';  delle  qua- 
li  quattro  rimarraniio  sempre  al  nostro  arbicrio. 


^ 


■  ■^fM'^^ 


SLLLE  LIVELLAZIONI  BAROMETRICIIE 

Di    Francesco    Venini 

Continuazione  drdla  parte  II. 
riceviita  il  di  1 1  di  Aprile  1809 


DEI  METODI  COMUNEMENTE  CHIAiMATI  INDIRETTI,  O  DEI  CALCOLI 
D'  ALCUNE  OSSERVAZIONI  CAROMETRICHE . 

S  E  Z  J  o  >r  E     I 

Dellc  misurc  gcometriche  delle  altezze 

A   u   T   I   c   o  L   o     I 

Metodi  per  misiiror  le  altezze  apparenti  per  mezzo 
dcir  ani^olo  d'  elevazione. 

$2.  X  utti  i  Flsici,  die  han  data  qualclie  regola 
per  misiirar  le  altezze  col  barometro  han  procurato 
di  confermarla  per  mezzo  delle  misure  geometritlie  o 
delle  livellazioiii  ordinarie  fatte  cou  esattezza.  JMa, 
noil  essendo  difricde  di  cader  in  errori  non  dispre- 
gevoli  nel  calcolo  delle  misure  geonietriche ,  come 
avreino  occasion  di  vedere  in  appresso;  lio  ciednto  di 
far  cosa  utile  ai  leggitori  trattando  anclie  questo  ar- 
gomento  con  qualche  estensione,  tanto  piii,  die  al- 
tri,  cli' io  sajipia,  non  1'  ha  fatto  ancora. 

11  Sig.  C'assini  nel  trattato  della  grandezza  e  fi- 
gnra    ddla   'jcira   dice  con  rjigicne,  che  per   calcolar 
r  akezza  d'  un    moate   sopra  ii  livello  del    mare    sa- 


»7^ 


V    E    N    I    N    I 


pendo  di  qiianto  e  superior  al  marc  11  luogo,  in  cui 
si  inisura  1'  anLiolo  d' elevazioiie  del  mome,  coiivien 
risolvere  il  tiiaiigolo  CAB  ( liji.  I),  nel  <juale  C  e 
il  ceiitro  della  Tena;  a  im  piuito  di  livello  colla  su- 
perficie  del  mare,  ed  J  il  luogo  dell'  osservazione . 
Ora  in  si  fatto  triaiigolo,  j)rosiegue  egli,  son  noli  i 
due  lati  CJ,  AB^  e  l' angolo  da  essi  compreso; 
poiche  questo  e  iiguale  alia  somma  di  90  gradi,  e 
deir  angolo  osservato  EAB  dell' altezza  apparente 
del  monte  sopra  la  retta  orizontale  o  tangente  del 
punio  A  nel  cucolo,  il  cui  raggio  e  CA.  Sara  dun- 
que  nota  anclie  la  grandezza  di  C B  distanza  del  cen- 
tro  terrestre  dalla  sotnmiia  del  monte;  dalla  qual  di- 
stanza sottraendo  il  raggio  della  Terra  resta  T  altezza 
perpendicolare  del  luonte  sopra  il  livello  del  mare. 

Quanto  alia  distanza  o  linea  visaale  A  B  ognuri 
sa,  cli'ella  si  determina  col  calcolo  trigonometrico  per 
mezzo  d'  una  base  di  nota  hinghezza  e  degli  angoli 
fatti  con  quella  dalle  due  linee  visuali,  die  vaiiiio 
dalle  sue  estremita  alia  cima  del  monte  .  Ora  iiel 
triangolo  CAB,  di  cui  son  noti  i  lati  C  A  ,  A  B 
coir  angolo  compreso  si  ha,  per  le  note  regole  trigo- 
nometriche  la  seguente  analogia 


CJ-^AB:CA  —  AB  =  tan 


D 


■C    ^      B  —  C 

—  :  tan 


Essendo  noto  1'  angolo  CAB  sara  nota  anche  la  se- 
niisomma  degli  altri  due,  ed  il  logaritmo  della  tan- 
gente di  qnesta  seniisomma  si  trovera  nelle  tavole. 
Da  questo  e  dai  logaritini  di  C  A  -^  A  B  e  di  C  A  ^ 
A  B    si   concluudera   il   logaritmo  della    tangente    di 


8ULLE    LIVKLLAZIOXI    BAKOMETUICIIE  I'o 

;   cii   cui  troverassi  nelle  tavole   1'  anp-olo  cor- 

rispondente .    Fatta    la    somma    del    valori   cogniti    di 

:, si    avra    il   valor  di  ^ :  e  la  difTerenza 

a  a 

loro  dara  quello  di  C  angolo  siriiato   al  centre  della 
Terra,  e  distiiito  per  cio  col  nome  di  angolo  al  centro. 
Trovati  i  valori  degli  angoli  B  e  6,  qaello  della 
distanza  C  B  s'l  detern^iua  coUa  seguente  analogia 

sen.  n  :cos,  E  J  n  =  C  J  :C  B  ; 

dalla   qual  si  deduc« 

L  C  B  =  L  COS.  EAB-\-LCA  —  L  sen.  B  . 

Eccone  alcuni  esempj  tratti  dal  libro  summen- 
tovato  della  giandezza  e  figiira  della  Terra,  pei  quali 
il  Ciissiiii  suppose  il  raggio  terrestre  di  tese  327 1420 
traito  dalla  niisura  delT  arco  di  meridiano  coinpreso 
fra  CoUioure  e  1' osscrvatorio  di  Parigi. 

CaUolo  deir  altczza  del  picde  della  tone  della 
Alitielotie  sopra  il  Li\''elLo  del  mare. 

I  dati  del  calcolo  sono  i  seguentl 

Aa'=.io  te.  C^  =  Ca -t-a^  =  3271480  te. 

E  A  B  =^^°  1-'  xo":,  A  B  =  2228  te. ;  e  da  questi  vie- 
ne  C  A  -H  A  B  =  3273658,  C  A-A  B  =  3269202  ; 

e  — ; —  =  40  46'  25". 

2.  II.    P.  IL  22 


1-4  V    £    N    I    N    I 

Cio  premesso  abbiamo 


L  tan . 


9  .  9356954 


L{CA-AB)  =    6  .  5144418 


Somma  =  16  .  45oi372 
L{CA^AB)  =    6  .  5i5o334 


Ltan.- — 9  —    9  .  935io38 


^~^'  ==  40°  44'  6"  ,  06 
a 

B  =  ^jtL?  H-  ^~^  =:  81"  3o'  3i"  ,  06 
a  a 

(^_B-^C  _B-C  _     ^o    2'  18",  94 

Determinate    per  tal  modo  il   valor   di   B  fassi, 
come  segue  qui  sotto  il  calcolo  dell'  altezza. 

L  COS.  E  A  B  =    9  .  9952566 
LCA  =     6  .  5147877 


16  .  5099943 
Lsen.B  =    9  •  995ai3o286 


LC  B  =    6  .  5147812714 
CJ5  =  327i758,43i  D B  =  C B  —  C A  =  ^2ii  ,4^  te. 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRTCIIE  }10 

Questa  e  1'  altezza  del  pie  clella  torre  della  Ma- 
telottc  sopra  il  liiogo  dell'  osservazioae  ed,  algina- 
te a  questa  lo  tese^,  si  ha  1'  altezza  sopra  il  livel- 
lo  del  inaie  di  te.  338,43.  11  Cassini  la  dice  di 
336,  5;  ma  tie' suoi  calcoli  e  scorso  certameiite  qual- 
clie  piccolo  errore.  Per  cliiarirsene  si  abbassi  da  B 
sulla  tangente  la  perpendicolare  B  F;  la  (jiiale,  seb- 
Leii  di  poco,  e  mauilestamente  mitioie  delT  altezza 
vera  B  1) .  Cio  fatto  si  osservi,  esser  B  F  = 

yJ  Ij  sen.E  J  B  .  ,  .,  -in 
,  espriincnclo  per  /•  il  raggio  delle  tavo- 

le  ;  e  die  per  conseguenza  e  LBF=LAB-^ 
L  sen.  E  A  B  —  lo  =  2  .  5i52i55;  "al  qual  logaritmo 
corrispoiule  iin  nuinero  alc[uanto  maggiore  di  327,6. 
Aiiche  BO  sara  diinque  maggiore  di  327,6;  e  B  D -t- 
10  >  337,. S.  L'  altezza  assegiiata  dal  Cassiiii  e  duii- 
que  minor  della  vera  poco  meno  di  due  tese;  ma  for- 
se  per  error  di  stampa  si  e  posto  336  in  luogo  di  338. 

Calcolo  dcW altezza  del  montc  Cani2;ou  nc'  Plrenei. 

o 

I 

(nota.  Al/a  pag.  56  I'm.  jo  della   prima  parte 
si  sostUiiisca  Coracon  a  Canigou ) . 

Tn  quest' esempio  fn  ^^a=i,5;  CA=:?)2-ji^2i,S; 
A  B=  2lii6-i;  ed  E  A  B  =  2°  37'  o".  Fu  dunqne 

C  A'=^  A  ^  =  33ooi88,5;  C  J  - /I  ^  =  3242664,5; 

B  -y-  C 
e    =  43^^  41'  3o".  Da  questi   dati  viene  il   cal- 
colo seguente 


1-6 


V    E    N    I    N    I 


P  -t-  c 

Ltan. 1  =     9   .  9801591 


L{CJ  —A  B)  =:     6  .  510900707 


16  .  49'o590o7 
L{CA-^AB)=    6  .  5i85388a6 

L  tan.  =     9  .  9712520981  ; =  43*  11'  18",  88 

a  2. 

B  =  86°  52'  48"  ,  88  ;  C  =  0°  3o'  1 1"  ,  la 

11  calcolo  deirakezza  e  dunque  come  qui  sotto. 

L  COS.  E  A  B  =    9  .  9995469 

LC A  =    6  .  514736597 


16  .  514283497 
L  sen.  B  =     9  .  9993558708 


LC  B  =     6  .  5149^76202 

6'5=  3272861,05  te.;Z>2J  =  1439, 55 

A  qiiesto  valore  aggiungo  una  tesa  e  mezzo;  e 
n'  ho  r  altezza  del  Caiugou  sopra  il  Irvello  del  mare 
di  te.  1441,00.  Questa,  secondo  il  Cassiiii  e  di  1+41; 

onde  la  differenza  fra  i  nostri  risukati  e  di  —  di  te- 
sa su  1441- 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAIlOMETIUCHE  17-7 

Calcolo  pel  monte  San  Banolomco 

Dati 
C  A  =  3271421  ,  5  ;  A  D  =  524ao 

C  A -¥-  A  B  =  3^23841  ,5;  C  A  —  AB—  SaiQoor  ,5 

EAB  =  o°  5o'o";  ^'^^=  44"  35' o" 

a, 

II  calcolo  per  gli  angoli  e  dunqiie  qiiesto 

L  tan.  ?-±S''  =    9  .  993683a 
a 

L{CA'-JB)=     6  .  507721 198 

16  .  501404398 

L{CA-i-AB)=    6.521640296 

L  tan.  =    9  .  97976410a 

-    a 


B  -C 


=  43"  39' 56",  29 


a 
2?  =  88'  14' 56",  29;  0  =  0"  55' 3",  71 

Queste  preniesse  dan  no  il  seguente  calcolo  dell'al- 
tezza. 

L  COS.  E  A  B  =    9  .  9999541 

LC-A  =    6  .  5^4736597 
16  .  514690697 
L  sen.  B  =  9  .  999797 '774 
LCB  —    6  .  5148935196 
Ci?  =  3272604,  66;  Z>^==  ii83,  16. 


l-B  V    E    N    I    N    I 

Tal  e  Taltezza  del  monte  sopra  il  Itiogo  dell'os- 
servazione;  alia  quale  aggiungendo  una  tesa  e  mezzo 
si  ha  r  altezza  sopra  il  maie  di  tese  1184  ,  66.  Giu- 
sta  il   Cassini   ella  c  di  1184,  5;    onde  la   differeaza 

riducesi  a  di  tesa. 

100 

53.  Dopo  d'  aver  trovato  nel  triangolo  CAB  i 
valori  degli  angoli  B  e  C^  T  altezza  B  V  puo  calco- 
latsi  anche  col  triangolo  AB  D.  A  questo  fine  si 
cercliera  il  valore  di  AD  corda  dell'  angolo  al  cen- 
tro.    Ora  la   corda  di   qualunque   arco  A  in  uu    cer- 

cliio,   il   cui    ragglo  sia   R  e  =  ::^  .jw.  —  esprimendo 

per   r  il  raggio   delle  tavole .    Nel    caso   nostro   sara 

dunque  A  D  = 'L.sen.--^  ovvero,  cliiamaado  «  Tan- 

^  r  a 

2;olo  al  centro  sen.~  .   Deterniinato  il   valore   di 

o  7-  a 

AD  SI  avra  quello  eziandio  di  B  D  per  mezzo  delVa- 
ualogia  sen.  B  :  sen.  B  A  D  ==  A  D  :  B  D .  In  questa 
r  angolo  BAD  e  ugnale  alia  somma  delT  osservato 
EAB^  e  di  EAD  fonnato  dalla  tangeute  e  dulla 
corda,  e  per  conseguente  ugiiale  alia   ineta  dell' an- 


golo al  centro.  E'  dunque  BAD=:EAB-^ — .  Anche 

I'esprcssione  delVangolo  B  c  d'uiia  forma  simile  a  quel- 
la  di  BAD;  poiche,  essendo  B  =  \'6o°—C  A B  —  w, 


STILLE    LIVELLAZIONI    BAROMETUIGIIE  179 

e   C  A  B  =  1)0^  ^  E  A  B   sara    B  =  go"  -  £  A  ~  <,. 

Cio  posto   avremo   sen.  B  A  D  =  sen.  {E  A  B  -¥--  );  e 

sen.  B  =  COS.  {  E  A  B  -*-  u  ) .   Sostitulti  in   fine   questi 
\alori  nella  piecedenie  analogia  ne  trarreino 

JBsen.iLAB-^--) 

DB= ^ e_  . 

COS.  (  E  J  />'  -H  w  ) 

NeH'osservazione  della  torre  clella  IMatelotte  si  ebbe 
EAB  —  8''z'7'  10";  co  =  o'  2'  18",  94;  e  Cyi  =  8271430  . 
Dunque,  per  calcolare  la  corcla  AD,  avremo 
X  2  =:     o  .  3oit/3oo 
LCA=  =     6  .  5.47877 
L  sen.  -  =     6  .  5278609 


Somina  =13.  8431286 
L  r  =   10   . 


LAD=     8  .  3431286;  y:/D=22o3,68. 

Dopo  d'  aver   trovato  il  valore  di  A  D   calcole- 
remo  anche  quello  di  B  D  iiel  modo  seguente. 

Lsen.{EJB-^'^  =    9  .  1682884 

LAD  =    3  .  3481286 

12  .  5i 14120 
Lcos.(EAB-^u)  =    9  ,  9902149 


LDB=    a  .  5161971  ;  Z)i?=  828  ,244 


loO  V    E    N    I    N    I 

!Nel  primo  esemplo,  calcolando  qiiest'altezza  me- 
desima  col  triangolo  C  AB^  rabbiam  trovata  di  828, 
43  te.;  cosicche  la  difl'erenza  iVa  i  due  risultati  non 
giugne  ad  un  quiiito  di  tesa  . 

Pel  moiite  Canigoii  Taiigolo  al  ceiitio  e  3o'  i  i",i2; 

E  AB  -H^  =  2''52'5",56;  ed  £  A  B -i-^  =  y  f  ii",^2. 

Fatto  il  calcolo  con  (jviesti  dati  e  col  valor  di  C  A 
si  trova  D  B  =  i^^Sq  ,  489  valor  niinore  del  tro- 
vato  col  calcolo  del  triangolo  CAB  di  6  ceiitesinii 
di   tesa.    ^ 

Pel  monte  San  Bartolomeo  Y  angolo  al  centro  c 

55' 3",  -ji;  E  A  B  ^-=  i°i7'  3i",  85;  ed  E  A  B -^ 

w=  i°45'3",  yr.  Facciasi  il  calcolo  con  questi  da- 
ti; e  si  trovera  D  B  =:  ii82,i5-^  valor  miiiore  d'una 
tesa  di  qiiello,  clie  ci  ha  dato  \\  calcolo  del  trian- 
golo CAB. 

54.  Quando  la  visnale  A  B  non  eccede  la  lun- 
ghezza  d'  un  grado  di  latitudine,  1'  angolo  al  centro 
e  r  aliezza  D  B  potranno  detenninarsi  nel  mo  !o  se- 
guente  anclie  per  mezzo  del  triangolo  AB  F.  In  (pie- 
sti  casi  la  retta  A  F  piio  senz'  alcnn  sensibil  errore 
sostituirsi   alia  tan«;ente  A  d.  Ora  AF  e  =s 

A  B  COS.  E  A  B  ,  1-         I  .  .  11 
;  vale  a  dir,  cli  essa  e   nota  quando  la 

visnale  A  B .,  e  l'  angolo  d'  elevazione  son  noti .  Tl 
valor  cognito  di  ^  Z'  e  dunqne  l'  espressione  della 
tangeiite  dell'  angolo  al  centro  iii  un  circolo;   il  cui 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAKOMETRICHE  l3l 

raggio  ^  C  A;   e  per   consegucnza  -.,        e  V  espres- 

sione  della  tangeiite  deU'angolo  anzidetto  nel  cerchio 
del  raggio  r,  die  e  quel  delle  tavole.  Per  mezzo  di 
qiieste  troverassi  diuique  1' angolo  C,  ed  il  coseno  e 
la  secaute,  die  gU  convengono. 

^  ^   r-.    .  ^  fi  COS.  E  A  B  ,     n   r?    ^    

Come  A  F  c  = ,   cosi   /j  i'    c   = 

r 

A  B  sen.  E  A  B     r\       •  •       i  •   .•  v     •     -r 
.  Or  SI  osservi,  die  pci  triangoU  simili 


CacU.BF  d  e   B  cl  =  ^'l:^^  .   Ma  nd   triangolo 

C  A  d   e   C  A  :  C  d  =  r  :  sec.  C.   Sara   dunque    C  d  ^^ 

C  A  sec.  C                                              „   ,        B  E  sec.  C 
^ ;  e  per  conscgueiite  U  d  = —  = 

A  B  sen.  E  A  B  sec.C        A  B  sen.  E  A  B     ^        i  n    /    < 

T = .  In  oltre  JJ  d  e 

r  COS.  C 

=  Cd-C  A  =  ^f^'^'-^  ^CA  =  CA(  £f£:£:Z.' ).  Sa- 

,    ,  r,  ,^       A  B  sen.  E  A  B        r,    a  i         C         . 

ra  dunque   B  Dz= -; ^  C  A  { sec.  -  —  i  ) . 

^  COS.  C  ^  r  ' 

Per  la  torre  della  IMatelotte  abhiamo  C  A  = 
3271430;  A  B  =  2228;  td  E  A  B  =  1^"  27'  10".  Con 
questi  dati  il  valor  di  A  F  si  cal.cola  nel  modo  se- 
guente 

T.  II.     P.  II.  23 


iSa  V   E  N  I  N  I 

L  COS.  E  J  B  =  ()  .  9g5i566 
LAB  =  3  .  3479 1 5a 
com.LCA  =  3  .  485a,6a3 


L  tan.  C  =  6  .  8284341  ;  C  =  a'  18"  ,  gS. 

Neir  esempio  F  calcolanilo  col  triangolo  CAB 
abbiam  trovato  lo  stess' angolo  =  1'  18",  94:  onde  la 
difterenza  dei  due  risultati  si  riduce  ad  uii  centesi- 
mo  di  secondo. 

Detcrminato  cosi  1'  angolo  al  centro  si  passa  a 
calcolar  1'  altezza  B  d  come  qui  sotto 

L  sen.  E  A  B  z=    9  .  1673008 

LAB  =     3  .  .3479 r5a 

la  .  5i5ai55 
L  COS.  C  =     9  .  9999999 


LB  d  =■    a  .  5ioai56  ;  B  ^/  =  327  ,  5o3. 

Resta  da  trovarsi  il  valore  di  clD;  al  qual  fine 
supporremo  il  raggio  delle  tavole  uguale  all'  unita. 
In  questa  supposizione  avremo  dD  =  CA{sec.C—i); 
e  nel  caso  presence  =  C  A  { sec.  2'  18",  9.5  ~  i  )•  Ora 
egli  e  noto,  clie  le  porzioni  delle  secanri  comprese 
fra  la  tangente  e  la  periferia  sono  nei  piccoli  ango- 
li  ad  un  di  presso  in  ragion  duplicata  degli  angoli 
medesimi.  Sendo  dunque  sec.  a' —  i  =  o  ,  0000002, 
r  analogia  (  120"  )*  :  (  i38" ,  9$  )*  =  o  ,  0000002  :  x  ci 
dara  il  valor  di  d'  x  col   calcolo  seguence 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICIIt  l83 

Z(i38  ,95)'  =  4  .  285717a 
1/ 0,0000002  =:  3  .  3oio3oo 


7  .  506747a 
Z-(iao)*  —  4  .  1583624 


Lx  =  3  .   4283848;  a;  =  0,000000268'. 

Qiiesta  frazione  mokiplicata  per  3271430  valor 
di  C  A  ne  dara  finalmente  d  D  =  o  ,  8772;  e  quindi 
B  D  =  B  d-^d  Z>=  328,3802  valoie  minor  di  qiiel- 

lo  die  da  il  calcolo  del   trian3;olo     CAB  di  —    di 

o  100 

tesa  • 

Pel  Canigou  fu  C  ^  =  3271421 ,5;  J5  =  28767; 
ed  E  A  B  =2°  37'  o".  Fu  dunque  LAF=LAB^ 
L  COS.  EAB  —  LCA  =  i.  9437038 ;  al  qual  loga- 
ritino  dcUa  tangente  corrisponde  nelle  tavole  1'  an- 
golo  0°  3o'  11",  83.  Con  questi  dati    calcolo  1'  altez- 

Tt   J       A  B  sen.  EAB  ,  000 

za  Bd=i ;   e  lo  trovo  =  i3i3  ,  37   te. 

COS.  C  -  ' 

Or  per  aver  anche  il  valore  di  d  D  mi  valgo  dell'a- 
nalogia  ( 3o')* :  (3o'  ,  197)'  =  o  ,  oooo38i  :  x;  en'  ho 
X  =:  o  ,  oooo38574;  e  da  questo  valore  moltiplicato 
per  quel  di  CA  mi  risvdta  126, 38;  onde  viene  BD  = 
B  d  -*-  d  D  =  1439  ,  65;  valore  che  supera  d4  un  de- 
cinio  di  tesa  quello  del  triangolo  CAB. 

Facendo  aifnie  pel  monte  San  Bartolomeo  un  cal- 
colo simile  ai  precedeud  si  trova  B  d  =i  762  ,  4888 ; 


i84 


1^    N    I    N    I 


fZ  79  =  ^19  ,  8[  ;  e  i?  Z)  =  1182  ,  298B;  vale  a  dire; 
die  ([iiesto  risiiltato  c  iniiiore  di  qucUo  del  triangolo 
CAB   di  86  centesimi   di  tesa. 

II  valor  mcdesimo  di  d  D  puo  determinarsi  an- 
clic  ill  tjiicst'  akra  maniera  piu  spedita.  Qiialunque 
sia  ran;>;olo  al  centro  il  valor  di  t/Z>  e  riaorosarneii- 


tc  — 


Ad 


all-^dD 


esprimendo  per  R  il  raggio  terrestre. 


jiMa  nelle  livellazioni  ordinarie  e  nelle  misiire  geome- 
triclie  doUe  altezze  l' angolo  al  centro  e  semprc  cosi 
picciolo,  che  senza  pericolo  d'alcun  sensibil  errore  si 
puo  sostitiiire  AF  ad  Ad,  e  ridurre  i!  deiioininatore 

— _i 
a  2/?.   Cio  fatto  sara  dD=  '--^  ;  e  LdD  =  i  LAF~ 

Z  2  /?;  ovvero  2  L  A  F  -^  com.  L  1  R  pe'  cast  della 
differenza  neaiativa. 

Per  la  torre  della  IMatelotte  abblamo  2LAF= 
6  .  686:3436,  e  com.  L  2  R  =  ?j  .  1842320  ;  e  quiiidi 
L  d  D  =  c)  .  8705709;  e  d  D  =  o  J  74229. 

Pel  Canigou  e  2  L  A  F  =S.()\6S\i'^o,  e  L2R  — 
6  .  815766597;  onde  viene  L  d  D  =  2  .  10116400;  e 
fZ  Z>  =  126  ,  21. 

Finalmente  pel  monte  San  Bartolorneo  si  ha 
:i  L  A  F  =  ()  .  4389022  ;  L  2  R  come  pel  Canigou; 
L  d  D  =  2  .  623i356o3;   e  tZ  Z>  =  419  ,  89. 

Le  dilTerenze  tra  questi  valori  e  quelli,  che  qui 
sopra  al)]jiam  trovati  sono  —  o  ,  1249 1 ;  —  o  ,  07  ;  e 
-t-  o  ,  08. 

55.  !Ma,  poiche  nel  modo  comune  si  e  determi- 


SULLE    LIVELLAZIOXI    BxVROMETKICIIE 


l85 


nata  la  Imigliezza  clella  \isaale  J  B  e  niisnrato  1'  an- 
golo  £  A  JS ,  put)  determinarsi  1' altezza  D  B  senza 
calcolaie  alcuii  altro  triangolo.  A  questo  fine  si  pro- 
](in2;lii  entro  al  circolo  la  visuale  J3  A  fino  a  die  ne 
tagli  la  circoiiferenza  in  qnalcli' altro  panto  B\  e  lo 
stesso  si  faccia  del  raggio  R.  Consta  dagli  elemcnti 
geometrici,  esser  B a\b  A -^-A B')  =  B D{BB ^  2R). 
Or  r  angolo  osservato  EAB  c  uguale  ad  eAB'  op- 
posto  al  vertice;  e  questo,  essendo  formato  dalla  cor- 

A  C  B' 
da   e    dalla    tangente  e  = .   Dnnque    la    corda 

/i  C  R' 
A  B',  la  qual  h  =  2  R  sen. dev'  esser    iiguale 

anclie  a  2  R  sen.  E  A  B.  Sia  A  B  =  a;  £AB=:(p; 
A  D  =  x;  ed  avrenio  1'  equazione  a:  (  a*  h-  2  i?  )  = 
a  {a  -*-  2  R  sen.  ?)';  dalla  qual  si  deduce 

x  =  —  R-t-\/{R'-^a{a-i-2R  sen.  <p)). 

Applichiauio   il    metodo   all'  esempio  della   terra 

idella  Matelotte;  in  cui   fu  a  =  2228;  c?  =  8"  27'  10"; 

[e  giusta  la  supposizion  del  Cassini  i?=  32-1430.  Cio 

iposto,  per  aver  il  valore  di  2  R  sen.  (p  faremo  il  so- 

lito  calcolo,  cioe 

La  =  o  .  3oio3oo 
LR  =  6  .  5147877 
Lsen.(p  =  9  .  1678003 
5  .  9880680 
[A  questo  logaritrao  corrisponde  il  numero   961762, 


1 86  VEifiNi 

88;  al  quale  aggiunto  2228  avremo  a  -^-  2  R  sen.  (p  = 
963990  ,  88.  Con  questi  dati  calcolo  come  segue 

jL  (  a  -+-  a  /?  sen.  (p)  =  5  .  984072885 

L  a  =  3   .  3479i5a 


9  .  331988085 


Cerco  il  numero  corrispondente  a  questo  logaritmo, 
e  trovo  2 1 47  77 1 708.  Tal  e  dunque  il  valore  di 
a  {a  -¥-  2.  R  sen.  $  );  al  qual  deve  aggiugnersi  il  qua- 
drat© di  R  per  aver  l'  intera  quantita  di  cui  dessi 
prendere  la  radice  quadrata.  Ora  il  doppio  del  loga- 
ritmo di  i?  e  i3  .  0294754;  ed  a  questo  corrisponde 
il  numero  10702258620689.  L' intero  numero  posto 
sotto  il  radicale  e  dunque  io7044o6?)92397.  II  loga- 
ritmo di  questo  e  i3  .  0295625562^  e  la  sua  me- 
ta  6  .  5 1 478 1 278 1  ;  il  cui  numero  corrispondente  e 
3271708,42.  Ne  levo  3271430  valore  di  i?  ;  e  mi 
resta  328  ,  42  risultato  minore  d'  un  sol  centesimo  di 
tesa  paragonato  a  quello  del  triangolo  CAB. 

Da  quest' esempio  vedesi  apertamente  quanta  sia 
I'esattezza  del  metodo;  ma  si  vede  altresi,  ch'esso  con- 
duce a  calcoli  laboriosi;  e  che  non  e  percio  da  prefe- 
rirsi   agli  altri  metodi  d'un  calcolo  men  complicato. 

Supposto  C  B  =  X  sara  (  x  —  ii  )  (  x  -«-  i?  )  =: 
a{a-i-2  R  sen.  <p);  ed  x  =  \/  {a"" -^-  2  a  R  sen.  <p  -»-  i?'); 
ovvero,  poiche  sen.  4)  e  =  —  cos.  (90°-+-  <?),  sara  vT  = 
v/  ( a'  —  2  ft  i?  cos.  ( 90"  -+-  $ )  -4-  7?" ) ;  che  e  la  formo- 
la  trigonometrica,  dalla  quale  e  espresso  il  lato  CB 
nel  triangolo   CAB. 

56.  Per  metter  meglio  in  cliiaro  la  corrisponden- 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROIvrETllICHE  I07 

za  fra  i  nilei  risultati  e  quelli  del  Cassini  io  ho  sup- 
posto,  com'  egli  fa  nel  luogo  citato,  die  la  Terra  sia 
sferica  e  d'  uii  raggio  =  d>2-]i^'io  tese.  Ma  egli  e  ora 
fuor  d'  ogtii  dubbio,  esser  la  Terra  una  sferoide  com- 
pressa  ai  poli  ed  enfiata  aU'equatore;  in  cui  pero  as- 
sai  piccola  e  la  differenza  degli  assi  in  confronto  del- 
la  lungliezza  loro.  II  misiirar  I'altezza  d'un  punto  al 
di   sopra  d'  una  sferoide  consiste    nel   trovar  la    lun- 
gliezza  della  perpendicolarc;,   che  va  da   quel  punto 
alia  superficie  sferoidica.   Ma  si  fatte   perpendicolari 
non  concorron   nel   centro    della   sferoide  come  con- 
corrono  in  quello  della  sfera,  e  questa  diversita  ren- 
de   la  misura  delle  altezze  piii  difficile  nella  sferoide 
che  nella  sfera.  Nondimeno,  quando  gli  archi    cV  un 
ineridiano  sferoidico  son  piccioli,  essi  confondonsi  co- 
gli  archetti  di  quel  circolo,  che  i  Geometri  cliiama- 
no  osculatore  ■,  il  che  facilita  di  molto  la  misura  delle 
altezze  auche  nella  sferoide.  Imperciocche,  per  niisn- 
rar  un'  altczza  ad  una  data  latitndine  snlia  Terra,  che 
si  suppone  una  sferoide  elittica,  si  cerchera  di  quanta 
tese,  giusta  le  piu  esatte  misure  in  questi  ultimi  tem- 
pi esegiiite,  sia  il  grado  del  meridiano  a  quella  lati- 
tudine:   e  sen    conchiudera  la   lunsihezza   del  ra2;Q:io 
osculatore  di  cjuel  grado;  ossia  il  valore  di  C  a  nella 
fig.  r.  Ora  si  avverta  che,  volendo  sulla  sferoide  ter-» 
restre  misurar  le  altezze  con  precisione,  cio  dee  farsi 
in  quelle  soltanto,  per  le  quali  I'angolo  al  centro  del- 
la sfera  generata  dalla  rivoluzione  del  circolo  oscula- 
tore e  molto  picciolo,  ed  al  piu  poco  maggiore  d'  un 
grado.  Allora  si    puo   supporre  senza  pericolo  d'  al-r 
cun  sensibil  errore,  die  la  perpendicolare  ccndotta  da 


l88  V    E    N    I    N    I 

B  alia  superficie  terrestre  sia  perpeiulicolare  anche 
alia  slera  osculatrice  del  punto  A\  e  si  confonda  per 
consegiiente  colla  retta,  die  coiigumge  i  puiiti  C^B 
perpendicolare  anch'  essa  alia  superficie  della  sfera 
osculatrice.  11  calcolo  delle  altezze  si  fara  duiiv-jue  co- 
me se  la  Terra  fosse  sferica  e  d'  uii  raggio  uguale  a 
quelle  del  circolo  osculatore  della  data  latitudine. 

Per  dichiarare  in  qiial  inodo  s'  abbia  a  calcolar 
questo  raggio  io  prendero.i  dati  da  lui'  eccelleute 
nicinoria  del  Sig.  Abate  Oriani  impressa  nelle  Efl'eme- 
i-idi  astronomicbe  di  Milano  per  1' anno  1807  col  ti- 
tolo  Fojwole  per  calcolare  la  latitudine  c  la  longitu- 
dinc  sullo  sfcroide  elittico . 

„  Faccndo,  dice  egli,  il  semiasse  della  Terra  =1; 
„  il  semidiametro  maggiore,  ossia  il  raggio  dell'equa- 
tore  =  a ;  r  eccentricita  del  meridiano  =  e  = 


\/(«'-^M.    •  „     ^    -A  ,.. ..  ^ 


si  avra  il  rapporto  -  =  y/  ( i  —  e^).   In 


a  ^ '-  a 


5» 


oltre,  posto  nella  latitudine  >•  il  grado  del  meridia- 
no =  G,  sara  G  =  -^  •  ~ — ; — — — 7;  nella  qual 

formola  t=  3,14159265  esprime  la  scmicirconfe- 
renza  del  circolo,  il  cui  raggio  e  =  i.  Siiuilmente 
nella  latitudine  }'  sara  il  grado  del  meridiano   O  =s 

T  a{\  —  e' ) 


180°     (i  _e^^e/i. /.'')i 
sen.  >.'"■  ~{-^,)'  sea.  A* 


onde  ne  risulta 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAllOMLTliICIIE 


189 


„  Sotto  r  eqiiatore   ahbianio   /=o;    G  = 
„  tese  iVancesi;  e  nella  latitudiiie  media  del  grand'ar 
„  CO  inisurato  idtiniamcnte  in  Francia 

5,  A' =  46"  11' 58"  ,  C'=  57018  tese:  si  oitiene  quindi 

5,  e*  =  o  J  00596148 


a 


181 


56753 


3271209  tese 


T         I  —  e 

„  l^  =  a\/{i--c^)  =  8261443  tese 

Le  osservazioni  del  Cassini  furon  fatte  a  Collioii- 
re,  e  presso  lo   stagiio  di   Leucate  alia   latitudine  di 

quasi  .a3  2;radi.  Nella  fonnola  C=-7r-s  • ■ —z 

i<ju       (i  — e  je«.A)-' 

pongo  diinqiie  a  =  43";  e  trovo  il  logaritmo  del  nu- 
meratore  =  17.0092613,  e  quello  del  denoiniiiatore 
=  12  .  253+630.  Or  quindi  viene  Z/  G  =  4  .  7657983, 
e  0  =  56990.  Per  trovar  il  raggio  del  circolo  oscLda- 
tore,  nel  quale  ogni  grade  e  di  66990  tese  mi    valgo 

.della  seguente  analogia  t:  1=:  180° .  66990  :  i?;  la  qua- 

'le  mi  da  i?  =  3265283  ,  46.  lu  tutti  i  calcoli  delle 
altezze  posti  qui  sopra  si  dee  dutique  nel  valoie  di 
C  a  sostituire  3265283  ,  46  a  3271420;  ma  da  questa 

I'sostituzione  nascera  nei  risultati  dei  calcoli    una    pic- 

icolissima  diflerenza. 

Ecco  il  calcolo  per  la  torre  della  IMatelotte;  ove 

ffu  AB  =  222d-  EJB  =  Q' 2-' 10";  0^"^-  =  40" 46' 2 5". 

^Essendo  C  a  =  3265283  ,  46;  ed  il  inuito  A  superiore 
T.  II.    I\  11.  ^  o^     ^ 


IQO 


V   E   N    I   N   I 


ad  n  (li  10  tese  abbiamo  C J  =  3265293,46;  e  quin- 
di  C/i-J  5  =  3263065,46;  eCJ-t-^i?=  3267521, 46. 
Con  questi  dati  io  calcolo  cosi 


L  tan 


B 


Per  gli  angoli 
=    9  .  9356954 


L{CA—AB)  =    6  .  5i362583r 

16  .  449^^^^^^ 

L{CA^AB)^    6  .  514218491 


J5  Q 

Ltan.  =    9  .  93510274 


B 


^  =  8i' 3o'3o",8,-  0  =  0"  a' 19", a. 

Per  r  altezza 
Lcos.EAB  =z    9  .  995^566 
LCA  =    6  .  513922261 


=  4o*44'5",3 


16  .  5091 7886 1 
L  sen.  B  =    9  .  995212948 


LCB  =    6  .  518965913;  C5  =  3265621  ,9 
J9  Z?  =  328 ,  44. 

L'accrescimento  dell' altezza  e  qui  d'un  solo  cen- 
tesimo  di  tesa. 

Per  tar  il  calcolo  del  Canigou  abbiamo,  oltre  al 
dati  deir  esempio  11,  CJ  =  Ca -t- i  ,5^3260284,96; 
e  con  questi  si  trovau  gli  angoli  5  =  86"  52'45", 26 ;  e 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAUOMF.TIIICIIE  IQl 

C"  =  o"  3o'  14"  ,  74.  Quanto  aU'altezza  il  calcolo  da 
C  B  =  3266733  ,9;  e  D  B  =  1438  ,  94.  Qui  pme  si 
ha  un  accresciinento  di  soli   14  ceiitesinii  di  tesa. 

Finalinente  pe\  moiite  San  Bartoloineo  i  risiiltati 
del  calcolo  sono  (7/^=3266467,32;  e  7.) i?  =  1 182,36. 
In  questo  caso  Takezza  e  ininore  di  4  quiiui  di  tesa. 

Da  ijiiesti  cseinpj  raccogliesi,  che  per  le  latitu- 
diiii  poco  distaiiti  dalla  media  45"  si  potra  senz'  alcu- 
no  iiiconvenieate  iisar  il  raggio  osculatore  di  45  gra- 
di;  il  qual  e  di  tese  32663oo,  e  cosl  rispanniare  i  cal- 
coli  delle  Imighezze  dei  gradi,  e  dei  raggi  osculatori, 
die  lor  corrispondono. 

A  II  T  I  c  o  L  o     II. 
Dc/lc  jifrazioni  tcrrcstrl. 

57.  Tiitte  le  altezze  determinate  coi  metodi  dei 
numeri  preccdenti  si  riferiscotio  al  puiito  B,  in  ciii 
termina  la  visnale  A  B .  Ma  questo  punto  non  e  la 
vera  sonimira  del  monre;  la  quale  e  veramente  in  b% 
ma  la  ridaziou  della  luce  1'  innalza  piu  o  meno  se- 
condo  che  maggiore  o  minore  e  la  distanza  del  pun- 
to  A  da  queVlo,  in  cui  la  superflcie  terrestre  e  taglia- 
ta  da  una  perpendicolare  abbassata  da  B;  o  in  altri 
termini  secondo  die  maggiore  o  minore  e  I'  angolo 
ACB  compreso  dalle  rette,  che  dai  punti  A  e  B  van- 
no  al  ceiitro  della  siera  osculatrice  del  punto  A;  e 
che  abbiam  'ria  detto  chiamarsi  anoiolo  al  centro.  lo 
seguiro   a    nuuiinarlo   w;    ed   esprimero   colia   frazioue 


192  V    E    N^    I    N    I 

-  il  rappoito  tlella    rifrazione  a   quest'  angolo;  ontle 


//;.  w 


la  rilVazione  sara 

11 


II  valore  di    -  non  e  per  verica  noto  esattamen- 


le;  ma  il  celebre  Lambert  applicando  ad  alciine  os- 
servazioni  del  Cassini,  clie  si  leggon  nelP opera  da  ine 
gia  citata,  la  sua  iiigegiiosa  teoria  delle  rilVazioni  cir- 
colari  presso  la  superficie  della  Terra  ne  concliiuse  die 
Tangolo  di  rifrazione  c  im  quattordicesimo  deirango- 

lo  al  centre,  ossia  die  —  e  =  — .  Ep-li  e  pero  niestie- 

ri  d'  osservarc,  die  il  dotto  matematico  fece  i  suoi 
calcoli  scnza  sapor  cjiial  fosse  la  dciisita  delTaria  nei 
luoghi  dclle  osscrvazioiii;  poiche  il  Cassiiii  nou  fa  in 
esse  menzion  veriuia  del  baroinetro  e  del  teriiiome- 
tro.  Si  vegga  1' opera  del  Lamljert  intitolata  Lcs  pro- 
prictcs  renianjnables  dc  la  lum'ierc  ec.  pag.  70  ,  71  ,  75. 
11  iriiglior  'mezzo  per  determinare  la  quantita  del- 
la  rifrazioii  terrestre  e,  come  i  Fisici  ben  sannOj  il  se- 
giiente.  Si  misnrino  con  somina  esattezza  nel  tempo 
medesimo  gli  angoli  apparenti  d'  altezza,  e  di  de- 
pressione  in  dne  luoghi  pe'  quali  sia  uoto  1'  angolo 
al  centro;  e  qnesti  si  chiamino  a  e  d.  Sia  «  1' an- 
golo al  centro;  e  la  rifrazione  si  esprima  per  r.  II 
vero  angolo  d'  altezza  sara  dunque  a  ~  /•;  etl  il  ve- 
ro  di  depressione  d  —  <»  ■+-/-.  Or,  dovendo  c^ueste 
<luc  esyiressioni  dcllo  stess' angolo  esser  uguali  Ira  lo- 
vo,  sara    a  —  /==(/  —  c^  -t-  r  equazione,  da  cui  si  trae 


SUI.LE    LIVELLAZIONT    r.ArilOMETRICIIE  1 9!) 

ben   facilmente   r  = .    L'  iiso  cli  qiiesta  lor- 

mola  pu6  veclersi  nei  due  csempj   seguenti. 

II  Sig.  Cassini  de  Tliury  dal  monte  di  Santa  Vic- 
toria osservo  in  Frovimza  la  deprcssione  del  monte 
des  Houpics,  e  da  questo  I'altezza  del  primo.  Le  os- 
servazioni  gli  diedero  f/  =  o''4r  40";  ed  a  =  o°  16'  4S". 
L'  angolo  al  centre  <-i  determinato  colle  misure  trigo- 
nometriche  fatte  per  la  verificazione  della  meridiana 
di  Francia  fu  o"  28'  i5"  ,  5  =  iGyj",  5  .  Or  questi  nu- 

...        „       .          -       ,                       3' 20",  5 
men   sostituiti   nella   lormola   danno   /•  =  ■ = 


ico'',25.  Qui  abbiam  dunque  -.   1695",  5  =  100' ,  20 


m 


e  per  conseguente  —  = -.-^^  =  o  ,  0001  =  — : . 

Le  osservazioni  fatte  al  monte  des  Hoitpies,  e  ad 
Acquamorta  diedero  d  =  0°  4c'  20";  a  =  0°  9'  41";  ed 

4'  5?" 
w  =  o°35'36''.   Da    questi    dati   risulta   7= — ^-^  = 


148",  5.  In  quest' osservazione  fudunque  — .  2i36"  = 


>V7  T  , 

148'' ,  5;  e  quindi  -  ^  o  ,  c6o5  = tt^.  II  valor  me- 

^  11  -^         14^38 

Til             ^     1              c  ,  cSni  -Je-  o  ,  o6q5  ^   „ 

aio  del  due  sara  dunque — 2_=o,o6^.3= 

I 
i5  ,  55  " 


194  V    £    X    I    N    I 

Se  avessiino  un  biiou  numero  di  simili  osserva- 
zioni  fatte  a  que'  diversi  angoli  al  centro,  ai  qiiali 
senza  peiicolo  d'  errore  posson  inisurarsi  le  altezze  del 
monti,  ed  a  varle  densita  dell' aria  indicate  dal  baro- 
jnetro  e  dal  termometro,  noi  potreinmo  foise  dcduriie 
qualche  regola  non  affatto  incetta  per  le  niisiire  del- 
le  rilVazioni  tcrrestri.  Ma  si  avverta  bene,  non  dover 
le  osservazioui  csser  fatte  ne  alle  prime  ne  alle  idti- 
me  due  ore  del  giorno;  pcrche  allora  la  gran  qnaii- 
titu  dci  vapori  iueguabncnte  sparsi  nelTatmiosfera  al- 
tera di  troppo  le  rifrazioni,  c  le  rende  aflatto  irre- 
golari . 

]Ma  nn'  altr'  avvertenza  e  non  men  necessaria  del- 
la  prccedciite;  cioe  che  la  misiira  dogli  aiigoli  dell'al- 
tezza  e  -della  deprossione  apparente  sia  fatta  contein- 
porancamente  da  due  diversi  osservatori:  perciocche  se 
la  misura  sara  latta  da  uii  solo  in  tempi  diversi,  an- 
che  la  densita  dell'aria,  e  per  conseguente  la  rifra- 
zione  sara  probabilmeute  diversa;  e  reudera  falsa  la 
supposizioae,  cli' ella  accresca  di  tanto  I'angolo  d'al- 
tezza,  di  quanto  diminuisce  quel  di  depressione.  Dc- 
termlnato  con  queste  precauzioui  il  vero  valore  del- 
la  rifrazione  r,  saran  noti  anchc  gli  augoli  deirakez- 
za  vera  a  —  /•,  e  della  vera  depressione  d  ~  u  -^  r. 
Cio  iatto  ancbe  nu  solo  osservatore,  misurando  da 
nna  delle  stazioni  in  ienq:)i  diversi  ed  a  varie  altezze 
deo;li  striuncnti  meteorolo^'ici  p-H  au£2:oli  d'  altezza  o 
di  depressione  apparente,  potra  vedere  quanta  sia  la 
diversita  delle  rifrazioni  inauifestata  dalla  diversita, 
die  passa  fra  gU  angoli  apparenti  ed  il  vero  a  lui  gia 
noto. 


SULLE    LIVELLAZIOXI    BAnOMETUICItE  IQD 

Eccone  mi  eseinplo.  Dalle  grandi  operazloni  tri- 
gonometriclie  fatte  dai  iiostri  astroiiomi  dell'  osserva- 
torio  di  Milano,  supponendo  il  raggio  tcrrestre  di  te- 
se  3270000,  risidta  una  distaiiza  orizontale  di  tese 
10' iT)  tra  la  sala  dell'  osservatorio  ed  il  castel  JJara- 
dello  di  Como.  La  limgbezza  di  iin  grade  pel  rag- 
gio 3270000  e  di  tese  07072  ,29;  e  l'  angolo  al  ccii- 
tro  pei  due  liioghi  iiidicati  si  determina  roll'  analo- 
gia  57072,20  a  191  i5  come  60  al  quarto;  il  qiial 
trovasi  =  0°  20'  5" ,  4. 

Per  mezzo  delle  osservazloni  contemporanee  fac- 
te dai  Sig.  De  Gesaris  ed  Oriani  si  e  trovato,  che  il 
vero  angolo  d'  elevazione  della  sommita  della  torre 
del  castel  Baradello  sopra  la  sala  dell'  osservatorio  e 
=  0°  19'  i3"  ,  6;  ed  io  lo  cliiamero  (p.  Cio  posto,  se 
in  tempi  diversi  e  con  molta  varieta  nelle  altezze  del 
barometro  e  del  termometro  si  misureranno  2;li  anoio- 
li  deir  altezza  apparente  della  cima  della  torre  sopra 
la  sala  dell' osservatorio,  e  chiameransi  <P',  !?>",  cp'"  ec, 
le  rifrazioni  saranno  cp'  zt.  cp;  (p"  dz  <p;  (p'"  ±  p,  ec. ;  e 
queste  divise  per  l'  angolo  al  centre  20'  5" ,  4  daran- 

,  .       ,     .    ..  m 

no  altrettanti  valori  di  —  . 

/I 

II  Sig.  Giovanni  Tobia  Mayer   figlio  del   celebre 

astronomo  di  questo  nome  nel   capo  XVI   della   sua 

Geometria    pratica    parlando  delle   rifrazioni    terrestri 

si  esprime  in  questi    termini.  „  Lo  stato   dell'  atmo- 

„  sfera  dipende  dalle  mutazioni  di  sua  densita;  e  sic- 

1,  come  questa  ci  e  indicata  dai  barometro  e  dai  ter- 

„  mometro,  cosi  puo  dirsi,  cbe  la  rifrazione  dipende 

„  dallo  stato  del  barometro  e  del  termometro.  Posto 


196  V    E    N    I    N    I 

„  che  la  rifrazione  sia  —  dell'  ano;olo  C  (cioc  dcW  an- 

ni  ° 

„  golo  al  ccntro)  io  ho  trovato,  in  conseguenza  d'un' 
„  ipotesi,  che  nou  si  scosta  nioko  dal  vero,  che, 
„  quando  nella  stazione  inferiore  il  barometro  e  a  28 

„  pollici,  i  valori  della  frazione  —  per    diversi    giadi 

„  del  termometro  di  Reaumur  sono  i  segiienti. 


Cradi  del  termometro 


—  10 


Valori,  di  — 

in 

-___  =  o,  o64to 
lb  ,(i 


10 


20 


16,4 


o , 06097 


=  0  5  o58i4 

17, a 

—  =  o  J  o5555 


18,0 


„  I  risultati  di  questa  tavola  si  dovranno  accrescere 
„  o  diminuire  secondo  che  il  barometro  sara  piu  o 
„  meno  alto  di  28  pollici. 


E 


S    E    M    P    I    O. 


„  Qual  parte  dell'  angolo  C  sara  la  rifrazione 
„  quando  nella  stazione  inl'eriore  il  termometro  sia  a 
J,  10  gradi  sopra  il  ghiaccio,  ed  il  barometro  a  pol- 
„  lici  27  ,  5? 


SULLE    LIVELLAZIONI    B.VROMETllICHE  1 97 

,,  Siccome  per  -+-  lo''  nel  termoinetro  il  valore  di  —  e 
'  m 

„ =  o, 05814,  COS!  si  dira  28 :27  ,  5  =  o,o58i4  :  X 

1 7  J  i 

„  e  sara  a:  =  o, 05710.  Pel  supposto  stato  deiratmo- 
„  sfera  sara  dunqiie  la  rifrazione  =0,05710  deiran- 
„  golo  C.  „ 

Fill  qui  r  autore,  il  quale  io  biamerei,  die  noii 
si  fosse  ristretto  ad  acceunar  soltanto  I'ipotesi,  sulla 
quale  e  fondata  la  sua  regola  ma  avesse  spiegato  qua- 
le ella  sia,  ed  a  quali  foudanienti  appoggiata. 

58.  II  Sig.  La  Place  alia  pag.  278  vol.  IV"  della 
Meccanica  celeste  ha  date  due  formole  per  le  rifra- 
zioui  terrestri.  La  prima  calcolata  neir  ipotesi  del 
calor  costaute  a  tutte  le  altezze  dell'  atmosfera  la  fa 


eguale  ad  5 — - —  quando  il  termometro  e  alia  tem- 

iperatura  del  gliiaccio  che  si  scioglie;,  ed  il  barometro 

a  pollici  28  linea   i.  L'altra  da  lui  calcolata  per  uu' 

lij)Otesi  piu  probaijile  intoruo  al  calore  a   diverse   al- 

Ltezze  neir  aria,  e =  allorclie  il  barometro  ed  il 

1 1  J  9000 

[termometro  sono  alle  due  altezze  pur  ora  iudicate. 
[Preiideudo  una  media  fra  le  dodici  dilatazioni  dell'a- 
Iria  poste  al  num.  32,  cioe  o  ,  004878,  o  piii  sempli- 
Icemedte  o  ,  0049  per  ogni  grado  di  Reaujiiur  la  se- 
jconda   formola    del    Laplace    dara   i    seguenti    valori 

Ij.   m 
Idi  -  . 

"'t.  U.    p.  J  I.  25 


iqS 


V    E 

N    I 

N 

I 

T  A    V 

0    L 

A 

I. 

I  termometro 
leaumur 

Valorl  dl  — 
n 

—    10 

c  ,  088147 

0 

0  ,  084031 

H-    10 

0  ,  079913 

•+-    20 

0  ,  076796 

Trentatre  osservazioni  fatte  al  Peru;  11  in  In- 
gliikerra;  8  in  Italia;  7  in  Lapponia;  21  in  Austria; 
5  al  Capo  di  Buona  speranza;  e  12  in  Francia  die- 
dero  i  seguenti  risultati  per  le  altezze  medie  del  ba- 

rometro  e  pei  valori   di  —  tratti  dal  Giornale  del  Sig. 


Zacli  del  mese  di  Maggio  180  5. 


T   A   V   O    L   A      II. 


Paesi 

Bai 

rometro  in  pollicl 

Valori  di  — 
n 

Peru 

16  ,  38 

0  ,  0378 

Inghilterra 

27  ,  58 

0  ,  0724 

Italia 

24  ,  o52 

0    ,    052I 

Lapponia 

27  ,  412 

0  ,  o65o 

Austria 

25  ,  789 

0  ,  o63o 

Capo 

26  ,  46 

0  ,  0690 

Francia 

26  ,  46 

0  ,  0960 

m 


SUT.LE    LIVELLAZI0>''1     BAROMKTHICHE  1 99 

I 

lo  credo,  che  questi  valori  di  —  appartengauo  al- 


ia temperatura  del  ghiaccio;  onde  altro  non  resta  che 
di  ridurli  alia  costante  altezza  barometrica  di  28  pol- 
lici;  il  che  si  ottiene  inoltiplicandoli  per  la   frazione 

A 

-7:  ;  nella  quale  A  esprime  le   altezze  del   baroraetro 

registrate  nella  tavola,  Fatta  la  riduzione  i  valori  di 

m 

—  saranno  come  qui  sotto. 
n  * 

Tavola    III. 

Peru  o  ,  059537 

Inghilterra  o  ,  0735o3 

Italia  o 

Lapponia  o 
Austria 
Capo 


069650 
066394 
o  ,  066999 
o  ,  073616 


Francia 


Med 


10 


o  ,  101710 


o  ,  071687 


Con  questo  medio,  e  colla  dilatazione  di  0,0049 
al  grado  trovansi  per  -  i  seguenti  valori . 


200  V    E    N   I    5J    I 

T    A    V    O    L    A      IV. 

—   10  o  ,  075200 

o  o  ,  071687 

-H    10  O   ,   068174 

H-    20  O    ,    064661 

Ma  io  son  d'  avviso,  die  nelle  misure  geometri- 
che  delle  altezze    eseguite   in  diversi   paesi  convenga 

far  uso  dei  valori  di  —  dati  dalla  tavola  III  per  que' 


paesi  medesimi  o  per  quelli,  che  ne  son  meno  distan- 
ti,  anziche  del  medio  posto  appie  della  tavola.  Con 
queste  precauzioni  si  puo  sperare  di  trar  dalla  tavo- 
la un  valore  di  — ,  che  si  avvicini  quanto  pin  puossi 

a  quello,  che  avra  veramente  avuto  luogo  in  ciaJcun 
caso  particolare.  Dico  cfie  si  avvieini  quanto  piu  puos- 
si; perche  tra  il  valor  medio  dato  dalla  tavola  per 
im  paese  particolare  e  quelh,  che  nello  stesso  paese 
lealmente  esistono  in  tempi  e  circostanze  diverse  e  de- 
terminate si  trova  senipre  una  maggiore  o  minor  dif- 
ferenza.  Della  qual  cosa  la  ragion  principale  a  me 
sembra  consistere  nella  tacita  supposizione,  che  fas- 
si  nel  calcolar  le  tavole,  cioe  che  la  forza  rifrattiva 
dell'aria  sia  sempre  ed  uuicamente  proporzionale  al- 
ia sua  densita  indicata  dal  harometro  e  dal  termo- 
metro;  la  qual   supposizione  e  non  di  rado   smentita 


StJLLE    LIVELLAZIONI    BAROMETKICHE  201 

dair  esperienza.  E  quindl  e,  die  nclle  misiire  geome- 
triche  delle  altezze,  ed  in  quelle  specialmente,  in  cui 
graiide  e  1'  angolo  al  centre,  restera  sempre  qualche 
incertezza.  Imperciocche  il  solo  mezzo,  die  noi  ab- 
biam  di  correggerla  calcolandone  la  rifrazione  quello 


e  di  prendere  il  valore  di  — ,  die  nella  tavola  III  cor 


risponde  al  dato  paese;  e  di  renderlo  proporzionale 
alia  temperatura  ed  alTaltezza  barometrica  date  dall'os- 
servazione.  Ma  se  nelle  circostanze  particolari  di  que- 
sta  sara  stata  assai  diversa  la  forza  rifiattiva  dell'  a- 
ria,  la  quantita  della  rifrazione  calcolata  colla  tavola 
riuscira  sensibilniente  o  maggiore  o  minor  dt^lla  vera. 
Eccone  un  esempio .  Nelle  osservazioni  dell' Austria 
ne  ha  una  tra  Miskolg  e  Obelef;    nella  quale  il  ba- 


rometro  fu  a  pollici  26  ,  6;  —  =  o  ,  098;   e   1'  angolo 

al  centro  =26',  81.  Per  1' Austria  il  valor  medio  di 

—  e  nella  tavola  III  =  o  ,  066999  a  28  pol.  cV  altez- 

za  barometrica.  Dunque  per  pol.  26  ,  6  si  ridiice  a 
o  ,  063649,  laddove  per  1'  osservazione  f u  a  o  ,  093. 
La  diflierenza  e  0,02935 1;  la  quale,  mohiplicata  per 
r  angolo  al  centro  26' ,  8 1  ,  e  =  o' ,  76840  =  -j.6"  ,11. 
Vedrem  fra  poco  die,  se  una  differenza  simile  a 
qnesta  avesse  avuto  luogo  nella  misura  del  monte  Ro- 
sa, ne  sarebbe  nata  nell'altezza  calcolata  coU'uso  del- 
la  tavola  III  una  diminuzione  di  tese  10,7  su  233  i ,  1 1; 
die  e  quasi  an  mezzo  per  cento. 


202  V    It    N    I    N    I 

11  Slg.  Delambre,  dopo  aver   clctto   alia   pag.   99 
de'  siioi  Metodi  analitici  per  la  deterininazioae  d'  u« 

arco  del  ineridiano,  die  il  valore  di  —  varia  col  va- 
ra 

riar  dello  stato  dell'  atmosfera,   soggiunge;    noii  esser 
siio  discgno  d'  entrare  in  un  esposizion  uiinuta  delle 


proprie  osservazioni;  ma  bastaigli  il  dire,   che  —  gU 


e  parso  in  estate  =0  ,  oyS;  in  primavera  ed  autun- 
no  =  o  ,  08;  ed  in  inverno  da  o  ,  09  a  o  ,  10.  Giu- 
sta  la  tavola  HI  lo  stesso  valore  e  per  la  Francia 
=  0,  103  alia  teniperatura  zero;  e,  fatto  il  sollto  cal- 
colo  per  la  temperatura  10'' =  0,096;  e  per  la  tem- 
peratura  2o''  =  o,092;  cosicche  le  difterenze  sono  0,02; 
0,016;  0,017.  Ma  i  risukati  del  Sig.  Delambre,  es- 
sendo  dedotti  da  un  gran  numero  d'  osservazioni , 
ch'  egli  dovette  fare  per  la  misura  del  meridiano,  a 
me  sembra,  che  meritin  giustamente  la  preferenza. 


Articolo     III. 

Misura  delle  altezze  vere  per  mezzo  dell'  angolo 
d'  elevaziune . 

59.  Determinata  ad  un  di  presso  la  quantita  del- 
la  rifrazione,  per  determinare  anche  1'  altezza  vera 
D  b,  osservo  che  nel  triangolo  JBb  e  noto  l' an- 
golo -ff;  e  che  r  angolo  B  Ab  effetto  della  rifrazione 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETIUCHE  2o3 

e  = — .  Dunque  nel  triangolo  CJb  avrem  Vangolo 

C  Ab  =  CA  B-"^;  e  rangolo  AbC  =  B-i-'^- 
Cio  preniesso  ognun  vede,  che  sara 
CAcos.{EJB-.!!L^) 


(E)     Cb  = 


n 


sen.  [D  -t-  ) 

n 


SuppongasI  col  Lambert  —  =  —  ,  e  neU'esempio  I 
cioe   in  quel  della    torre   della    Matelotte    V   angolo 

EAB-"^  sara  =8-27'  10"-^' ^^"- ^4^  ^o     ,  ^„  ^3^ 
n  '  14  <       '      ' 

e  r  angolo  ^ -h  ^=  81"  3o' 3i"  ,  06 -h  ^-^^^^^^^  = 

8i°3o'4o",98.  In  quest'  esempio  il  calcolo  sara  dunque 

L  COS.  {EJB  —  "—)=    9  .  996259675^ 
n 

LCA  =    6  .  5147877 


16  .  5099978753 


I,(^-«-^)  =  9  .  995ai6ii36 
n 


LCb  =  6  .  5i478ia6i6 
C*  =  8171758  ,358;  Z?^  =  3a8,358 


204  Y    li    N    I    N    I 

Nel  primo  esempio  1'  altezza  apparente  D  B  si 
e  trovata  =  328  ,  43;  di  che  segue,  la  rifrazione  aver 
in  qiiesto  caso  accresciuta  1'  altezza  di  73  millesimi 
di  tesa  giusta  1' ipotesi  del  Lambert.  Egli  peio  non 
corregge  le  akezze  quando  1'  ell'etto  della  rifrazione 
c   minor  d'  una  tesa. 

Per  I'esempio  del  Canigou  abbianio  w  =  3o'  1 1",  12; 

_  =  2'  o"  ,  37;  e   per  conseguente   E  A  B 7  ==  3* 

14  "^         '  '  o  j4 

34'  5o",  63;  e  j5  H-  -  =  86"  54'  58",  25.   Fatto  con 

questi  dati  il  solito  calcolo  si  trova  (76  =  3272843,81; 
e  />  6  =1422,31.  Ma  senza  considerar  la  rifrazione 
si  e  trovato  D  B  =  1439  ,55.  La  rifrazione  ha  dun- 
que  in  questo  caso  accresciuta  T altezza  di  tese  17,24. 
II  Lambert,  fatto  il  calcolo  colle  sue  formole,  ha  tro- 
vato Taccrescimento  di    18  tese. 

Alfine  pel  monte  San  Bartolomeo  e  w=  55'  3"7ii 

ed4  =  3'55",98.  Quindi  viene  ^^^--^=46' 4", 02; 
14  j4 

G  B^^ — ^  =  88°  18'  52",  27.  E  calcolando  con  questi 

dati  nel  modo  solito  si  trova  C 6  =  3272543, 91;  ^  Db  = 
1 122  ,41.  L'effetto  della  rifrazione  e  dunque  in  que- 
sto caso  di  tese  60  ,  75.   11  Lambert  lo  fece  di  60. 

L'  angolo  al  centro  e  comune  ai  due  triangoli 
C  A  B  ,  C  A  b;  onde  segue,  che  cjuest'  angolo  deter- 
minato  per  T  altezza  apparente  D  B  serve  anche  per 
la  reale  JDO.  A\  num.  52  bo  spiegato  il  modo  di  cal- 


SUI.LE    LIVELLAZIONI    BAUOMETRICIIE  2o5 

colarlo  quanclo  nel  triangolo   CABg  noto    C  A   eel 
incognito  CB;  ma  se  CB  sara  noto  ed  incognito  C  Ay 
V  angolo  C  determinerassi  colla  seguente  analogia 
C  B    A  B  =  COS.  E  A  B  :  sen.  C. 

JNeirequazione  {£)  posta  qui  sopra  si  ha  il  va- 
lor &i  C  b  qiiando  son  noti   C  A,  1' angolo  apparente 

d' akezza  EAB.  e  la  frazione  -.  Ma  se   saran   noti 

r  angolo,  la   frazione  c  Cb;  alloia  sara  CA  = 

C  b  sen.  (  B  H ) 

"        .  Finalmente   anche  la   frazione  — 

cos.(EAB-"l£)  '' 

n 

si  determinera  nel  modo  seguente  quando  sian  noti 
C  A  ,  C  b,  e  r  angolo  E  A  B.  Nell  equazione  {E) 
sostiiuisco  2L  B  \\  sue  valore  90°  —  E  A  B  —  C;  ela 

CAcos.{EJB—'±^) 

cangio   in   C  6  = _— ^^ —  .  Per  sempli- 

cos.(EAB~—  ^C\ 
n 

cita  niaggiore  sostituisco  4)  ad  E  A  B  —  ^^ ;  e  n  ho 

lit 

C  b  = ^-  •    e  ^— =  — -  .    Sara   dun- 

^       COS.  <p  COS.  C  ~  sen.  <p  sen.  CCA  .     ,.  ^ 

que =  — — ;  e  quuidi  cos.  C  — 

^  COS.  cp        ■  Cb  ^ 

n      CA 
^    .  COS.  C 

sen.  C  tan.  0  =  -— - ;  e   tan.  (p  = .  Con  que- 

Cb'  ien.C  ^ 

T.  II.    P.  IL  26 


2C6  V    E    N    I    N    I 

sto  valor  noto  dt-lla  tangente   si   trovera   nrlle  tavole 
qiiello  dcirangolo,  die  chiamero  v;  oiidc  avro  EAB  — 

mC  ^    ■     r       "*        EAB  —  V 

- —  =  r;  ed  in  line  —  = . 

n  n  C 

V 

TIo  detto  al  num.  Sy,  clie  il  niiglior  mezzo  per 
determinar  la  quantita  della  rilVazione  e  qiicllo  di  mi- 
surar  con  somma  esattezza  nel  tempo  nicdcsimo  gli 
angoli  apparent!  d'  akezza  e  dl  depressione  a  ,  d  in 
due  stazioui  d' akezza  diversa,  per  le  quali  sia  noto 
r  angolo  al  centro  «;    poiclie   la  rifrazione  e  = 

.  Ma  questo   metodo  esige  due   osservatori; 

iin  de'  quali  in  tempi  diversi  misuri  alia  stazion  infe- 
riore  gli  angoli  dell'  akezza  apparente,  e  I'akro  de- 
termini  contemporaneamente  alia  stazion  superiore 
quelli  della  depressione;  il  clie  ne  rende  sempre  in- 
comoda  e  spesso  malagevole  Tesecuzione.  Ma  se  una 
sola  volta  con  un  buon  istrumento,  e  colle  precauzio- 
iii,  di  cui  parlero  nelT  ultimo  articolo  di  questa  se- 
zione,  si  fara  una  livellazion  esatta  dalT  una  all'  al- 
tra  stazione;  e  se  ne  determinera  con  precisione  la 
dilTerenza  di  akezza;  un  solo  osservatore  luisurando 
poi  dalla  stazion  iuferiore  gli  angoli  d'  akezza,  potra 
per  mezzo  della  formola  precedente,  in  cui  saran  no- 
ti  C  A  ;  C  b  ;  C  ed  EAB,  determinar    il  valorc    di 

ni  ,       .  (,       .  m  C 

-  ;  e  per  conseQ;uente  la  nJrazione  —  . 

Se  il  calcolo  delle  akezze  apparent!  si  fa  col  trian- 


I 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE  207 

golo  ABD  esse  trovansi  'colla  fonnola  del  num.  53,  che  e 
ADsen.{EAB-\--) 


BD  = 


COS.  (  E  A  B  -J-  w) 


ApplicanJo  ancbe  a  questa  la  correzion  della  rifra- 
zione  si  avia  dunque 

{EAB^t-'I^) 
Bd  =  ADsen 


cos.(EAB-t-<^-'!^) 
n 


E  neir  ipotesi  del  Lambert 

AD  sen.  (EAB-^~) 

Bd= 1—  ' 

COS.  (E  A  B  -\-  —^  ) 

Si  e  veduto  al  num.  53,  che  per  la  torre  della 
Matelotte  la  corda  AD  e  =  22o3  ,  58;  e  1' altezza 
D  B   non   corretta    dalla   rifrazione  =  328  ,  244  ;  ma 

calcolando  colla   rifrazione  —  si  trovera  E A  B  -^ = 


•4" 

7 

i3  w 

= 

8" 

29' 

18'' 

,  96 

.  Or 

8"  28' 9"  ,55;   ed   EAB 

14 

questi  valori  sostituiti  nella  formola  danno  7)6=328, 
137:  ccsicdie  r  alzamento  prodotto  dalla  rifrazione  e 
poco  pill  d'  un  decimo  di  tesa . 

Pfl  Caiiiji;ou  il  valore  di  B  d  dedotto  dalla  for- 
mola e  di  tese  1^.2 1  ,  45;  e  1' elTetto  della  rifrazione 
iii^39  ,  489  —  1 42!  ,  45  =  18  ,  039. 


203  V    E    N   I   N    I 

Pel  nionte  S.  Bartoloaieo  si  trova  B  d  =  1123, 
i836;  e  per  conseguenza  T  alzarnento  della  rifrazioue 
fu  1 183  ,  I  589  —  1 123  ,  i'836  =  59  ,  9753. 

Finalmente,  se  il  calcolo  delle  altezze  apparent! 
f  assi  col  triangolo  A  B  F,  dopo  d'  aver  deteriniiiato 
il  valor  di  D  B,  si  troverii  quello  eziandio  di  D  b 
calcolando  il  lato  Bb  nel  triangolo  A  B  b;  e  sottra- 
endolo  poi  da  D  B .  II  calcolo  e  fondato  sulla  se- 
gueate  aualogia 

sen.  Ah  B  :  sen.  BAb  =  AB:  Bb, 

ovvero  (poiche^J6  e  =— .  ed  AbB=\Zo°—B—^^) 
^  n  n  ' 

sen.  ( B  -H  —  )  :  sen.   —  =:  A  B  :  B  0  . 
n  n 

Per  la  torre  della  Matelotte   abbiamo  w  =  2'i8", 

q5,  e  secondo  il  Lambert  —  =  —  =  9",o2:-5h = 

•^  /J        14  n 

81"  3o'  40",  98;  ed  AB  =  3228.  II  valore  di  ^6  si 
calcolera  dunque  cosi 

Lsen."^^  =  5  .  6819143 
n 

L  A  B  =  ^  .  347915a 


9  .  0298295 


Lsen.{B-i-  — )  =  9  .  9952161136 
n 


LBb  =  g  .  0346133864;  Bb  =  o  ,  io33  . 


SULLE    I.IVELLAZIONI    BAROMETUICIIE  209 

Lo  stesso  calcolo  da  pel  Caiiigou  B  b  ■=  lo  ,  068, 
e  pel  moiue  S.iii  Dartolomeo  B  b  ^=  ^i)  ^  908.  Le  ri- 
frazioui  calcolate  coi  triangoli  A  D  b  ,  A  B  b  son  dun- 
qiu;  sensibiliiiente  uguali  e  tra  loro  e  colle  asacgnate 
dal  Liiiibert,  die  sono  di  tese  i8,e6o.  JMa  11  calco- 
lo del  triaiigolo  CJb  del  num.  59  da  circa  ^  dj  tesa 
in  meno  pel  Canigou;  in  piu  pel  monte  San  Barto- 
lomeo;  ed  io  non  saprei  dire,  onde  nasca  la  differenza. 

Questi  esempj  fanno  veder  chiaramente  quanto 
r  effetto  della  ritVazione  sia  grande  allorclie  gli  an- 
goli  al  centro  eccedono  iiii  mezzo  grado;  ma  io  ne 
aggiugnero  un  akro;  in  cui  quest'  angolo  fu  alquan- 
to  maggiore  d'  un  grado;  e  ne  faro  il  calcolo  quanto 
piu  potro  esattamente.  Ci  dara  questo  I'altezza  d'uno 
de'  piu  alti  monti  del  nostro  continente  qual  e  il  mon- 
te Kosa. 

11  Sig.  Abate  Oriani  dalla  sala  dell'  osservatorio 
di  Milano  (situata  alia  latitudine  46°  27' 59",  e  supe- 
rior al  mare  di  tese  77  ,  1  )  osservo  1'  angolo  appa- 
rente  d'elevazione  della  doppia  punta  piramidale  del 
mofite  Rosa;  e  la  trovo  di  i°-^7' 39",  o5  sendo  il  ba- 
rometro  a  pel.  27  lin.  11,  ed  il  termometro  di  Reau- 
mur a  gradi  18  ,  5.  Io  calcolero  quest'  altezza  pri- 
mieramente  col  valor  della  rifrazione  del  Lambert, 
poi  con  quello  della  tav.  Ill  del  numero  precedente. 

Dalle  operazioni  trigonometriche  dei  nostri  Astro- 
iiomi  gia  menzionate  risulta,  die  la  vera  distauza  ori- 
zontale  del  monte  dall'  osservatorio  e  di  tese  69138. 
Si    calcoli   la    lungliezza    del   grado   per  la   laiiiudine 


deU'osservatorio  colla  formola  G=  -,^, 


T  a  {t  —  e^) 


180"     (i-e^^e/z/')* 


.3  ' 


210 


V 


E    N    I    N    1 


e  si  trovera  dl  tese  07011  ,8;  alia  qual  lungliczza 
corrispoiulc  un  raggio  osciilatore  =  3266536  ,09.  A 
questo  valor  del  raggio  s' aggiurigan  tese  77,  1;  del- 
le  quali  la  sala  delT  osservatorio  c  superior  al  mare; 
e  si  avra  il  lato  CJ  del  inio  triangolo  =  326661 3,  19. 
L'angolo  al  centro  si  deterinina  coH'analogia  6701 1,8: 
59133  =  60' :  x;  la  quale  da  x'  =  62',  237  =  1°  2' I4",2. 

Dunque,  siipposta  col  Lambert  la  rifrazione  =  —  , 

sara  questa  =  0°  4'  26"  ,  7.  Ora  ,  essendo  E  A  B  = 
i°47'39";    «=  i°2'  14",  2;  si  ha  J3  =  iif  10'  6",  8. 

Sara  diuique  £  J  b  =  E  A  B  -  -  =  1"  43'  12"  ,  3;  ed 

14 


AbC  =  B 


=  87°  14'  33"  ,  5  .  Fatto  il  solito  cal- 


colo  con  questi  valori   degli    angoli  e  coa    quelle   di 
C^  troveremo  C6  =  3268926,  59;   e   Z)^  =  23i3,4i. 
11  Sig.  Oriani  ha  calcolata  la  medesima   altezza 
colla  formola 


sen.  {E A  B 


Db=^AD 


cos.{EAB 


I   3     W    X 


supponendo  C  A  =  3270000  ;  ed  ha  trovato  D  h  = 
2312,4.  ^^  s^^o  risukato  e  dunque  minor  del  mio 
d'  una  tesa  su  piii  di  23oo. 

Finalmente,  per  trovar  la  rifrazione  colla  t'amlll 
del  num.  prec,   osservo  che   per  1'  Itaha  il  valbre  di 


m 
n 


SULLE    LIVELLAZIONI    EAKOME  TKIClIE  211 

e  0  ,  o6o652  alia  temperatura  zero.  Danque,  facen- 


do  iiso  della  dilatazione  o  ,  0049  per  grado,  alia  tera-r 
peratiira  di   10°,  5,   sara   o,o55i54,   e  per  T  akezza 

■t                ■                         T        •  1            •     335  (o ,  c55i54) 
barometrica  27  po.  11  lin.  ridurrassi  a ^— ^.^7: ^^= 

0,05499.  Qut*sto  valore  moliiplicato  per  quelle  dell'an- 
golo  al  centre,  cio^  per  37.34"  ,2  ci  da  la  rifrazione 
3' 25",  34.  Cio  posto  EAb  c  =  i"  44'  i3" ,  66;  ed 
A  b  C  =  87°  i3'  32"  ,  14;  dai  quali  valori,  fatto  il  so- 
Iito  calcolo,  si  deduce  C  b  =  3268944  ,3;  e  D  b  = 
23ji  ,  I  I. 

Suppongasi  ora  ,  che  come  nell'  osservazione 
deir  Austria,  di  ciii  poc' anzi  ho  parlatO;,  anche  in 
questa  la  forza  rifrattiva  dell' aria  abbia  superata  quel' 


la  della  tavola  di  circa  0,029  cosicche     sia  =  0,089654. 

n  ^ 

La  medesima  serie  di  calcoli  fatta  con  questo  valore 
ci  dara  —  =  4'  1 1"  ,  i;   el'  altezza    D  b  =  232o  ,  41 

minor  dell' altra  di  tese  10,7.  Questa  difterenza  non 
giugne  al  mezzo  per  100  delT  altezza  totale;  ma  e 
una  delle  maggiori;  poiclie  rari  sono  i  casi ,  in  cui  la 
forza  rifrattiva  dell'  aria  sia  tanto  diversa  dalla  me- 
dia, o  rangolo  al  centro  maggiore  di  un  grado ;,  com'e 
nel  presente.  Si  avverta  in  fine,  che,  calcolando  1"  al- 
tezza senz'  aver  rignardo  alia  rifrazione,  ella  trovasi 
di  tese  2389,855:  onde  si  fa  manifesto  quanto  gran- 
de  in  questo  caso  sia  refl'etto  della  rifrazione. 


212  V    E    N    I    N    I 

60.  Agli  esempj  fin  qui  recati  ne  aggiungero  fi- 
nalnieiue  un  altro  in  cui  e  Tangolo  al  centro  e  quelli 
d'altezza  e  cli  depressione,  e  per  conseguenza  anche 
il  valore  della  rilrazione  furon  noti.  Gli  Accatlemici 
francesi  spediti  al  Peru,  affin  di  deterniinare  qual  sia 
sotto  I'equatore  la  lungliezza  d'un  grado  di  latitudi- 
nc,  misurarono  con  un'estreuia  esattezza,  ma  con  fa- 
tica  graudissima  la  distanza  orizontale  di  Carabourou 
ad  Oyambaro^  cioe  delle  due  estremita  della  base, 
die  servi  di  primo  lato  a  tutta  la  serie  de'lor  trian- 
goli;  e  la  trovarono  di  tese  6272,77.  Da  questa, 
con  un  laborioso  calcolo  fatto  sulle  distanze,  e  su  gli 
angoli  d'altezza  e  di  depressiope  di  niolti  punti  inter- 
medii,  ne  conchiusero;  die  la  lungliezza  rettilinea  del- 
la base  in  aria  era  di  6274,06  tese.  II  risultato  delle 
grandi  operazioni  loro  fu ,  che  un  grado  terrestre  di 
latitudine  sotto  1'  equatore  ed  al  livello  di  Carabou- 
rou e  giusta  il  Sig.  de  la  Condamine  di  tese  66770  ,  3. 
L'  angolo  al  centro  w  per  le  due  estremita  della  ba- 

se  fa  dnnque  =  ^^7"'^^^^"'  =  6'  37",  776.  Gli  an- 
^  06770 ,2.  III. 

goli  d'  altezza  e  di  depressione,  secondo  la  Conda- 
mine, furono  a  =  i"  6'  19",  e  d=  i*'ii'53".  Sostitui- 
sco  tutti  quesii  valori  nella  formola  della  rifrazione; 


e  n' bo  7  =  ^^ ^-  =3i",888.   Ouesta    rifrazione 


corrisponde  a  c  ,  08  dell'  angolo  al  centro,  ed  e  ve- 
ramente  alquanto  grande  rispetto  alia  rarita  dell' aria 
pel  livello  di  Carabourou,  ed  alia   temperatura,   clie 


SULLE    LIVELLAXIONI    BAROMETRICHE  2l3 

vi  regna;  ma  non  puo  nondimeno  dirsi  assolutamen- 
te  eccessiva*. 

„  Cli  angoli  di  depressione  e  di  altezza,  dice  il 
„  Sig.  Bonguer,  erano  alquanto  soggetti  a  cambiare 
„  per  r  irregolarita  delle  rifrazioni  tenestri,  che  le 
„  circostanze  locali  rendevano  ancor  piii  variabili.  Es- 
„  sendo  noi  tutti  insieme  a  Carabourou  estremita  set- 
„  tentrionale  trovammo  Televazion  d'Oyambaro  estre- 
„  mita  australe  di  i°  6'  9";  ed  un  akro  giorno  il  Sig. 
„  de  la  Condamine,  Don  Antonio  de  Ulloa  ed  io,  es- 
„  sendo  soli  ad  Oyainbaro  osservamino  la  depressione 
„  di  Carabourou  di  1°  12'  20".  II  Sig.  Godin  ha  ere- 
„  duto  dappoi,  dover  piuttosto  attenersi  ai  due  nu- 
„  meri  1"  6'  3o",  ed  1°  11'  35".,, 

In  quest'  incertezza  io  prendero  una  media  fra 
le  tre  determinazioni;  la  qual  mi  dara  a  =  i"  6'  19", 
333;  rf  =  1"  1 1'  56";  ed  r  =  3o"  ,  5,54.  Per  calcolar 
r  altezza  d'Oyambaro  sopra  Carabourou  abbiam  dun- 
que  i  dati  seguenti:  E  AB=  i'^  6' 19",  333;  £^  =  6' 37",  776; 
B  =  88"  47'  2",  891 ;  r  =  3o",  554;  ed  AB  lunghezza 
della  base  in  aria  =6274,05.  Resta  da  determinarsi 
il  valor  di  CA  raggio  osculatore  per  1' estremita  infe- 
rior della  base.  Or  questo  si  ottiene  assai  facilmente, 

•   I  '    M    J                     •       1   uu'                      '^^^  -56770  ,a 
poiclie  11  detto  raggio  debb  essere  = ; 

e  per  conseguente  L  R  =  L  180"  h-  L  56770  ,  2  — 
Z,  T  =  6  .  5122430;  al  qual  logaritmo  corrisponde  il 
nuniero  3252691  ,79. 

Dai  valori  di  EAB,  di  ^,  e  di  r  vengono  EAb  = 
1"  5' 48",  779;   ed   J  6  C=  88°  47' 33",  444;   e    cio 

T,  JI.    P.  II.  37 


214  Venini 

posto  calcolo  come  segue 

L  COS.  E A  b=s    9  .  9999204428 
LC A  =:    6  .  5i2a43o 


16  .  5iai634488 
L  sen.  A  h  C  =     9  .  9999035721 
LCb=.    6  .  5122598766 
CZ'  =  325a8i8,48;  £>^=  126  ,69  tese. 

II  Sig.  Bouguer  ha  scritto  in  pin  luoghi,  clie  que- 
st' altezza  e  di  circa  126  tese.  Anche  la  Condaniine 
r  ha  detta  di  126  tese;  ma  nel  suo  profilo  della  ba- 
se si  vede,  ch'  egh  ha  sempre  neghgentate  le  frazioiii. 

Facendo  il  calcolo  colla  formola  del  num.  58 

AD  sen.  {EAB-^-~r) 

Db^ . ^ 

cos.  {E  A  B  -*-  u  —  r) 

troveremo  LAD=Lsen. (0° 3'  1 8",888) ^L:l^L C A^ 
3.  7974559;  LZ)6  =  L  JZ>-^-Z5e/^(l°8'56",  iiSSj- 
Zz  COS.  (1°  12' i5",  221)  =  2.0997135;  e  Z^6=i25,8r. 

Finalmente  col  calcolo  del  triangolo  AB  F  i\  tro- 
va  6fZ  =  120,  104;  fZZ)  =  5,  9567;  e  per  conseguente 
Db=  126,  0607;  cioe  il  valor  medesimo,  che  fu  as- 
segnato  dai  due  accademici;  poiche  la  differenza  e  mi- 
nore  di  61  millesimi  di  tesa.  Anche  la  media  delle  tre 
altezze  poste  qui  sopra,  cioe  126,  1869  e  ben  poco 
diversa. 

Neir  esempio  presente,  e  piu  generalmente  ogni 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAIIOMETRICHE  ai5 

voka  che  1'  angolo  al  centre  e  quelli  cV  altezza  e  dl 
depressione  son  noti,  il  valore  dell'  angolo  d'  altezza 
corretto    dalla   rifrazione  ,    cioe   E  A  b    e   U2;uale    ad 


a 


— .  Imperciocche,  chiamati  a\d'  gli  angoli  non 


apparent!  ma  veri  d'  altezza  ,  e  di  depressione,  sara 
a'  =  a  ~  r\  e  cl  =  d  ~  u  -*-  t-;  e  quindi  a'  -^~  d'  ==: 
a  ->r-  d  —  w;  e  perche  d'  non  e  diverso  da  a'  quando 
le  inisure   sono   esatte ,    2  a'  =  a  -+-(/  —  «  ,   ed   a'  = 

a  -¥-  d  — '  0) 
a  * 

Si  sostituiscano  in  questa  formola  i  valorl  di  a,  d,  u 
posti  qui  sopra;  e  si  trovera  a'  =  1°  5'  48",  7780,  cioe 
il  valor  medesimo  di  EAb,  che  abbiani  trovato  cal- 
colando  la  rifrazione. 

6r.  Ho  parlato  piu  volte  delle  correzioni^  che  il 
,,  Sig.  Lambert  ha  fatte  per  coiito  delle  rifrazioni  alle 
altezze  dei  monti  calcolate  dal  Sig.  Cassini.  Siffatte 
correzioni  son  fondate  sal  teorema  xxxiii,  e  sul  pro- 
blema  xiv  dell'  opera  gia  citata  del  Lambert  sul  sen- 
tiero  della  luce  nell'  aria.  Nel  teorema  dimostrasi  per 
approssimazione  che  (supposta  circolare  presso  la  Ter- 
I  ra  la  curva  di  rifrazione,  chiamato  R  il  raggio  del  cer- 
chio  di  rifrazione;  cui  Tautore  da  il  nome  di  raggio 
orizonia/e,  ed  espresso  coll'  unita  il  raggio  terrestre  ) 
gli  oggtiti,  che  nella  livellazione  si  veggon  nella  tan- 
gente  o   retta  orizontale  sono   alzati   dalla   rifrazione 

della  quaatita    ^^' "  ~       esprimendo   al   solito   per   w 


2l6  V   E    N   I    N    I 

Tangolo  al  centre.  Nel  problema  stabilisce  che,  se 
dalla  ilistanza  apparente  della  sonimita  d'  un  monte 
dal  centre  terrestre  si  sottrae  il  prodotto  della  qnanti- 
ta  precedente  nella  cosecante  della  distanza  apparente 
della  cima  del  monte  dal  zetn't,  nel  residuo  hassi  la  di- 
stanza vera,  cioc  corretta  dalla  rifrazione.  Egli  aggiu- 
gne  poi  neir  osservazion  prima,  die  nelle  misure  del 
monti  quella  cosecante  e  quasi  sempre  vicinissima 
all'unita;  onde  segue,  che  le  altezze  calcolate  senza 
riguardo    alia    rifrazione  si   correggono  diminuendole 


sec.  u  —  r 


della  quantita 

Se  la  rifrazione  e  espressa  da  —  il  raggio   ori- 

zontale  diviene  — ;  e   quindi  la   correzion  si  riduce 

aw  * 

^   zm(sec.u —  i)  ,.  ,.  ,  ., 

a i;   o  megho,   chiamando   r  il   raggio 

3,mr{ sec.  u  —  r ) 

terrestre,   ■ '  . 

n 

Nella  fig.  1  la  quantita  r  (sec.  w— i)  e  =  d  D.  Si 
aggiunga,  che,  come  abbiain  veduto  alia  fine  del  num. 

54,  a  (ID  si  puo  sostituire  .  Ora^  calcolando  col 

triangolo  A  B  F,  questo  valore  di  d  D  fa  trovare  I'al- 
tezza  non  corretta  dalla  rifrazione.  Dunque,  ponendo 


A  F    ■         .     . 
in  iiso  la  correzione  del  Lambert,  ad  si  sostitui- 

a  r 


t 


9UI,LE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE  2I7 

■  ■-    a  a 

K    A  F       ^  m  A  F      .  rr      ■,, 
ra  —  — ■ .  Ainn  d  avere  un  espression  pm  sem- 


pllce  io  suppongo  questo  ])inomio  = ;  e  ne  for- 

.  .  .  Amr 

mo  un  equazione;  per  cui  mezzo  trovo  x  =  — i 

*  n  —  a/Ti . 

II  valore  di  d  Z>,  dal  qual  dipende  la  correzion  del- 


Uc      ■            <     1                     AF               tn  —  zm)AF 
ritrazione,  e  dunque  ; •= . 

^        a  r  -h-  ^m  r  a  n  r 

n—am 

Se  la  rifrazione  fosse  un  decimo  dell'  angolo  al 
centre,  essendo  alloia    w  =  i  ,  «  ^  lo,  ne  verrebbe 

a~f' 

d  D  = formola  data  dal   celebre  astronomo 

a  r  -H  a  r 

"4 

Maskelyne  per  la  suddetta  ipotesi  di    rifrazione.    IMa 
per  quella    del    Lambert    cioe   d'  un    quattordicesimo 


deir  angolo  al  centre  sarebbe  d  D  =  — 


a 

AF 


2,r 
"6~ 


62.  Oltre  alia  correzion  della  rifrazione  dovrebbe 
talvolta  farsi  ancbe  quella  della  deviazione  della  ret- 
ta  orizontale  apparente  dalla  vera  prodotta  daH'atcra- 
zione  dei  monti  quando  appie  di  questi  si  misura  1'  an- 
golo d' elevazione.  Ma  come  determinare  la  quantita 
di  questa  deviazione?  Rarissimi  sarebbero  i  casi,  ne' 


2l3  V   E   N   I   N   I 

quail  cio  potesse  ottenersl  con  un'  osservazion  attuale, 
e  non  senza  difficoka  nell'  esecuzione.  Ne  da  quelle, 
clie  Bouguer  e  la  Condamine  fecero  al  Peru,  e  Maske- 
lyne  in  Iscozia  si  puo  dedurre  alcuna  regola  da  ap- 
plicarsi  ai  casi  particolari. 

Quando  il  Cassini,  per  esempio,  da  CoUioure  pre- 
se  r  angolo  d'  altezza  della  torre  della  Matelotte  egli 
aveva  alle  spalle  il  mare  ed  a  fronte  i  Pirenei;  1'  at- 
trazioii  de'  quali  deve  superar  quella  delle  acque  del 
Mediterraneo,  e  puo  aver  un  rapporto  sensibile  al- 
ia totale  attrazion  della  Terra.  Ma  la  quantita  del- 
la deviazione,  che  quest' attrazione  puo  cagionare  e 
affatto  incerta.  II  Sig.  Maskelyne  1'  ha  trovata  di  5",  8 
al  monte  Scheallien.  Supponeudo  (ma  sol  per  dare  un 
esempio  della  correzione,  che  dovrebbe  farsi  all'  an- 
golo d'  elevazione,  non  perche  la  supposizion  sia  pro- 
babile  )  che  l'  attrazione  de'  Pirenei  a  Collioure  fossfe 
doppia  di  quella  del  monte  di  Scozia,  mettiamola  di 
12  secondi.  In  tal  caso  1' angolo  d'  altezza  osserva- 
to  debb'  essere  accresciuto  di   12",  e  portato  ad  S^  27' 

ji  .^-  C 
22".  Da  questo  cangiamento  viene =40^46' 19"; 

e  ^  =  81°  3o'  19".  Calcolata  con  questi  dati  1'  altez- 
za si  trova  (7^  =  3271759,  17;  e  DB=:  629,  17  in 
luogo  di  328,43;  cosicche  alia  supposta  deviazione 
di  12"  corrisponde  uell'  altezza  un  accrescimento  di 
I  di  tesa. 

Fatte  le  supposizioni  medesime  pel  monti  Cani- 
gou  e  S.  Bartolomeo,  e  con  queste  calcolate  le  altez- 
ze  loro ,  troverebbesi  quella  del  primo  accresciuta  di 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETKICHE  21  Cj 

tese  3  ,  98;  e  quella  del  seconclo  di  3  ,  09.  Qiiesti  eseni- 
pj,  ne'  quail  ho  supposta  V  attrazione  de'  Pirenei,  die 
poco  a  poco  s'  iiinalzano  allontanandosl  dal  mare,  cer- 
tamente  assai  magglore  del  vero,  bastario  per  dimo- 
strare,  clie  nei  casi  ordinarii  assai  piccolo  e  1' effetto 
deir  attrazione  del  nionti;  e  clie  dilFicilissiino,  per  non 
dir  impossibile  riuscirebbe  il  determinarlo  in  ogni  case 
particolare.  Nei  risultati  dei  calcoli  delle  altezze  re- 
stera  dunque  qualche  piccola  incertezza  ogni  volta  che 
abbiasi  alcun  fondameiito  di  credere,  che  1'  angolo 
osservato  d'altezza  possa  esser  dall' attrazione  dei  mon- 
ti  vicini  sensibilmente  alterato. 

Artigolo       IV. 

Misura  delle  altezze  vere  per  mezzo  dcgli  angoU 
di  depressione. 

63.  I  metodi  fni  qui  esposti  siippongono,  che  le 
altezze  si  misurin  dal  basso  all'  alto  prendendo  gli 
angoli  d' elevazione.  Ma  la  misura  puo  esegnirsi  an- 
che  dair  alto  al  basso  per  mezzo  degli  angoli  di  de- 
pressione. 

Sia  A  (  fig.  II  )  un  luogo  plu  alto  di  B;  AD  la 
tangente  del  circolo  osculatore  del  punto  A;  e  DJb 
V  angolo  di  depressione,  sotto  il  quale  il  punto  B  al- 
zato  dalla  rifrazione  si  vede  in  A.  Sia  in  oltre  C  il 
centro  del  circolo   osculatore;    ed   esprimasi  al  solito 

per   —  r angolo  di  rifrazione  B Ab.  Cliiamato  $  lan- 

golo   osservato   di   depressione    D  A  b    avremo 


220  V    E   N   I    N   I 

n  '  n 

90°— C;  e  Cj5y4  =  90°-t-(p-C-+-  — .  Ora  nel  trlan- 

golo   CAB  e  C  B  :CA  =  sen.  CAB:  sen.  C  B  A  = 

,         7nC .  ,  ^        mC .  1  ^>» 

COS.  (cj)  H ) :  COS.  (O)  —  C  -i );eaa  quest  ana- 

n    '  n 

logia  deduces!  1'  equazion  seguente 

CBcos.{<p-C-^~) 

<^"^^=  „        mc'l       ■ 

COS.  (<P  -*-  ) 

n 

Ho  gia  fatto  osservare,  che  l'  angolo  al  centre  C 
e  lo  stesso  pei  due  triangoli  CAB,  CAb.  Se  CA  e 
cognito,  saran  noti  nel  tiiaiigolo  C Ab  i  due  lati  C^, 
Ab  coir  angolo  da  essi  compreso=  90°  — cj);  e  con  que- 
st! dati  si  calcolera  T  angolo  al  centro.  Se  e  noto  C B , 
il  suo  valore  potra,  scnz'  alcun  sensibil  errore  nel  risul- 
tato  del  calcolo,  sost!tuirsi  a  quello  di  Cb.  Sara  dun- 
que  Cb:  Ab  =  cos.  <p  :  sen.  C.  Determinato  il  valor  di 
C,  la  formola  precedente  dara  quello  di  CA  quando 
e  noto  CB,  e  quello  di  CB  se  e  noto  CA. 

Ne  serva  d'  esempio  1'  altezza  del  monte  Canigou. 
Abbiani  veduto  al  num.  52,  die  T  angolo  dcU' altez- 
za apparente  di  questo  monte  sopra  la  stazione  infe- 
riore  (distance  giusta  il  Cassini  di  tese  3271421,  5  dal 
centro  della  terra  )  fa  =  2°  87'  o";  e  V  angolo  al  cen- 
tro Uo'  11",  12.  Vediam  ora  qua!  sarebbe  stato  Tan- 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICIIE  22  1 

golo  della  depressione  apparente  se  un  altro  osserva- 
tore  dalla  cinia  del  nionte  1'  avesse  misiirato  nel  tem- 
po medesimo,  in  cui  fii  preso  l'  angolo  d'  elevazione. 
Pel  num.  57  chiamando  a,  d  gli  aiigoli  apparent!  d'al- 
tezza  e  di  depressione,  u  T angolo  al  centro,  ed  r  quel 
di  rifrazione,  il  rapporto  di  queste  quantita  e  espres- 
so dalla  lorinola  a  ~  r  =  d—  u  -^  r;  per  la  quale  vien 
ad  esser  (/  =  a  -i-  w  —  2  /• . 

Supponendo  /==  -^  avremo  cZ  =  2''37'-»-3o'n",i2— 

— =:  3°  2'  52",  39.   Questo  e  dunque  il  valo- 

re  di  <?> ,  il  quale;,  sostituito  con  quelli  di  C  ed    —  = 

—  nell'equazione  (E)   la  riduce  a  6*^  =  3271421  ,5 

(a°  34'5o",635)        0020  '   a' 

"^^•k:{¥''"5^,^5]=^^7^^-^^\^^'  e  qmndi,    presa 

C/}'=CB;  Taltezza  A'A  e  =C^-Ci?=  1422,31  te., 
quale  appunto    I'abbiam  trovata  al  num.  59. 

Applichiam   ora   la  formola    ad   un   caso,  in   cui 
r  angolo  di  depressione  fu  veramente  osservato;  ma, 

[come  vedremo,  con  poca  esattezza.  Dalla  sommita  del 
INlonbianco;  ove  il  barometro  era  a  linee  192,  9;  ed 
il  termometro  a  gradi  di  Reaumur  —  2,  3;  il  Sig.  de 
Saussure  disse  d'  aver  misurato  l'  angolo  della  depres- 
sione apparente  del  monte  llosa,  e  trovatolo  di  3o  mi- 
nuti.  L'  angolo  al  centro  per  la  sommita  dei  due  moiiti 

^si  determina  per  mezzo  della  lor  situazione  geograli- 
T.  11.     P.  IL  28 


222  V    i;   N  r  N  I 

ca  in  longituiliiie  e  latitudine.  II  Sig.  Abate  Oriaiii 
lia  calcolata  Tuna  e  T  ahiu  per  la  sominitu  del  momc 
Rosa;  ed  l\a  trovata  la  longitudine  =  25°  32'  17",  i; 
c  la  latitudine  =  40"  55'  56",  i.  11  siio  calcolo  e  nel 
giornale  del  Sig.  Zacli,  Giugno  179H,  e  tradotto  in 
nostra  lingua  nel  vol.  XX  degli  Opuscoli  scelti  di  Mi- 
lan© pag.  379,  3 80.  Nel  vol.  X  degli  stessi  Opuscoli 
scehi  pag.  242  leggesi  la  seguente  nota.,,  In  un  fo- 
„  glietto  recentemente  stainpato  dal  Sig.  Bourrit  so- 
„  pra  un  siio  viaggio  nelle  alpi  si  trova  la  seguente 
„  notizia.  11  Sig.  Baufoix  inglese  Astronomo  e  Fisi- 
„  CO  nel  giorno  9  Agosto  dell'  anno  corrente  perven- 
„  ne  alia  cima  del  Monbianco,  ne  misuro  la  latitndi- 
„  ne,  e  la  deterinino  a  45°  5o'  11". „  iNella  carca  del 
Sig.  Pictet  pubblicata  nel  secondo  vol.  dci  Viaggi  del 
Sig.  de  Saussure  il  Monbianco  e  posto  presso  a  poco 
alia  stessa  latitudine,  ed  alia  longitudine  45'  all'  est 
di  Ginevra;  la  cui  longitudine  e  23"  49'.  Quella  del 
Monbianco  sara  dnnc[ue  24°  34'.  L'  arco  del  chiesto 
angolo  al  centro  e  per  conseguenza  il  terzo  huo  d'  un 
triangolo  sferico;  di  cui  son  noli  due  lati  col T  ango- 
lo intercetto.  1  lati  sono  44°  9' 49";  ij.4"  .:j.' 4"  distan- 
ze  dal  polo;  e  T  angolo  58'  17"  dillerenza  delle  lon- 
gitudini.  Con  qnesti  dati  faremo  il  seguf'nte  calcolo. 
Sia  P  il  jiolo  (fig.  HI),  ^  ed  /?  le  cime  dei  monti 
Bianco  e  Ilosa.  Sara  dunque  P/?  =  44°4'4";  PB  = 
44"  9'  49"-,  e  r  angolo  intercetto  <p  =  58'  17".  Si  tiri 
da  y?  r  avco  perpendicolare  /?  5;  e  per  le  note  rego- 
le  della  trisononietria  sferica  sara   tana:.  P  S  = 


o^ 


COS.  (p  fans;.  PR      ^. , 

°- .  Lio  posto  avremo 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETllICIIE  223 

L  COS.  (p  =    9  .  9999876 
Ltan.PR=    9  .  98586524 


19  .  98580284 
—  10  . 


Ltan.PS=    9  .  98580284;   P5  =  44*3'49",i8;  5  5  = 

PB~PS=     5' 59",  8a. 

c     >    •        1  D  75        COS.  S  B  COS.  P  R 

bara  in  okre  cos.  B  R=.  — r— ^ ;  e  per  conse- 

COS.  P  b  ^ 

guente 
L  COS.  S  B-=:    9  .  9999993 
Lcos.PR=    9  .85643788 


19  .  85643668 
Lcos.PS=    9  .  8564676 


Lcos.B  R=    9  .  99996908;  5  7?  =  o''4i". 

Alio  stesso  risultato  si  giugne  calcolando  il  va- 
lore  (\'\  B  R  colla  formola  seguente.  Sia  P  B  =  A ., 
P  JR  =  a,  e  r  angolo  intercetto  4*-  Chiamato  x  V ar- 
co  B  R  sara 

X  /  f  .  t   (h  I  A  —  a\ 

sen.  -  =  y/  (  sen.  A  sen.  a  sen  .  -  -t-  sen ) . 

2  2  a 

Ecco  il  calcolo  di  questa  formola,  di  jcui  daro  la  di- 


•221 


V    £    N    I    N    I 


inostrazione  nella  nota  (a)  posta  in  fine  di  quest'ar- 

ticulo  . 

Lsen.A=    9  .  843o5i83 
L  sen.  a=     9  .  84a3oo6a 

X  sen\^=:   1 5  .  8578706 
a 


5  .  543aa3o5 
Nuniero  corrispondente 

Lsen*. — III—  =  i3  .  844724a 


0  ,  0000349320 


Numero  corrispondente       o  ,  0000006994 


o  ,  oooo3563i4 


Somrna 
iOjOooo3563(4=  i5  .  SSiBSag 

Sua  meta  =    7  .  7759 1 64  =  X  sen.  -  ;  -  =  20'  3 1 "  ; 

a:  =  41'  2".  Questo  valore  supera  dunque  quelle  del 
calcolo  precedenie  di  2  soli  secondly  o  di  8  millesi- 
rai  di  41'. 

Per  I'ottima  osservazione  dell' Abate  Oriani  da  me 
calcolata  al  num.  59  la  cima  del  moiite  Rosa  e  su- 
periore  alia  sala  dell'  osservatorio  di  Milano  di  tese 
235i  ,11;  alle  quali  aggiunte  altre  77  ,  i  ne  risulta- 
no  2400  ,  21  per  T  altezza  sopra  il  iivello  del  mare. 
Gia  si  c  visto  nel  numero  citato,  f  he  il  raggio  oscula- 
tore  per  la  sala  deH'osservatorio  e  di  tese  3^66536,09; 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRTCIIE  225 

di  che  spgue,  esser  C  B  ^=  3268944,  3.  JNel  presente 
caso  abbiaiii  cliinque 

(3o'-H^4i'-4i') 
Cy/  =  32C8944  ,  3  cos 1 

C05.  {  3o' -f-— 41') 
n 

In  quest'  equazione  il  valor  Ai  C  A  non  puo  es- 
ser  noto  finche  qiiello  della  frazione  —  resta  incogni- 


to. Ora  il  valore  di  questa  frazione  dipende  da  due 
elementi,  cioe  dalla  ternperatiira ,  ch'  ebbe  T  aria  al- 
ia cima  del  monie  Kosa  quaudo  fu  osservato  V  an- 
golo  di  depressione,  e  dall'  altezza,  che  c|uivi  avreb- 
be  avuta  il  barometro  se  stato  ci  fosse.  Ma,  poichc 
la  diflerenza  d'altezza  in  questi  due  nionti  e  certanien- 
te  d' un  picciol  nuuiero  di  tese,  io  supporro  senz'al- 
cun  pericolo  d'errore,  che  uguali  presso  a  poco  fos- 
sero  in  ambo  i  monti  la  temperatura  e  T  altezza  ])a- 
rometrica,  e  che  aiirbe  alia  sommita  del  monte  Ro- 
sa il  termometro  sarebbe  stato  a  —  2°,  ed  il  barome- 
tro a  lin.    191  ,9. 

11   RTonte  Rosa   e  presso  a  poco  al  confini  d' Ita- 
lia e  di  Francia;  ond' io  nella  terza  tavola  delle  rifra- 


zioni   prendero   per  —  un  valor  medio  fra  quegli  de- 

gli  anzidetti  paesi ,  cioe  o,o8ii8i,e  per  —  2  gradi 
0,081976.  Duiique  per  lin.    191  ,9    d' altezza    baro- 

,       101^0(0,081076)  ,,,  T-v 

metrica  sara  — — -^o-^? — -^—  =  o  ,  046819.   Da.  que- 


226  V    E    N    1    N    I 

sto  valore   vieii    poi  — 4i'=i'54";  e  quindi  I'equazio- 


ne  si  canpjia  in  CA=?>26Saii,o'^^^'\.  5^_  ,„!=326qo73,3i; 
°  COS.  (oi'  54  ) 

onde  viene  C  A—  C  B  ^=  129,  01  tese.  La  cima  del 
Monbiaiico  sarebbe  dunque  siiperiore  a  quella  del 
nioute  Rosa  di  tese  129;  il  che  noii  puo  in  verun 
coiito  accordarsi  colle  altezze  dal  medesitno  Sig.  de 
Saiissure  assegnate  ai  due  monti,  sopra  il  livello  del 
mare,  le  qnali  sono  2460  pel  Bianco,  e  2430  pel  Ro- 
sa; cosicche  la  dillerenza  e  di  20  tese  in  luogo  di  129. 
Dalle  niisure  del  Monbianco  de'  Signori  Sbuck- 
burg  e  Pictet  risulta  come  vedremo  nella  sezion  II 
articolo  II  un'  altezza  media  di  tese  2420  ,  26  sopra 
il  livello  del  mare;  per  la  quale  il  monte  Bianco  vie- 
ne ad  esser  piii  alto  del  Rosa  nulla  pin  che  di  12 
tese.  Ora,  supposte  esatte  queste  misure,  sara  CA  = 
C  B  -^  12  =  3268906  ,  3.  Partendo  da  questo  dato, 
e  chiamato  x  V  angolo  incognito  di  depressione,  egU 
potra  determinarsi  colla  forinola 

[x  -t- —  C)  _, 

CA                        n                               •     .              1            mC 
__-=  cos ;  e,  sostituito  y  ad  x  h , 

COS.  (X-+-  ) 

71 


CA  (y  —  C)       COS.  y  cos.C -¥•  sen. y  sen.  C 

— :  COS  '  —  -^ ~^- 


CB  cos.y  cos.y 

cos.C-^sen.Ctan.y;   dalla  qual  equazione   deduces! 


f 


tan.y  ■=■ 


SUI.LE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICIIE  227 

CA  .' 

—  —  COS-  C  „  . 

CB  1,00000367  —  cos.^v 


scn.C  sen.  ^i' 

Ecco  il  calcolo  di  quest'  equazione 

L  COS.  4^'  =  9  •  9999(^9' 
Numero  corrispondeiite         o  ,  99992884 

Numeratore  della  frazione  o  ,  00007488 

io  ,  00007483  =  5  .  8740757 
comple.  Lsen.J\i' ■=^  i   .  9235oo3 


Ltan.y=.  7  .  7976760;  7=:ai'34". 

Ma  X  e  =r '■>  ed  =  1'  64" .   Sara   dunque 

•'  ri,  n  ^  ^ 

x=  19*40"  non  3o'   come  disse   d'  averlo   trovato  il 
Sig.  de  Saussure.  (a) 


(a)  La  lormola  sen.  —  r=  1/  (  sen.  A  sen.  a  sen.'  —  -f-  sen.- )  ser- 

ve ,  come  abljiatn  veduto  a  calcolare  iin  triangolo,  di  cui  sian  noti  due 
lati  coir  aiii^olo  da  essi  coiiipreso  ;  e  fra  poco  diinostieru ,  clie  sen  dedii- 
cono  anche  le  formole  ,  die  esprimon  i  tre  anguli  cpiando  son  noti  i  tre 
lati  .  lo  so  bene  ,  die  i  calcoli  di  tiitte  cpieste  roiiiioie  son  piu  lunghi  di 
qiidli  delle  antiche  regole  della  trigonometria  sfeiica  ,  e  piu  ancora  di 
qiiclli  dellc  foiniole  elegantissinie  dell'  Eidcro  ;  e  non  ignoio  ,  dift  non  sa- 
rcbbero  in  pratica  di  veinn  use .  Ho  trediito  non  pertanto  di  far  cosa 
grata  al  leggitore  conuinicandogli  una  forniola ,  die  lia  la  singolarita  d'es- 
ser  fondata  sulla  consiileiazione  dci  circoli  parallcli  all' eijuatore  ,  e  nclla 
tTigonomptrla  sfeiica  non  usitaii  .  Eccone   la  diiiiostra^ione  . 

Nel  triangolo  sferico  PQO  {'fig.  IV);  ncl  quale  considero  P  come  il 
polo ,  e  P  Q  ,  P  O  come  due  arcLi  di  meridiauo  ,  sla.  2'  QzzA  ,  P  0=za  , 


228  V    E    N    I   N   I 

A    11    T    1    C    O    L    O         V. 

Delia  depressione  dell'  orlzonte  inatino. 

64.  Se  la  visuale  Ab  h  perpendicolare  a  C  6,  i 
due  triangoli  CAD,  D  Ab  son  siinili,  e  gli  angoli 
C,  e  D  Ab  eguali  tra  loro;  vale  a  dire,  clie  C  in 
questo  caso  e  =<p.  Or  cio  avviene  esattamente  allor- 
che  da  un  punto  qaalunque  A  superior  al  mare  se 
ne  osserva  T  estremita  apparente  6,  e  1' angolo  DAb 
rappresenta  la  depressione  dell'  orizonte  visibil  del 
mare.  Allor  diinqae,  essendo    C  =  (p,  la  mia  forniola 

e  r  angolo  intercetto  =  (p .  Si  coriducauo  pei  punti  Q  ,  O  due  circoli  pa- 
rallel! air  eqiiatore  ,  o  siano  Jll  O  ,  Q  JV  le  corde  dci  due  aiclii  egnali  de' 
mcridiani  ;  Q  Jll  ,  N  O  le  cordc  drgU  arclii  dei  paralleli .  Sian  A  ^  B  \  pun- 
li  d'intersezione  dei  paralleli  coll' asse  .  II  raggio  BQ  del  parallelo  del 
piiiito  Q  saia  =scn.A\  il  raggio  AO  del  parallelo  del  punto  0  —  sen.a\ 
cA  A  B  distanza  dei  due  paralleli  sara  =  cos.  a  —  cos.  A  .  Le  due  corde 
dei  meridiani  BIO  ,  QN  cgualmente  inciinate  all'asse  lo  taglieranno  nel- 
lo  stesso  punto  R ,  le  cui  distanze  da  ^  ed  ^  saranno 

_  (  COS.  a  —  COS.  A  )  sen.  A 

"~  sen.  A  —  sen.  a 


(  C05  a  —  COS.  A  )  sen.  a 

A  li  — •  • 

sen.  A  —  sen.  a 

Le  due  cordc  MO  ,Q  N  prolungate  forman  dunque  il  triangolo  isoscele 
Q  M  R  ;  cd  in  (juesto  la  retta  NO  (";  parallcla  alia  base  Q  3t .  Nel  trajjpzio 
Q  MO  N  gli  angoli. opposti  saran  dunque  ugnali  a  due  retti ;  ed  eiso  po- 
tr^  per  conseguente  iscriversi  al  circolo  .  Dunque  per  la  n»ta  propiieti 
dei  quadrilatcri  iscritti  al  circolo  sara  il  prodotto  dclle  sue  diagonali  unna- 
le  alia  somina  dei  prodotii  dci  lati  opposii  ;  ossia  ,  poich^  le  diagonali  soa 
eguali  tra  loro,  ed  eguali  pur  le  due  corde'  dei  meridiani ,  sara  (^  o'  =  Q  M. 
N  O  ^  M  O  .  Ora  QJf  corda  deirarco   9  in  un  cercbio,  chc  Iia  per  rag- 


SULLE    LIVET.LAZIONI    BAROMETRICIIE  229 

C  B  COS.  — - 
can2;iasi  in  C  A= —  ;  ed  in  essa  CB  espri- 

COS.  (cpH-  — -  } 
n 

me  il  raggio  osculatore  della  latitudlne  del  luogo,  in 
cui  fassi  V  osservazione. 

Col  mezzo  di  questa  formola  si  deterniinerebbe 
esattamente  Taltezza  dei  luogUi,  dai  quali  puo  misu- 
rarsi  la  depressione  dell'  estremita  apparente  del  ma- 
re, se  fosse  ben  nota  la  vera  quantita  dell'  angolo  di 


2io  sen.  A  ^  =z2  sen.  A  sen.  — ;  e  similmente  la  corda  iVO   c   =:  2  sen.  a 

sen.  — ;  MO    cortla    deli'arco    — d'uu  ciicolo    massimo    e   zz2.scn. 

A  —  «     - 

— - —  .  Ciii  posto  sari 


Q  O'  =  2  sen.  A  sen.  —  X  2  sen.  a  sen. 1-4  sen.'  — ; —  ;  e   finaltnento 


<2  0  —  2\/  (  sen.  A  sen.  a  sen.^  —  -f-  sen.'  ) .  Si   osservi ,    che  O  O 

h  la  corda  del  terzo  lato  del   triangolo  sferico  P  Q  O,  ed,  espresso  questo 
lato  per  a;,  si  vedril   tosto  dover   cssere  i  sen.  -^  =  Q  0  ;  ed  in   fine 

a:.,.  (B  ^  A  —  a  .. 

ten.  —  =  [/^  ( sen.  A  sen.  a  sen.' h  sen.    ) ,    come  si   dovea  di- 

2  2  ^ 

most  rare . 

Sia  P  Qz=.a,  PO=:b,QO=;c;  c  sieno  gli  angoli  P  —  ni,0  =  n, 
Q  ■=.  p .  In  ogni  triangolo  sferico  qiialuiique  angolo  si  puo  piendcr  |ier 
polo;  e  quindi  considerati  successivamente  come  t?li  ^li  angoli  /* ,  0  ,  Q 
fle  avrcmo  le  tre  forruole  seguenti. 

T.  11.    P.  IL  29 


■^-  V    E    >    I    N    I 


2J0 


VI 


rifrazione,  ossia  del  valore  di  —  ;  per  ciii  deve  molti- 

n     "■ 

plicarsi  Tangolo  al  centre,  die  in  qnesto  caso  e  iigua- 

le  a  quel  di  depressionc.  Ma  noi  gia  abbiam  osservaio 

quatito  incerta  e  variabile  sia  la  legge  delle  rifrazioni 

terrestri,  e  se  tale  non  fosse  ueU'aria  del  continente, 

potrebbe  ancora  esser  dubbiosa  in  quella,  che  sta  so- 

pra  ad   un  vasto   spazio  di  mare.   Per   determinar   la 

legge  (se  alcuna  ve  n'ba,   di  qiieste  rifrazioni,  cb'io 

cbiamerei  marittime,  converrebbe  da  varii  luoglii,  de' 

quali  fosser  note  le  altezze  sopra  il  livello  dt-l  mare 

fra  loro  assai  diverse,  fare  un  gran  numero  d'osserva- 

zioni   suir  abbassamento  dell' orizonte  marine;  e  col- 


^ 


c                            ,          ,m  a  —  b 

I    sen.'-  —  =  icn.  a  sen.  b  sen. 1-  sen.'' 


2    ■  a 


2 


a  ,  .  n  b  —  c 

II  sen.-  —  =;  sen.  b  sen.  c  sen.' 1-  sen.' 

3  a  ^ 

b  p  a  —c 

III  sen.'  —  =:  sen.  a  sen.  c  sen.' k  sen.'  — -—  . 

2  a  2 

E  da  queste  tre   forrnole  se  ne  dedncoii  facilmente  tre  altre ,  che  ilaa- 
no  gli  angoli  per  mezzo  dei  lati ;  le  qnali  sono 

c                a  —  b 
sen.'  —  -»  sen.' 

m  2  ^ 


IV  sen.'  —  zz 


2,  sen.  a  sen.  b 

a                  h  —  c 
sen.'  —  —  sen.' 

V  sen.'  —  = 


'J-  sen.  b  sen.  c 


b  a  —  e 

sen.' sen.'  ——- 

VI  sen.*  L  — 

2  sen.  a  sen.  c 


SULLE    LIVELLAZIOKI    BAUOMETRICHE  23  t 

la  formola  precedente,  in  cui  sarebber  noti  i  valori  di 

C  A^  di  C  By  e  d'l  0,  determinar  quelli  di  - .  Ora  col 

^  n 

solico  inetodo  troveremo,  che  dalla  formola  si  deduce 

COS.  <J)  —  — 

tan — -  =. ;  e  quindi  in  ciascun  caso  parti- 

n  sen.  4) 

colare  si  trarra  il  valore  di  ^^;  il  quale  diviso  per  $ 


n 


dara  il  valore  di   - 


n 


II  Cassini  osservo  la  depressione  apparente  dell'ori- 
zonte  marine  dalT  alto  della  torre  di  Sant'Elmo  vici- 
no  a  Collioure;  e  trovoUo  di  26'  20".  L'akezza  di  que- 
sta  torre  sopra  il  livello  del  mare  calcolata  coi  dati 
deir  osservatore  ma  col  raggio  osculatore  della  lati- 
tudiue  45°  e  di  tese  10 1  ,84  altezza,  che  supera  d'un 
solo  terzo  di  tesa  quella  del  Cassini  calcolata  col  suo 
raggio  3271420.  Ora,  se  determineremo  l'akezza  col- 

C  B  COS.  —- 
la  formola  C-^  = "" supponendo  col  Lara- 

COS.  ($-4-  ) 

1       ^    7«  I  7n(P  ,  r    „      or  ■      m<^  

bert  —  =  —,  avremo  -—  =  1'  62"  ,86;   e  $  h 

7i         14  n  n 

28'  12",  86.  Colla   sostituzione  di  questi  valori  trove- 
remo C  A^  3265392  ,82^   ed  J'  J  =  C  J  -  C  i?  = 


2  J2 


V    E    N"    I    N    I 


3265393  ,  82  —  326o28?x ,  46  =  iOv9  ,  36   altezza,  che 
siipcra  la  data  'di  tese  7  ,  52 ;  o  piii  di  7  ^  per  100. 

Qui  diuique  \\  supposto  valore  di  --  e   smentito 

dair  osservazione;  ond' io,   per  deteriiiinare  qual  ve- 
ramente  e'  sia  staco,  il  calcolero  colla  formola 

cos.<p — — 

jn(p                     C  A 
tan.  — = : — .  Ill  questo  caso  abbiamo  C  B  = 

"  sen.  <p  ^ 

3265283  ,46;  C  A  =  C  B  ■\-  \oi  ,84  =  3265385  ,  3;  e 
^  =  26'  20".  Da  questi  dad  mi  viene  L  tan.  — -  = 

6  .  3945259;  e  per  conseguente    —  =  5i   ,   ed   —  = 

=  o  ,  03228  =~ -,  valor  ben  lontano  da  — - . 

a6'ao"  do, 98  14 

II  medesimo  Astronomo  osservo  la  depressione 
dal  pie  della  torre  della  Massane;  e  la  trovo  di  5o'2o". 
L'  altezza  del  luogo  calcolata  da  lui  col  suo  raggio 
8271420  tese  fu  =408  ,  5.  Ma  calcolandola  colla  luia 

formola,  e  supponendo,  come  dianzi,   — =  —  avremo 

^  =  3'  35",  71  ;  $  H- -— =  53' 55",  71;  e  sostituiti 

questi  valori  con  quello  del  raggio  del  Cassini  trove- 
remo  C  J  =  3271821  ,  59;  ed  A'  A  =  401  ,  69  akez- 

m 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICIIE  233 

za  minor  della  data  quasi  di  7  tese,  o  di  i   e  quasi 
per   ICO. 

Per  calcolare  11  valor  di  —  abbiamo  CB=i2-j\^20; 


C  A  =  327182O  ,5;  e  4>  =  So'  20".  Da  questi  dati  ri- 
sulta  poi  /,  tan.  — —  =  7  .  0749829 ;  ed  —  =  4'  5    . 


oa 


bara  dunque  —  =  r-^- — ■  =  0  ,  c8 1 1  a  = 

^        n        5o'  ao"  la  , 

Questa  e  una  delle  due  osservazloni  delle  quali 
il  Lambert  si  e  servlto  per  calcolare  il  raggjo  orizon, 
tale;  che  gli  e  risultato  =  7  ,  c6;  onde  segue,   esser 

—  =  — in  luoQio  di  r-.  Ma  I'esattezza  del  mio 

TV  14  ,  Ja  *-^  12,  ,  6-2, 

valore  dimostrasi  ancbe  in  quest' altra  maniera.  Sen- 
za  la  rifrazione  I'angolo  di  depressione,  cbe  cbianie- 


ro  X  sarebbe  espresso  dalla  formola  A'  A  = 


r  tan  .  x 


Nel  presente  caso  sarebbe  dunque, 408  ,  5  = 

8471420  ^a«\  a?        ,    „  1       •      1     1  r  o 

— —^ ;  dalla   qual  si   deduce   L  tan.  x  =■  o  . 

1987429;  ed  X  =  54'  19".  Ora,  poicbe  I'angolo  os- 
servato  fu  5o'  20",  nella  differenza  di  questi  due  an- 
i,  cioe  in  3'  59"   avremo  1'  effetto  della  rifrazione. 


Cio  posto  sara  -  ( 5o'  20")  =  3'  59";  ed  --  =  ^^,  = 
*  n  ^  '  ^    -  «        5o  20" 


234  V    E    N    I    N    I 

— ~  =  o  ,  07914  = rrr  valore  ben  poco  diverse  dal 


3oao 
iiiio 


Da  questi  clue  esempj  chiaramente  apparlsce 
quanto  incerto  sia  il  valore  della  rifrazione  dedotto 
dalla  depressione  dell'  orizonte  niarino.  Ma  le  os- 
servazioni  dallo  stesso  Sig.  Cassini  fatte  a  Colliou- 
re  lo  diinostrano  ancor  piu  apertamente.  Da  un  luo- 
go  superiore  al  liA^ello  del  mare  di  tese  1 1  k  egli  os- 
servo  ai  26  e  28  Febbrajo,  ed  al  primo  e  i3  Mar- 
zo  la  depressione;  e  la  trovo  ne'  prinii  due  giorui 
di  8'  5o";  nel  terzo  di  8'  35";  e  nel  quarto  di  8'  5". 
Senza  la  rifrazione  per  1'  altezza  di  tese  1 1  i  col  rag- 
gio  osculatore  della  latitudiue  43  la  depressione  sa- 
rebbe  stata  =  9'  8".  Le  differenze  fra  questa  e  le  de- 
pression!  osservate  furon   dunque   18";  18"  ;  33"  ;    ed 


i'  3";  alle  quali  corrispondon  per  —  i    valori    o  ,  o34; 
o  ,  034;  o , 064; 0  ,  i3;  ovvero  


a(j  ,  41     29  ,  41     j5  ,  63 


7,69 


Queste  variazioni  tanto  grandi  nelle  rifrazioni  del- 
1'  aria  marittinia,  c  quelle  anche  niaggiori,  che  da  aitri 
furon  posteriornieute  osservate  rendon  troppo  iiicerti 
i  risultati  del  calcolo  delle  altezze  fondate  sulla  depres- 
sione deir  orizonte  apparente  del  mare,  cosa  iiicomo- 
da  per  verita;  poiche  quel  calcolo  sarebbe  piu  sem- 
plice  e  spedito  d'  ogni  altro. 


8ULLE    Ln'ELLAZlONI    BAUOMLTKICIIE  235 

A  U  'r  I  0  O  L  O       VI 

Delle  livellazioni  coniuni, 

65.  Ho  detto  al  piincipio  cli  questa  sezione,  die 
alcuni  Fisici  coiiferniano  le  lor  regole  delle  livellazio- 
ni l)aroinetriche  inostiandone  i  risultati  confornii  a 
qut'lli  dt'Ue  livellazioni  coinuni.  Or  duncjiie  aggiuiige- 
ro  alcune  avverteiize  necessarie  per  l'  esattezza  anche 
di  (jucstp.  Sia  //  (  fig.  V  )  il  luogo,  in  cui  e  posto  1'  oc- 
chio  deir  osservatore;  Ae  un  arco  del  cerchio  oscula- 
tore  del  punto  J,  os!?ia  il  siio  orizonte  vero;  A£  la  tan- 
geiite  dello  stesso  pnnto,  ossia  il  siio  orizonte  apparen- 
te.  Sia  m  iin  punto  della  superficie  terrestre,  di  cui  cer- 
casi  la  distanza  nid  dalT  orizonte  vero;  md'  la  lungliez- 
za  deir  asta;  alia  cui  estrernita  e  posto  il  segnale,  die 
per  r  innalzamento  della  ritVazione  si  vede  nel  punto  D 
della  tangente.  Si  diianiino  al  solito  /•  il  raggio  del  cir- 

colo  osculatore  di  J;  «  1'  angolo  al  centre  AC D;  — 

r  angolo  di  rifrazione  DAd';  ed  esprinia  I  la  lunghez- 
za  deir  asta  md' .  Cio  premesso  egli  e  chiaro,  die  la 
distanza  md  dalF  orizonte  vero  sara  =  md'  —  dd'  =L 
-  dd'.  Ma  dd'  h=dD  -Dd";  edn  =  r  {sec.  «  —  i). 
Avrem  dunque  m  d  =  I  —  r  sec.  (  w  _  i  )-+-/)  t/'.  E 
siniilniente  se  per  un  altro  punto  m'  sara  1'  angolo  al 
centro  w'  la  lunghezza  dell'  asta  /',  el'  angolo  di  rifra- 

xioue sara  la  distanza  in  d  dall'  orizonte  vero  = 

n 


236  V    E    N    I    N    I 

I'  —  r  { sec.  u'-~i)-^D  d' .  Ognun  vedc  qiiincli ,  che  la 
differenza  di  questi  due  valori  da  la  differenza  di  li- 
vello  dei  piinti  m  ed  m'.  Restaii  pero  da  dcterminar- 
si  i  valori  di   D  cV   corrispondenti  agli   angoli   di    ri- 


77?  «     m.  u' 


/>  •  lit   v         III   w  •!  I  >       r"  •  11 

irazione  —  >  —  ;  il  che  puo  tarsi  nella  seo;uente  ma- 
re      t*  ^  ° 

niera  . 

Si   osservi,  che   1'  angolo   A  D  cV  e    =  90°  —  w; 


—  ;  onde  sara    Ad  D  ■=  go   -h  w 

n  -^  n 


00° -t- ( )  „.   Avvertasi  in  oltre,   che   AD  k  = 

r  tan.  u.  II  valore  di  Dd'  sara  dunque  dato  dalla  se- 
guente  analogia 

sen.  Ad'  D  :  sen.  D  A  d'  =,  A  D  :  D  d' ;   ovvero 
COS.  ( )  w  :  sen.  —  =  ;•  tan.  w  :  B  d  . 

Sia  per  esempio  la  distanza  A  rn  =  260  tese;  al- 
ia qnal  sara  egiiale  anche  1' arco  Ad;  e  siippoiigasi 
il  raggio  ;•  =  3267000  tese.  In  questo  caso   sara  w  = 

i5",  78;  e  quindi,  snpponendo  col  Lambert  —  =— ,  j 

avremo—  =  1",  127;  ('ill^)a.  =  14",  65;  eDd'  = 

sen.  i"  ,  \2,Y  I  S167C00  tan.  i5"  ,78)      -,  .   ,  .      . 

■ 777— TE —^  •  Tatto  cox  logaritmi 

COS.  14   5  ^5  ° 


8ULLE    LIVELLAZIONI   BAROMETRICHR  2?)  f 

il  calcolo  til  fjuesta  frazione  si  trova  L  D  d'  =^  7. 
13148.^3;  e  D  d'  =  o  ,  0013228  tese  corrispondeiiti  a 
linee   i  ,  1428992. 

Se  i  puiul  m  ,  m'  son  posti  ad  egiiali  distanze 
dairocchio  deH'osservatore,  la  diflerenza  de'  lor  livelli 
e  data  irnmediatamente  dalla  diflerenza  delle  akezze 
dei  segnali  veduii  nella  tatigente;  poiche  allora,  sen- 
do  le  quantiia  e  della  curvatura  e  della  rifrazione  11- 
giiall  dall'mia  e  dall'altra  parte,  tiitte  si  disrriiggono 
iiel  prender  la  ditTerenza  de'  livelli  apparent!.  Ottimo 
consiglio  c  dnnqne  qnello  di  livellare,  per  quanto  e 
possi!)ile,  a  distanze  uguali,  come  ben  sovente  puo 
larsi  nelle  vaste  pianure. 

Da  non  cm'arsi  pur  sono,  perche  quasi  insensibi- 
li,  gli  eftctti  della  curvatura  e  della  rifrazione  allorchc 
le  distanze  non  passano  120  tese.  A  25o  I'elletto  della 
curvatura  per  la  latitudine  45"  e  di  linee  8,49.  In  que- 
sto  caso  da  una  piccola  rifrazione,  come  di  —  dell'an- 
golo  al  ceniro,  nascerebbe  un  alzamento  del  segna- 
le  di  lin.  i,  06;  e  da  una  grande,  come  di  -^^  dello 
stess'  angolo  di  lin.  i,  69.  lo  non  livellerei  a  distan- 
ze maggiori  e  perche  in  queste  e  difficile  di  ben  con- 
certare  le  altezze  del  segnale  e  perche  la  menoma  de- 
viazione  della  visuale  dalla  tangente  produce  nell'  al- 
tezza  del  segnale  qualche  frazion  di  pollice  di  diffe- 
renza.  L' inclinazione  di  2  soli  secondi  ben  difficile 
ad  osservarsi  anche  ne'  migliori  strumenti  produce 
neir  altezza  del  segnale  una  dilVerenza  di  j>olHci  o, 
20944  ^'^^  distanza  di  3oo  tese,  e  ch  j)ol.  0,27926  a 
quella  di  400.  Or  queste  lievi  dillerenze  accumulate 
in  una  Innga   livellazioue    potrebbero  nell'  ultimo  ri- 

T.  11.     P.  II.  3o 


238  V    E    N    I    N    I 

sultato    introdurre    alcuni  pollici  cll    errore,    quantita 
per  sc  piccola,  ina  clie,  potendo,  si  debbe  evitare. 

Alia  distanza  di  120  te.  I'elTetto  della  curvatura, 
come  bo  detto,  e  quasi  insensil^ile.  Iinpercioccbe  nel- 
la  laticiidine  45"  1'  aico  di  120  to.  e  di  7",  58;  e  I'in- 
tercetta  fra  la  tangente  ed  il  circolo  osculatore  di 
lin.  I  ,  94.  Nei  terreni  inclinati  all'  orizoute  di  gradi 
2°  52'  r  alzamento  del  terreno  e  d'  un  ventesimo  della 
luiigbezza.  Or  se  in  una  pendenza  sifVaita  si  avesse  a 
livellare  un' altezza  di  5oo  te.;  e  se,  per  abbreviare 
1' opera  diminuendo  il  numero  delle  stazioni,  si  ado- 
perasse  un'asta  assai  lunga,  di  6  tese  per  esempio,  le 
distanze  sarebbero  venti  voice  niaggiori,  cioe  di  120 
te.  Ad  ogni  stazione  avrebbesi  dunque  per  la  curva- 
tura della  parte  inferiore  lin.  1,  94;  la  qual  pero  do- 
vrebbe  diminuirsi  alcun  poco;  perche  V  altezza  del 
livello  ad  un  di  presso  di  4  piedi  fa,  che  il  terreno, 
su  cui  posa,  e  superiore  non  di  6  tese,  ma  di  5  ^  al 
punto  inferiore  della  stazione;  e  riduce  la  distanza  a 
tese  106  f;  cui  corrisponde  un  effetto  della  curvatura 
di  lin.  I,  54.  II  settimo  di  questo,  cioe  o,  22  e,  se— 
condo  il  Lambert;,  1'  effetto  della  rifrazione;  e  per  con- 
seguente  il  punto  inferiore  della  stazione  e  in  quest' i- 
potesi  distante  dall'  orizonte  vero  di  tese  6  —  lin.  i , 
'62.  Per  la  parte  superiore  della  stazione  la  lungbez- 
za  deir  asta  sarebbe  zero;  1'  effetto  della  curvatura 
lin.  o,  024,  quel  della  rifrazione  o,  go3,  e  la  distan- 
za del  punto  superiore  dall'  orizonte  vero  tese  o  —  lin. 
o,  021.  Dair  altezza  di  6  tese  converrebbe  dunque  sot- 
trarre  in  ogui  stazione  lin.  i,  299;  o  piii  semplicemen- 
te   I,  3.  Si  avverta  clie  per  livellare  5oo  te.  d'  altez- 


SULLE    LIVKLLAZIONI    BAROMETRICHE 


289 


za  a  6  per  ogiii  stazione  sen  richiedono  83;  e  si  con- 
cliiuda,  che  la  somma  di  tutti  gU  efFetti  di  curvatu- 
ra  e  rifrazione  sara  83  (  lin.  1  ,  3  )  =  lin.  107  ,  9  =* 
pol.  8,  lin.    1 1. 

Nelle  montagne  la  pendenza  del  terreno  suol  es- 
sere  almen  doppia  della  precedente;  il  che  rende  piii 
corte  le  stazioni;  e  diminuisce  per  conseguenza  gli 
efietti  di  curvatura  e  rifrazione,  che  in  quelle  livel- 
lazioni  posson  quasi  sempre  negligeutarsi . 


241 

SULL'  APPARECCHIO  LATERALE 

Con  niiove  mocUficazioni  clegli  Strumentl  descritti  nclla 

precedence  Memorla  inscrita  nella  prima  parte 

di  questo  tomo. 

D  I     Giuseppe     A  t  t  i 

presentata  il  di  i5  di  febbraio  i8ic. 


esperienza  sovrana  maestra  d'ogni  arte  sicco- 
me  conduce  agli  utili  ritrovamenti,  cosi  le  tante  vol- 
te ne  discopre  i  difetti  di  quelli  die  da  prima  ci  par- 
vero  giovevolissimi,  e  che  poscia  a  replicate  prove 
non  ressero,  o  almeno  lasciaroiio  desiderio  di  idterio- 
re  raffinamento.  Cio  veggiamo  accadere  tutto  giorno 
in  quelle  scienze,  che  non  si  fermano  nell'  astratta 
speculazione,  ina  discendono  ai  bisogni  ed  agli  usi 
della  Pratica.  Era  queste  la  Chirurgia  operativa  piii 
spesso  forse  e  meglio  d'  ogni  altra  Arte  ci  fa  senti- 
re  la  necessita  dell'  esperienza  degli  utili  ritrovati  ri- 
formatrice .  Poiche  non  avvi  operazione  chirurgica 
[nel  process©  della  qtiale  non  si  faccia  sovente  qual- 
[che  innovazione  talvolta  inspirata  dalla  particolariia 
Idelle  circostanze,  talora  mossa  da  fondata  ragione , 
talora  anche  da  una  capricciosa  curiosita.  E  qnesti 
cambiamenti,  quantunque  non  sempre  giovino  all'  o- 


243  A    T    T    I 

perazione  a  cui  fiirono  diretti,  giovano  pero  sempre 
ai  progress!  deirArte;  la  quale  poiiendo  in  obblio  le 
innovazioni  sfortuivate  ed  irragionevoli,  e  quelle  rac- 
cogliciulo  die  dalT  esperienza  c  dal  tempo  ottennero 
liivorevole  sufYragio,  va  tutto  giorno  accrescendo  il 
tesoro  de'  suoi  strunienti,  e  conciliando  a'  suoi  me- 
todi  semplicita  e  sicurezza.  Fu  a  questo  intendimen- 
to  die  altra  volta  io  esposi  i  cambiamenti  die  m'oc- 
corsero  di  fare  sul  process©  operativo  deila  Litotomia, 
o  piuttosto  sulla  forma  e  figura  degristrumenti,  che 
credetti  piu  opportuni  al  compimento  dell'  operazio- 
iie,  sembrandomi  aver  dimostrato  die  al  semplice  me- 
todo  die  io  seguiva  nella  pratica  della  Litotomia,  era- 
si  coiigiunta  colla  uuova  figura  degli  strumenti  la  mas- 
sima  sicurezza.  Per  essi  in  fatti  evitavansi  i  piu  peri- 
colosi  scogli  deH'operazione,  quand'erasi  assicurata  la 
strada  al  coltello  in  modo,  die  ne  deviar  potesse  dal- 
la  scanalatura  del  sciringone,  ne  passar  oltre  I'estre- 
mita  di  questo,  per  cui  nessun  pericolo  ci  fosse  nel- 
la direzione,  e  nell'  estensione  del  taglio.  Benclie  pe- 
ro per  il  punto  interessantissimo  della  sicurezza  con- 
tento  dovessi  cssere  delle  modificazioni  degli  strumen- 
ti immaginate,  eseguite,  sperimentate,  non  potea  tut- 
tavia  cbiamarmi  soddisfatto  sul  riguardo  della  sem- 
plicita del  processo  operativo.  Nel  primo  metodo  un 
sol  coltello  puntuto  e  tagliente  d'ambi  i  lati  serviva 
e  all'incisione  degl'integumenti,  ed  al  consecutivo  ta- 
glio deir  uretra,  e  della  vescica;  ma  dopo  le  modifi- 
cazioni non  potendo  il  coltello  con  estremita  bottonata 
e  triangolare  servire  al  taglio  degl'  integumenti,  ed 
alia  prima  incisione  dell'  uretra,  era  costretto  preva- 


sulk'  ai'Parecciiio  laterale  243 

lerml  d'  altro  istnimento  per  efTettuare  quest!  primi 
tagli,  die  preceder  debbono  Tuso  del  litotomo  botto- 
nato.  Dalla  necessita  di  canibiare  il  coltello  non  e 
dillicilc  ravvisare  Timbarazzo  in  cui  puo  trovarsi  I'o- 
peratore  allorche  coll'  ultitno  incontrar  deve  1'  aper- 
tura  deir  uretra,  clie  sulla  scaiialatura  del  sciringone 
fu  formata  dal  primo.  Quindi  deve  soflVire  la  sein- 
pliciti  deir  operazione,  quale  riesce  tanto  pin  facile 
e  sernplice,  quanto  niinore  e  il  numero  degli  strumen- 
ti,  e  quanto  meno  divisa  ,  meno  imbarazzata  e  piu 
sollecita  si  e  1'  azione  dell'  operatore.  AUe  quali  co- 
se riflettendo  io  attentamente  feci  costruire  un  nuovo 
coltello,  il  quale  a  diflereuza  di  qiiest'ultimo  non  ha 
gia  Testremiia  bottonata  ne  acuta  come  il  primo,  ma 
ottiisa  e  tagliente,  clie  serve  a  dividere  gl'  integumen- 
ti  e  r  uretra  onde  scoprire  la  scanalatura  del  scirin- 
gone; lia  poscia  un  bottone  clie  ne  abbraccia  il  prin- 
cipio  del  dorso,  il  quale  coll'  alzare  il  coltello  si  fa 
entrare  sulla  parte  piu  larga  dtlla  scanalatura  del 
sciringone  (luogo  appunto  che  corrisponde  al  taglio 
gia  fatto  deir  uretra)  di  modo  che  con  due  semplici 
movimenti  dello  stesso  strumento,  che  seguansi  1'  un 
r  altro  senza  interruzione,  il  taglio  puo  compiersi  in 
pochi  second!  con  tutta  sicurezza.  Immaginata  tale 
modificazione,  fu  mia  cura  che  lo  strumento  fosse  ese- 
guito  colla  rnassima  esattezza;  e  nelle  ultime  opera- 
zioni  di  pietra  per  le  quali  ne  volli  far  prova,  fu  co- 
si  sicuro  e  sollecito  il  taglio,  che  nulla  ora  mi  resta 
a  desiderare  per  lo  scopo  ch*  io  m'  era  prefisso  della 
semplicita,  e  sicurezza.  Cosi  io  non  dubito  che  la  Li- 
lotomia,  la  quale  fu  per  si  luugo  teaipo  considerata 


244  A    T    T    I 

fra  le  operazioni  cliiriirgiche  la  piu  difficile  ed  az- 
zardosa,  tale  die  per  essa  mettevasi  a  prova  Tabili- 
ta  d'  un  operatore,  non  dubito,  dissi,  die  ove  singo- 
lari  coni])inazioni  non  ne  rendaiK)  complicata  1' ese- 
cuzione  divenvita  per  se  cosi  semplice,  e  cosi  facile, 
non  possa  da  qualunqiie  allievo  coa  coraggio  iiitra- 
prendersi.  INon  c  percio  die  alcuna  volta  appiiiito 
per  strane  ed  inaspettate  combiiiaziovu  non  deb!)asi 
mettere  a  profitto  quanto  siiggerisce  TingegnOj  e  coii 
pronti  ed  appropriati  ripiegbi  far  fronte  agli  ostaco- 
li,  die  alia  comune  inaniera  d'operare  s' oppongono. 
Allora  si  e  che  costretti  a  deviare  dal  retto  camnii- 
no  ci  e  forza  di  scegliere  nuove  strade,  e  d'immagi- 
nare  nuovi  mezzi  per  condiirre  a  biion  terniine  la 
proposta  operazione.  Tali  dillicili  c  criticbe  circostan- 
ze  ho  io  pure  incontrate  piu  volte,  c  mi  sono  trova- 
to  costretto  sul  momento  a  diiamar  in  soccorso  com- 
pensi  affatto  nuovi  per  I'arte,  volendo  superare  quel- 
le difficoka,  die  alia  comune  maniera  di  operare  si 
opponevano.  Una  fra  le  altre  parnii  possa  meritare 
qualche  considerazione,  come  quella  che  piu  delle 
altre  m'  impegno  a  mettere  tutto  lo  studio  e  la  dili- 
genza  per  riuscirci;  e  che  lino  al  [)resente  ha  costret- 
to gli  operatori  ad  abbaudonare  in  simil  caso  V  Ap- 
parecchio  laterale  come  assolutamente  ineseguibile. 

Ad  ognuno  e  noto  che  serve  di  scorta  al  taglio 
nella  litotomia  un  sciringone  scanalato,  e  che  quan- 
do  questo  per  qualche  organico  ristriugimento  dell'u- 
retra  non  possa  per  essa  introdursi  in  vescica,  manca 
air  operatore  sicura  scorta  per  il  taglio;  e  quindi  non 
puo  egli  azzardarlo  senza  incontrare  gravissimi  peri- 


SULL    APPAllECCHIO    LATERALE  2^3 

coli.  In  tale  circostanza  appigliavansi  gli  opeiatoii 
air  alto  apparecchio,  vedendo  chiusa  ogni  altra  stra- 
da  air  estrazione  della  pictra .  Per  due  volte  mi  e 
accaduto  di  non  poter  peiietrare  col  sciriiigone  in  ve- 
scica,  ed  essere  obbligato  ad  immaginare  altro  coin- 
penso  . 

In  nn  Soggetto  molto  avanzato  in  eta,  e  pronto 
ad  assoggettarsi  aH'operazlone  della  pietra  perche  af- 
flitto  da  Inngo  tempo  da  atrocissimi  cd  intoUerahili 
dolori,  mi  riesci  impossibile  T  introdnzione  del  scirin- 
gone  malorado  i  tentativi  ripetuti  pid  volte  per  sor- 
tire  neir  intento.  Indeciso  allora  a  qual  partito  appi- 
gliarmi  onde  liberare  quest'  infelice,  non  seppi  deter- 
minarmi  sulT  esempio  d'  altri  operatori  all'  alto  appa- 
recchio,  temendone  ragionevolmente  le  pericolose  con- 
sesiuenze  si  ri2;uard()  alTinoltrata  eta  del  soooetto,  co- 
me  ancora  per  la  dilficolta  e  fors'ancbe  I'injpossibi- 
lita  d'  esegniilo;  ma  fermo  egli  nella  risolnzione  di 
volere  r  operazione  a  costo  d'  incontrare  la  morte, 
preferibde  certamente  a  vita  si  tormentosa,  la  di  lui 
fermezza  e  coraggio  mi  aninio  e  decise  a  tentare  qna- 
lunqne  mezzo  per  sortirne  1'  effetto  coll'  appareccbio 
Luerale,  ad  onta  mi  fosse  toko  d'  introdiuTe  il  sci- 
ringone  in  vescica.  Costruir  feci  un  sciringone  meno 
enrvo  dell'  ordinario,  ed  aperto  nell'  estremita  della 
sua  scanalatura;  pensai  d'introdurlo  e  portarlo  nell'  u- 
retra  fino  al  puuto  in  cui  fosse  trattenuto  dall'  osta- 
colo,  il  quale  il  pin  delle  volte  s' incontra  nella  par- 
te membranosa  dell'  iiretra  vicino  al  collo  della  ve- 
scica. Sn  questa  scanalatura  protninente  e  sensibile 
al  perineo,    io  ideava  di  fare  un'  incisione  dell'  iire- 

T.  IL     P.  II.  3 1 


2^6  A    T    T    I 

tra ,  die  la  mettcsse  a  scoperto  per  introdurvl  una 
sortilissiina  sciringlietta.  Con  essa  scorrendo  sulla  sca- 
nalatiira  fino  all'ostacolo,  io  m'avvisava  die  non  sa- 
ria  stato  clilllcile  il  siiperarlo,  ed  entrare  in  vescica. 
Era  pronta  una  sonda  scanalata  parimenre  aperta  nel 
suo  estremo,  e  die  peifottamente  coaibaciava  col  dor- 
so  ddla  sciringhctta  di  mode  che  questa  avria  servi- 
to  di  scorta  alia  sonda  per  essere  introdotta  in  ve- 
scica. Hitirando  allora  la  sciringa,  e  portando  la  son- 
da in  alio  contro  V  angolo  di^l  pidje  colla  scanalatu- 
ra  in  basso,  e  rivolta  ohliqnaniente  verso  il  lato  si- 
nistro,  sn  d'essa  io  poteva  strisciare  il  litotomo,  e  fa- 
re il  taglio  laterale  nel  modo  stesso  che  1'  avrei  ese- 
gnito  dietro  la  scanalatura  del  sciringone.  Che  se  ri- 
gnardo  alia  ohhliqnita  dtl  taglio  si  fosse  desiderata 
una  sicurezza  niaggiore^  si  avrebbe  potnto  introdur- 
re  in  vcsrica  lungo  la  sonda  scanalata  il  condntto- 
re  di  Poutean  armato  del  sno  moderatore  a  livdlo, 
che  serve  di  norma  al  Chirnrgo  per  la  necessaria  ob- 
bliqnita  del  taglio,  e  Io  assicura  dalle  pericolose  con- 
seguenze  d'un  taglio  o  perpendicolare,  o  orizzontale. 
Tale  fn  I'apparecchio  ch' io  credetti  di  disporre  traen- 
done  r  idea  dal  metodo  il  quale  ho  dovuto  segnirc 
pill  volte  nel  trattamento  di  quelle  fistole  al  perineo, 
che  chindevano  alTatto  la  strada  per  penetrare  in  ve- 
scica. Prima  pero  d'accingernii  ad  operazione  si  com- 
plicata  e  dillicoltosa,  tentar  volli  di  nuovo  nel  giorno 
fissato  per  la  medesima  1'  introdnzione  del  sciringone, 
per  risparmiare,  se  pur  era  possihile,  la  lunga  e  dolorosa 
manovra  di  questo  nuovo  processo  operativo.  II  ten- 
tativo  fu  favorevole  nientre  senza  grandi  sforzi  balzo 


SULL    APrAKECCHIO    LATEKALE  247 

il  sciringone  in  -vescica;  ml  trovai  in  istato  di  operare 
nel  niodo  orclinario ,  e  V  operazione  riuscimmi  per 
r  eseciizione  e  per  V  esito  felicissima  .  Quantinujue 
quest' incontro  fortnnato  mi  togliessc  ropportunita  di 
mettere  a  prova  (juesta  nuova  maniera  di  operare, 
che  io  m'  era  proposta  ;  ne  era  pero  cosi  contento 
dell'invenzione,  e  cosi  persuaso  del  successo,  che  non 
dubitando  di  rimancrne  soddisfatto  allorchc  T  avessi 
sperinicntata,  mi  proposi  di  fare  fm  d'allora  il  tenta- 
tivo  qiiando  nuova  occaslone  mi  si  fosse  presentata . 
Essa  non  tardo  guari,  e  non  sono  clie  pocbi  mesi  clie 
ne  feci  1'  azzardoso  ma  indispensabile  tentativo,  se- 
guendo  presso  a  poco  il  process©  operaiivo  gia  de- 
scritto.  L'  operazione  ebbe  a  farsi  su  di  un  uomo  di 
fresca  eta  da  alcuni  aiuii  tormentato  da  dolorose  re- 
tenzioni  d'  urina.  Non  sospettando  per  modo  alcuno 
r  infcnno  di  corpo  estraneo  esistente  in  vescica  attri- 
buiva  il  suo  incomodo  ad  organici  ristringimenti  dcH'u- 
retra,  dei  cpiali  egli  Ijcu  ne  conosceva  la  causa,  e  ne 
confermava  1'  esistenza  1'  esplorazione  colle  candclet- 
te,  e  coi  cordoni  elastici.  Ad  onta  ])cr6  di  una  ca- 
gione  assai  sufiiciente  a  spiegare  la  suddetta  riienzio- 
ne  d'  urina  furono  rilevati  dal  Chirurgo  cbe  ne  ave- 
va  la  cura,  alcuni  sintomi  particolari,  i  quali  lo  fece- 
ro  sospettare  cbe  esistcsse  pietra  in  vescica.  L'  assog- 
geito  peicio  all'  esplorazione,  cbe  dovette  ripeiersi 
piu  volte  per  la  diflicolta  di  superare  le  angu^tie  del 
condotto,  ma  cbe  ]>oscia  riuscita  mise  fuor  di  dub- 
bio  la  presenza  della  pietra.  Fummi  allora  conscgna- 
to  r  infermo  per  V  operazione,  e  tosto  previdi,  atte- 
sa  la  difficolta  pel  passaggio  della  sciringa,   V  miba- 


248  A    T    T    I 

rnzzo  ill  cui  dovea  trovariiii  per  V  introdiizlone  del 
sciiingone,  che  riesce  sempre  pin  stentata  e  laborio- 
sa.  Si  avvero  il  sospetto,  ed  uu'ora  e  piii  clie  io  iin- 
piegai  in  inutili  tentativi  non  basto  a  superaie  gl'ia- 
toppi  clie  s'  incontravano  iiell'  uretra  vicino  alia  ve- 
scica .  Conosciuta  rimpossibilita  di  portarci  il  scirin- 
gone  c'  iiitrodussi  una  sottilissima  sciringa,  determi- 
nato  d' operailo  nel  modo  sopra  descritto.  Commisi 
air  Assisteijte  la  sottile  scirinoa,  che  fii  da  liii  soste- 
niita  coiitro  il  pube  dirigendone  obbliqiiamente  ver- 
so il  lato  sinistro  la  convessita .  Tagliaii  gl'  integu- 
menti  nella  comune  rnaniera  azzardai  il  taglio  delTii- 
retra  sulla  rotonda  convessiia  della  sciringa,  per  cui 
scoperta  una  porzione  del  suo  dorso  c'insinuai  la  son- 
da  scanalata,  c  lungli'  essa  la  portai  fino  in  vescica. 
Qnesta,  come  gia  ho  descritto,  servi  al  compimento 
del  taglio,  mentre  su  d' essa  feci  scorrere  il  litotonio 
bottonuto.  Colla  scorta  dell'indice  introdussi  la  tana- 
glia  colla  qnale  rinvenui  ed  alTerrai  tosto  la  pietra. 
Per  sfortiina  r  operazione,  che  per  tante  conibinazio- 
ni  era  stata  si  lunga  e  tormentosa,  lo  divenne  assdi 
pin  per  la  roctura  della  pietra  che  a  pezzi  dovette 
estrarsi  cutta.  Un  travaglio  cosi  penoso  pareva  che 
dovesse  destar  nell' infenno  sintoini  pericolosi,  e  far 
temere  funeste  conseguenze;  pure  quanto  questo  gio- 
vane  provo  avversa  la  fortuna  e  prima  e  nel  tempo 
della  operazione,  altrettanto  favorevole  I'incontro  do- 
po  la  medesima.  Nulla  turbo  la  calma,  che  I'estra- 
zione  della  pietra  gli  procuro,  e  dopo  quattordici 
giorni  le  urine  ripresero  il  cainniino  naturale,  1'  ul- 
cero  si   restrinse,  e  nel    vigesimo  quinto  era  gia  to  • 


SULl'  APPARECCniO    LATERALE  249 

talmente  cicatrizzato.  Cosi  ebbi  il  contento  di  veder 
coronato  di  favorevol  successo  un  nuovo  tentativo  in 
circostaiiza  tanto  critica  e  diiricokosa.  Sc  stretio  a' 
priiicipii  ed  alle  regole  dell'  arte  o  avessi  riciisato 
d'  opera  re  quest' infelice,  o  1' avessi  sottoposto  all' al- 
to apparecchio,  egli  o  proverebbe  ancora  gli  effetti 
di  vita  cosi  tormentosa,  o  saria  rimasto  vittima  di  un 
processo  operativo  cosi  pericoloso,  e  di  nialattia  co- 
si micidiale.  1  compensi  dell'  arte  nori  possono  stabi- 
lirsi  per  regole;  d'uopo  e  die  I'ingegno  gli  formi  sul 
punto,  e  gli  applicbi  alle  circostanze  ed  a'  partico- 
lari  bisogin'.  La  pratica  chirurgica  ba  questo  di  su- 
periore  alio  studio  teorico^  die  mentre  questo  dirige 
i  regolari  passi  dell'  operatore,  1'  altra  gl'  insegna  il 
cammino,  die  tener  deve  quando  imperiose  circo- 
staaze  lo  deviano  dal  retto  sentiero. 


25l 

DELLA  SIMIGLIANZA  MECGANICA 

M  E  M  O  R  I  A 
Di     Pa.olo      Delanges 

ricevuta  il  di  20  di  marzo  1810 


i3e  il  modello  d'  una    fabbrica,   o  d'  una    mac- 
china    serve  a   fame  comprendere  la  struttnra  senza 
aflaticare  la  fantasia,  in    confronto    del  disegno,  pre- 
sentando  esso  la   materiale  configurazione,  e  la  posi- 
zione  respectiva  dalle   parti  e   tiitte  raccogliendole  in 
coniplesso  sotto  rocchio:  egli  e  altresi  vero  che   il  co- 
strnirlo  osservando  puratnente  Tegnaglianza  degli  an- 
goli ,  e  la  proporzionalita  nelle  dimensioni,  cioe  di  si- 
iniglianza  geometrica  col  propostosi  lavoro  in  grande, 
se  e  in  tal  gnisa  sufficiente  per  le  considerazioni   da 
farsi  sngli  utHzj   ed   nsi  della  massima  parte  dclle  fab- 
bnche  appartenenti  alle  arcliitetture  civile  e  niilitare, 
iion  lo  e,  come  dimostrereino,  ne'  casi  in  cui  dal  mo- 
dflio  vogliano  dedursi  residtati  proporzionali,  rignar- 
do  a   resistenze    ed   a    equilibrj,   a  quelli  della  mac- 
china  che  ralligura.  Qnindi  e  d'nopo  conoscere  un'al- 
tra  sorta  di  siiniglianza,  ch'io  denomino  Sitnigtianza 
weccanica  1  e  su  cui  intendo  ora  di  ragionare. 


252  Delances 


§  I 


Che  la  simigliaiiza  geometrica  non  sia  valevole 
ad  assicurarci  degli  effetti  d'  una  niaccliina  e  della 
sua  riuscita  all'intento  divisato,  da  quelli  del  suo  mo- 
deller cio  e  comuneinente  note  a  grado  tale,  che  noa 
di  rado  la  scienza  ineccanica  va  soogetta  alia  deri- 
sione  del  volgo,  come  se  dubbj  ed  incerti  ne  fossero 
i  suoi  principj :  anzi  che  sapendosi  per  esperienza  die 
ove  si  tratti  di  equilihrio,  la  potenza  nel  modello  co- 
struito  semplicemente  di  simiglianza  geometrica,  e  sen- 
sibilmente  minore  di  quella  che  occorre  in  fatto  nella 
macchina  che  rappresenta,  venne  da'  pratici  ammesso 
I'arbitrario  canone  o  regola,  che  la  potenza  per  1' e- 
quilibrio  concrete  nella  stessa  debba  computarsi  una 
terza  parte  maggiore  di  quella  che  al  suo  equilihrio 
niatematico  competerebbe,  facendo  cioc  astrazione  del- 
le  naturali  resistenze. 

sn 

Qualora  non  abbiasi  per  oggetto  che  cV  investi- 
gare  dalla  resistenza  alia  rottura,  oppure  dalla  quan- 
tita  del  carico  di  cui  e  capace,  vale  a  dire  dalla  ro- 
bustezza  del  modello  quella  dell'  opera  che  vuol  co- 
struirsi,  la  sola  simiglianza  geometrica  ci  conduce  al 
desiderato  fine,  e  ne  troviamo  additata  la  via  nella 
Memoria  del  celebre  L.  Eulero.,,  Regnla  facdis  pro 
diiutllcanda  firmitate  pontis  aliusve  corporis  similis  ex 
cognita  firmitate  moduli,,  (  Novi  Comm.  Acad.  Scien- 


DELL.V    SIMIGLIANZA    MECCANICA  255 

tiar.  Imperialis  Petropolitanac.  Tom.  XX;  anno  17-5  ), 
in  cul  due  sono  i  probliMni  the  da  su  questo  partico- 
lare.  Nel  |)riino  dererfiiina  il  peso  occorrente  che  puo 
portare  \ma  corcia  fiiio  ai  puiuo  di  spezzarsi ,  dall'es- 
sere  per  cs^pcricnza  cognito  qiiello  che  puo  portare  una 
cordicella  siniihiirnte  piegata.  JNel  secondo  poscia  , 
supponendo  che  la  robustezza  d'  uu  ponte  dipender 
deJjIja  dalla  resistenza  alia  rottura  di  travi  iiguali  di 
cui  fosse  architettato,  e  dato  per  esperienza  il  peso, 
computato  il  proprio,  che  puo  portare  un  travicello 
di  siniili  diniensioni,  cioe  la  sua  resistenza  respettiva, 
determina  quella  del  proposto  ponte,  ossia  il  peso  che 
potrel)be  sostenere  prima  di  rompersi;  e  cjuiudi  coa 
uno  de'  soliti  artifizj  usaii  da  si  somino  algebrista  tro- 
Ya  la  grossezza  di  cui  dovrchhero  essere  dotate  le  tra- 
vi per  renderlo  alto  ad  una  pvescritta  forza  premente. 

§  III 

Ma  parlando  de'  modelli  di  macchine  immaglna- 
te  a  vantaggio  delle  arti  e  delT  agricoltura,  nelle  cjua- 
li  debbonsi  valutare,  e  noa  reputarle  di  un'  entita 
trascurai/ile,  le  resistenze  degli  attriti,  per  non  rima- 
nere  delusi  nel  conseo-uire  la  bramata  riuscita  ;  e 
manifesto,  che  supposto  eseguito  il  niodello  con  si- 
migliauza  geometrica,  stando  i  pesi  de'  soli<li  simili , 
e  di  oguale  gravita  specifica ,  in  triplicata  ragione 
de'  lati  omologhi,  le  pressioiii  dij)endenti  dal  peso 
de'  rnembri  nel  modello  saranno  proporzionatamen- 
te  di  gran  lunga  minori  di  quelle  che  si  esercite- 
ranno   da'  simili   rnembri    nella  macchina,    e  che  per- 

T.  IL    P.  II.  32 


204  Delanges 

cio  clovendosi  vlncere  anclie  le  resistenze  di  attrito 
oausate  da  tali  pressioni,  la  proporzione  clie  per  1' e- 
qiiilibrio  concreto  si  sperimentera  nel  inodello  tra  la 
potcnza  c  la  resistertza,  non  sara  giammai  qnella  che 
alia  macchina  converra:  irnperocchc  ponendo  die  le 
dimonsioni  del  modcllo  a  quelle  della  macchina  ab- 
hiaiio  la  lagione  di  i  a  12,  e  sia  pure  i  a  12  la  ra- 
gione  de'  pesi  chc  denotano  la  potenza  e  la  resisteii- 
za;  mentre  per  la  simiglianza  geometrica  si  oiterreb- 
bero  dal  niodello  resuliaci  proporzionali,  computata 
anche  la  resistenza  degli  attriti  dovuta  alia  pressione 
die  nello  stato  di  equilibrio  niateniatico  esercitaiio  la 
potenza  e  la  resistenza  insienie,  a  quelli  della  inac- 
cliina,  non  riescono  jiero  tali  in  virtu  delT  attrito  di- 
pendente  dalla  pressione  del  peso  de'  membri  die  deb- 
Lono  disporsi  in  istato  di  equilibrio,  seguendo  il  pe- 
so loro  non  la  ragione  semplice,  ma  la  ragione  tripli- 
cata  delle  oniologiie  dimensioni,  cioe  nell'  esempio 
assunto,  la  ragione  di  i'  a   12%  cioe  di  i  a  1728. 

§  IV 

L'  esposta  considerazione  ci  fa  rilevare,  che  per 
costituire  vm  modello  si  die  corrisponda  e  possa  ac- 
certare  degli  effetti  e  dell'  efficacia  della  macchina  in 
grande,  conviene,  costruito  die  sia  con  simiglianza 
geometrica,  rettificarlo  in  maniera  die  acquisti  quel- 
la  simiglianza,  ch' io  chiamo,  come  dissi ,  siniigliaa-' 
za  ineccanica.  Per  giugnere  a  cio,  rappresentate  la 
potenza  e  la  resistenza  d'  una  macchina  da  pesi  ad  es- 
se equivalenti,  come  suol  ordinariamente  accostumar* 


h 


BELLA    SUnClI.VNZ.V    jrUCCAMCA.  2.35 

si,  di  due  moduli  dovra  farsi  uso  per  la  fabbrica 
del  suo  moilcllo,  il  priuio  de'  quali  sara  lineare,  e  si 
adoprerii  per  detenninare  le  dimensioni  de'  meinbri;  e 
r  altro  sarii  di  peso  per  [)roporzioiiare  in  esso  que'  pe- 
si  che  devono  agire  relativamenre  a  quelli  della  niac- 
cbiua.  Freveneudo  cbe  una  delle  principali  avverten- 
ze  nelParebitettare  il  modello,  si  e  quella,  cbe  i  mem- 
bri,  cbe  devono  scambievobnente  strofinarsi  sieno  re- 
sj>etiivamente  della  stessa  materia  e  con  superlicie 
egualmente  preparate  a  quelli  della  maccbinaj  daro 
qui  un'  applicazione  delT  enunciara  regola,  oude  ne 
comparisca  i\  grado  di  sua  utilita  praticamente. 

S  V 

Preso  per  modulo  delle  dimensioni,  il  pollice  per 
un  piede,  e  per  quello  de'  pesi,  I'oncia  per  una  libbra; 
un  picciol  legno  lungo  pollici  12  di  figura  parallele- 
])ipeda,  di  cui  I'akezza  e  largbezza  e  un  pollice,  sia 
il  modello  di  una  trave  di  dimensioni  conformi  al  mo- 
dulo indicato,  cbe  dee  sostenersi  in  equilibrio  intor- 
no  ad  un  perno  immobile,  che  V  attraversa  in  dire- 
zione  perpendicolare  alia  sua  lungbezza  in  guisa  cbe 
il  di  lui  asse  giace  nella  sua  base,  da  una  potenza 
cbe  agir  deve  ad  una  sua  estremita,  essendo  attacca- 
to  air  ultra  il  peso  di  libbre  12.  Stante  il  modulo 
prescelto  per  le  dimensioni  siano  nel  nostro  modello 
respettivamente  a  ((uelle  determinate  per  la  matcbi- 
na,  la  lungbezza  del  jjraccio  dalla  parte  del  peso  da 
attaccarsi,  cbe  sara  riguardo  al  predotto  modulo  de' pe- 
si di  Oiice   12,    pollici   3,  e  ipiella  del    braccio  dalla 


256  D    T.    L    A    X    O    E    S 

parte  tlolla  potenza  pollici  9,  il  raggio  del  perno  J  di 
pull  ice;  e  per  esperienza  sia  noto  essere  once  6  il  pe- 
so del  travicello.  E"  ciiiaro  die  per  V  eqiiilibrio  ma- 
teniatlco,  prcscindendo  cioe  deila  resistenza  di  attri- 
to,  dovrel)he  essere  la  potenza  once  4;  ma  per  ot- 
tenere  requililirio  concreto  occorra  ad  essa  V  anmen- 
to  di  il  d'oncia,  da  ciii  si  ricavera  che  i^  d'  oncia , 
quarto  proporzionale  al  rnggio  del  perno,  al  braccio 
della  potenza,  ed  all'  ainiiento  predetio,  e  la  resi- 
stenza di  attrito  sul  perno;  e  die  in  conseguenza  per 
essere  once  22,  che  sono  la  somma  della  potenza  per 
I'equilibrio  asiraito  e  del  p<^so  da  sostenersi  con  quel- 
lo  del  travicello  insieme  ,  la  pressione  sullo  stesso 
perno;  sara  la  ragione  della  pressione  all' attrito  quel- 
la  di  5  ad   i . 

§  VI 

Ora  essendo  nota  siffatta  proporzione,  agevolmen- 
te  si  scopre,  che  dell'  auinento  suddetto  ^^  di  oncia, 
i/^  appartengono  all'  attrito  relative  alia  pressione  sul 
perno  della  somma  del  peso  da  sostenersi,  con  quel- 
lo  che  rappresenta  la  potenza;  e  che  --  e  la  parte 
di  aumento  nella  potenza  rispetto  all'  attrito  prodot- 
to  sul  perno  stesso  dal  peso  di  once  6  del  travicel- 
lo'. Siccome  poscia  il  peso  del  travicello  a  quello  del 
trave  ha  la  ragione  triplicata  delle  omologhe  dimen- 
sioni,  cioe  quella  di  i'  a  12',  ovvero  di  i  a  1728; 
cosi  scorgesi  in  fatto,  come  s' e  detto  superiormente, 
che  r  attrito  sul  perno  per  conto  del  travicello  nel 
modcllo  risulta  assai  minore  respettivamente  all'  asse- 


DELLA    SIMIOLIANZA     MECCANICA  257 

gnato  modulo  de'  pesi,  di  quello  die  reca  il  peso  del 
trave  nel  suo;  ])olche  essendo  il  peso  del  trave  lib- 
bre  864,  dovrcbbe  essere  quello  del  travicello-once 
864  compreso  il  proprio  di  ouce  6:  si  dovra  dunque 
caricare  qucsto  di  once  858,  cioe  di  libbre  71  i  per- 
che  risulti  il  modello  di  siiniglianza  meccanica  verso 
la  macchina  che  rappresenta,  e  qnindi  nella  soprac- 
ceunata  ragione  della  pressione  all'  attri(o,  si  trovera 
ciie  la  potenza  nel  modello  verra  aurnentata,  oltre 
agli  ~  di  oncia,  di  once  4^;  sicche  la  proporzione 
per  r  equilibrio  concreto  in  csso  tra  il  peso  da  soste- 
nersi  e  la  potenza j,  sara  di  J2  a  oj;;  e  tale  appunto 
sara  la  pro[)orzione  die  si  sperinientera  nella  macchi- 
na medesima . 

§  VII 

Dal  riferlto  esempio  sulla  macchina  fra  le  piii 
semplici  che  possano  idearsi  si  raccoglie,  che  mentre 
la  potenza  niatematica  nel  costruito  modello  con  si- 
miglianza  gcometrica  e  once  4,  diventa  once  4  ^  com- 
putando  l'  attrito  sul  perno  dovuto  alia  pressione  di 
detta  potenza  e  del  peso  o  resisteuza  con  cui  dee 
equilibrarsi  ,  e  die  diventa,  supposto  conformato  il 
modello  in  simiglianza  meccanica,  di  once  8  ^,  cioe 
pin  die  doppia  della  potenza  matematica;  da  I  die 
apparisce  di  quanta  importanza  sia  la  correzione,  che 
dee  farsi  nel  calcolo  de'  modelli  riguardo  al  peso  de 
memhri  die  concorrono  ad  aumentare  G;li  attriti,  va 
le  a  dire  di  costituirji-li  in  simi2;lianza  meccanica  colle 
niacchiue  che  rassomigliano.  E  poichc  nel  nostro  esem- 


258  D    E    L    A    N. C    E    S 

pio  r  oncia  nel  modello  indica  la  libbra  nella  mac- 
chini,  ne  segue  die  la  potenza  pel  suo  equilibrio  mec- 
canico  dovra  essere  di  llbbre  o  y,  conrie  esattainente 
da  il  calcolo  diretto  sulla  stessa,  usando  della  raoiiotie 
tra  la  pressione  e  1'  attrlto,  clie  si  ottenne  dal  rno- 
dello,  e  valutando  il  peso  della  trave  dedotto  come 
s'  e  fatto. 

§  VIII 

Trattandosi  d'  una  macchinazione  per  far  asceu- 
dere  o  discendere  uu  corpo  lungo  un  piano  inclina- 
to,  come  abbisogna,  a  cagion  d'  esempio  per  far  di- 
scendere in  acqua  o  tirare  a  terra  i  navigli ,  il  mo- 
dello di  simi^lianza  2;eometrica  e  bastante  a  dimos- 
trare  cio  che  succeder  deve  nella  macchina  in  gran- 
de,  avvegnache  la  ragione  per  V  ec[nilibrio  tra  la  po- 
tenza c  la  resistenza  sara  la  stessa  si  nell'  uno  die 
nell' altra,  semj:)re  che  sia  osservata  I'eguaglianza  ne- 
gli  angoli  cV  inclinazione,  e  le  superficie  che  devono 
strofinarsi  sieno  egualmente  condizionate.  Sono  pero 
oggidi  talmente  conosciute  le  leggi  delle  resistenze 
d' ogni  genere,  e  singolarmente  quelle  degli  attriti,  e 
reso  si  comune  il  calcolo  di  esse,  che  non  v'  ha  d'uo- 
po  rintracciare  dal  modello  la  capacita  o  I'  efficacia 
della  macchina  per  il  fine  a  cui  si  vuole  applicare, 
purche  non  si  trascurino  soprattntto  i  pesi  de'  mem- 
bri  che  deggiono  porsi  in  movimento,  come  s'  e  di- 
mostrato  essere  necessario  nel  definire  la  simiglianza 
meccanica.  Sara  non  percio  il  modello  geometrico 
utile,  si  per   comprendere  in  alcuni  casi   con  facilita 


DELL\    SIMIGLIANZA.    MECCANICA.  25^ 

la  struttura  della  macchina  ideata,  che  per  iscoprire 
in  altri  i  canoni  o  le  proporzioni  tra  le  pressioni  e 
gli  attriti  pel  calcolo  di  essa. 


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t.'ypi'Ui/li'    //'■/■   /<'    ~J)',</irri>cf 


,.■      ...     ....  /  .f,-       .-■ 


^6i 

DELLA  INCLINAZIONE  DELLE  SPONDE 
negll  alvei  de'  fiuml 

Di     SiMONE     Stratico 

ricevuta  il  dl  i  di  maggio  1810. 


I.  VTli 


alvei  de'  fiumi,  dove  questi  scorrono  so- 
pra  111!  suolo  composto  di  parti  facilmente  arnovibili, 
come  di  terra  o  di  sabbia,  hanno  il  fondo  inclinato 
verso  la  loro  foce,  e  le  sponde  inclinate  dalle  ripe 
verso  il  mezzo  della  larghezza  dell'alveo,  o  similmen- 
te,  ciocche  e  piii  raro,  o  disugualmente,  ciocche  e 
[piu  frequente;  oppure  rimane  tra  le  sponde  uno  spa- 
Izio,  che  si  puo  riguardare  come  orizzontale  nel  ver- 
so della  larghezza  dello  stesso  alveo.  Le  sponde  e  il 
fondo  formano  la  sezione  del  fiume. 

2.  Nell'  inclinazione   del    fiume   pel   verso   della 
lunghezza,  si  distingue  quella  del  fondo,  e  quella  del- 
la superficie  dell'acqua  corrente.  La  prima  e  costan- 
Ite  in  ogni  stato  del  fiume,  e  puo  variare  in  corso  di 
[tempo,  per  I'introduzione  di  nuove  acque,  o  per  di- 
strazione  di  quelle  che  gH  erano  proprie.  La  secon- 
T.  II.     F.  II.  33 


202  S    T    K    A    T    I    C    O 

da  e  divcrsa  ncgli  stati  di  magra  e  di  plena.  Cosi 
mentre  1'  arqna  de'  fuiini  in  plena  s'  inalza  a  moUi 
pledi  in  puiiti  lontaiii  dalla  foce  in  mare,  viciao  al- 
ia stessa  s'  inalza  assai  meno. 

3.  La  cadente  de'  fminl,  cioe  rinclinazione  all'o- 
rizzonte  della  lliiea  del  loro  fondo^  dlpende  dall'  in- 
cllnazione,  e  dalT  indole  del  suolo  die  attraversano, 
e  dalla  mole  e  akezza  delle  loro  acquc  in  istato  or- 
dinarlo.  L'incllnazione  del  suolo  e  varla  e  non  in  una 
sola  direzione,  e  V  indole  del  suolo,  presentando  re- 
sistenze  dlssimili,  fa  si  clie  la  linea  del  corso  d'acrjua 
acquisti  varie  tortuoslta,  per  le  quail  la  cadente  si 
fa  minore.  Non  si  puo  generalmente  asserire  clie  le 
pianure  attraversate  dal  corso  cTe'  finmi,  slano  prodot- 
te  dalla  espansione  delle  loro  acque,  e  dalle  niate- 
rle  clie  vi  hanno  deposte.  Le  ghiaie  die  trovansi  a 
certe  profondlta  in  alcune  pianure,  ancorche  siniili  a 
quelle  die  si  osservano  in  qualclie  non  loutano  fiu- 
me,  lasciano  in  dubbio,  se  il  fiume  ve  le  abbia  in 
altro  tempo  portate,  o  se  abbia  solranto  scoperte  quel- 
le che  veggonsi  nell'alveo  snudandole  dalla  terra  sot- 
to  la  quale  giacevano  :  ed  e  almeno  incerto,  se  la 
produzione  delle  ghiaje  si  debba  ai  fiumi ,  al  mare, 
o  ad  altra  origine.  Tuttavolta  gli  strati  di  anticbe  val- 
li,  e  di  aggallati,  che  trovansi  a  diverse  profondita, 
coperti  di  creta,  di  sabbia,  di  terra,  e  gli  strati  di 
corpi  marini  in  situazioni  ben  lontane  dal  mare,  non 
lasciano  dubitare,  die  que'  piani,  dove  s' incontrano 
tali  sostanze,  non  siano  stati  colmati  e  formati  dalla 
espansione  de'  fiumi:  lo  die  si  conferma  ancora  dal 
prolungamento  in    mare   degli  alvei   di   molti    iiumi , 


DELLE    SPONDE    NEGLl    ALVEI    De'    FIUMI       263 

per  ciii  evidentemente  si  e  aggiiioto  terreoo  alle  an- 
titlie  spiaggie. 

4.  Conviene  pero  distingiierc  gli  alvei  <li  natura 
da  quelli  d'  arte,  e  stahiliti  dall'  industria  dcgli  uo- 
niini.  Alvei  di  natura  possono  dirsi  quelli  che  sono 
incassati  nel  suolo,  e  non  giungono  colle  loro  piene 
a  superare  i  trrreui  aggiacenti,  o  almeno  li  superano 
per  poco:  alvei  d'arte  sono  manifestamente  quelli  che 
haniio  una  parte  della  profondita  loro  incassata  nel 
suolo,  e  uu'  altra  parte  superiore  contenuta  da  argi- 
ni,  e  quelli  ancora  che  sono  pensili,  avendo  il  loro 
fondo  elevato  sopra  il  piaao  de'  terreni  aggiacenti . 
Acquistano  gli  uomini  con  questo  mezzo  delle  ampie 
estensioni  di  terreni  fruttiferi,  comecche  cio  non  sia 
senza  il  pericolo  di  perdere  talvolta  tutto  il  frutto 
della  loro  industria,  ne  senza  la  necessita  e  dispen- 
dio  di  molta  custodia  . 

5.  La  mole  e  1'  altezza  dell'acqua  negli  alvei  es- 
sendo  una  cagione  della  velocita  del  suo  corso,  fa  si 
che  r  inclinazione  del  fondo  sia  maggiore  o  minora, 
e  corrisponda  a  qualche  funzione  della  ragione  inver- 
sa  deir  altezza.  I  fiumi  grandi,  i  quali  raccolgono  le 
acque  di  molti  influenti,  hanno  una  pendenza  mino- 
re  di  quella  degl' influenti.  Intendo  de' fiumi  che  scor- 
rono  nel  piano  e  sopra  un  suolo  di  parti  amovihili  . 
A  cio  si  riferisce  la  massima  per  se  verissima,  che 
flume  non  interrisce  fiume;  perche  V  iuQuente  portan- 
do  niaterie  simili  a  quelle  che  porta  il  recipiente , 
"vi  j>ortd  insieme  la  mole  d'  acqua  necessaria  a  pro- 
durre  la  velocita,  che  si  richiede  per  mantenere  so- 
spesa  la  materia  delle  torbide,   sicche  non  si  depon- 


2O4  S    T    R    A    T    I    C    O 

ga  sul  fondo ,  e  non  lo  interrisca.  I  torrenti  poi,  o 
fiumi  tein[>oranei  haniio  la  pendenza  del  loro  fon- 
do, proporzionata  bensi  inversamente  ad  una  fiinzio- 
ne  delTaltezza  delle  loro  acquc  nel  breve  tempo  del- 
le  lore  pietie,  e  se  coiifluiscono  nello  stesso  alveo  con- 
tenipoianeameiue,  determinano  la  pendenza  di  cjuesto 
come  i  fiumi,  ma  non  cosi  se  non  sono  contempora- 
nei;  e  quindi  puo  succedere  1'  interramento  e  alza- 
niento  di  fondo  dell'  alveo  comune.  Perciocche  se  la 
mole  d'acqua  contemporanea  e  niinore,  e  conseguen- 
te  che  la  niateria  della  torbida  non  possa  restare  so- 
spcsa,  e  si  deponga  sul  fondo,  e  cio  si  no  a  tanto  che 
venga  a  formarsi  con  le  posature  tin'  inclinazione  di 
letto,  atta  ad  impedire  con  la  velocita  del  corso  ogni 
ulteriore  interramento. 

6.  Per   ispiegare  con)e   1'  alveo  di  un    fiume ,  il 
quale  porti  della  torbida,  e  sia   scavato   in   un  suolo 
composto  di  parti  facilmente  amovibili,  la  cui  sezio- 
ne  fosse  in  origine   rettangolare  ,   e  proporzionata  al 
volume  delle  sue  acque,  e  alia  sua  pendenza  di  fon- 
do, si  conformi  dopo  qualche  tempo   con  le  sponde 
inclinate  e  convergent!  verso  im  qualche  punto  del- 
la sua    larghezza ,    si   adduce   che    V  acqua   la    quale 
scorre  lungo  le  sponde  e  le  ripe  si  ritarda  per  il  sof- 
fregamento  con   esse;,   e  per  la   sua  velocita   con  cio 
diminuita  depone  qualche  parte  della  sua  torba;  che 
si  diminuisce  ancora  la  velocita  in   qualche   distanza 
dalla  ripa,  ma  in  grado  progressivamente  minore  da 
questa  verso  il  mezzo  della  larghezza;  quindi  che  la 
posatura   della   torba  e  minore  verso  il  mezzo,   e  vi 
si  mantiene  maggior  fondo,  e  il  maggior  corso,   che 


I>ELLE    PI'ONDE    N£GLI    ALVEI    De'    FIUMI        265 

si  chiama  il  filone,  o  splrito  del  fmme.  Che  per  que- 
ste  posature  lateral!  la  sezione  si  diminuisce,  e  che 
r  ac(jna  dovendo  progredire  per  una  sezione  minora 
di  quella  clie  le  compete,  o  s'  inalza  e  si  espande  nel 
piano  aggiacente,  o  se  e  contenuta  da  argini  dirnna, 
e  fa  smottare  le  ripe,  le  quali  formate  di  terra,  o  sab- 
bia,  non  possono  sostenersi  vertically  ma  si  dispon2;o- 
no  a  certa  inclinazione.  Quindi  la  sezione  si  fa  piii 
capace,  pin  larga  in  alto,  piii  stretta  abbasso:  oppu- 
re  insieme  Talveo  si  profonda,  e  si  scava  nella  linea 
del  maggior  fondo,  e  progressivamente  meno  da  que- 
sto  verso  le  ripe.  Tutto  questo  avviene  sino  a  tanto 
clie  si  pareggi  l'  azione  delT  acqua  con  la  resistenza 
e  tenacita  della  materia  del  suolo.  Dove  poi  il  fiume 
porta  delle  torl)ide,  e  ne  portano  tutti  piu  o  meno, 
particolarmente  nelle  piene,  se  puo  espanclersi  ne'  ter- 
reni  aggiacenti,  si  va  egli  forinando  con  successivi  al- 
zamenti  i  confi4ii  della  sua  largbezza,  e  la  base  de- 
gli  argini  die  gli  convengono,  e  che  gli  uomiiii  poi, 
clove  loro  giova,  portano  a  maggiori  altezze,  a  misu- 
ra  che  la  capacita  della  sezione  si  trova  minore  di 
quella  clie  compete  alia  mole  delT  acqna,  prevenen- 
do  cosi  r  opera  piu  lenta  della  natura.  Si  osserva  ge- 
neralmente  che  i  terreni  vicini  alia  linea  de'  fiumi  so- 
kno  piu  alti  di  quelli  che  trovansi  a  qualche  distanza 
idalla  stessa  linea,  sicche  le  terra  comprese  tra  due 
iumi,  i  quali  progrediscano  con  direzioni  simili  ver- 
so le  loro  foci  sono  avvallata  nell'  intervallo  che  li 
Idisgiunge.  Qnesta,  per  cos\  dire,  naturale  disposi- 
done  ne'  fiumi  di  arginarsi  da  per  se  Insingo  qual- 
;heduno  sino  a  persuadersi,  che  fosse  miglior  consi- 


266  S    T    II    A    T    I    C    O 

glio  qiiello  dl  non  costringere  il  loro  corso.  con  argi- 
ni  manufatti,  ma  di  lasciarli  espandere  liberamente 
le  loro  acque,  sino  a  taiito  che  alzando  i  viciiii  ter- 
reni  s'incassassero  nelle  stesse  loro  deposizioni.  E' pe- 
ro  evidence  si  rinuncierebbe  con  cio  al  copioso  frut- 
to  che  si  ritrae  dai  terreni  difesi  coU'  arte  per  mezzo 
degli  argini,  in  espettazione  dell' opera  della  natura, 
tarda  al  paragone  della  sollecitndine  degli  uomini  a 
raccoglierlo.  JNon  pertanto  s'  imita  quest'  opera  della 
natura  con  le  colmate  o  bonificazioni  per  riempimen- 
to,  con  molta  iitilita. 

7.  Che  se  si  supponga  libera  da  torbide  e  chiara 
r  acqua  corrente  in  un  alveo,  qiiella  che  scorre  vi- 
cina  alle  ripe  e  ritardata  dal  solhegamento,  non  e 
atta  a  corrodere  il  fondo;  bens'i  quella  che  scorre  piu 
distante  dalle  stesse  e  piu  vicina  all'  asse:  percio  I'al- 
veo  si  conforma  con  maggiore  profondita  verso  il  mez- 
zo della  sua  larghezza,  e  le  sponde  riescono  inclina- 
te,  e  verso  lo  stesso  mezzo  convergenti,  qualora  il 
terreno  sia  composto  di  parti  amovibili. 

8.  Qualunquc  pero  sia  la  cagione  per  cui  la  con- 
formazione  degli  alvei  de'  fiumi  risulta  quale  in  fatto 
si  osserva,  si  presenta  naturalmente  la  ricerca,  se,  e 
come  questa  modifichi  il  corso  delle  loro  acque,  aven- 
do  particolarmente  riguardo  ai  fiumi  grandi  e  di  mol- 
ta larghezza,  ne'  quali  le  pendenze  delle  sponde  op- 
poste  sono  notabilmente  disuguali.  Ho  quiudi  notato 
nella  Tav.  1  le  larghezze  e  le  inclinazioni  delle  spon- 
de date  dallo  scandaglio  delle  altezze  dell' acqua  so- 
pra  il  fondo  in  varie  sezioni  del  Po  nelle  situazioni 
indicate  nella  stessa  Tavola,  le  quali  sono  prese  alle 


I 


DELLE    SPONDE    NEOLI    ALVEI    DL'    FItJMI       267 

segtiate  distaiize  tra  di  loro.  Dai  niimerl  degli  scan- 
dagli  rilevatisi  prossinianiente,  anche  senza  il  presidio 
delle  figure,  gli  angoli  d' iiicliiiazione  ,  e    riscaiitransi 
ancora   i  solclii  pin  profoiidi  disgiuiiti  da  rialzi  di  ter- 
ra proluiigati ,  die  dividono  nello  stesso  alveo  un  cor- 
so  d'ac(]ua  daU'aUro  nel  fondo.  Nelia  Tavola  II  so- 
no  rappresentate   in  figura  alcune  sezioni  dello  stesso 
fiume  iielle  quali  si  riniarca  la  proporzione  della  pro- 
fondita    alia    largliezza.    Nella    Tav.    Ill;  Fig.    I  sono 
delineate  ai  loro  luoglii  le  sezioni  di  un  ramo  curvi- 
lineo  di  Po,  e  sono  <[uelle  stesse  clie  si  rappresenta- 
110  nella  Tavola   I   con  i  nunieri  degli    scandagli  alia 
leitera  (».  Queste  tavole  rappresentano    il  fatto  fisico 
del  quale  si  tratta  in  questa  memoria;  e  diinostrano 
quanto  sia  grande  la  pendenza  laterale  delle  spoiide, 
nieiitre  quella  del  fondo  nel  verso  della  sua  lunghez- 
za  non    arriva  ad  un    piede  per  niiglio    ragguagliata- 
tnente.   L' esempio  e  preso  da  un  fuune   grande,  per- 
che  sebbene  la  stessa  legge  abbla  luogo  auclie  ne'  fiu- 
ini   minori  ,    tuttavolta  gli    elfetti  non    possono    essere 
cosi  cospicui,  come  lo  sono  dove  V  azione  e  di  gran- 
di  masse  di  fluido  e    in  grandi  largbezze.    Gli  autori 
della  scienza  delle  acque  correnti  non  hanno  trascu- 
rato  questa  ricerca,  ma  mi  e  sembrato  che  vi  sia  luo- 
go ad  ulreriori  considerazioni. 

9.  Per  figura  d'  un  alveo  intendo  quella  che  ri- 
sulta  dalle  sue  sezioni,  ed  e  compresa  tra  le  due  op- 
foste  ripe,  o  quali  le  da  il  terreno  in  cui  V  acqua 
resta  sempre  incassata,  o  quali  risultano  dalle  argi- 
nature  che  s'  iualzano  sopra  le  stesse  ripe,  dove  l'  al- 
tezza  delle  piene  supera   l'  altezza  delle   terre  aggia- 


268  S    T    R    A.    T    I    C    O 

centi.  Dove  poi  gli  argini  SQno  posti  a  qualche  di- 
stanza  dalle  ripe,  e  rimaiie  tra  queste  e  il  piede  del- 
le  arginatiire  una  larghezza  di  golene,  oppure  dove 
trovaiisi  negli  alvei  isole,  gretti,  renaj  alternamente 
scoperti,  e  coperti  dall'  acqua  per  le  vicende  delle 
pieiie  e  delle  magre,  ivi  il  fiume  si  dee  riguardare  co- 
me corrente  in  due  o  piii  alvei  di  figura  e  proprieta 
diverse,  atteso  che  le  direzioni  del  corso  trovansi  di- 
versamente  nello  stato  di  piena,  di  acqua  ordinaria, 
e  di  magra.  Egli  e  percio  che  conviene  e  prudente- 
mente  si  suol  fare  molto  conto  delle  osservazioui  lo- 
cali ,  e  de'  particolari  fenoineni  die  presentaiio  gli 
stessi  fiumi  ne'  varj  pund  del  loro  corso,  dipendenti 
bensi  dalle  leggi  generali  del  moto  delle  acque,  nia 
in  mille  guise  variati  dalle  particolari  circostanze,  e 
che  noa  si  possono  conoscere  se  non  che  dal  fatto  e 
dair  immediata  osservazione. 

10.  Barattieri  uno  de'  piii  utili  scrittori  intorno 
ai  fenomeni,  e  ripari  delle  acque  correnti,  osserva  che 
negli  alvei  de'  fiumi  vi  spuo  due  pendenze  sopra  le 
quali  scorrono  le  acque.  Una,  die' egli,  e  naturale 
dal  principio  del  movimento  loro,  sino  dove  hanno 
termine  in  mare:  1'  altra  e  accideutale  da  dove  1'  al- 
veo  e  meno  profondo  sino  dove  egli  e  piu  profondo, 
cioe  dalla  piaggia  opposta  a  quella  in  cui  si  fa  la  cor- 
rosione,  verso  questa  stessa.  Tale  pendenza,  soggiun- 
ge,  si  puo  chiamare  accidentale^  perche  resta  muta- 
bile,  secondo  che  si  vanno  rautando  gli  effetti  de'  fiu- 
mi, che  si  alzano  o  si  abbassano  con  la  superficie 
de'  loro  fondi.  Questo  e  per  il  lodato  autore  come 
un  principio,  al  quale  egli  sempre  si  riferisce,  quan- 


DELLE    SPuNDE    KECLI    AM'EI    Dk'    FIUMI       269 

do  ragiona  delle  corrosioiii  de'  fiumi  maggiorl,  e  par- 
dcolairneiite  dell'  Adda  e  del  Po,  sopra  i  quali  ebbe 
raolte  occasioni  di  medicare  e  di  operare,  faceiido  sem^ 
pre  osservare  le  direzioiii  obblique,  o  diagoiiali,  com'E- 
gli  le  chiama,  cagionate  dalla  pendenza  del  foiido  da 
una  sponda  verso  Topposta,  alia  quale  percjo  si  av- 
vicina  il  maggior  corso  . 

II.  Micbelini  considcro  con  qualcbe  applicazlo- 
ne  di  studio  1'  elf'etto  delT  acqna  corrente  in  un  al- 
veo,  il  cui  foiido  oltre  T  essere  inclinato  all' orizzon- 
te  nel  verso  della  sua  lunghezza,  lo  e  anche  per  il  ver- 
so della  largbezza;,  sicclie  la  ripa,  considerandone  I'al- 
tezza  sua  verticale  sotto  la  superficie  dell'acqua,  sia 
piu  elevata  da  una  parte ^  clie  dair  opposta  del  fiu- 
me.  Premeite  Egli  una  proposizione,  ed  e,  die  se  vi 
sia  un  vaso  di  pareti  verticali  e  col  fondo  inclinato 
all'orizzonte  da  una  parete  all' opposta  clie  le  sia  pa- 
rallela,  quella  parete  clie  e  piu  alta  sopra  detto  fon- 
do sostiene  una  pressione  dall'  ac([ua  contenuta  nel 
vaso,  la  quale  alia  cotale  pressione  dell'  acqua  stessa, 
ba  la  ragione  del  seno  dell'  angolo  d'  inclinazione  del 
fondo  alia  secante  dello  stesso  angolo .  Indi  applica 
air  alveo  del  liume  sopra  indicate  questa  dottrina,  c 
stabilisce  clie  la  ripa  piu  alta  sopra  il  fondo  sostiene 
dull'  acqua  una  pressione  nella  ragione  anzidetta,  la 
quale  combinata  con  la  velocita  del  corso  parallel© 
alia  sponda  viene  a  produrre  un  moto  obbli<]no  die 
percuote  la  ripa  e  la  corrode,  lo  clie  noa  avvieiie  al- 
ia sponda  opposta ,  perclie  il  moto  obbliquo  teste  in- 
dicate, ba  una  direzione  divcrgente  dalla  stessa.  Mi- 
cbelini s'inganno  nel  valutare  la  pressione  cbe  I'acqua 

T.  //.    P.  IL  34 


270  S    T    R    A    T    I    C    O 

stagnantc  esercita  nclla  parcte  piii  alta  del  vaso  il 
ciii  foiulo  e  iiiclinato.  La  misura  cU  questa  pressione 
noil  ha  veiuii  rapporto  all'  iiiclinazione  del  fondo  ne 
air  ampiezza  di  questo,  ma  soltanto  aH'altezza  e  al- 
ia larghcz/a  dclla  parete  del  vaso  che  e  al  coatatto 
deir  acqna.  Egli  ha  iiurodotto  nel  siio  discorso  inu- 
tihnente  questo  elemento  fallace,  ma  non  s'  inganno 
neir  asserire,  che  la  niassa  d'  acqua  messa  in  moto 
dove  ha  inaggiore  altezza  dalla  parte  del  niaggior 
fondo  acquista  una  direzione  obbliqua,  percuote  la 
lipa  con  maggiore  energia  ,  e  la  corrode  o  la  fa 
smottare. 

12.  Guglielmini  considera  come  avvenga  che  I'al- 
veo  di  un  funne  conformato  da  princlpio  con  le  spon- 
de  regolarmeute  convergent!  verso  il  mezzo  della  lar- 
ghezza  si  escavi  piu  da  un  lato  che  dalP  altro,  e  in 
consegnenza  il  maggior  fondo  o  filone  si  avvicini  piu 
a  luia  ripa,  e  si  allontani  dalTaltra.  Spiega  egli  que- 
sto effetto  per  la  disnguale  resistenza  del  fondo.  Per- 
ciocclie  posta  la  medesima  velocita  in  tutta  la  sezio- 
nc  deir  alvro,  se  avviene  che  la  tenacita  del  suolo 
non  sia  iiiiift)rme,  si  escavera  egli  di  piii  dove  e  me- 
no  resistente,  e  quindi  si  fara  ivi  maggiore  la  velo- 
cita; e  cio  succedendo  in  vicinanza  ad  una  delle  ri- 
pe, la  velocita  si  fara  minore  vicino  alia  ripa  oppo- 
sta :  conseguentemente  sopra  il  fondo  di  questa  si  de- 
])orra  della  torbida,  e  s' inalzera  la  sua  superficie  . 
Cosi,  e  per  escmpio,  escavandosi  1' alveo  a  sinistra, 
si  alzera  il  fondo  alia  destra,  il  filone  si  accostera  al- 
a  sinistra,  e  vi  produrra  una  corrosione,  o  un  seno. 
Ma  se  il  suolo  sia  di  materia  uniformemente  resisten- 


DELLE    SrwNDE    NEGLI    ALVEI    DE     FIUMI       2"  I 

te  in  tiitt^  la  larghezza  dell'  alveo,  se  la  direzione 
drl  siio  corso  sia  rettilinea,  iic  per  iiitoppi,  o  iulles- 
sioiii  si  muti,  T alveo  si  conservera  regolare,  e  le  spori- 
de  riusciraniio  egualrnente  incliiiate  verso  il  mezzo 
della  larghezza.  Qiiindi  Egli  avverte,  come  per  il  tra- 
sporto  del  liloiie,  e  per  il  suo  avvicinaniento  ad  una 
delle  ripe,  nieiure  dalV  akra  parte  il  fondo  s'  inalza, 
avviene  che  tiel  liiogo,  dove  per  qiiesto  inotivo  si  fa 
la  corrosione,  I'accpia  s'  inalza,  e  il  filone  nelle  piene 
si  maritiene  piu  sollevato.  E  da  cio  ricava  un  precet- 
to,  ed  e  che  nella  forniazione  degli  argini  si  abhia  ri- 
gnardo  a  qnesta  circostanza,  e  tengansi  piu  alti  gli  ar- 
gini nel  Venice  della  corrosioue,  di  quello  che  sopra, 
o  sotto  questo  luogo,  e  facciansi  anche  piu  robusti, 
pill  larghi,  e  della  migliore  costruzione. 

1 3.  Zendrini  discorrendo  delle  corrosioni,  impu- 
gna  direttainente  la  dottrina  di  Barattieri.  Che  la 
spiaggia,  die'  Egli,  rivolti  V  acqua,  o  tutta ,  o  parte 
a  caricare  il  filone  e  la  ripa  che  da  qnesto  e  posta 
in  corrosione,  ancorche  possS  verificarsi  in  qualcbe 
caso,  non  pno  seguire  in  riguardo  alia  natnra  dell'  a- 
cqua  corrente,  ma  solamente  rispetto  ad  alcune  cir- 
costanze,  che  possono  alterare  il  moto  dell' acqua  dal- 
la  sua  origine  sino  alia  fine.  Ne  tampoco  pno  succc" 
dcre,  secondo  le  leggi  della  Statica,  avvegnache  man- 
tenendosi  di  livello  la  superficie  trasversa  da  ripa  a 
ripa,  ne  mai  1'  acqua  dalla  destra  alia  sinistra  passan- 
do,  non  puo  realmente  asserirsi,  che  nella  medcslma 
seziotie  camminar  possa  1' acqua,  parte  per  il  suo  fine, 
e  parte  con  direzione  verso  la  ripa  opposta;  onde  la 
proposizione  di  Barattieri  per  questo  capo,  non  si  ac- 


T    U    A    T    ICO 


coicla  con  le  leggi  del  inoto  delle  acqnc.  Soggiun- 
ge  pero ,  che  il  sentimento  cli  Barattieri  si  verifica, 
se  non  in  tutto,  alineno  in  parte,  piendendo  la  cosa 
dai  suoi  piincipj,  e  ben  discernendo  quegli  accident!, 
per  i  quali  succede  un  tale  fenomeno  di  moto  acc'i- 
de/imle,  come  Egli  lo  chiama.  Cio  die  fa  resistenza 
al  corso  delle  acque,  dice  Zendiini,  oltre  gli  acciden- 
tali  impedimenti  di  gombiate,  e  d' altri  ostacoli,  si  c 
il  perpetuo  soflieganiento,  (  he  1' acqua  e  obbligata  di 
fiire  contro  le  ripe,  e  contrn  il  fondo,  dal  che  nasce, 
che  r  acqua  progredisce  pin  con  le  sue  parti  alte,  di 
quello  che  con  le  parti  vicine  al  fondo,  di  modo  che 
r  acqua  non  sostenuta  per  difetto  di  qnella  che  piii 
tarda  la  segue,  cade  e  stramazza  dalT  alto  sulT  aci^ua 
della  spiagiiia . 

14.  La  prima  di  queste  riflessioni  riguarda  gli 
ostacoli  che  possono  trovarsi  nel  f  )ndo,  o  nelle  ripe, 
per  i  quali  la  direzione  del  corso  si  rivolga  verso  Tuna 
o  verso  1' altra  sponda.  Possono  quir.di  annoverarsi 
fra  tali  ostacoli  anche  le  alluvioni  contigne  alle  spon- 
de,  le  quali  si  protraggono  dalle  ripe  iAire  la  meta 
della  larghezza  dell'  alveo,  e  sino  alia  spon<la  oppo- 
sta,  alia  quale  percio  si  avvicina  il  filone.  In  questo 
caso  restera  a  dcfinirsi,  se  operino  come  ostacoli,  i 
quali  facciano  dcclinare  la  direzione  del  moto  nel  ver- 
so della  Innghezza,  oppure  se  insieme  operino  a  da- 
re con  la  loro  declivita  una  direzione  di  moto  all'  a- 
cqua  dalla  ripa,  dove  tali  ostacoli  sono  pin  alti,  all'op- 
])o?ta,  dove  il  fondo  e  piu  basso.  L'  alira  riflessione 
di  Zendrini,  che  per  le  leggi  della  statiea  la  superfi- 
cie  deir  acqua  si  mantiene  orizzontale  tra  le  opposte 


DELLE    SPONDE     ^'tCLI    ALVEI    Dt'    EIUMI       2'^ 

ripe,  puo  convenirc  all'  acqiia  stagnante,  iiclla  f[ua- 
le  le  pressioni  verticali  si    rqiiililjrano  in  ogni  pnnto 
della  superfuie,  ma  non  alTacqua  correute,  nella  qua- 
le le  pressioni  sono    combinate   col    inoto  rlcl    fluido, 
che  second©  la  varia  sua  velocita  e  direzione,  accresce 
o  dimiijuisce  1'  efretto  della  pressione.  E'  vero  che  le 
abenazioni  dulla  esatta  orizzontale  non  sono  facilmen- 
te  discerncvoli,  e  riescono  assai  teniii  in  un  tratto  co- 
si  anij)io,  come  la  larghezza  p.  e.  del  Po:  ma  coniun- 
que  teniii,  V  anqua  die  non  sia  di   tenuissimo  corj)0, 
o  altezza  le  risente.  Che  poi  nella   medesima  sezione 
d'  alveo  non  possa   camniinare  una    parte  delT  acqua 
verso  il  suo  sbocco ,  e  un'  altra    parte  verso  la  ripa, 
questa  e  una  diflicolta,  la  quale  deriva  dalla  suppo- 
sizioue,  che  i    filamenti  de'  quah  si    rappresenta   che 
sia  composta  la  niassa  dell'  accjna  correute  in  un  fiu- 
nie,  giimgano   con  direzione  perpendicolare  al    piano 
della  sezione,  ciocche  non  e  in  natura,  e  si  anim<-t- 
te  soltanto  per  metodo  di  dottrina.  Perciocche  appnn- 
|to  in  forza  dcgli  ostacoli,  delle  irregolarita  dell' alveo, 
;delle  pendenze  tanto  laterali,  quanto  longitndinali,  le 
Iparticelle  di'lT  acqua  concepiscono  de'  nioti  obbliqni, 
e  tutte  non  sfguono  nello  stesso  istante  la  medesima 
direziorje.  Cost   quando  si  sta  osservando  1'  uscita  de' 
flnidi  dai  fori  aperti  ne'  fondi  de'  vasi ,  se  conie  pa- 
re air  occhio  la  snperficie  del  ttuido  si  supponga  esat- 
tamente  orizzontale  nella    sua  discesa,  non  si  giunge 
mai  a  comprenderc,  come  ne  succeda  1'  ufcita,  ed  e 
[forza  di  ammettere  de'   nioti  obbliqui  nelle  particel- 
fle  del  fluido,  i  qnali  poi  compariscono  evidenti  o  nel- 
|le  piccole  particelle  di  diverso  colore  confuse  nell'  a- 


274  '  S 


T    II    A    T    I    C    O 


cqua,  o  nella  contrazione  della  vena.  II  caso  poi  nel 
quale  secondo  Zendrini,  si  puo  verificare,  che  la  spiag- 
gia  rivoki  1'  acqua  a  caricare  il  filone,  si  espoiie  da 
lui  in  qiiesto  modo.  Puo  avvenire,  che  1'  acqua  viva 
di  una  sezione  si  trovi  in  qualclie  parte  di  si  poca 
altezza,  sicclie  le  resistenze  del  fondo  proj)agliino  sen- 
sibilmente  refletto  loro  a  tutta  1' altezza  viva,  e  tol- 
gauo  ad  essa  del  tutto,  o  quasi  interamente,  il  moto 
progrcssivo^  col  quale  1' acqua  sarebbe  proceduta  pa- 
ralU'lamente  al  filone  del  fiume,  sicche  resti  stagnau- 
te,  o  quasi  stagnante.  II  filone  uon  ritardato  potra 
restare  di  livello  alquanto  piu  basso,  di  quello  che 
r  acqua  ritardata  vicino  alle  i-ipe,  la  quale  percio 
potra  per  si  flitto  sbilanciamento  essere  rivolta  verso 
il  filone;  e  se  questo  si  trova  assai  vicino  ad  una  ri- 
pa,  verra  essa  ad  esserne  maggiormente  caricata,  e 
se  ne  accrescera  la  corrosione. 

i5.  Una  cagione  della  doppia  pendeuza  degli  al- 
vei  deriva  dalla  Topografia  de'  paesi,  cioe  dalle  va- 
rie  inclinazioni  della  superficie  terrestre.  Leggonsi  del- 
le  osservazioni  intorno  ai  torrenti  del  Friuli,  per  le 
quali  si  vedc,  che  i  loro  alvei  hanno  due  inclinazio- 
ni, una  da  Tramontana  al  Mezzodi ,  l' altra  da  Le- 
vante  a  Poncnte,  la  prima  ditnostrata  dal  corso  deH'a- 
cqua,  r  altra  dali"  appoggio  delle  acque  alle  ripe  ver- 
so Poueute,  onde  avviene  che  queste  siano  soggette 
a  maggiori  corrosioni  delle  opposte  che  sono  verso 
Lcvante.  11  Signor  Cenerale  d'  Artiglieria  Andreossy, 
nelle  belle  sue  memorie  delT  Istituto  d'  Egitto,  e  nel 
pregevolissimo  e  istruttivo  suo  libro  sul  canale  del 
mezzodi,   stabilisce  per  moke  osservazioni,  che  le  a- 


DELLE    SPONDE    NEGI.I    ALVEI    DE     FIUMI      27;^ 

cque  de'  fiumi  hanno  due   pendenze,  una  iiella  dire- 
zione  della  luughezza,  T  altra  dipendente  dalla  gene- 
rale  topogiafia  del  terreno,  la  quale  determina  la  cor- 
rente    principaie    del  liunie  ad    investire   piii   partico- 
larmente  quella  delle  due  ripe,  che  si  trova    al  lato 
opposto  al  piano  della  pendeuza  generale.  Quella  pen- 
denza  che  deriva  dilla  topngrafia  generale  del  terre- 
no, detertnina  la  corrente  principaie,  cioe  quella  se- 
guita  dalla  navigazione,  die  si  tiene  piii  vicina  ad  una 
ripa  che  alT  altra;    la  quale  pero    e  disviata    talvoka 
dalla  sua  direzione  per  gl'  interratnenti,  che  si  forma- 
no  dallo  stesso  lato,  per  lo  sbocco  di  qualche  inllueri- 
te,  per  lo  sporginiento  dalle  ripe  di  qualche  ostaco- 
lo  naturale,  quale    sarebhe  un  adunamento  di  mate- 
ria franata  dalle  ripe^,  o  artificiale,  come  la  costruzio- 
ne  di  qualche    opera   respingente.    La  direzione    del- 
la  corrente  principaie,  fuori  delle  anonialie  indicate, 
corrisponde  all'  intersezione  del  piano  di  pendeuza  ge- 
nerale  nel    verso  dclla  lunghezza,    col   piano  di  con- 
tropendenza    de'  terreni.    Si  puo    e  vero  inunaginare 
ed  eseguire  ancora  un  alveo,  il  quale    indipendente- 
meute  dalle  inclinazioni  del  terreno.  abliia  una  data 
pendenza  verso  la  sua  foce,  e  il  suo  fonclo  orizzontale 
nel  verso  della  larghezza,    con  le  sponde   similniente 
convergenti.    Ma   per   opera  della  natura,  gli   alvei  si 
conformano  in  generale  alia  doppia  pendenza  de'  ter- 
reni, e  ne'  tratti  particolari   non  seguono  gia  la  linea 
pill  breve,  che  sarebbe  c[uella  determinata  dall'  azio- 
ne  della  gravita,  ma  cjuella  che  per  V  indole  del  suo- 
lo  e  la  meno  resistente. 

16.  Si  puo  rappresentare   1'  efletto   della   doppia 


276  S    T    R    A.    T    I    C    O 

pentlenza,  suppoiiendo  die  (Fig.  ]I  Tav.  Ill)  BEFM 
sia  «a  piano  rettangolo   iiicliiiato    all'  orizzonte    sotto 
r  angolo   A  MB.    La    sezioiie  comiine  di    questo   col 
piano  orizzontale  sia  la  retta  M  F.,  la  quale  taglia  ad 
angoli  retti  i  lati  B  M,   E  F .  Un  grave  posto  in  B^ 
o  in  .£",  o  in  qualunque  panto  tra  B  e  E^   prescin- 
dendo  dalla  diiezione  che  si  puo  alterare  dallo  sfre- 
gamento,  o  da  altri  ostacoli,  discendera  da  B  per  la 
Jinea  B  M  perpendicolare  alia  M  F ^  e  parlmente  da 
E  per  la  linea  E  F  perpendicolare  alia  stessa    M  F ^ 
o  per  un' altra  retta  tra  B  M  t  E  F  parallela  a  que- 
ste;  e  se  il  piano  avesse  due  margini  elevati  lungo  i 
lati  B  M^   EF^  il   grave  srriscierebbe  lungo  qucsii 
margini  senza  imprimervi  alcun    urto:    o  mancando  i 
margini    elevati,   non   uscirebhe  il   grave   ne   da   uno 
ne  dair  altro  lato  del  piano.  Ora  si   supponga   clie  il 
])iano  rettangolo  s'innalzi  girando  intorno  al  lato  E F ^ 
il  quale  resti  fermo  nella  sua  posizionc,  sicche  si  di- 
sponga  in  ECQF.  e  intendasi  prohuigato  lo   stesso 
piano,  sicche  vada  ad  incontrare  il  piano  orizzontale 
in   f  FN.  11  grave  ora  posto  in  C  discendera  per  la 
linea  CO  perpendicolare  a   VF  N^  e  per  conseguen- 
za  andera  ad  urtare  il  margine  E F  sotto  un  angolo 
tanto  maggiore,  e  piii  vicino  al  retto,  quanto  niaggio- 
re  sara  I'elevazione  acquistata  dal  piano  nella  sua  ele- 
vazione  e  volgimento  intorno  ad  E  F.   Discendera  il 
grave  per  C  G  con  un  moviniento  coinposto  di  quel- 
lo  clie  acquisterebbe  discendendo  per  la  linea  incli- 
nata  C  Q  A/ ,   e  di  quello   che   acquisterebbe   insieme 
discendendo  per  la  linea    inclinata    CEF.   E   poiche 
gli  spazj  percorsi  in  tempi  eguali  da  gravi  discenden- 


DELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI    DL     FIUMI  277 

ti  dalla  stessa  altezza  per  linee  di versa mente  incli- 
rate  sono  come  i  sent  degli  angoli  d' inclinazione  del- 
le  stesse  linee,  se  ne'lati  del  piano  rettangolo  si  pien- 
deranno  due  linee  CS,  CP  nella  ragione  dei  seni 
degli  angoli  CNA,  CVA,  si  avra  la  posizione  del- 
la   retta  C  G  nel  piano  di  doppia  inclinazione. 

17.  Ancorche  la  discesa  delTaccpia  per  un  piano 
inclinato  non  si  faccia  alio  stesso  modo,  come  la  di- 
scesa di  un  solido,  perche  la  massa  dell'acqua  essendo 
fluida  cambia  la  sua  figura,  prendendo  quella  deiral- 
\eo,  e  delle  sczioni  per  le  quali  passa,  e  quella  die 
le  imprimono  le  varie  direzioni  di  moto  comunicato 
alle  sue  parti,  dilatandosi  dove  non  sia  sostenuta,  lad- 
dove  la  massa  del  solido  die  discende  per  un  piano 
inclinato,  conserva  la  sua  figura,  e  la  posizione  respet- 
tiva  delle  sue  parti;  tuttavolta  e  certo,  che  e  sempre 
la  forza  di  gravita  quella  che  sollecita  la  discesa  per 
il  piano  inclinato,  tanto  del  (luido,  quanto  del  soli- 
do. Laonde,  se  il  letto  del  fiume  inclini  tutto  da  una 
ripa  all'altra,  essendo  gia  inclinato  per  il  verso  della 
sua  lunghezza  ,  si  comprende  agevolmente,  che  per 
questa  doppia  pendenza,  la  direzione  del  moto  dell'a- 
cqua discendente,  dovra  essere  obbliqua  alia  linea  del 
pill  basso  fondo,  e  sotto  un  angolo  vario  in  ragione 
delle  due  pendenze,  siccome  si  rappresento  con  la  fi- 
gura. Percuotera  dunque  la  ripa  contro  la  quale  di- 
scende non  solameute  nella  direzione  indicata  per  il 
verso  della  lunghezza,  ma  ancora  in  una  direzione 
inclinata  sotto  l'  orizzontale,  cioe  verso  la  base  della 
ripa  pill  profoncla.  Quindi  secondo  la  resistenza  che 
incontrera  nel  trrreno,   produrra  una   corrosione,   un 

T.  11.    P.  II.  35 


278  S    T    R    A.    T    I    C    O 

seno,  una  liinata,   e  un   maggior  fondo   piu  o   meiio 
discosto  dalla  ripa  stessa  . 

18.  Si  supponga  ora  che  le  pendenze  lateral!  si 
estendano  sino  alia  meta  della   larghezza   dell'  alveo. 
L'azioiie  delle  due  masse  d' acqua  discendenti  col  mo- 
to  composto  sopra  iiidicato  da   amendue  le  parti,  sa- 
ra  d'  incontrarsi  a  vicenda,   d'  appoggiarsi    V  una  al- 
r  altra,  di  pronioversi  entranibe  con  una  velocita  co- 
mune  a  tutte   due,  producendo  quel    maggior  corso^ 
che  si  osserva  nella  linea  del  maggior  fondo,  che  si 
conosce  col  notne  di  fdone,  o  spirito,  del  fiume.  Che 
se  la  pendenza  nel  verso  della    lunghezza  sia  picco- 
la,  o  anche  nulla,  e  se  il  fondo  dell  alveo  fosse  ac- 
clivc,  r  efletto  delle  laterali    inclinazioni  non  isvani- 
rebbe  per  questo,  ma  si  comporrdbbe  con   la  veloci- 
ta preconcepira  dal  lluido  nella  sua  precedente  disce- 
sa.  Non  gia,  che  se  la  pendenza  delle    sponde  man- 
casse  affatto,  e  le  ripe  fossero  tagliate  a  piombo,  e  il 
letto  fosse  e  per  lunghezza  e  per  larghezza  orizzon- 
tale,    nia  con  la  foce  aperta ,    1'  acqua  non    fosse  per 
fluire,  sopravvenendone  di    nuova.  Essa  lluirebbe  per 
r  altezza  della  sua  mole,  disponendo  la    sua  supcrfi- 
cie  ad  una  inclinazione  verso  f  estremita  del  suo  cor- 
so,  cioe  verso  la  foce.  Ma  C[m  consideriaino  gli  alvei 
come  sono  naturalmente  conformati,  e  come  riducon- 
si,    anche  nel    case  che    originariamente  avessero    le 
sponde  verticali,  o  col  mezzo  delle  posature  delle  tor- 
bide,  o  con   qu^'Uo  dello   scavamento,  ne'   quali  non 
si  puo  trascurare    T  effetto   delle   inclinazioni    laterali 
delle    sponde,  per    la  modilicazione  dei    moti  dipen- 
deixti  dalla  forza  acceleratrice  della  gravita. 


DELLE    SI'ONDE    NEGLI    ALVEI    DE      FIUMI       279 

19.  Osservansi    ne'  fiinni    quando  sono    in  piena 
due  particolari  fenorneni  relativamente  al  filone.  Uno 
e  che  nella  linea    di  questo  T  acqna    colmeggia,  e  la 
siq^erficie  del  liume  nella  larghezza  si  dispone  in  una 
linea  curva  che  ha  la  sua  convessita  rivolra  all'  insu. 
Questo  fatto  si  riinarca  con  niaggiore    evidenza  nella 
piena  de'  fiunii  larghi,  di  molta    mole  d'  acqua  cor- 
rente,  e  di  corso  veloce.  lo  ho  veduto  con  tanta  chia- 
rezza  questa  convessita  nella  superlicie  dell'  acqua  del 
Rodano  a  Lione,  in    giornate  nelle  quali    quel  fiume 
era  ricco  d' acqua  piii  del  solito,  e  nell' Adige  anco- 
ra,  e  nel  Po  in  istato  di  piena,  che  non  saprei  duhi- 
tare  del  fatto,  ne  attrihuirlo  ad  errore   ottico.  L'  al- 
tro  fenomeno  e  che  il  filone,  in  alcuni  tronchi  dello 
stesso  fiume  non  si  mantiene  nella  stessa  linea  in  ma- 
gna, e  in   piena,  ina  si    muta  di  linea:  e  di  piii  che 
nelle    piene    si    producono   oltre    il   filone    principale 
de'  filoni    secondarj.  11   prinio   di  questi    fenorneni  si 
puo  spiegare  considerando,  che  le  due  masse  d'  acqua 
le  quali  discendono    con  direzioni    convergenti  tra  di 
loro,  e  convergenti  col  fondo,  s'  incontrano  ad  ogni 
successive  istante,  e  non  possono  immediatamente  con- 
fondersi,  o  spianarsi  verso  1'  una  o  1'  altra  parte  del- 
r  alveo,  ma  si  fanno  reciprocamente  ostacolo,  e  per- 
cio  nell'incontro  s'inalzano.  Dove  I'altezza  della  pie- 
na non  e  congiunta  con  molta  velocita  di  corso,  que- 
sto colmeggiamento  non  e  tanto    evidentc  e  osserva- 
hile,  come  nemmeno  ne'  finmi  in  istato  di  acqua  or- 
dinaria,  o  magra  ,  ed  ancorche  vi  dehba  essere,  e  pe- 
ro  cosi  tenue  che  si  rende  indiscernevole,  particolar- 
niente  ne'  fiumi  rainori,  e    di  alveo  poco   largo.  Si  h 


28o  S    T    R    \    T    I    C    O 

attribuito  il  colineggiare  del  filone  da  rispettablll  au- 
tori,  ad  ogni  ritardo  die  il  fiume  incontra  nel  suo 
corso,  dove  qiiesto  e  piu  veloce,  e  dove  per  conse- 
guenza  tanto  piu  prontainente  dee  alzarsi  di  superfi- 
cie  per  ogni  ostacolo  che  vi  si  opponga.  Ma  questi 
ritardi,  e  questi  ostacoli ,  afrinclie  si  trovino  regolar- 
niente,  qiiando  il  fiume  va  in  piena,  non  si  possono 
ripetere,  se  non  che  dall'  incontro  delle  due  masse 
d'  acqua  convergenti  con  la  direzione  del  loro  moto 
]'  una  verso  1'  altra,  e  nella  linea  del  maggior  fon- 
do  .  Fu  per  verita  con  altra  ingegnosa  coughiettura 
spiegato  questo  fatto  del  colmeggiare  del  filone.  L'a- 
cqua  vicina  alle  ripe  si  muove,  fu  detto,  con  veloci- 
ta  minore  di  quella  che  ha  nel  luogo  del  maggior 
fondo:  esercita  essa  dunque  una  pressione  verticale 
maggiore  di  quella  die  scorre  nel  filone.  Percio  a 
mantenere  V  equilibrio  trasversalmente  nella  superficie 
del  fiume,  e  di  conseguenza  che  sia  piii  alta  dove  e 
meno  premente,  perche  e  piii  veloce.  Per  occasione 
di  questa  coughiettura  si  puo  osservare  la  difficolta 
di  ragionare  intorno  ai  moti  ed  effetti  delle  acque 
con  qualche  grado  di  evidenza,  dacclie  la  stessa  os- 
servazione  della  velocita  dell'  acqua  diminuita  al- 
le ripe  ed  accresciuta  nella  linea  del  filone,  fece  de- 
durre  al  Zendrini,  siccome  abbiamo  notato  (  §  14  ) 
una  conseguenza  affatto  contraria,  cioe,  che  1'  acqua 
dalle  ripe  si  porti  verso  il  filone.  11  supposto  equili- 
brio della  superficie  dell'  acqua  attra verso  del  fiume, 
per  cui  si  disponga  all'orizzontale,  non  ha  luogo  qiian- 
do essa  e  corrente,  ed  essa  prende  in  superficie  vi- 
sibihuente  aache  dei  raoti  dal  mezzo  verso  le  ripe . 


DELLE    SPONDE    NECLI    ALVEI    DE*    FIUMI       23 1 

Spargendo  de'  galleggiariti  sulla  superficle  di  un  fiii- 
me  correute  con  notabile  velocita,  alcuni  di  essi  veg- 
gionsi  tenere  la  via  del  filone,  altri  de'  quali  la  se- 
guono  rostaiitememe  per  lunglii  tratii,  altri  ne  so- 
no  rispinti  e  allontanati,  i  quali  declinano  verso  le 
ripe,  lie  al  filone  ritornano.  L'  acqua  dalla  maggiore 
altezza  del  filone  si  rovescia  in  parte  verso  le  ripe , 
e  alloritana  que'  galleggianti  che  trovansi  agli  estre- 
mi  confini  della  largliezza  del  filone ,  spingendoli 
verso  le  ripe. 

20.  L'  altro    fiinonieno    del   mutamento   di    linea 
del  filone  dalla  magra  alia  piena,  ha  luogo  bene  spes- 
so  ne'  fiumi  molto  larghi,  e  dove  una  parte  della  se- 
zione  dell'  acqua  in  piena  e  occupata  da  isole,  o  re- 
naj  elevati  irregolartnente,  o  distaccati  o  aderenti  al- 
le    ripe,  e    variamente  prolungati  nell'  alveo,   i  quali 
nello  stato  di  magra  sono  scoperti,  e  nelle  piene  re- 
stano  softo  la  superficie  dell'  acqua.   11  corso  del  fiu- 
me  in  questi  casi  c  diversamente  niodificato,  e  come 
se  si  facesse  in  due  alvei  diversi,  particolarmente  per- 
che  le  pendenze  laterali  si  diversificano,  e  in  conse- 
guenza  si  altera  il  luogo  d'  incontro  delle  masse  d'  a- 
cqua,  e  la  direzione  del  filone.  E  quanto  a  cio  che  si 
osserva    ne'  fiumi  di   molta  larghezza,   qual  e  in  piu 
luoghi  il  Po,  che  nelle  piene  oltre  il  filone  principa- 
le,  se  ne  producano  de'  secondarj,  questo  dipende  da- 
gli    ostacoli  sopra  indicati,  e  dalla  conforniazione  del 
fondo,  il  quale,  siccome  si  puo  osservare  in  moke  se- 
zioni,   e   solcato  a  maggiore   profondita  in   piu  di    un 
luogo  della  sua   larghezza.  Questi  solchi  continuati  e 
piu   profundi  di  quelle  che  siano  nel  restanie  letto, 


282  S    T 


R    A    T    I    C    O 


fanno  viconoscere  i  moti  laterali  delle  correnti ,  le 
quali  si  dividono  in  torsi  diversi,  e  reciprocamente 
si  fonnano  i  loro  confiui ,  segnendo  insienie  i  moti 
della  massa  totale  nel  verso  delle  Itinirhezze. 

2  1.  Le  pendenze  laterali  iiisieine  con  quelle  per 
il  verso  della  lunghezza,   fanno  si   die  il  movimento 
deir  acqiia  ne'  fiunii  non  abbia   una  direzione  paral- 
lela  al    fondo,    ma   inclinata,  e   die  lo   incontra   con 
nn  certo   angolo  d'  incidenza.   Quindi  e  die  il  corso 
deir  acqiia  si  rende  atto  ad  escavare  il  fondo  dell'  al- 
veo,  e  r  escavazione  si  fa  segnatamente  nelle  piene, 
ciocche  dal    solo  soffregamento    non  si   otterrebbe.  Si 
pareggia    pero  questo  eftetto   con  la  resistenza,  o  te- 
nacita  della  materia  del  suolo,  ne'  fiunii,  die  percio 
diconsi  stabiliti,  e  ne'  quali   non  si  altera  la  confor- 
raazione   delle  loro    sezioni.  Avviene  lo    stesso  anclie 
in  alcune  svolte  degli  alvei,  nelle  quali  1' acqua  scor- 
re  senza  punto  agire  nelle  ripe  per  corroderle,  e  die 
percio  ben  di  rado    riduconsi  con    profitto  a  rettifili- 
Se  la  pendenza    laterale  si  estende,  il    fondo   al  ter- 
minare  di  questa  si  escava,  qualora  non  sia  di  mol- 
ta  tenacita;    si  fa  piii   breve  1'  estensione   della  pen- 
denza  opposta  e  piu    ripida ,  e  la  largbezza   dell'  al- 
veo  si  diminuisce.  Di  cio  se  ne  ha  1'  esenipio  nelle  se- 
zioni IV.  V.  VI.  Tav.  II,  nelle  quali  la  largbezza  e 
molto  diminuita,  le  sponde  sono  ripide,  e  le  profon- 
dita  insigni:  le  quali  profondita  non  sono  gia  gorgbi 
di  acque  stagnanti,  mentre  col  corso  degli  anni  si  sa- 
rebbero  riempiute  con  le  posature  delle  torbide,  ma 
bensi  parti  delle  sezioni  dell'  alveo,  nelle  quali  1'  a- 
cqua  e   corrente,  ma  con   direzioni    piu   inclinate  di 


DELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI    TtL     riUMI       283 

quelle  che  seguono  nella  siiperficie  del  fiume.  Al  con- 
trailo  in  altre  sezioni,  quali  sono  nella  Tav.  11  le 
II,  e  III  si  ha  T  esempio  ili  larghezze  ben  grand! , 
di  pcndenze  lateiali  piccole,  e  di  profondita  niinoii. 
Galileo,  sciivendo  al  P.  Castelli,  gliiiibizzava,  dic'Egli, 
intorno  agli  efletti  delle  acrjue  nel  passaie  dalle  se- 
zioni piu  larglie  alle  piu  strette.  Volendo  supporre, 
che  le  parti  dell'  acqua  continuino  a  nioversi  nella 
stessa  linea  retta,  e  aflatto  dilHcile,  per  non  dire  im- 
possihile  comprendere,  come  si  faccia  questo  passag- 
gio,  appnnto  come  nelV  uscita  dell'  acqua  dal  foro 
apcrto  nel  fondo  di  un  vaso  non  si  puo  intendere  che 
le  sezioni  nel  vaso  discendano  tra  di  loro  parallele. 

23.  E'  forza  di  riconoscere,  che  nel  corso  delle 
acque  si  producono  de'raoti  obbliqui,  e  che  attesa  Tin- 
conipressibilita  delle  sue  parti,  dee  succedere  nella  sua 
superficie  qualche  mutazione  di  livello,  tanto  nel  pas- 
saggio  dalle  sezioni  piu  larghe  alle  piu  strette,  quan- 
to  da  queste  a  quelle.  La  pendenza  delle  sponde  nel 
passaggio  delle  acque  dalle  sezioni  larghe  alle  strette 
aumenta  i  moti  obbliqui,  e  il  fondo  si  escava,  o  V  al- 
veo  e  pill  profondo:  nel  passaggio  dalle  sezioni  stret- 
te alle  piu  larghe,  per  l'  espansione  del  iluido  si  di- 
minuisce  1' azione  delle  pendenze  laterali,  e  1' alveo 
e  mttno  profoiKlo.  Hanno  tra  di  loro  uno  stretto  ra.\y- 
porto  la  larghezza  delT  alveo,  la  profondita,  la  caden- 
te,  il  corpo  d'  acqua,  l'  inclinazione  delle  sponde^  e 
qnesti  elementi  tutti  si  modificano  diversamente  per 
r  indole  del  suolo,  nel  quale  T  alveo  e  solcato,  piu 
o  meno  resisteute  all'  azione  della  correute.  In  ah-u- 
ni  fiumi  scorre  in  un  tratto  1'  acqua  con  placido  mo- 


284  S    T    R    A    T    I    C    O 

to,  con  molta  espansione,  in  un  altro  e  rapida,  e  ri- 
stretta  per  1' indole  del  suolo  resistente.  Quindi  6  che 
nel  divisare  i  tagli  delle  svolte  de' fiumi,  per  fame 
dei  rettifili  si  piocura  di  conoscere  tutti  quegli  ele- 
nienti:  i  quali  poi  si  contemperano  tra  di  loro  con 
quelle  leggi  che  si  conoscono  dal  faito,  e  che  non  si 
possono  presagire  con  precisione,  ond'  e  che  ne'  pro- 
getti  di  tali  opere,  prudentemente  facendo,  si  debbo- 
no  calcolare  gli  effetti  e  le  misure  con  certa  latitudi- 
ne.  Si  consiglia  non  di  rado  per  vedute  econoniiche 
di  non  escavare  per  intero  in  profondita  e  in  larghez- 
za  il  nuovo  alveo,  ma  di  segnare  al  nuovo  corso  la 
strada  con  una  cunetta,  afTinchc  la  forza  della  cor- 
rente  la  dilati  e  la  escavi,  trasportando  la  materia 
eccedente,  e  riducendo  1'  alveo  proporzionato  al  fiu- 
me.  Questo  consiglio  pero  e  da  seguirsi  cautamente, 
e  facendo  prima  molti  scandagli  del  suolo,  essendo 
restata  in  tali  imprese  non  di  rado  delusa  questa  spe- 
ranza,  o  perclie  1'  alveo  non  si  allargo,  ne  si  profon- 
do  per  la  resistenza  del  terreno,  o  perche  il  corso  del- 
r  acqua  incontrando  de'  terreni  cedevoli  ha  preso  del- 
le clirezioni  tortuose,  trasportando  il  filone  piu  da  una 
parte  che  daU'altra,  alterando  le  pendenze  laterali. 
23.  L'azione  dell'  acqua  corrente  nel  fondo  e  nel- 
le  sponde  dell' alveo  e  di  soffregamento,  e  cV  impul- 
se in  quella  direzione  che  risulta  dal  moto  composto 
per  le  due  pendenze,  longitudinale,  cioe,  e  laterale. 
Per  (piesta  ragione  non  si  puo  paragonare  il  corso 
de'  finmi  con  quello  che  si  fa  per  doccie  di  legno,  o 
per  piccoli  canali  artefatti,  ne'  quali  la  larghe/za,  e  la 
peadenza  delle  sponde  per  la  loro  piccola  misura  noa 


DELLE    SPONDE    NECLl    ALVEI    Dt'    FILMI       285 

danno  efTetti    disccrnevoli   dl  cjuesta    composlzione  di 
moti,  e  la  resistenza  della  materia,  nella  fjuale  e  sca- 
vato  r  alveo  artefatto,  e  lanto  dlssimile  da  quella  de' 
varj    terreni.   11  sollregainento   dcH' acqua  con  la  su- 
perficie  dell'  alveo  si  rignarda  da  alcimi  come  la  ca- 
gione  principale  per  cui  il  di  lei  moto  si  riduce  all'uni- 
formita,  disrru2;gendosl  per  esso  gV  iiicremcnii  di  ve- 
lorita    prodotti    dalla    forza    acceleratrice   di    gravita. 
Quindi    ridettendo   die    il    solTregamento    varia    nella 
sua  misnra,  second©  che  V  area  della  sezione  del  flu- 
me ha  una    diversa   ragione  al  suo    perimetro,  che  e 
al    contatto   delT  acqua,  si  e  istituita   xnia    ingegnosa 
tporia .  L'  area   d'  ogni    sezione    e  sempre   il    prodotto 
del  suo  perimetro,  che  e  al  contatto  dell'  acqua,  per 
una  linea  retta  che  si  pno  deterininare.  Se  la  sezio- 
ne e  un  sen)icircolo,  1' area  e  il  prodotto  della  semi- 
circonferenza  moltiplicata  per  la  quarta  parte  del  dia- 
metro.  Quindi  dividend©  il  numero  di  uuita  quadra- 
te che    csprime  V  area    della    sezione,  per    il  numero 
di  simili    uuita    ma  lineari,  che  esprime  il  perimetro 
al  contatto  dell' acqua,  in  qualsivoglia  lignra^  si  avra 
la  linea  ricercata,  cui  si  da  il  nome  di  raggio  medio. 
Quant©  maggiore  e  questo  raggio  medio  taut©  mino- 
re  e  la  misura  del  soiVregamento,  perche  taut©  mino- 
re  e  il   perimetro  della    sezione  di  area    eguale.  Cosi 
se  vi  siauo  due  sezioni  triaugolari  di  base  e  d'  altez- 
za   eguale,  e  una    di  qneste  sia  isoscele,    T  altra  sca- 
lena,    poiche   il  perimetro  della    i3©scele  c  minore  di 
quell©    della  scalena,   il  raggio   medio   della    isoscele 
sara  maggiore    di  cpiello  della   scalena,    e  diinostrera 
che  la  misura  del  solTregamento  e  minore   nella  iso- 
1.  II.    P.  II.  36 


2E6  S    T    R    A    T    I    C    O 

scele  (li  quello  the  nella  scalena,  e  in  conseguenza 
che  il  corso  clelP  acqiia  e  menu  ritarclato  nella  pri- 
ma, (li  quello  che  nella  seconda.  E  poiche  per  amen- 
dup  qneste  sezioni,  che  si  suppongono  prese  nello 
stesso  fiiiine,  dee  pa^sare  in  pari  tempo  la  medesiina 
quantita  di  acqna,  dovra  seguire,  che  la  sezione  sca- 
lena si  allarghi,  o  si  faccia  pin  profonda,  oppure  se 
la  materia  del  snolo  resiste  e  lo  impedisce,  dovra  au- 
nieniarsi  1'  altezza  delT  acqua  e  1'  inclinazione  della 
siiperficie,  per  compensarc  coll'  aumento  della  forza 
acceleratrice  il  decreniento  della  velocita  derivante 
dal  maggiore  sofTregainento.  La  sezione  scalena  rap- 
presenta  1' alveo  di  pendenze  laterali  dissimili,  e  il 
consegnente  accostamento  del  iilone  ad  una  ripa  pin 
che  all'altra.  Cv)rrisf)onde  percio  questa  teoria  all' ef- 
fetto  indicate  da  Gngliehnini  (  §  12  )  del  maggiore 
inipnlso  dell'  acqna  che  nelle  piene  si  fn  dalla  parte 
del  niaggior  fondo  dell' alveo,  ed  all' avvertcnza  di 
costruire  l'  argine  dalla  stessa  parte  pin  alto  e  piii 
robnsto:  non  risnlta  pero  dalla  stessa,  perch^  la  su- 
perficie  del  fimne  non  sia  trasversalmeiite  orizzonta- 
le,  ma  incliuata  e  ascendente  verso  la  parte  del  mag- 
gior  fondo,  come  avverti  il  citato  maestro.  La  teo- 
ria del  raggio  medio  non  include  le  altre  circostanze 
che  debbonsi  valutare  nel  corso  dell'  acqua.  Si  pos- 
sono  avere  delle  figure  di  sezioni,  nelle  quali  con  dis- 
simili altezze,  e  larghezze,  essendo  le  sezioni  eguali 
si  ahbia  lo  stesso  raggio  medio.  Una  sezione  rappre- 
sentata  da  un  quadra  to  e  egnale  nell'  area  e  nel  pe- 
rimt-tro  (  s'  intendr  sempre  del  perimetro  a  contatio 
deir  acqua  )   ad  una    sezione    rettangolare,   la    qual« 


DELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI     De'    FIUMI       287 

abbia  la  base  doppia  del  lato  del  quadrate  ^  e  V  al- 
tezza  egiiale  alia  meta  dello  stesso  lato.  Si  pno  fare 
un  triangolo  isoscele  di  larga  base,  eguale  ad  un  al- 
tro  triangolo  isoscele  di  base  minore,  della  stessa  area, 
e  dello  stesso  perimetro,  inteso  come  sopra,  ma  di 
maggiore  altezza.  In  questi  casi  si  avranno  altezze 
d'acqiia,  e  larghezze  d' alveo  diverse,  e  lo  stesso 
raggio  medio.  Si  potra  percio  dcdiirre,  che  posta  la 
stessa  pendenza  del  fondo,  non  induca  alcuna  diOe- 
renza  nel  corso  dell'  acqua  la  maggiore  o  minore  lar- 
gbezza  della  sezione,  o  la  diversa  profondita  del  cor- 
po  d'  acqua,  perche  i  ritardi  nascenti  dal  soffrega- 
mento  sono  egunli,  essendo  eguale  il  perimetro,  cioc- 
che  non  e  conforme  ad  altri  ricevuti  principj  e  teo- 
rie. 

24.  La  misiira  del  soffregamento  dell'  acqua  con 
1  corpi  solidi,  lungo  i  quali  essa  si  muove,  si  lia  da 
varie  sperienze  fatte  ne'  tubi  e  piccoli  canali  artifi- 
ziali.  Ma  o  la  piccolezza  di  questi,  o  1' altezza  dell'  a- 
cqua  nel  vaso  dal  quale  partono  i  tubi,  malagevole 
da  conservarsi  costante,  o  la  difficolta  di  prendere  la 
precise  misure  dell' efietto ,  lasciano  sempre  molta 
dubbiezza.  Le  sperienze  ist.ituite  alcuni  anui  or  sono 
con  ingegnoso  e  dispendioso  appareccbio  da  una  so- 
cieta  di  Londra,  diretta  ai  progressi  della  navale  Ar- 
cbitettura,  riescono  piu  soddisfacenti.  Si  sono  prepa- 
rati  due  panconi,  o  grosse  asse,  una  lunga  piedi  14, 
larga  poUici  20,  grossa  poliici  3:  1' altra  lunga  piedi 
2,  larga  e  grossa  come  la  prima.  Amendue  furono 
spianate,  e  dipinte  a  oglio  nello  stesso  modo.  Immer- 
se di  taglio  verticalmente,  e  disposte  secondo  la  lo- 


288 


S    T    R    A    T    I    C    O 


ro  hmgiiezza  orizzontalmente,  nell'  acqiia  di  mare, 
quieta,  in  iiu' ampia  e  profonda  vasca,  col  loro  cen- 
tro  di  figura  a  sei  piedi  sotto  la  superficie  dell'  acqua, 
si  sono  fatte  inovere  in  direzione  orizzontale,  con  no- 
ta  ed  tinifornie  velocita,  inantennte  sempre  alia  stes- 
sa  profondita  d'  immersione.  I  dodici  piedi  di  mag- 
giore  lungliezza  di  iino  de'  panconi  facevano  prova- 
re  alio  stesso  nna  resistenza  procedente  dallo  sfrega- 
mcnto  maggiore  di  quella  die  provava  il  panco- 
jie  pill  corto.  La  superficie  del  pancone  piu  lungo, 
oomprese  tutte  le  sue  facciate  e  di  46  piedi  qua- 
drati.  Quindi  dividendo  per  46  questa  resistenza  mag- 
giore, si  ebbe  la  misura  della  resistenza  derivante 
dal  soffregamento,  che  prova  nn  picde  qnadrato  di 
superficie  mossa  con  nota  velocita.  Si  riniarco  una 
differenza  nella  misura  della  resistenza  che  provaro- 
no  li  suddetti  panconi  messi  all'  esperienza,  asciutti 
la  prima  volta,  indi  dopo  che  erano  stati  piu  volte 
immersi  e  immollati  nell'  acqua.  II  soffregamento  si 
trovo  maggiore  in  questo  secondo  caso.  Nella  seguen- 
te  tavola  si  ha  il  risultato  di  queste  sperienze. 


Velocita  di  niiiilia  nau- 
ticlie  all'  ora.  Le  miulia 
nautiche    sono   di    piedi 
O087 

I 

0, 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

SoiTreganiento   coll'a- 
rqiia   di  im   piede    qna- 
drato   di   superficie    del 
pancone  imniollato  . 

0,014 

0,047 

0,095 

0,ldJ 

o,a60 

o,3c9 

9? 
0,400 

c,5oi 

So(l'reo;ainento  coll'  a- 
cqua  di  un    piede  qua- 
drate  di    superficie   del 
pancone  non  imniollato. 

t>,0l2 

0,08c 

0,144 

0,279 

0,354 

o,43i 

DELLE    SPONOE    NEGH    AI.VEI   BE*    FIUMI       2oC) 

Se  i  panconi  oltre  V  essere  stati  immoUati  erano  im- 
bratiati  tli  fango,  o  altro  sucidiiine  ,  la  resistenza 
riusciva  maggiore  di  quella  che  provavano  essendo 
tersi.  E'  pertaiito  evidence,  che  le  resistenze  derivan-« 
ti  dal  sofTregainento,  crescono  con  la  velocitii  accre^ 
Bciuta,  e  la  ragione  degli  accrescinienii  si  avvicina 
►•.a  quella  de'  quadrati  delle  velocita,  alia  quale  pero 
non  giunge  mai. 

2  5.   Gli  elTetti,  i  quali   si   comprendono   col   no- 
me   di    sofTregamento   dell' acqua  con    i    corpi   solidi, 
^   6ono  relativi  alia  scabrosita  degli  stessi  solidi,  all'  at- 
trazione    dell'  acqua    con   essi ,   e  all'  aderenza   delle 
parti   deir  acqua   tra   di  loro,    cui  si  da   il  nome   di 
viscosita.   La  scabrosita  de'  solidi  significa  che  vi  so- 
i\o  delle   particelle  sporgenti,  e   delle   altre  avvalla- 
te  nella   loro  superficie.  Quando  dunque  il  solido  si 
muove  neir  acqua,   le  particelle   sporgenti   urtano  la 
massa  del  Ouido,  e  diminuiscono  la  velocita   del    80~ 
lido,  che  comunica  coU'urto  a1  fluido  una  parte  del- 
la  sua  forza,   o  quantita  di  moto.    La    sperienza   del 
soffreganiento  maggiore  osservato  ne'  panconi  iminol- 
lati,  a  confronto  dei  non  immollatl  vi  consente;  giac- 
che   dair  essere  stati   immollati   deriva,   che   la   loro 
superficie   sia  divenuta   piu  scabra ,  gonfiandosi  le  fi- 
bre del  legno,  e  risalendo  dalla  superficie.   Si    ha  di 
cio  un' evidenza  in  grande  nelle  navi,   le  quali,  es- 
sendo   pari   tutte  le   altre  circostanze,   sono   di  graa 
lunga   piu   spedite  e  veloci ,    quando  la    loro  opera 
viva  e  ripulita  dal  musco,  dalle  chiocciole,  dal  fan- 
go  che  la  imbratti,  di  quello  che  se  sia   da   simili 
corpi  coperta.  La  fodera  che  si  fa  alle  navi  coa  fo- 


290  S    T    K    A     T    I    C    O 

gll  di  rame,  tirati  a  cilindro,  e  levigatl,  olcreche  le 
garantisce  dai  danni  delle  teredini  marine,  giova  gran- 
demente  alia  velocita  del  loro  corso.  Gorrisponde 
percio  niolto  bene  la  sperienza,  la  quale  dimostra 
ciie  il  soffregamento  dell'  acqua  con  i  solidi,  segue 
la  ragione  di  una  qualche  funzione  della  velocita, 
e  non  e  lo  stesso  in  qualunque  ipotesi  di  veloci- 
ta attril)uita  al  solido  che  si  muova  nelT  acqua,  o 
deir  acqua  che  strisci  contro  il  solido.  Per  lo  die 
si  puo  inferire,  che  la  teoria  del  raggio  medio  noa 
comprende  tutte  le  circostanze  del  moto  dell'  acqua 
neoili  alvei,  e  sinq-olarniente  Y  elemento  della  vc- 
locita . 

26.  L'  aderenza  delle  parti  dell'  acqua  alia  su- 
perficie  de'  solidi  e  assai  comprovata  dalla  volgare 
osservazione,  che  quasi  tutti  i  corpi  posti  al  contat- 
to  deir  acqua,  restano  piu  o  meno  bagnati,  e  molli. 
Anche  i  corpi,  i  quali  non  hanno  una  forza  di  ca- 
pillarita  rispetto  all' acqua,  pure  esercitano  con  essa 
un'  attrazione.  Le  sperienze  le  quali  dimostrano,  che 
deschi  simili  in  grandezza,  e  ligura ,  di  metallo,  di 
piefra,  di  legno  o  d'altre  sostanze  posti  orizzontalmen- 
tc  al  contatto  dell' acqua,  richiedono  una  forza  di- 
versa  per  esserne  distaccati  per  soUevameuto  verticale, 
comprovano  questa  asserzione. 

27.  Si  aggiunge  la  viscosita  dell' acqua,  per  cui  le 
sue  particelle  fanno  qualche  resistenza  a  distaccarsi  Tu- 
na daU'altra.  Or  come  questa  contribuir  possa  a  ritar- 
dare  il  moto  del  solido  immerso  nell' acqua,  o  il  moto 
deir  acqua  che  striscia  un  solido,  si  puo  intendere  in 
questo  modo.  Le  parti  dell' acqua   spiute  e  promosse 


DELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI    DE     FIU3II       29 1 

da  iin  solido  che  per  essa  si  muova  tendono  ad  equili- 
Lrarsi,  e  ad  occiipare  il  luogo  ahbandoiiato  all' indie- 
tro  dal  mobile.  Se  la  velocita  del  mobile  sia  maggio- 
re  di  quella  con  cui  le  parti  delP  acqua  possono  por- 
tarsi  al  luogo  abbaiidonato  dal  mobile,  qiieste  si  rac- 
colgono  alia  parte  anteriore  dello  stesso,  ed  accresco- 
no  la  resisteivza  al  suo  moto  progressive.  In  fatti  se 
il  solido  emerge  in  parte  dairacqua,  questa  raccolta 
d'  acqua  si  rende  manifesta  dinanzi  al  solido,  ed  e 
tanto  niaggiore  quanto  e  piii  veloce  il  moto  del  so- 
lido. Se  r  aderenza  delle  parti  dell'  acqua  tra  di  lo- 
ro  e  col  mobile  fosse  nulla,  e  certo  che  non  si  fa- 
rebbe  questo  adunamento  di  acqua  dinanzi  al  mobi- 
le, ne  questo  strascinerebbe  una  quantita  di  acqua  a 
lui  aderente.  Tale  effeito  dee  anche  succedere  nel 
mobile,  che  si  muove  sott'  acqua,  cioe  che  strascini 
seco  una  mole  di  acqua  a  se  aderente,  e  tanto  mag- 
giore  quanto  e  maggiore  la  sua  velocita.  Ce  ne  som- 
ministra  una  prova  la  macchina  funicolare,  con  la  qua- 
le s'inalza  T  acqua  per  mezzo  di  una  fune  che  si  met- 
te  in  moto  tra  due  ruote,  una  bassa  ed  immersa  nel- 
r  acqua,  1' altra  contenuta  in  nn  recipiente  chiuso. 
La  lune  nel  passare  per  T  acqua  si  veste  tutta  all'in- 
torno  di  uno  strato  di  Huido  di  osservabile  grossez- 
za,  il  quale  vi  sta  aderente  sino  alia  ruota  superiore, 
ed  ivi  dalla  fune  stessa  si  (li>tacca  per  il  moto  cen- 
trifugo  die  la  ruota  gl'  imprime,  cade  nel  recipien- 
te, e  da  questo  per  ima  apertura  esce  all'  uso  che 
si  vui)le .  L' aderenza  dell'  acqua  alia  fune  dipende 
maiifestamente  dalla  forza  capillare  delia  corda ,  e 
dalla  viscosita  dell' acqua.  Una  certa  velocita  nel  mo- 


292  Stratico 

to  (lella  fune  produce  maggiore  grossezza  dello  stra- 
to  d'  acqiia  che  la  riveste,  e  fa  si  che  se  ne  raccol- 
ga  in  un  dato  tempo  maggiore  quantita  nel  recipieii- 
te,  non  solamente  perche  nello  stesso  tempo  arriva 
alia  niota  siiperiore  un  raaggior  tratto  di  fune  vesti- 
to  di  acqua,  nia  perche  il  vestimento  e  piu  grosso, 
lasciando  un  tempo  minora  alia  discesa  dell'  acqua 
per  la  fune. 

28.  La    pressione   non   accresce    il   sofFregamento 
delle  parti  dell' acqua   tra  di    loro,   e  con  i  solidi  al 
contatto   de'  quali    essa   scorre.   Perche   1'  acqua  o   e 
alTiiito  incompressibile,  o  e  compressibile   al    minimo 
grado,  e  da  riconoscersi  soltanto,  quando  sia  premu- 
ta  da  forza  molto  grande,    e  chiusa  in  un   recipiente 
di  pareti    robustissime :    quindi  la    compressione    non 
accresce  i  puiiti  di    contatto  tra  le    parti  dell'  acqua. 
Galileo  faceva  osservare  al  P.  Castelli,  clle  non  e  ne- 
cessario  che   1'  acqua    premuta   si  condeiisi    per  scap- 
pare  con    maggior  impeto;  siccome  ?1  nocciolo  di  ci- 
fi  •a;ia  preinuto  scappa   con  vclocita  senza  condensar- 
'oi.  In  questo  fenomeno  di  paragone  e  da  osservar^i, 
e  da   far   cofito  della    elasticita    de'    polpastrelli   delle 
dita,  e  di  qnella  ancora  del  nocciolo  di  ciriegia.    Ma 
neir  acqua  la  condizione  di  ciascuno  strato  e  la  stes- 
sa,   ne  per  la  pressione  degli   strati  superiori   auccede 
condensazione  negl'  inferiori.    La    resistenza    che.   dee 
superare  un  corpo,  come  anche    02;ni   particella  d'  a- 
cqua  (he  per  essa  si  fa.strada^  «lipende  dalla  reazio- 
ne  delle  parti  alle  quali  si  comunica  nn  moto,  e  dal- 
la viscosiia  delle  parti  dell'  acqne.  Questa  e  indipen- 
dente  dall'  azione  della  massa  sovrapposta.   Non  cosi 


BELLE    SrONDE    NECLI    ALVEI    DE*    FIUMI       29^ 

pare  clella  reazione,  la  quale  sembra  dover  essere  pro- 
porzioiiata  al  mimero  delle  parti  insistent!  sopra  quel- 
la  che  si  rnuove.  Perciocclie  siccome  ogni  corpo  ce- 
devole  iminerso  nell' acqua  a  varie  profondita,  in  ra- 
gioiie  di  qoesie  si  diminuisce  di  volume  e  acquista 
gravira  specifica  maggiore,  cosi  pare  che  un  corpo  il 
quale  sia  sott'  acqua  e  in  essa  si  muova  per  qualclie 
direzione  incontrar  debba  una  maggiore  resistenza  a 
misura  che  si  trova  ad  una  maggiore  profondita:  pro- 
posizione  assunta  da  un  celebre  matematico,  e  corri- 
&poiideiite  a  qnalche  esperimento  fatto  in  piccole  mi- 
sure  ,  ma  che  importerebbe  molto  di  fare  con  uii 
grande  appareechio,  e  simile  a  cjuello  di  cui  si  fece 
cenno  al  §  24,  tenendo  il  solido  che  si  fa  correre  sott' a. 
cqna  a  profondita  notabllmente  diverse:  cio(  che  non 
si  fece  a  compimento  di  quella  altronde  bellissima 
serie  d'  esperienze. 

29.  Considerando  pero  il  sofTregamento  dell'  a- 
cqua  col  fondo,  o  con  le  sponde  di  un  alveo,  com- 
posto  di  parti  amovibili,  e  che  presenta  all'acqna  cor- 
reiitc,  come  altrt-ttanti  piccoli  ostacoli  nelle  scabrez- 
ze  dclla  sua  snperficie;  avvertendo  ancora  che  la  mag- 
gior  pressione  derivante  dall' aliezza  dell' acqua,  fa 
si  ch'pssa  penetri  piu  addentro  nella  materia  dell' al- 
veo, si  puo  facilmente  iniendere,  come  col  sue  mo- 
vimento  nelle  piene  distacchi  delle  parti,  e  le  traspor- 
ti  seco,  e  facciasi  torbida.  Qiiesta  specie  di  sofTrega- 
mento, se  cosi  vuolsi  chiamare,  in  fondi  di  parti  amo- 
vibili, e  atta  a  purgare  gh  alvei  dalle  posature  re- 
ceiui.  Ma  se  1'  acqna  stessa  artifizialmenie,  e  coti 
mezzi  esteriori  sia   intorbidaia,  sommoveudo  il  fondo, 

T.  II.     P.  IL  37 


294  S    T    R    A.    T    I    C    O 

e  facenilo   sollevare  dallo   stesso  la  materia   terrestre 
o  sabbiosa,  come  fii  talvoka  proposto,  per  difftto  di 
riflessione,  coiroggetto  di  scavare  gli  alvei  de'  fiiirai, 
la  torbida    resta   sospesa   per  breve   tratto,  e    ricade, 
ne  si  ottiene  1'  immaginato  efletto.  Si  riferiscorio  aii- 
ciie  delle  sperleiize  fatte  in  caiiali   artefatti  di  fondo 
piano  e    posto  a  varie   inclinazioni,  ne'    qnali    erano 
sparse   varie   niaterie,   onde  esplorare    quale   velocita 
di    acqua    si    ricbiedesse    per    promoverle.    In   questi 
I'acqua  con  la  velocita  di  due  migiia  e  mezzo  alTora, 
promosse  e  trasporto  Targilla,  la  sabbia  grossa,  e  la 
minuta  gbiaja:  con  la  velocita  di  mezzo  miglio  all' o- 
ra,  trasporto  la  terra,  ma  non  la  piii  grossa  sabbia. 
]Non  si  possono  pero,  a  mio  parere,  applicare  al  cor- 
60  de'  fiumi  si  fatte  esperienze,  ne'  quali  1' altezza  e 
mole   del!' acqua,    e  i  moti   obbliqui,  tanto   nel  ver- 
so della  lungliezza,   quanto  in  quello  della   largbez- 
za,  quanto  verso  il  fondo,  dipendenti  dalle   penden- 
ze   laterali,  fanno   degli    urti,   per  i    quali  si   solleva 
della  torbida,  e  I'acqua  non  corre,  soltanto  striscian- 
do  sopra  la  materia  del  fondo  e  delle  sponde. 

3o.  in  qiiesto  argomento  degli  efletti  delle  pen- 
denze  laterali  puo  insorgere  una  difficolta,  ed  e,  che 
la  massa  dell' acqua,  la  quale  si  move  nel  fiume  per 
il  verso  della  lungliezza,  trova  sempre  luogo  da  oc- 
cupare,  percb^  la  precedente  si  allontana  a  misura 
die  discende,  laddove  nel  verso  della  larghezza,  poi- 
clie  ciascuna  delle  due  parti  dell'  alveo  destra  e  sini- 
stra e  occupata  dall'  acqua  non  resta  luogo  al  moto 
da  un  lato  al  mezzo  della  larghezza.  La  diflicoka  pe- 
ro si  toglie  rifletteado,  che  trattasi  bensi  di  moti  dai 


PELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI    DE'    FIUMI       2C)S 

lati  verso  il  mezzo,  o  anche  talvolta  da  im  lato  ver- 
so r  opposta  ripa,  ma  die  questi  componeiidosi  col 
nioto  per  il  verso  della  lunghezza,  soiio  di  direzione 
obbliqua,  e  convergenti  verso  il  filone  che  vanno  a 
formare.  Non  discoiiviene  a  questo  proposito  il  para- 
goiie  di  due  fiumi  confluenti  in  ini  tronco  comune,  i 
quali  arrivando  con  quantita  di  aequa  diverse,  e  con 
direzioni  convergenti,  si  uniscono  ni  un  solo  corpo, 
acquistano  una  velocita  coinune,  e  si  adattano  ad  una 
nuova,  comune,  e  minore  pendenza.  La  disuguaglian- 
za  pero  de'  confluenti  induce  nel  tronco  recipiente  una 
direzione  di  corso  piii  vicina  ad  una  sponda  che  all'al- 
tra,  secondo  la  ragione  delle  masse,  c  delle  veloci- 
ta, e  secondo  la  disposizione  del  fondo  nel  tronco, 
ft)rmando  un  solo  filone  coll'  incontro  delle  loro  mas- 
se da   prima  distinte. 

3 1.  E'  relaiivo  a  questa  considerazione  il  consl- 
glio  di  dirigere  le  confluenze  de'  fiumi,  che  voglionsi 
fare  coll'  arte,  ad  angolo  acnto  con  la  linea  del  cor- 
so nel  tronco  recipiente.  JNon  gia  che  s' ignorino  glL 
esenipj  somministrati  dalla  natura ,  di  confluenze  a 
qnalunque  angolo,  ixon  solamente  acuto  e  retto,  ma 
anche  ottuso;  ma  gli  uoniini  i  quali  non  possono  met- 
tere  a  calcolo  tutti  gli  element i,  che  entrano  nelle 
operazioni  della  natura,  dt'bbono  tener  conto  di  quel- 
le che  possono  in  qnalche  modo  apprezzare.  Per  al- 
tro  dove  si  tratta  della  couflnenza  di  fiumi  grandi  , 
torhidi  nelle  piene,  arginati,  soggetti  ad  escrescfuze 
non  sempre  contemporanee,  qut-l  consiglio  non  si  puo 
segnire,  e  il  luogo  e  modo  drila  couflnenza  e  dispo- 
8to  dalla  natura  ben  ampio,  e  tale  si  dee  disporre 


29^  S    T    R    A    T    I    C    O 

dair  arte,  sicclie  il  corso  dfU'  acqiia  possa  fjirsi  per 
varj  angoli  iielle  diverse  circostanze  de'  (iuini  stessi.  La 
resistenza,  clie  la  mole  e  la  velocita  delT  acqua  del 
recipieiire,  oppone  alia  mole  e  velocita  delT  iiilluen- 
te,  secondo  i  varj  stati  di  piena,  e  di  magra  di  cia- 
schedimo:  la  posatuia  della  torbida,  e  raduiuimento 
di  materia  in  quella  parte,  ove  la  velocita  per  il  con- 
corso  delle  acqne  si  diminuisce,  la  qual  parte  non  ha 
situazione  costante:  la  disposizione  e  pendenza  late- 
rale  delle  sponde  del  recipiente,  per  cui  il  maggior 
corso  si  fa  piuttosto  alia  ripa  dalla  quale  esce  1'  in- 
fluente,  di  qnello  die  all'  oppo^ta,  o  inversamente: 
la  proporzione  delle  portaie  de'  fumii  in  piena  con- 
temporanea,  o  in  piena  non  contemporanea:  i  rigur- 
giti  del  recipiente  nell'  influente  promossi  a  varie  di- 
stanze,  secondo  la  velocita  varia  di  questo,  e  V  al- 
tezza  delle  piene  di  quello:  I'urto  dell'acqua  nel  so- 
lido  di  angolo  acuto  compreso  tra  i  due  alvei  nel  luo- 
go  dclla  confluenza,  qualora  cost  vogliasi  dirigere  la 
confluenza,  violento  alternaraente  da  una  parte  o  dal- 
I'altra,  secondo  che  e  alternamente  in  piena  o  I'uno  o 
I'altro  fiume:  la  resistenza  del  suolo  varia,  disuguale, 
o  uniforme  ne'  dintorni  del  hiogo  della  conlluenza; 
questi  ed  altri  ancora  sono  gli  elementi  che  si  com- 
pongono  nel  determinare  la  direzione  da  darsi  all' in- 
fluente, che  non  e  mai  quella  prefinita  dall'arte,  a 
meno  che  non  si  tratti  di  piccoli  canali,  regolati,  di 
acque  chiare,  oppure  che  1'  alveo  non  sia  solcato  in 
un  suolo  ben  saldo,  ma  un'altra  la  quale  si  couosce 
soltanto  dal  fatto.  Per  la  qual  cosa  il  partito  piu  sa- 
ne, ove  si  tratti  di  fare  una  nuova  inalveazione  e  con- 


DELLK    SPOMDE    NEGLI    ALVEI    DP.'    FIU5II       297 

fluenza  di  un  fiume  torbido,  o  torrente  in  un  altro 
maggiore  e  peremie,  e  di  dirigere  la  prima  linea  del 
flume  da  iminettersi  ad  angolo  retto  con  la  linea  del 
corso  del  recipience,  preparando  a  quello  con  spon- 
de  o  arginature  bene  disposte  uno  spazio  abbastanza 
ampio,  aflinclic  tra  ({nelle  stabilisca  da  se  cpiella  dire- 
zione,  die  vuole  il  temperamenio  delle  niemorate  cir- 
costanze.  Qualunque  angolo  fuori  del  retto  sara  casu- 
almente  stabilito;  le  declinazioni  dal  retto  saranno 
determinate  dal  complesso  delle  cagioni  operant!  so- 
pra  ri  cord  ate. 

32.  Non  potendosi  dnbitare,  che  dove  si  ha  pen- 
denza  di  fondo  la  forza  di  gravita  non  modifichi  il  cor- 
so dell' arqua  sopra  di  esso  fluente,  ed  osservando  in 
molto  numero  di  sezioni  del  Po,  che  V  inclinazione 
delle  sponde  trovasi  di  lo**,  14°,  1  5",  20°  da  una  par- 
te, e  di  2",  4°,  5°  dalTaltra,  e  che  queste  eccedono 
di  gran  lunga  le  pendenze  del  fondo  nel  verso  della 
lunghezza,  non  resta  luogo  a  dubitare  della  modifi- 
cazione  del  corso  dell'  acqua  dipendentemente  dalle 
medesime.  Tanto  piii  riconoscendosi  col  fatto,  che 
r  acqua  discendente  dalla  sponda  piu  estesa  sulla  lar- 
ghezza  dell'alveo  carica  la  sponda  opposta,  vi  si  rin- 
serra  e  vi  corrode  il  fondo  e  la  base  della  ripa:  e  do- 
ve le  sponde  sono  egualmente  inclinate  verso  il  mez- 
zo, restano  salve  entrambe  dalle  corrosioni.  Dagli  ef- 
fetti  grandi  e  discernevoli  debbonsi  arguire  i  meno 
discernevoli,  prodotti  bensi  dalle  stesse  cagioni,  ma 
opera nti  con  minore  energia:  e  I'impulso  dannoso  clie 
deteriora  visibilmente  una  sponda  per  la  troppo  pro- 
tratta  inclinazione  dell'  altra  dee  convincere  che  la 


298  Stratigo 

pendenza  laterale  modifica  il  corso  dell'  acqua  negli 
alvei  de'  fiumi. 

33.  Si  puo  ricercare,  se  dallo  scavarsl  il  fondo 
vicino  ad  una  ripa  piii  che  all'  opposta,  derivi  l"  al- 
zaniento  di  questa,  oppure  iiiversainente  dall'  alza- 
mento  di  fondo  da  una  parte  dipenda  la  miggiore 
profondita  che  si  trova,  o  si  forma  nell'altra.  11  prin- 
cipio  delle  pendenze  laterali  dipendenti  dalla  dispo- 
sizione  topografica  de'  terreni  puo  in  moke  occasioni 
soddisfare  alia  ricerca.  Ma  perclie»  non  ostante  q)ie- 
sta  disposizione,  osservansi  delle  corrosioni  e  delle 
hotte  nello  stesso  Hume,  tanto  a  destra,  qnanto  a  si- 
nistra, e  in  punti  non  molto  lontani,  conviene  rico- 
Doscere,  che  lo  sviamento  della  corrente  prodoito  da 
nuovi  ostacoli,  i  qnali  si  formino  da  una  parte  del- 
r  alveo,  e  non  siano  distrutti  dal  corso  dell'  acqua, 
puo  portarla  a  scoprire  un  fondo  cedevole  dall'  altra 
e  produrvi  una  maggiore  profondita.  Seconclo  il  pa- 
rere  di  Viviani,  la  formazione  delle  lunate  dijjende 
da  un  prirno  intoppo,  in  cui  s' incontra  la  corrente, 
di  quella  grossa  materia,  che  per  qualche  accidente 
di  smottamento,  o  frana  d'  argini,  o  di  ripe  si  de- 
ponga  piu  da  una  parte  che  dall' altra,  creandone 
quel  rialto,  che  gretto,  piaggione,  o  renajo  si  doman- 
da,  il  quale  poi  con  la  naiurale  sua  Scarpa,  carica 
la  medesima  corrente  ad  off'esa  della  opposta  ripa. 
Giudica  Egli  ancora,  che  vi  abbia  gran  parte  la  pen- 
denza del  fondo,  se  sia  molto  grande,  ciocche  bea 
corrisponde  alle  nostre  conghietture,  giacche  posta 
la  medesima  pendenza  laterale,  se  si  accresca  la  pen- 
denza. uel   verso   della   luughezza,   tanto  e  maggiore 


DELLE    SPONDE    NEGLT    AI.VEI    T)E     FIUMI      299 

r  energia  «on  cui  1'  acqua  batte  la  sponda,  e  si  pro- 
duce la  corrosione  e  la  lunata,  la  quale  si  va  iiiter- 
nando,  o  si  allunga  sino  a  die  V  inqiulso  dell'  acqua 
si  equilihra  con  la  tenacita  e  lesistenza  del  suolo, 
op|)ure  siiio  a  die  con  qualche  presidio  dell'  arte  sia 
arrestato  questo  efletto. 

34.  Vi  sono  in  fatti  delle  svolte  ne'  fiumi,  le  qua- 
li  si  possono  riguardare  come  srabilite,  cioe  tali  die 
si  inantengono  senza  alterazione  o  deirimento  dell' al- 
veo,  come  per  lo  contrario  ve  ne  sono  di  quelle  die 
continnamente  si  aumentano,  e  inducono  gravi  minac. 
cie  e  danni.  Alle  prime  non  vi  e  motivo  di  fare  al- 
cuna  alterazione,  e,  probabilmente,  e  per  lo  meno 
superflna  al  sistema  del  fiume  1'  operazione  di  rad- 
drizzarle  col  taglio  de'  terreni.  Ma  alle  svolte  pro- 
gressive, cioe  a  quelle  che  per  continuata  corrosione 
insenano  sempre  [)iu  nelle  terre  il  maggior  corso,  se 
non  bastano  i  lavori,  de'  quali  si  dira  tra  poco,  con- 
viene  provvedere  coll'  apertura  di  un  nuovo  tratto 
d' alveo  .  Nel  divisare  una  tale  operazione,   conviene 

^esplorare  diligentemente  la  direzione  della  linea  del 
nuovo  alveo  da  aprirsi  nel  verso  della  lunghezza,  on- 
de  non  faccia  angoli  sensibili  con  le  direzioni  supe- 
riore  ed  inferiore;  studiosamente  investigare  le  pen- 
denze  laterali  de'  fondi  e  sponde  superiori  ed  infe- 
riori  all' alveo  da  escavarsi;  e  l' indole  del  suolo  per 
lb  cui  questo  passar  deve.  Non  basta  la  pianta  comun- 
que  esatta  del  corso  del  fiume:  ma  ricliiedonsi  le  sc- 
zioni,  o  profili  di  qualdie  tratto  d'  alveo  superiore 
ed  inferiore  a  quello  da  escavarsi,  onde  scegliere  i 
punti  del  principio  e  del  fine  del  nuovo,  ne'quaii  la 


300  S    T    U    A    T    I    C    O 

inegiiaglianza  delle  pendenze  delle  sponde  non  sia  mol- 
to  graiide,  seiiza  di  che  puo  avvenire  facilmente,  chc 
dopo  fatto  il  miovo  alveo,  si  produca  una  nuova  svol- 
ta .  Si  troveia  non  di  rado  doversi  principiare  e  ter- 
miiiare  il  rettililo  in  punti  diversi  da  qnelli  che  la  so- 
la ispezioiie  dcUa  pianta  siiggerirebbe.  E  finalmente 
la  cognizione  della  narura  del  suolo  sara  di  tutta  im- 
portanza,  giacche  convieue  aver  sempre  presente,  che 
r  acqua  di  un  fiume  non  segue  la  direzione  derivata 
dalla  sola  gravira,  comunqne  modificata  dalle  penden- 
ze laterali,  ma  insieine  qnella  che  le  e  prescritta  dal- 
le varie  resistenze  del  suolo  che  ella  dee  solcare.  Non 
ripetero  qui  la  nota  dottrina,  la  quale  pero  richiede 
attente  osservazioni,  che  alcune  corrosioni  e  nascend 
svoke  si  possono  lasciar  progredire,  se  non  minaccia- 
no  situazioni  gelose  per  altri  rapporti ,  perche  gia 
trovano  da  se  il  loro  limice  a  misura,  die  la  loro 
lunghezza,  o  ampiezza  di  giro  si  aumenta. 

35.  Ne'  tratti  dove  1'  alveo  del  fiume  e  piii  pro- 
fondo  da  un  lato  che  dall'  altro  con  dilTerenza  con- 
siderabile,  e  percio  il  fondo  discende  da  una  ripa 
air  altra  con  molta  inclinazione,  la  sponda  corrispon- 
dente  alia  maggiore  profondita,  non  e  solamente  pre- 
muta,  ma  anche  percossa  con  maggior  forza,  e  sic- 
come  si  avverti  dietro  il  sentimento  di  Cuglielmini 
dee  farsi  1'  argine  piii  elevato  di  quello  che  alia  par- 
te opposta.  Giovi  a  questo  passo  di  ricordare  la  di- 
stinzioiie  degli  argini,  che  fa  Barattieri,  dipendeiue 
dalla  osservazioiie  delle  pendenze  laterali.  Gii  argini 
giusta  il  di  lui  parere,  sono  o  soprastauti,  o  laterali, 
o  soggiaceuti.  Soprastauti  sono  quelli  che  seryono  a 


DELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI    DI.'    FIUMI        3o  I 

liniitare  le  espansioni  de'  fmnii  nelle  piene.  Tali  so- 
no  quelli,  die  si  formaiio  nelle  campjigrie,  clistanti 
dair  ordinario  corso  del  fiuine,  e  che  lasciano  uii 
anipio  spazio  alle  acque  da  espandersi  nelle  piene. 
Laterali  sono  ({uelli  posti  lungo  lo  stesso  alveo,  asse- 
condanti  il  corso  del  liume,  ne'  quali  1'  acqua  noii 
esercita  alcun  impeto,  nia  li  preme  sokaiito,  e  vi  pro- 
duce qualclie  soHVegainento.  Finalmente  soggiacenti  so- 
no quelli  eretti  dalla  parte  dove  il  fuiine  ha  maggior 
fondo,  nientre  dalla  parte  opposta  e  elevato,  e  1' acqua 
discende  con  tnoto  ol)l)liquo  alia  ripa  di  maggior  fon- 
do. Quesre  arginature  sono  esposte  al  niaggiore  peri- 
colo,  perche  1' acqua  le  investe  obbliquaineute,  tanto 
nella  direzione  del  corso,  quanto  anclie  con  niovimen- 
to  di  caduta  dalla  superficie  verso  il  fondo.  Percioc- 
che  e  ben  vero,  che  1'  acqua  corrente,  con  la  picco- 
la  declivita  di  fondo,  che  hanno  i  fiumi  in  pianura 
nel  verso  della  lunghezza,  preme  il  fondo  e  le  spon- 
de  con  forza  poco  ininore  di  c[uella  con  cui  preme- 
rebbe  se  fosse  stagnante,  e  quindi  che  gli  argini  di 
tutte  e  tre  le  suddette  denominazioni  restano  sogget- 
ti  alia  pressione  tnedesiina  per  quanto  itnporta  1'  al- 
tezza  deir  acqua  che  ad  eisi  si  appoggia;  ma  sicco- 
me  la  sola  pressione  senza  energia  di  moto,  e  senza 
direzione.  di  iirto,  si  equilibra  con  sicurezza  median- 
te  la  mole  di  terra  configurata  in  argifie,  cosi  non 
induce  alcuu  pericolo,  se  la  massa  delT  argine  sia  be- 
ne calcolata  rispetto  alia  misnra  della  pressione,  cioc- 
che  facilmente  si  sa  dalla  pratica;  o  facendo  riparo 
alle  tra[)elazioni  e  alle  maggiori  vie  d'  accpia  che  si 
aprissero.   iVJa  negli  argini  soggiacenti,  la  massa  mag- 

T  II.   P.  IL  :3a 


3o2  Stratico 

giore  deir  acqiia,  che  ad  essi  s'  appoggia  non  e  sol— 
tanto  preinente;  essa  e  combinata  con  una  foiza  d'im- 
pulso  diretta  alia  loro  base,  e  a  tutia  la  loro  super- 
ficie. 

36.  Ho  detto,  che  la  pressione  delTacqua  e  pres- 
so  che  fguale  ne'  fiumi  correnti,  a  qnella  che  si  avreb- 
be  se  fosse    stagnaiue.  Perclie   considerando   l'  acqua 
fluente  come  \\n  grave  che  discende  per  un  piano  in- 
clinato,    e  certo  che   la  forza  accelerarrice    per  cui  e 
soUecitata  a  discendere  e  alia  totale  della  gravita,  co- 
me il  seno   d'  inclinazione  al  raggio.  Ora  questo  se- 
no  d'  inclinazione  e  cosi  piccolo  a  confronto  del  rag- 
gio, attesa  la  teniie  pendenza  che  hanno  i  letti  de' fiu- 
mi in  pianura,  la  quale  per  lo  piu    non  arriva  a  un 
grado,    che    la    massima  parte  della    forza  di    gravita 
s'  impiega  a  premere.  Al  contrario  la  forza  accelera- 
trice  della  discesa  si  puo  aumentare  in  modo  che  la 
forza  premente  si  annulli  del   tutto.  L' acqua  che  in 
molto   volume  cade   da   un'  alta  soglia  si   dispone  in 
una  curva  non  sostenuta  da  veruna   parte:  alia  qua- 
le percio  se  si  applicasse  un  letto  con  fondo  convesso 
della  stessa    curvatura,  e   con   le  sponde    della  stessa 
figura  di  quelle  che  ha  1'  acqua  cadente  dalla  soglia, 
e  certo  che  la  stessa  continuerebbe  a  fluire,  senza  eser- 
citare  in  quel  fondo  e  sponde  veruna  pressione;  pre- 
scindendo    ora   dagli  effetti  del    soffregamento,  e  dal- 
r  aderenza    delle  parti    dell'  acqua  con  le   superficie, 
al  contatto  delle  qnali  sarebbe. 

37.  E*  un  paradosso  comprovato  dall' esperienza, 
che  la  pressione  esercitata  dall'  acqna  stagnante  nelle 
pareti  di  un  vaso,  si  puo  fare  quante   volte  si  vuole 


DELLE    SPONDE    NEGLl    ALVEI    De'    FIUMI       3o3 

maggiore  del    sno  peso,  bastando  per   cio  aumentare 
la  superficie  delle  pareti  del  vaso,  senza  \ariare  I'al- 
tezza  delTacqua,  e  senza  mutariie  la  capacita  in  piii 
o  in    meno.    In    un   vaso    cuhico    dell'  altezza    eguale 
air  uniia,  la  pressione  clie  V  acqua  esercita  nella  ba- 
se e  nelle  j)areti  e  eguale  al  triple  suo  peso.  Se  cjue- 
sto  vaso  si  trasformi  in  un  vaso  parallelepipedo  lungo 
quaitrOj  alto  uno,  largo  uiv  quarto,  la  sua   capacita 
e  eguale  a  quella  del   vaso  cubico,  la  base  e  eguale 
a  quella  dello  stesso  vaso,  e  la  pressione  che  esercita 
r  aoqua  e  eguale  a  cinque  volte  e  un  quarto  il  peso 
deir  acqua  stessa.  Questa  proprieta  del  fluido  non  si 
perde,    nelle   sue   varie    circostanze  di    moto,  se   non 
quaudo  la  veiocita  che  gli  si  attribuisce  lo    riduce  ad 
una   massa    figurata,   come    avviene   in  urja    caduta  o 
in  un  gerto,  perche  le  sue  parti  non  sono  piii  sciol- 
te,  ma  riteuute  in  una  figura  costante  dalle  forze  clie 
loro  vengono    iinpresse.    La    pressione    delP  acqua    in 
un  fiume  e  equilibrata  dalla    resistenza    degli  argini, 
e  (juindi    r  acqua    di    un    aiigustissimo    rivolo,    poste 
eguali  le  alti  zze  con    quelle    dell'  acqua  in  un    largo 
fiunie,  e  posta  in  entrambi  veiocita  eguale,   fa  egual 
forza  di  pressione  in    entrambi.    Ma    s'  ingannerebbe 
in  (juesto  confronto  quello  che  non  tenesse  a  calcolo 
i   moti  obbliqui,  che  I' acqua  acquista   negli  alvei  lar- 
ighi,  per  i  quali  esercita  un'  impuUione  nelle  sponde 
|e  negli  argini.    Poche  zolie  di  terra   rivolie  col  solco 
[.di  un  aratro  bastaiio  a  coutenere  nell'  alvf'O  le  acque 
I  che  niinac(iano  di   traciiuare,  quaudo  non  esercitano 
altra   forza    (he  di    pressione;    uoti    cosi    Sf   le    acque 
ianche  superficial]   prendono  per   cjualsivoglia  cagione 


3o4  S    T    H    A    T    1    G    O 

un  rorso  obhliqiio  contro  fjuesti  ripari  del  momento. 
38.  Non  si  flisoernono   con  la  vista,  per  lo  pivi, 
le  (lirezioni  parricolari  delle  parti  e  delle  masse  ini- 
Tiori  deir  acqna ,  allorche  seguono  insieme  e  si  coiii- 
poiigoiio   con  la    direzione  della    niassa    totale.  Nella 
superficie  de'  fiuini  in  istato  ordinario  o  di  raagra,  nori 
si  scorge  il  moto  clie  deriva  dalle  pendenze   lateral!; 
essa  apparisce  uniiurme,  piana,  e  si  giudica  anche  oriz- 
zontale    da  una  ripa    aU'altra.    Richiedoiisi    o  grandi 
masse  di  iliiido  aggiunted'un  tratto,  o  gradi  di  velo- 
cita  iiisigiiemente  accresciiita  o  dirainuita,  -come  avvie- 
ne  per  una   rotta  d'  argini,  per  iscorgere  anche   nella 
superficie  i  moti  obbliqui.  Cosi  se  da  un  vaso  ri pie- 
no  si  faccia  uscire  V  acqua  per  uno  o  pin  fori  aper- 
ti  nel  fondo  e  nelle  pareti,  e  certo  die  si  producono 
nella  massa  contenuta  nel  vaso  moti    di  direzioni  di- 
verse, e  non  pertanto  la    superficie  discende  nel  va- 
so, conservando  apparentemente  la  sua  posizione  oriz- 
zontale,  ma  che  non  e  tale,    come  si  fa  evidence   se 
i  fori  si  facciano  maggiori,  o  se  si  osservi  la  superfi- 
cie abbassata  a  certo    segno  nel  vaso,    mentre   allora 
si  scorge  piu  bassa  nel  mezzo  che  ai  lati.  Queste  dif- 
ferenze  di  livello,  e  questi  moti  nelle  masse  d' acqua 
che  formano  un  continuo,  ancorche  non  si  discerna- 
no  con  la  vista  ,    pero  si   deducono    con   la    ragione. 
1  moti  delle  acque  nella  laguna  e  canali  della  Ghtk 
di   Venezia   presentano  un  fatto  che  fa  a  questo  pro- 
posito.  Un  argine  ben  hingo  fatto  dalla  natura  e  cor- 
roborato  dalP  arte,  separa  la  grande  vasca  della  La- 
guna dal  mare,  Nel  restante  del  suo  perimetro  ^  con- 
tornata  da  terre.  In  questo  argiue  vi  sono  delle  aper 


r 


DELLR    SPONDE    NEGLI    ALVEI    PL*    FIUMI        3o5 

ture,  die  diconsi  i  porti.  Entra  1'  acqua  per  ciascn- 
no  di  questi  col  (lusso  del  mare,  e  a  inisiira  della 
quantita  die  entra  essa  si  esteiide  sino  a  certi  coiifi- 
ni,  giunta  ai  quali  s' incontra  colT  acqua  die  entra 
dai  porii  pin  viciiii.  Da  questi  confini,  che  chiarnan- 
si  partiacqua,  nel  riflusso  discende  V  acqua  cd  esce 
per  i  porti.  Le  direzioni  di  questi  moii  si  rilevano 
bene  dai  coiidoitieri  delle  barche  per  le  resistenze  o 
facilita  nel  progredire,  ad  occhio  noii  si  rilevano,  e 
diinostrano,  come  nella  stessa  continua  massa  di  llui- 
do  si  prodncano  mori  di  diversa  direzione.  Ma  anco- 
ra  la  corrente  cosrante  del  mare  adriatico  per  cni  ra- 
dendo  i  lidi  della  Dalmazia  e  dell'Istria,  si  volge  poi 
segnendo  i  lidi  della  Roniagna  senza  mancare  nella  cal- 
ma,  e  senza  essere  turbata  dalla  marea,  ne  dai  ven- 
ti,  dimosrra  che  vi  sono  dei  moti  particolari  nelle  a- 
cque,  e  diversi  da  quelli  della  massa  generale. 

39.  Ci  guida  questo  argomento  a  digredire  per 
poco,  sopra  un  fatto  che  puo  essere  sorgente  d'  er- 
rore,  qnalora  si  presnma  di  giiidicare  con  la  sola  vi- 
8ta  dei  moti  ddle  arcpie.  Quando  1'  alveo  di  un  fiu- 
me  e  attraversato  da  una  o  pin  pescaje  po?te  a  cer- 
ta  distanza  tra  di  loro,  e  il  letto  sia  di  uniforme  in- 
clinazione  dall'  una  all'  altra,  ma  dopo  ciascuna  pe- 
Bcaja  sia  pin  basso  quanto  e  T  altezza  della  pescaja, 
r acqua  magra,  o  ordinaria,  che  per  esso  scorre,  ma- 
nifesta  col  salto,  o  raduta  da  ogni  pescaja  la  dille- 
rente  profondita  del  letto,  raggnagliata  ad  una  data 
orizzontale.  Se  le  |)escaje  sono  ben  alie,  questo  salto 
61  vede  nelle  magre  e  nelle  piene:  ma  se  le  pescaje 
eiano  poco  ahe  a  coufronto  dell'  altezza  delle  piene, 


3o6  S    T    K    A.    T    I    G    O 

come  aU'incirca  un  decimo  di  queste,  quel  salro  nel- 
le  piene  non  si  discerne  pin,  e  pare  die  la  superfi- 
cie  del  fiume  sia  parallela  ad  un  letto  di  unifornie 
pendenza,  perdeiidosi  ogni  indizio  deH'ostacolb  delle 
pescaje.  Questa  osservazioiie  ha  iiidotto  alcuni  a  giu- 
dicare,  che  in  questi  casi  le  pescaje  non  solamenre 
non  portiiio  V  abhassamento  del  fiume  nel  tratto  ad 
esse  inferiore  ed  effetiivamente  piu  basso,  nia  lo  tea- 
gano  a  quell'  altezza  che  avrehbe,  se  scorresse  per 
una  linea  di  fondo,  la  quale  fosse  condotta  per  i  ci- 
gli  di  tutte  quelle  pescaje.  Che  questo  sia  un  crro- 
pe,  facihnente  si  dimosira.  Perciocche,  supposto  che 
tutte  le  pescaje  riducansi  ad  una  sola  eguale  per  al- 
tezza alia  somma  loro,  e  il  letto  sia  abbassato  come 
sarebbe  dopo  1'  ultTma  pescaja,  e  certo  che  1' acqua 
dopo  la  caduta  si  ridurrebbe  all' altezza  che  le  com- 
pete per  il  suo  volume,  e  per  le  condizioni  dell'  al- 
veo,  la  quale  sara  tanto  inferiore,  rispetto  ad  una  da- 
ta orizzontale  all' altezza  dell' acqua  sopra  la  pescaja, 
quanto  e  1' altezza  della  stessa  pescaja.  Ora  non  vi  e 
alcuna  ragione,  perche  un  eftetto  cosi  essenzialmente 
di  verso  si  debba  avere  dalla  caduta  che  segue  per 
pill  pescaje  tra  loro  distant! ,  o  ridotte  ad  una  sola 
eguale  alia  somma  delle  altezze  di  quelle.  Si  sa,  che 
ogni  pescaja,  la  quale  attraversa  un  fiume  si  dee  ri- 
guardare  come  il  termine  di  quel  fiiuue,  e  il  princi- 
pio  di  un  nuovo  fiume,  nel  quale  1'  ac(fua  accpiista 
quella  velocita  e  altezza,  che  sono  relative  alia  sua 
mole,  e  alle  circostanze  del  nuovo  alveo.  Quindi  po- 
sta  la  stessa  mole  d'  acqua,  e  le  medesime  circostan- 
ze di  pendenza,  larghezza,  e  conformazione  deli' al- 


DELLE   SPONDE   JJEGU    AI.YEl    DE*    FICMI      3o7 

veo,  non  piio  cader  tliihbio  die  1'  altezza  dell'  acqua 
non  si  stabilisca  nel  tronco  inferiore  alia  pescaia,  co- 
me e  siabiliia  iiel  superiore,  e  percio  sara  tanto  piu 
bassa  rolaiivamonie  ad  una  data  orizzoiiiale,  qnatuo 
e  pill  basso  I'alveo  nel  quale  essa  cade.  £'  uu  equi- 
voco  qufllo  che  si  prende  giudicando  a  vista  V  anda- 
niento  del  Hume  in  piena  sopia  le  pescaje,  nel  qua- 
le e  soppresso  il  salio  dell'  acqua  .  L'  equivoeo  e  si 
maiiifesta  coll'  esperienza  istituendo  la  livellaziooe,  e 
si  toglie  con  la  ragione.  L' acqua  che  cade  dalla  pe- 
scaja  perde  per  un  nionuMito  il  suo  moto  progressivo, 
e  si  alza  a  maggiore  altezza  di  quella  a  cui  si  dispo- 
ne in  progresso.  Questo  adunamento  e  altezza  mag- 
giore deir  acqua  caduta  e  maggiore  se  il  fiume  sia 
in  piena,  e  quiudi  apparentemente  ma  non  realmente 
si  sopprime  il  salto  che  si  vede,  quando  il  fiume  ha 
poca  acqua . 

40.  Kitornando  al  nostro  argomento  delle  pen- 
denze  laterali,  si  puo  avvertire  che  la  pratica  ha  sa- 
puto  profittare  de'  Aioti  obhhqui  che  dalle  stesse  de- 
rivaiio.  Le  pescaje  che  si  costruiscouo  attraverso  de' 
fiumi,  obblique  alia  direzioiie  del  loro  corso,  e  col  ci- 
glio  incliuato  all'orizzonte  verso  una  delle  loro  estre- 
niita,  servono  per  aumenfare  I' erogazione  disposta  e 
aperta  da  quella  parte,  dove  il  ciglio  e  piu  basso;  op- 
pure  a  rerjdere  piii  attiva  qualchc  niacchina  piautata 
alia  stessa  parte.  Le  serre  ricordate  da  Viviani  nel 
canale  d' Amo.  con  la  cresta  tanto  depressa  nel  mez- 
zo, che  per  la  lunghezza  di  40  braccia  non  si  si'lle- 
vasse  punto  sopra  il  piano  o  fondo  naturale  del  let- 
to,  ma   fuori  di  questo  tratto    andassero   soavemente 


3o8  S    T    R    A    T    1    C    O 

slzandosi  dalle  parti  con  poca  si,  ma  egiiale  salita  sl- 
no  alle  sponde  laterali  ,  non  solamente  manifestano 
coll' esperienza  I' elfetto  delle  laterali  pendenze,  ma 
introducono  ancora  a  ragionare  iiitorno  ai  ripari  che 
si  i'aiiiio,  o  far  si  possono  ai  fiumi  per  procurare  una 
difesa  piu  permanente  contro  i  damii  che  derivano 
dalla  percossa  delle   acque  correriti  tielle  sponde. 

41.  La  cnstodia  e  governo  de'  fiumi  per  la  mas- 
sima  parte  consiste  nel  prevenire  le  corrosioni,  nel 
iVenarle,  nel  sanarle.  Ne'  fiumi  arginati  un  modo  di 
provvedere  a  questo  danno  e  di  scaricare  e  riburtare 
1'  argine,  lo  che  sigiiilica  ricagliare  una  parte  della 
sua  laro;hezza  dal  laco  del  fiiime,  coininciando  da  una 
linea  lontana  alcuni  piedi  dal  ciglio,  e  ad  esso  pa- 
rallela,  o  a  un  dipresso  tale,  sicche  V  argine  acqui- 
sti  una  Scarpa  inclinata,  e  la  terra  che  si  move  ser- 
va  ad  iiigrossare  l' argine  verso  la  campagna.  Con  cio 
non  si  fa  un  rimedio  radicale,  ma  si  obbedisce  aH'an- 
diirnento  del  finme,  cedendogli  a  poco  a  poco  il  ter- 
reno,  sino  a  che  la  corrosione  col  prolungarsi  trovi 
un  limite^  e  cessi  di  per  se,  o  qualche  fortunata  coni- 
binazione  di  materia  raccolta  di  niiovo  in  qualche 
parte  dell'  alveo  allontani  il  corso  dalla  linea  corro- 
sa,  o  se  cio  non  accade  ed  insiste  il  danno,  vi  si 
opponga  coir  arte  un  o«tacolo  piu  robnsto.  Questo 
metodo  giova  assai  volte,  e  si  combina  sempre  con 
le  vedute  economiche. 

42.  Un  altro  modo  e  di  cedere  alia  bella  prima 
il  terreno  al  fiume,  e  di  costruire  un  argine  all'  in- 
dentro  a  certa  distanza,  rhe  suole  chiainarsi  argine 
di  ritiro,  o  corouella,  sulla   lusinga  che  la  corrosio- 


I 


DELLE    Sl'ONDE    NEOH    ALVEI    DE'    FIUMI       3of) 

ne  trovi  iin  limite  prima  di  giungere  al  piede  dell'ar- 
gine.  Questo  ripiego  g  piu  dispeiidioso  e  piii  sicmo, 
nia  noil  piu  radicale  del  prccederite:    cgli  e  soltanto 
diretto  ad  ottonere  una  dilazione  <lc'lle    inaa^'ori  ro- 
vine,  talvolta  foituiiata,  o  ad  iscliivare  il  piu  di>peti- 
dioso  partite,  e  di  esito  incerio  de'  tagli  e  raddrizza- 
menti  dt'U'alveo.  Dico  d'iiicerto  esito,  perclie,  come 
ho  di  sopra  avvertito,  tiou  basta  cl»e  il   rcttifllo  com- 
Lini  bene  in  pianta    con  la  direzione    del  tronco  sii- 
periore  e  inferiore,  ma  im porta  die  le  pendenze  la- 
terali  delle   sponde   delT  alveo  superiore    ed  iniVriore 
corrispondano,  senza  di  clie  la  dispendiosa  opera  del- 
r  inalveazione  nel  rettifdo  escavato,  non   riesce  con- 
forme  alle  speraie  conseguenze,  posto  ancora  clie  I'in- 
dole  del  suolo  non  opponga  ostacoli.  Cosi  a  cagione 
d'  esempio,'^e  si  trattasse  di   provvedere  radical  men- 
te  alia  corrosione  e  svolta  di   Po  alle  Saline,  dove  e 
insigne   la   profondita    verso  la    ripa    sinistra,    e   dove 
senza  il  dispendiosissimo  riparo  del  molo  di  sasso  ivi 
formato,  avrebbe  gia  cpiel  gran  fmme  portata   la  de- 
solazione  alia  Provincia  aggiacente,  f'acdmenie  si  con- 
clnuderebbe  dalla  pianta,  clie  con  un  taglio  di  meno 
clie  un  miglio  di  Itmgliezza,  si   potrebbe  raddrizzare  il 
corso  e    rogliere  il   pericolo    di   (juella   corrosione,    la 
quale  e  frenata  soltanto  con   la   lurza.   Ma   se  esami- 
nando  V  alveo  di  Po,  supenormente  al   principio  del 
miovo  tag'io    rettilineo    si   irova?se,    die  la   pendeuza 
laterale  del  suo  alveo   fosse  dalla  destra  alia  sinistra, 
e  cosi  anche    al   termine   dell'  idcato    taglio,    conver- 
rebbe   allungare  la    linea   delT  inalveazione,    o    anclie 
abbreviarla ,  perdendo    piuttosto   ni    (|ualcbe   parLc    la 

1 .  n.  p.  11.  39 


3io 


T    n    A    T    ICO 


direzione  rcttilinea,  di  quello  clie  lasciargli  Tintrinse- 
co  difetto  di  piegare  col  corso  alia  sinistra.  Oltreccio 
in  quesd  casi  conviene  avvertire  quale  sia  V  indole 
del  suoloj  mentre  se  questo  e  formato  -da  colmate  del- 
lo  stesso  fiume  sopra  fondi  di  antiche  valli,  e  mal 
fermi,  la  velocita  accresciuta  con  i  rettifili,  puo  snu- 
dare  la  base  degli  argini,  die  ne  costituisce  la  loro 
maggiore  sicurezza. 

4.3.  Un'  altra  classe  di  lavori  per  difendere  gli 
argini  e  le  ripe  dalle  corrosioni,  comprende  le  ope- 
re  die  diconsi  mniiienti,  e  consistono  in  rinforzi  die 
si  fanno  alia  base  dell'  argine  nell'  alveo  con  mate- 
riali  immersi,  resistenti  piu  o  raeno  all'  azione  del- 
r  acqua  corrente.  Ogni  paese,  per  cosi  dire,  ha  so- 
praccio  le  particolari  sue  pratiche,  relativamente  ai 
fiumi  die  per  esso  scorrono,  additate  dall'  esperienza, 
dair  indole  delle  niaterie  piu  facili  ad  ammannirsi,  e 
specialmente  dalle  mire  al  risparmio,  rtstando  sem- 
pre  la  lusinga,  che  possa  il  fiume  da  se  abbandonare 
jl  corso  danuoso.  I  buzzoni,  i  fagotti,  i  fassoni,  i  gabbio" 
111,  i  volparoiii,  le  volpare,  i  cantoni  di  sasso,  il  sasso 
sciolto,  sono  i  materiali  die  si  profondano  alia  base 
degli  argini,  e  delle  sponde  corrose,  per  non  cedere 
al  fiume.  JNessun  materiale  pero  e  piu  atto  del  sasso 
per  tali  ripari,  perclie  ne  si  strugge,  ne  e  trasporta- 
to  dal  corso  dell'  acqua,  come  succede  degli  altri, 
formati  con  la  terra,  e  legname,  andie  se  la  terra 
che  s'  impiega  sia  cretosa  e  lenace,  come  d'ordinario 
si  prescrive  die  sia.  11  sasso  tutto  al  piu  per  debo- 
lezza  del  fondo  puo  abbassarsi,  e  discostarsi  alquan- 
10  dalla  ripa,  ma  serve  sempre  di  base  a  quello  che 
yi  si  sovrappoue. 


PELLE    SPONDE    NEGLI    ALVEI    De'    FIUMI       3i1 

44-  Un  altro  riparo  muniente  che  si  pratica  coa 
ottimo  eHetto,  e  di  vestire  le  ripe  e  gli  argini  dalla 
parte  del  fiuine  di  piante  vegftanti  e  pieghevoli,  le 
qiiali  rintuzzano  ahjuanto  la  forza  della  correiue  vi- 
ciiio  alia  siiperficie  die  si  vuol  difendere  dalla  corro- 
sione,  e  soflermaiio  della  torbida,  che  se  e  soverchia 
si  scarica  coll' opera  degli  uornini.  JNon  si  pu6  abba- 
stanza  commendare  questa  maniera  di  difesa,  parti- 
colarmente  dove  qiieste  piante  felicemente  vegetano, 
e  con  le  loro  radici  rendono  il  terreao  delT  argine 
piu  resistente  alle  corrosioni.  Per  altro  non  sono  piu 
che  nninienii,  e  mal  si  avviserebbe  chi  giudicasse 
che  potessero  resistere  all'  urto  diretto  della  corren- 
te. 

45.  Ma  ne'  fiumi  maggiori,  e  dove  Y  inclinazio- 
ne  laterale  dell'  alveo  per  liuiglii  tratti  fa  si  che  la 
corrente  percuota  le  ripe,  e  niinacci  piii  gravi  peri- 
coli,  debbono  aver  luogo  le  difese  dette  propriamen- 
te  respingenti,  che  si  conoscono  con  i  nomi  di  pi- 
gnoni,  speroni,  moli,  pennelli,  traverse.  Sebliene  que- 
sto  argomento  sia  ampio,  ne  io  rai  avvisi  qui  di  trat- 
tarne  in  tutta  la  sua  estensione,  tuttavolta  non  e  fuo- 
ri  deir  argomento  di  questa  ineinoria  lo  spiegare  il 
rapporto  clV  esso  ha  coll'  osservazione  delle  penden- 
ze  laterali .  Le  piii  pericolose  corrosioni  succedono 
sempre,  dove  la  sponda  si  estende  da  una  parte  nel- 
r  alveo,  e  dall'  opposta  parte  e  ripida,  con  fondo 
maggiore,  e  il  corso  pin  forte.  Quindi  il  provedimen- 
to  piii  diretto  dee  esser  quello  che  puo  diininnire  la 
profondita,  e  allontatiare  il  corso  determinandulo  a 
farsi  per  una  liuea  piii  lontana   dalla  sponda,  e  \€v- 


3ia  S    T    11    A    T    I    C    o 

so  il  mezzo  lUlla  larghezza  deiralveo.  Ora  il  corso 
deir  acqiia  in  mi  fiiune  si  pao  considerare  nella  di- 
rezione  dimostrata  dalla  sua  pianta,  e  nella  direzio- 
ne  pill  occulta,  e  noti  meno  ellicace  dipendente  dalla 
ligura  delle  sue  sezioui,  dalla  quale  nou  si  dee  giain- 
mai  jiresciudere.  Perciocclie  se  le  tortuosita  deli'  al- 
veo  dimostrate  dalla  pianta  non  sono  coinbinate  con 
la  molto  disuguale  iuclinazione  delle  sponde,  esse  so- 
gliono  essere  inuocue  e  indifl'erenti,  e  ogni  artifizio 
e  lavoro  per  toglierle,  e^  se  non ,  dannoso,  alineno 
vano  e  inutile  al  huon  sistema  del  fiume.  In  fatti 
non  po^souo  non  aver  o?servato  i  pratici,  die  vi  sono 
delle  svolte  e  storte  stabilite  e  peiinaiienri  ne'  fiuini, 
le  quali  ne  si  aumentano  ne  indiicono  pericoii:  come 
per  lo  couirario  che  vi  sono  dei  diizzagni,  ne'  quali 
si  hanno  minaccie  e  danui  di  corrosioni,  e  che  tut- 
to  dipende  dalla  disposizione  del  fondo  e  delle  spon- 
de. Per  la  qual  cosa  si  dee  compreiidere,  che  V  ef- 
fetto  degli  ostacoli  respingenti  non  dipende  soltanto 
dalla  direzione  della  corrente  nel  verso  della  luti- 
gliezza,  ma  principalmente  da  quello  stesso  compo- 
sto  col  moLo  nel  verso  della  larghezza,  per  cui  sono 
percossi  gli  argiiii  e  le  ripe  secondo  l' angolo  d'iuci- 
denza,  e  iusieme  cou  direzione  obbliqna  all'  orizzoii- 
te  verso  la  loro  hase.  Giovi  raflermare  questa  propo- 
sizioiie  osservando,  che  si  costruiscono  lalvolta  de' 
nioli,  o  pennelli  per  auimare  il  corso  di  un  fiuuie, 
per  uno  de'  due  rami,  ne' quali  si  divide  e  va  a  cir- 
condare  un'  isola,  e  che  ne  e  abbandouato:  oppure 
per  determinare  la  corrente  in  un  alveo  di  rettilica- 
zioae  escavato  di  nuovo,  onde  resii  abbandouato  quel- 


J)ELI.E    SPONDE    NEGLI   ALVEI    DE'    FIUMI       3i3 

lo  per  cui  da  prima  scorieva,  e  the  si  vuol  soppri- 
mere.  11  desiderato  efletto  in  amendiie  questi  casi  si 
ottiene  piu  o  ineno,  noii  gia  in  ragione  dflla  dire- 
zione  piii  o  ineno  coiiservata  della  liiiea  di  lunghez- 
za,  ma  esseiizialinente,  secondo  che  il  maggior  foiido 
del  tronco  c  dalla  ])atte  dell'  alveo  che  si  vuol  ani- 
mare,  oppure  dalT  opposta:  ferma  restando  sempre 
la  massima  di  hen  osservare  V  indole  del  suolo,  dal- 
la quale  dipende  ciie  la  direzione  del  corso  sehbene 
dipenda  dalla  foiza  sollecitante  della  gravita,  si  mo- 
difica  pero  dalle  varie  resistenze  del  suolo.  La  sab- 
bia,  la  ghiaja,  la  terra  sciolta  sono  superate  e  rimos- 
se  dal  corso  delle  acque,  e  per  c[neste  materie  essa 
si  la  strada:  I'argilla,  la  creta,il  terreno  tenace  del 
foiido  dflle  valli  non  si  snpera  dal  solo  corso,  e  ha- 
sta  Cjuesta  sola  dilferenza  di  suolo  a  rendere  vane  le 
operazioni  di  qualche  rettifilo. 

46.  Se  nel  caso  di  grande  disparita  di  pendenza 
delle  due  sponde,  fosse  possibile  di  riempiere  lo  spa- 
zio  del  maggior  fondo  in  niodo,  clie  da  questa  stes- 
sa  parte  si  vcnisse  a  formare  mia  sponda  inolto  ine- 
no ripida,  anzi  inclinata  a  modo  sicche  andasse  ad 
incontrare  il  letto  del  fiume  in  un  pnnto  della  lar- 
ghezza  notahilnienre  distance  dalla  ripa,  e  verso  il 
mezzo:  e  che  questo  riempimento  fosse  di  tale  mate- 
ria, sicche  la  corrente  non  valesse  a  distruggerlo  o  a 
sovvertirlo;  e  cerio  (he  si  otterrebbe  un  alveo  abba- 
stan/a  regolare,  e  che  le  sue  lipe  e  le  sue  arginatu- 
re  riuscircbbero  difese,  e  anche  iminuni  dalle  botte, 
e  dalle  pericolose  corrosioni.  Questo  riempimento  a- 
vrebbe  la  figura  di  un  solido  prismaiico    triangolare, 


3i4  Stratico 

un  angolo  tlcl  quale  occupcrel)l)e  il  maggior  fondo, 
una  facciata  dello  stesso  sarehbe  applicata  al  letto 
del  inline  dalla  sponda  verso  il  mezzo,  im'altra  fac- 
cia  sarebbe  applicata  alia  sponda,  e  la  terza  faccia 
fornierebbe  il  nuovo  fondo  del  fiume,  sul  quale  scor- 
rcrebbe  Tacqua  con  la  tendenza  verso  il  mezzo  del- 
la  lars>;liezza.  INIa  in  fiume  2;rande,  e  di  molto  fon- 
do,  un  tale  riempimento  continuato  per  la  lunghez- 
za  di  una  lunga  svolta  e  corrosione,  e  opera  da  im- 
maginarsi  piuttosto  clie  da  proporsi  per  eseguirla, 
non  essendo  le  forze  de'  paesi  bastanti  a  lavori  di  si 
grande  importanza.  Quindi  e  derivato  lo  studio  per 
iscoprire,  o  tentare  almeno,  se  dividendo  la  massa 
totale  del  solido  di  riempimento  in  varie  paiti,  distan- 
ti  tra  di  loro  a  certi  intervalli^  si  possa  ottenere  dal- 
la posizione  successiva  delle  stesse;,  die  la  corrente 
si  porti  pill  lontana  dalla  sponda,  e  quindi  si  pro- 
curi  una  piu  efficace  difesa  dalle  corrosioni.  General- 
mente  parlando,  e  questo  il  fine  per  cui  si  costruis- 
cono  i  moli,  i  pennelli,  i  pignoni,  1'  efTetto  de'  qua- 
li  dee  risultare  tanto  dalla  deviazione  del  corso  nel 
solo  verso  della  lunghezza  dell'  alveo,  quanto  dalla 
deviazione  nel  verso  della  larghezza,  trasportaudolo 
dalla  vicinanza  della  sponda  verso  il  mezzo  dell'  al- 
veo. Conviene  percio  considerare  la  figura,  e  le  di- 
mensioni  di  tali  parti  del  riempimento,  T  intervallo 
dair  una  all'altra,  1' angolo  al  quale  debbono  dispor- 
si  con  la  sponda,  e  il  materiale  per  costruirle.  Non 
e  gia  che  il  fiume  talvolta  non  abbandoni  di  per  se 
cjualche  dannosa  tendenza,  particolarmente  dove  I'al- 
vpo  e  moltp  largo,  dove  nelle  piene  si   forniano   d© 


BELLE  SPONDE  NEGLI  ALVEI  VL     FIUMI   3l5 

filoni  secondarj,  e  si  trasporta  per  avventura  della 
materia  in  situazioni  utili,  senza  clie  vi  contribuisca- 
110  piinto  le  operazioni  fatte  dagli  uomini;  ma  sopra 
qaeste  casualita  fortunate,  non  si  dee  prudentemente 
operaiido,  fondare  veruna  lusiiiga. 

47.  La  figura  di  tali  parti  del  riernpimento  poc'an- 
zi  coiisiderato  e  quella  di  un  solido  cuiieif'orme  ,  il  cui 
asse  di  lunghezza  e  ad  angoli  retti  con  la  direzione 
della  riva,  o  della  sponda.  Le  sue  facciate  laterali  so- 
no  a  Scarpa,  con  base  quanto  si  puo,  maggiore  dell'al- 
tezza.  Quella  facciata  laterale  cbe  e  opposta  alia  cor- 
rente  comprende  con  la  sua  linea  di  direzione  un  an- 
golo  retto  con  la  direzione  della  sponda:  I'akra  facciata 
laterale  comprende  con  la  sponda  un  angolo  ottuso. 
L'altezza  del  solido  alia  riva  e  di  una  misura  media  tra 
I'altezza  delTiicqua  ordinaria  del  fiume,  e  Taltezza  del- 
le  sue  piene.  Questa  altezza  va  decrescendo,  per  I'in- 
clinazione  della  facciata  superiore  dalla  sponda  verso 
il  mezzo  dell'alveo.  La  figura  del  solido  si  va  stringen- 
do  dalla  sponda  verso  il  mezzo,  attesa  la  direzione 
che  si  indico  delle  due  facciate  laterali.  Essendo  ogni 
fiume  piu  lungo  tempo  in  istato  di  acqua  ordinaria 
o  di  magra,  cbe  in  istato  di  piena,  V  elfetto  di  tale 
ostacolo  sara  contiinio,  per  deternnnare  il  corso  verso 
un  punto  piu  distante  dalla  ripa  .  Con  tale  disposi- 
zione  di  ripari  si  moderano,  se  non  si  scbivano  del 
tutto  due  gravi  inconvenienti,  che  s'incontrano  nella 
costruzione  de'  })ennelli  tenuti  ad  eguale  altezza  in 
tutta  la  loro  lunghezza,  e  con  le  facciate  verticali. 
Uno  di  questi  inconvenienti  e  quello  de'  moti  vorti- 
[cosi  che  prende  1' acqua,  superata  che  abbia  I'estre- 


3l6  S    T    R    A    T    I    C    0 

mita  de'  pennelli,  nello  spazio  che  e  ad  essi  imme- 
diatainente  inferiore  :    T  altro  e   qiiello   della    caduta 
deir  acijua  dall' altezza  del  peiuiello,  quaiido  la  ple- 
na lo  supera.  11  primo  di  questi    inconveiiienti  e   dl- 
uiinuito  ,    perclie    1'  acqua  non  si  volge  con    tutta  la 
sua  massa  sostenuta  dal  pennello  soltanto  all'estremi- 
ta  del   rnedesimo,    ma  da  ogiii  panto   della  sua    lun- 
ghezza  e  quindi  da  aitezze  diverse,    e  a   diverse  di- 
stanze  dalla  ripa,    ne  puo  unire  le  sue  forze  a    fbr- 
niare  il  vortice,  come  succede,   qnando   superato  un 
ostacolo  verticale  discende  da  tutta  la  sua  altezza,  e 
si  volge  verso  lo  spazio  inferiore  al    pignone  .    U    se- 
condo  inconveniente  e  in  gran  parte  diuiinnito  dalla 
Scarpa  laterale  del  pignone  opposta  al  corso,  la  qua- 
le nou  solamente  scema    1'  elTeito  nocivo   della  cadu- 
ta, ma  per  la  sua  posizione  relativanieute  alia    I'ipa, 
volge  il  corso    non  verso  la  stessa    ripa  ,    ma  verso  il 
mezzo  deir  alveo,  combinandosi  con  quella  direzione 
che  r  acqua  puo  prenderc   disceudendo   dalla    l\iccia 
iuclinata  superiore  del  pignone. 

48.  la  lunghezza  da  darsi  al  solido  cunei forme, 
e  la  distauza  dall'  uno  all'  altro  nella  linea  della  ri- 
pa, hauno  tra  di  loro  nno  stretto  ri[)porto.  Siccome 
lino  solo  di  questi  ostacoli  non  [)u6  provvedere  ad  un 
tratto  assai  linigo,  cosi  h  necessario  combinare  I'azio- 
ne  successiva  di  parecchi  simili  ostacoli ,  osservando 
qual  tlletto  prodnca  la  lunghezza  a  tiascuno  di  es- 
si attribuita  ])er  accrescerla  poi  secoudo  che  risiilta 
dair  osservazione.  Per  gV  iutervalli  tra  questi  ostacoli, 
conviene  dipendere  tlall' o^^servazione  dell'  andamento 
della  corrosione.  Perciocche  o  questa  segue  a  un  di- 


DELLE    SPONDE    NEGLl    AI.VEI    DI,'    FlUMI        SlJ 

presso  la  linea  della  ripa,  producendo  bonsl  un  frol- 
do,  ma  senza  notabile  insciiatura,  oppure  al  contra- 
rio  s'  interna  nella  rii)a,  e  vi  produce  qualche  Inna- 
ta.  Nel  prinio  caso  i  pignoni  potranno  essere  a  distan- 
ze  maggiori:  nel  secondo  dovranno  essere  piii  vicini. 
E  la  misiira  poi  di  tali  distanze  si  dee  desurnere  dal- 
le particolari  circostanze  particolarniente  delle  pro- 
fondita,  le  cpiali  si  dovranno  superare  dalla  lunghez- 
za  de'  plgnoni. 

49.  11  primo  pigtione  e  da  costrulrsi  al  principio 
della  corrosione;  e  qnesto  si  deterniina  con  lo  scan- 
daglio,  il  quale  addita  il  fondo  maggiore.  La  larghez- 
za  e  la  massa  di  questi  pignoni  dee  essere  tale,  on- 
de  resistere  aH'urto  dell' acqua,  sicche  ne  la  rovesci, 
ne  la  disciolga .  I  pignoni  di  sasso  sono  da  prefcrirsi, 
dove  la  difesa  sia  di  grande  momento,  o  dove  il  sasso 
non  porti  ad  un  grave  dispendio.  ]\la  questa  secon- 
da  coi.dizione  e  cosi  rara,  die  la  composizione  de' 
pignoiii  si  suol  fare  di  buzzoni,  o  fascinoni,  disposti 
a  strati  ed  assicurati  con  pali  fitti  nel  fondo  per  gl'  in- 
feriori,  e  in  questi  per  i  soprapposti,  ripieni  di  creta, 
e  qualche  qnantita  di  sasso,  legati  fortemente  all'in- 
torno:  e  coperti  di  sasso,  particolarniente  alia  loro 
estremita,  dove  per  la  figura  cnneiforme  riescono  piii 
estenuati .  Ma  il  quanto  di  tuite  queste  niisure  e 
sempre  oggetto  dclle  particolari  circostanze,  dalle  qua- 
li  risulta  la  piii  giusta  estimativa.  II  mio  divisanien- 
to  e  di  mostrare,  come  a  combinare  i  moti  dipenden- 
ti  dair  inclinazione  laterale  delle  sponde,  col  moto 
delle  acqiie  di  un  liume  nel  verso  della  sua  lunghez- 
za,  la   figura    descritta    e  la    costruzione    de'    pignoni 

T.  il.   p.  II.  40 


3ia  s  T 


U    A    T    I    C    O 


indicata  sia   per  riiiscire  utile  ed  cfTicace  ad  arresta- 
re  il  pro2;resso  delle  corrosloni . 

5o.  Dopo  cio  non  e  da  tacersi  il  sentiinento  di 
Barartitri ,  il  <piale  ancorche  non  condanni  alYdtto 
r  uso  de'  pennelli  e  do'  pignoni,  non  e  pero  incli- 
nato  ad  attribuir  loro  inolta  efficacia.  Dopo  aver  E- 
gli  addotto  varj  esempj  di  simili  opere  fatte  snl  Po, 
e  snir  Adda,  le  quali  non  riuscirono  uiili,  conchin- 
de  che  il  mile  cagionato  dalle  corrosioni  de'  fiuini 
sia  imniedicabile;  e  che  dove  si  mostra  che  i  pen- 
iielli  hanno  fatto  conseguire  I'effetto  desiderate,  con- 
viene  sapere,  che  quel  sito  fu  piuttosto  abl^an  lonato 
per  gli  efletti  della  stessa  acqua^  che  perche  lo  al)hia- 
no  forzato  le  armature  delle  sponde.  Anche  Gnglielini- 
ni  in  qualche  occasioni  paleso  la  sua  ripugnanza  a  *i 
fatte  difese.  Quando  Egli  fu  consultato  per  alloutanare 
i  pericoli  minacciati  dal  Po  alia  Citta  di  Piacenza, 
pronnncio  nella  sua  Scrittura  del  1697  cosi:  „  nel  case 
iiostro  nel  quale  a  mio  giudizio  e  possibile  col  toglie- 
re  la  cagioue,  di  esimersi  dai  mali  edetti  della  cor- 
rosione,  non  sarei  mai  autore  che  si  mettessero  pen- 
nelli  di  sorte  alcuna,  che  poi  fmalmente  sono  tutti 
rimedj  provvisionah ;  ma  beusl  che  si  applicasse  all'e- 
scavazione  di  im  taglio  ,  il  quale  quand'  anche  riu- 
scissc  piu  dispendioso  de'  penuelli,  o  d' altri  lavori, 
il  che  non  credo,  porta  tuttavolta  il  vantaggio  di  a- 
ver  rimediato  per  sempre.  „  Se  non  che  si  puo  os- 
servare  esservi  molta  dilVerenza  tra  la  costruzione  de' 
moli,  o  peunelli  diretti  a  respingere  e  forzarc  la  di- 
rezione  del  corso  dell'acqua,  e  la  costruzione  delle 
descritte  masse  cuneiformi  ordinata  a  condurre  il  cor- 


DELLE    SPONDE   NEGLI    ALVEI     De'    FIUMI       Sig 

80  senza  violenza  verso  il  mezzo  dell'  alveo.  Vediamo 
coir  espericDza,  che  i  trouclii  d'  alberi  forniti  de'  lo- 
ro  rami  e  destramente  immersi  ne'  maggiori  fondi  vi- 
cini  alle  ripe  corrose,  arrestano  i  dannosi  effetti,  fa- 
voriscono  le  deposizioni  delle  torbide,  e  sanano  tal- 
volta  delle  corrosioni  che  sembravaiio  minacciose.  Ser- 
vono  con  pari  utilita  i  cavalletti  fonnati  con  legname 
a  guisa  di  due  piramidi  triangolari  conjugate  al  loro 
Venice,  i  cpiali  o  y)er  il  proprio  peso  specifico  mag- 
giore  di  quello  delTacqua,  come  se  sono  fatti  di  ro. 
\ere,  o  per  il  peso  aggiunto  di  sassi,  si  affondano,  e 
per  la  loro  figura,  iu  cjualunque  posizione  si  trovino 
hanno  moka  stabilita .  Questi  artifizj  ,  come  anche 
quelli  di  riempire  i  fondi  alia  base  delle  arginature 
in  froldo,  con  sassi,  o  con  altri  materiali  pesanti,  so- 
no mezzi  spediti,  e  si  adoperauo  con  frutto ,  per  co- 
minciare  quel  riparo  che  portato  a  maggiori  misure 
si  accosta  a  restituire  alle  sezioni  dell'  alveo  quella 
rcgolarita  di  figura,  dalla  quale  dipende  la  maggiore 
dif'esa  dalle  corrosioni.  Nella  difficile  arte  del  gover- 
no  de'  fiumi  maggiori,  si  puo  bensi  non  avere  pep 
dimostrare,  in  senso  geometrico,  alcune  delle  opera- 
zioni,  che  si  propongono  e  si  eseguiscono,  sicche  si 
possa  rispondere  del  la  certezza  dclT  esito,  ma  non  e 
poi  da  ridursi  la  cosa  a  tale,  che  si  dehbano  aspetta- 
re  dair  eventualita  gU  effetti  che  si  desiderano.  Noii 
e  sempre  sicuro  1'  elletto  de'  pignoni,  uon  e  sempre 
possibde,  o  utile  il  riiiro  degli  argini,  non  e  assai 
volte  prudente  1'  attendere,  che  la  corrosione  la  qua- 
le covniucia,  giunga  al  suo  limite  per  reudersi  inno- 
cua,  non  e  sempre  certa  la  riuscita  delle  nuove  iual- 


320  Stratico 


luili  osservazioiii.  Fungar  vice  cotis 


veazioni  col  taglio  delle  svolte  in  corrosione. 

5i.   I    pigiioni    cuneiforini,   de'   quali  si  e  detto  ,  | 

non  sono  gia    uii  ariilizio    nuovo.   Si   sono    adoperati,  : 

e  si  adoperano  con  profitto  particolarmente  in  alcuni  j 

trard  del  corso  del  Po,  nel  JVIantovano.  11  loro  buoa  ' 

effetto  appoggia  cio  die  si  e  esposto  intorno  alle  pen-  i 

denze  laterali    degli  alvei    dei  fiuini,    argomento  die 
per  la  complicazione  de'   suoi  elementi   non  ammette  ^ 

come  nessun  altro  di  quelli  die  appartengono  al  go-  j 

verno  de'  fiumi  un  rigoroso,  e  insieme  utile  ragiona-  ^ 

mento  mateniatico,  e  die  non  pertanto  puo  sominini-  ? 

strare  agli  uomini  d' arte  Toccasione  d' istitiiire  delle 


i 


.\  I 


Pag.  320.         Tav.  I. 


Le  pertiche  sonoVenete  di  sei  piedi  Tuna;  i  piedi  di  once  dodici. 


■'■0 


all  lie'  tronchi  A  ,  B  ,  e    liraccui  iiel    troii 
fitu  con  uii  punto  dalla  seconda  che  si;^ni- 
andasti  iono  datinti    unu    dull'  altro    con 


\e  dalla  lijia  ileslrn  verso  it  inagi^ior  Jon-  Profonditu  progressive  dalla  ripa  sinistra  verso  il  maggior  fon- 
distanze  eguait  nclla  linea  della  sezione  .  do  ,  scandagtiate  a  distunze  eguali  iiella  linea  della  sezione . 
til  e  espressa  con  due  ci/re    nunieriche  ;    la      Ciascuna  profonditii,   e   espressa    con   dm   ci/re  numeriche :  la  __ 

prima  signijica  piedi   iie'  tronchi  A  ,  B,  e   iraccia    nel    tron-Ji^ 
CO  C  ,    ed  e  disgiunta  con  un   punto    dalla  ci/ra   seconda    che 
signijica  once  .    Gli  scandagU    sono  distinti  una    daW  altro 
con  una  vir"ola  . 


4i9.7.'<'.9i".<'.".8,iJ.o,i5.4,i3.9,i4.4,i6.i, 


i,9,i9.o,8,s,6,ii,ii.8,ii.4,aa.io,ij.a 


5.3,0.2,ii.o,3.i,5.6,4.o,4.<),5.3>5-<'.7'^.*-o.9.8.     j    8.5,J4.^,3».u 
y.4.30-*.3»-o.3»-" 


».<i,j.9,3.i,3.lI,4.S,5.9,6.8,is.»,iy.6,a3.6,i^.o,     14. 3,17. if,  39.1 1,30.0,30.0 


.n,i. 1, 1. 4, 1. 5, 3. 3,5. 8, 19. 6,13. 7, 14. 5, as. 3, 27. 3,         i3.6,35.6,a8.o,a8.o 


4.4,17.10,19. 0,30 .0,30.0, ao.  9, ao.fi.aa.C 


4.G,7.io,io.o,n.a,i3.ci,i3.3,i3.io,i4.3,i4.7,i5.9,i6.4,i7.4,i9.6,ao.o, 
3o.a,ao.O  33.6 


^7..^.  Le  pertiche  sono  Venete  di  piedi  sei  I'una:  il  piede  e  d'once  12. 


Pi«     .1  t  lull  Jl   IIRI 


1. 0,1. 4, 1. 10, 1. 4, 1. 7. a. 1.3.4, a. 1 0,3.6,1.10,4. a, 
'4.6.'5.3.'7-7,i9.0i'9.6,30.o,ai.6 


19.6,21.6,20.1,19.6,31^6 


«vv%MA^^A^^Ar%«M^%t^ 


>^-'%%%^-%%;^^^^,^^^^, 


Pag.  320.         Taij.  1. 


f  "      "iiiento  del  Basso  Po,  lungu  secondo  la  ii[>a  desira  pertiche  3o2:  secoiido  la  ripa  sinistra  pertiche  282.  Le  pertiche  sonoVeneie  di  sei  piedi  I'una;  i  piedi  di  once  dodici.      % 


M 

0    dine  discen-\  tie  a  fior  d' acaua  or- 

f 

0.     ihttte  d'maria 


^faggior   fondo  delh 
sezione 


''■"•'■--■'  -I'l  "■nes.or  D,,,„,„  j^.^< 


del  maggior  l)iilan2a  delta  sezio- 
ne  sii>sfgiiente  dalla 
prccedente  presa  lun- 
go  la  rij>a  deiira 


Distaiza    della  sez'to-  Atigolo  d'  inclinazione  Angola  d'  incliiii'zione 
ne   siissegucnte  dalla 


preccdtntf presa  tan- 
go la  npu  iiriisira 


all'    orizzonte    della 
sponda  destra 


all'    orizzonte    della 
sponda  sinistra 


2.19  4.4 


Peniclie  ii^     Pertiche  i  ^.o 


t-t 


26"  .  34' 


rjo  it  maggior  Jon-  Profondita  progressive  dalla  ripa  sinistra  verso  il  maggior  fon~j 


I  rofonaitti  pro^re  i  iia  ripa  dcsi.-,   vn.ju  >i,   .,„,^^iir,    ^i.rj,-*  ...^u.nnn.  ^.i.^.tjjiuo   uuim   tijii*  immra  verso  ii  rnageior  ton~^ 

dii  SLU'tdagtiiite  a  dutunze  egualt  netta  tmea    delta    sezione  .      do  ,  scandagliate  a  dislanze  eguali  nella  Itnea  della   sezione .% 
Ciascuna  profondita  e  espresso  con  due  ci/re    numeriche  ;    tit      Ciascuna  profondtt^   «   espressa    con    due   cifre  numeriche  ■  la9 


prima  sisnijica  piedi  ne'  tronclii  A  ,  B  ,  e  braccia  net  tron 
CO  Gi  ed  i:  disgiunta  con  un  punto  dalla  secoiida  eke  signi 
pea  once  .  GU  seandagli  iono  distinti  una  dull'  altro  con 
una  virgola 


Ciascuna  profondttd.   e   espressa    con    doe  

prima  signijica  piedi  ne'  tronc/ti  A.  ,  B,  e  Iraccia  net  tron-J^ 
CO  C  ,  ed  e  disgiunta  con  un  punto  dalla  cijra  seconda  che^ 
lignifica  once.  Gli  scandagU  sono  distinti  una  da W  altro ^ 
con  una  virgola  ,  5 


i.io,5,8/i.3,C,9,5.4.S.*,9.7,icj.9,ii.o,ii.B,i3,o,ij.(,,i3.9,i4,4,i6.i, 
i7.3,ia.iiao.n,»i.Oj»*«ti|>3.a 


i.io,».o,».a,>.4.'J'='*S-J'fi->.Ii.o,j.t,j.0.4.o,4.li,5.3,S.8i7->,'-o.9.* 
I4.0,i6.a.i8.0,as.-i.i9.4,jo.6,ja.o,3a.ii 


. I),  19,0,8.5,6, 11,1 1. 8, a  1. 4, a  a.  10,  a  j.i 


l\  33 


P'.  3i 


P«.  Sii 


.    32' 


14".  3' 


37.7.39.000-0.50.1 


I.J.(l,l,9,J.l,J.ll,^.5,5.^,,(i,8,l5.l,l•^.(.,Ji,Cl,J^.o,     1^.3,17.(1,39.11 


2".  33' 


.7°.  .5' 


3V  21'  2".  So' 


37.0,37,10,33.1 


i,&,i,S,J,J,S-8,iy-*i,'*,7.34,5,"S.J,37,j, 


.,1.0,3.9,6.0,10.8,14.4,17.10,15.  0,30, 0,30, 0,30,  9, 30, ''■,33. 6 


4.6. 7. 10, 10. 0,1 1.0, 13.0,1 3. .3, 1  J.  10, M  3, 14. 7,  IS. 9. 16. 4, 17. 4, '9-6, 30.0 


i    '  ^'  ""^   *  Uipartimento  del  Basso  Po,  lungo  secoiiilo  la  ripa  destra  pt-riii  lie  4.36:  secoiidu    la  ripa  sinistra   p<Tiiche  4-4.  Le  pertiche  sono  Vencte  di  piedi  sei  I'una:  il  piede  e  d'once   13. 


;    1 


?   II 


III 


^     IV 


J      V 

r 


Peniclie  173 


P^ 


P".  75 


P'.  99 


P«.   169 


Piedi  21.6 


P:  3 1 


P'.  26  .  9 


Pi.  26  .  7 


R   i5  .  7 


Pertiche  i63  |  Pertiche  10 


P^ 


107 


P^  1 5 


Pertiche  85 


Pertiche  80 


P-.   48 


P».  83 


P».   142 


P".  2.-1 


P'.  16 


P'.  65 


P«.  68 


P'.   no 


P".    Ilz 


P'.  21 


P'.   175 


P".  204 


in"  .    18' 


o. 5,0. 3,0. 3,0.3,0. 4,0. S  ,1.0, 1. 4, 1.10, 1.4, 1. 7, 3. 1.3. 4, 3. 1^,3.6, 3. 10, 4. 3 
.^.0,5.7,7,11,10  0,13.0,14.6,15.3,17.7,19.0,19,6,30.0,31.6 


19.6,31.6,30.1,19,6,31.6 


44 


5" .  9' 


o.a.o.i>,i.i,i.4,i.ii.a.o.*.6,j.3,j.9,s.7.n.9.i5-'Jti9-6.:»i.8.a3.1.aj.6, 
a5-^i»5.'i>a7-3iay-V.3'-7 


■     .   24' 


,,S''.7' 


g"  .   26' 


0.io,i.c.ia.S.ai.i.iS,0,aH.j,i4.5,a5.4,a0.o,i6.6,a6.i* 


6.ic,8,5,io.i,.ii..i,i3.7,i6,o,i6,7,iS.4,iH.io,iy.9,ao.7,ao.4,ai,: 


i.+,3.o,4.o,5.i,5.7,6.+,6.4,6.7,9.o,9,7,ii.i,U.4)'a.'Oi'i'4."3'''.'3-7: 

13.7,13-11,1.1-5."*  7 -U.T. '4-7. is. 3-'3.».' 5-7 


i.o,a6.4,a5,ti,a6.a  if-.i) 


i 

1 

■I 


^fC)  Troiico  di  Po  a  Pole 

0 

e  Crote  nel  Dipa 

t".  del  Mincio,  hingo  secoudo  la  ripa  (!<■ 

-tra  pertiche  5 

i-:  secondo  la  ripa  sinistra  pertiche  407.  Le  pertiche  sono  ^Alantovane  d 

braccia  6  I'una;  il  braccio  e  di 

once  12.    ; 

;    I 

0- — . 

Braccia  578 

B'.  35  .  0 

B» 

446 

W.    l32 

^"  .    28' 

14° 

.  5o' 

B».    a.a.■o.:l.■..3.8.a,0.a,(,.a,4.a.<^.a.(,,a,C..3,d.a,6.J.0.i..Q.,.4■4.4.a. 
3. iiS-fiiS. 10,6.4,6. 8,7, 6,7 .8,8. 6,8. a, |>.6, 10.4,13. 10, 13.0. 16. o,i«.t.,a2.o 
37.0, j», 0.35.0 

i,6,l,6,a.[i,a.8,3,6,s.6,6.g.U,0,8.6,y.6,ic.(j,ia.o,i7,u 

3>.o,3J.o>35-o       * 

B».  407 

B».  27  .  0 

B^ 

359 

B".  i38 

Pertiche  -(> 

Pert  idle  54 

11".  4' 

4    .    1 0 

a.a,3.ii  .a. S,a.4,3.8,3.3,3.6,3.6.^.4,4,5,S,B,6.6,8.o,Jo.6, .3.6,14,0,14.          5.0,a.o,ic.o,ia.t„i7.c,ao.6,33.(.,3S.f  .35.(..a5.&.a7.o                                     ^ 
0, 17, c,  19.0, 15. 6, 30.0,33. 0,a>. 6,35.0,36.0,37 .0,a7.o                                           1                                                                                                                                                         t 

\   - 

B».  478 

B-.  17.0 

B". 

345 

B».  i33 

P^  76 

P».  62 

7°.    -7' 

2'^ 

49' 

I. a, I, c, a. 8, 3. a, s. 7, 7. 0,7. 6,8,9 ,9.0, 1  a.o, 13.0, 13.0,1). 6, 14.0,1, 1.6, i5.t., 
1 3.0, 15. 6, 15.0, 17, 0,17,0, 17.0,17, 0,16. 6, 16. 6, 16. 6, 16. 1,17.6,17.6 

3. i..3.«, 17.0. 16.0. it..o,i6.t„it-.6. 17.0, 17.0, >7-<.                                             , 

I      IV 

C".  5.3o 

B".  24  .  0 

B>. 

418 

B=.  112 

P".  78 

W  62 

13"  ,  38' 

3". 

6' 

3.6,6,o,0.j,7.o,7.3i7.s.8.io,g.3.9.y.io.o,io.4,io,C,ii.o,ii.H,ia.o,ii. 
O.ii,0,ia,o,ia.o,i3.o,i3,o,i3,o,ii.'»,i3.6,i3.<i,i3.6,i4,o,i4.6.i5.0,i5. 
0,1 6.0,17.0,1 8.0, 19. 0,i  J. 0,34.0 

6. 1, 6. a, i. 8,  j. <i, 3. 6, 3. 8, 4.0, 4, ».4. a, 5.6, 6. 9,9. 0,1 1.6,14 

6,19.0,34.0       ; 

;     V 

B«.  589 

B'.  20  .  0 

B^ 

484 

B^  io5 

P'.  79 

l\   48 

10".  49' 

a"  . 

22' 

a.C,,s.(;.6.ft.6.4,7.o,7.1,7.6,7.9.5.0.8.6,8.6.8.9,9.o.9.6..j.C.9,6,io.6.io, 
6,10.4,10.6,10.10,10,10,11.0,11.^,13. 0,13. 6, 13, 0,1 3.0, 1.1.3,13.6,15.0, 
16.C, i7.e.,  17.6,1 8. o,il.o,  I V. 0,1 9. 0,1 5.0,30, 0,10.0 

1.3,5.9,9.6,10.0,18.6,17.9,18.6,10.0 

;    VI 

B'.  5g2 

B'.  18  .  0 

B«. 

400 

B».  102 

P'.  24 

P'.  26 

10".  0' 

2*^  . 

35' 

1.6,4.6,5  6, 5.8,6.5,4.5.8.7,7.0,7.0,8.0,8.0,(1.0,8.0,7.0, 9. 3, .^.3,9.8.8. to, 
io.o,io.4,ii.o,ii.6,ia,D,i3.o,i3.o,i3,o,i4.o,i4,o,is.6,r6.6,i7,o,i7.6, 
iS.o 

9.0,9.4,10.4.13.0,13.0,13.0,1.1,6,18.0 

J     Vll 

B».  569 

B'.  28  .  0 

B". 

520 

B^  49 

P'.  54 

P'.  31! 

29"  .  40' 

3". 

5' 

4.6,4.fi.S.o,5.c,s.o,S.4.5.4,S-6.&.o.6.4,6.4,7.o,7.3.T..l,7.''.«o,7,6,8,o, 
7.6,8.y,a,3,B.0.9,o,9.fi,y.8,io.o,io.<.,ii.o.u.6,.a.6,ia.(,,i3,6,i,.o, 
r4,o,i4,o,i5.6,i6.c,l£'.o,i3.«,i7,6, 13.0,30.0.30-0,3  1. 6. i7,C,a8. 6 

i.o.i.a,s.o,6.o,34.6,j8.6 

-    VIIl 

B\  471 

B^  28 . 0 

B". 

419 

B^  52 

W  -0 

P».  57 

28°  .   17' 

3". 

+  1' 

1. 0,6. 9,6. 9, 7.0,7. 4,?.*. 7. 3,7. 3, 7, 6,7, 6. 7. '0.8  4.8-*. 8. 1,9.0,9 ,0,10. 6,9. 
9.11.0,1  I.o,ia,o,i3.«-i3.6,i4,o,i3.6,i6.6,i7.o,i8.o,i8,fc.3i.o,ai.4.a*. 
0,33,6,33.0,34,0,38,0 

7.'), 7.3  3.3.7,6,3,0,16.0,38.0 

j      IX 

B".  26  .  6 

B' 

302 
k  k.  k  k  w  k'k.  ^  k 

B».  35 

P«.  78 

P".  78 

36"  .  36' 

:>    . 

20' 

5.6,8.9,8.6,8.6  7.0,9.'. 10. 6,1 1.0,13.6,13.0,13.0,13.0, 14.0.15.0,16.6 
17,0, 18, c,ig. 6, ig.6,ai.6,as. 6. 35.6,35.6,36.0 

4.3-'3-6.»4  o.3S.«,»S.6,>C-0 

321 


SUPPLE MENTO 


Mle  osservazloni  sopra  la  teoria  del  la   'esiscenza 
de'  Fluidi  del  sig.  Ciorgio  Juan. 

Di    Giuseppe    Avanzini 

ricevuto  il  (U  i5  d'Agosto,   1810 


I 


83.  XL/lla  e  opinlone  di  non  poclii  ragguardevo- 
li  Fisici  e  Matematici  che  la  Teoiia  della  resisten- 
za,  e  percussione  de'  fluidi  immaginata  dal  Slg.  Gior- 
gio Juan  sia  meritevole  di  molta  cotisideiazioae  tan- 
to  per  le  sperienze  alle  quali  venne  da  esso  appog- 
giaca,  quanto  pei  nuovi  elementi  che  v'introdusse.  Non 
si  reputera  qnindi  inutile  che  alle  precedenti  (a)  io 
aggiunga  poche  altre  osservazloni  valevoli,  s'io  non 
m'inganno,  a  liberare  da  qualsivoglia  dubbio  e  diili- 
coltk  quanto  io  scrissi  contro  le  une   e  gli   altri. 

Delle   sperienze 

84.  Le  sperienze  consistono,  come  si  disse  al- 
trove,    in  quelle    dei  Piani  esposti    all'  nrto   d'  acque 

(a)  Istituto  Nazionale.  Tom.  II ;  parte  I  e  II. 


322  A  V  A  N  Z  I  N  I 

correnti,  della  Riiota  di  Smeaton,    dei  Cervi  volan- 
ti^  e  delle  JNavi  mosse  dal  vento. 

Sperienze    del   Pianl  e  della  Buota 

85.  Sia  iin  piano  rettangolare  imrnerso  vertical- 
mente,  ma  solo  in  parte,  e  nel  senso  dei  due  lati 
loiigitiulinali,  in  una  correiue  d' acqua  orizzontale, 
e  di  egiiale  e  costaute  velocita  dalla  superficie  verso 
il  fondo,  a  la  porzione  sommersa  dei  lati  medesimi, 
ossia  la  distanza  del  lato  inferiore  trasversale  dal  li- 
vello  deir  acqua,  b  il  lato  trasversale,  m  la  gravita 
specifica  dell'  acqua  .  Le  sperienze  dei  piani  e  della 
ruota  vuolsi  che  provino:  die  1'  urto  esercitato  dalla 
corrente  contro  il  piano  debba  esprimersi,  come  vuo- 

le  Juan,  con  la  formola  --  mbau\/ a  (a),  e  non  gia 

con  la  111  b  a  u*  comunemente  adottata ,  per  la  ragio- 
ne  che  gli  urti  sostenuti  cosi  dai  piani  come  dalle 
pale  della  ruota  sono  quanto  basta  conformi  agli  urti 
che  ncgli  stessi  casi   ne  porgerebbe  la  formula 

J  m  b  a  u  \/  a  e  troppo  discordi  da  quelli  della  for- 
mula m  b  a  11^. 

In  fatti  da  tali  sperienze  si  raccoglie 
1.°   che   im   piano   rettangolare    di  lunghezza   qua- 
drupla    della    larghezza ,   esposto   perpendicolarmente 
air  azione   d'  una   corrente   d'  acqua    prima    col   lato 


(aj  E\aineii  Maritime .  Toai.  I.  §  C-H 


SECUn  0  DELl'eSAME  nEI,L\  TEOIIIA  DI  JUAN    323 

maggiore  verticale,  pol  col  minore  sostenne  degli  ur- 
ti  in  ragione    di    2:    i   (a),  come    appunto  si    ottieue 

dalla  formula  ~  m  b  a  a  \/  a  ^  quando  per  la  formula 

m  h  a  u     la  delta   ragione  sarebbe   =^  i  :  i ,   cioe  del 
doppio  maggiore  della  vera. 

2."  che  un  piano  della  forma  di  nn  parallelogrammo 
rettangolo,  laigo  un  piede,  e  immerso  dun  piede  giu- 
sto  in  una  corrente  die  percorreva  due  piedi  al  secon- 
do,  incontro  un  urto  equivalence  a  25  ^  /(  fbj',  il  qua- 
le per  la  formula  -  m  b  a  u  \/  a   esser   dovrebbe    di 

6 

zOif;  e  per  la  mbau^  d'l   3  5?  e  14  once  solamente. 

3.°  che    il    medesimo   piano   immerso    due    piedi  in 

altra  corrente   die  percorreva   *  di   piede  al   secondo 

soflerse  un  urto  di  26  i  ^   (cj;  e    questo  pure   per  la 

formula  j  m  b  a  11  \/~7t  dovrebbe  essere  di  39  4 ,  e  per 

la  m  b  a  u    d'l   3  1  ^. 

4.*'  finalmente  che  la  velocita  permanente  della 
ruota  si  trovo  poco  minore,  e  qualche  volta  anclie 
eguale  della  velocita  della  corrente  (dj,  e  tale  alTin- 
circa  e  appunto  quclla  che  si  rinviene  calcolando  Tur- 

to  deir  acqua  nelle  pale  colla  formula  -  m  6a  m  v/ti» 


(n)  Ibidem.  Prefazione  ;  pa'j;.   lii. 

(b)  Ibidem  .  §  6+4;  pag.  266. 

(c)  Ibidem  .  §  644;  pag.  266. 

(d)  Appeadic*  seconda ;  pag.  395- 


324  A  V  A  N  Z  I  N  I 

quando  per  la  m  b  a  ii  la  detta  velocita  esser  do- 
vrebbe  all'  incirca  un  terzo  della  velocita  della  cor- 
rerite. 

86.  Osservazione  I.'  L'esperienze  dei  Pianl  e  del- 
la Ruota  se  pure  concordassero  con  la  formula 

J  m  b  a  u  \/  a  quanto  discordano  con  la  formula 

mbau^,  non  potrebbero  decidere  ne  in  favore  di  quel- 
la   ne  contro  questa. 

II  Juan  in  ciascuna  delle  correnti  clie  serviro- 
no  alle  sopraccennate  sperienze,  suppose,  come  do- 
vea  (§  83)  la  velocita  egnale  in  tiitti  gli  strati,  di- 
niodoche  per  la  velocita,  die  egli  cbiamo  della  Cor^ 
rente,  non  devesi  intendere  se  non  la  velocita  dei  lo- 
re strati    superficiali. 

Pongasi  ora  che,  in  luogo  di  essere  in  tutti  egua- 
le,  crescesse  dalla  superficie  verso  il  fondo  cosi,  che 
I.''  la  velocita  media  degli  strati  urtanti  il  piano  aven- 
te  il  lato  maggior  verticale  fosse  alia  velocita  media 
degli  strati  urtanti  il  piano  avente  il  lato  minor  ver- 
ticale   :  :  v/  2  :  \/  1 .    2.*^   che  la   velocita  media   degli 

strati  che  colpivano  il  piano  immerso  un  piede,  fos- 
se di  5  piedi  al  secondo.  3."  di  3  f  piedi  al  secon- 
do  la  velocita  media  degli  strati  che  percuotevano 
il  piano  immerso  due  piedi  .  4."  finalniente  H  della 
velocita  superficiale  la  velocita  media  dell'  acqua  ur- 
tante  le  pale  della  Ruota.  Calcolati  gli  urti  relativa- 
mente  a  ciascuna  delle  quattro  sperienze,  assumendo 
per  le  velocita  delle  correnti,  non  gia ,  come  fece 
Juan,  la  velocita  superficiale,  ma  le  medie  sopra  in- 


SECUITO  DELl'ESAME  DELLA  TEORIA  DI  JUAN    325 

dicate,  si  trovera  che  la  formula  ^r  m  b  a  u  \/~a    noa 

0 

somminlstra  piu  valori  conformi  ai  veri,  ma  li  por- 
ge  in  vece,  e  precisamente  eguali  ai  veri  la  formu- 
la w?  6  a  «*. 

Da  uessuno  poi  si  vorra  dubitare  che  le  velocity 
delle  suddette  correnti  non  potessero  crescere,  e  nel- 
le  supposte  ragioni.  Imperciocche  per  assicurarci  che 
doveano  essere  eguali,  sebbene  di  tale  eguaglianza  il 
Juan  non  ci  abbia  recata  prova  alcuna,  ne  fotto  al- 
cun  cenno  delle  qualita  e  circostanze  locali  di  quel- 
le correnti,  bisognerebbe  che  fosse  dimoscrato  che  ta- 
li esser  dovessero  in  ogni  corrente,  e  in  qualunque 
tratto  di  essa,  e  in  qual  si  sia  circostanza.  Ora  egli 
e  ben  vero  che  in  alcune  non  variano,  almeno  sensi- 
bilmente,  le  velocita  degli  strati;  ma  egli  e  poi  egual- 
mente  certo  che  in  altre,  e  di  non  picciol  numero, 
le  velocita  crescoiio  (|u;ili  in  una  ragione,  quali  in 
um'  altra,  dal  pelo  delle  correnti  fino  al  fondo,  o  al- 
meno fino  ad  una  certa  distanza  dal  fondo.  (a) 


(a)  Vejrgaiisi  le  Sperienze  fatte  col  Pendolo  in  17  pcrpendicolari  sul  Vo 
dal  Zpiiilriiii .   Lepiii  e  fVnonieni  delle  acque  correnti . 

Dal  Lec(  lii  col  quadraiite  in  9  perpcndicoiari  sul  finme  CLiese  .  Suo 
Trattato  d'  Idrostati<.a. 

Dai  Sig.  Lorgna  co]  pendolo  a  rjiiadiante  in  dicci  perpendicolari  nei 
Canali  rlel  Veronese  .  Sna  Disserta^ione  sulla  distribuzione  delle  velocita 
iielle  Sezioni  dei  I'iuini,   IT71. 

Dal  Sig.  Miclielotii  col  quadrante  e  col  Tubo  di  Pitot.  SdJ  Sperien- 
ze  Idraidirhe  . 

Dai  Saladini  coi  corpiccinoli  naranti.  Sua  leltera  Idrostatica  al  Citta« 
dino  Giu*ti  .  Bologna;  s.  lonima^o  d'Acpiino.  Anno  9.* 

£  f'liialmpiue  I' esnerienze  deila  fisica  Idiometrica. 

T.  J  J.    F.  11.  41 


326  A  V  A  N  Z  1  N  I 

87.  OsstTviizioiie  2.'  L'esperienze  dei  piani  e  del- 
la  mora  insiituite  in  niodo  da  potere  defiiiitivamen- 
te  decidere  deir  una  o  dellaltra  forniola,  decidereb- 
l)ero  per  la  ni  b  a  u\  e  coniro  la  ni  b  a  u  \/  a.  Dal 
§  precederue  risulta  che  ad  oitenere  che  1'  esperien- 
ze  dei  cervi  e  dt-lla  ruofa  avessero  a  decidere  vera- 
ineiite  la  cjuestioue,  bisognerebbe  che  fossero  fatte  iti 
correnti  di  costante  velocita  dalla  loro  superficie  a4 
fondo.  Ora  vedremo  che  instituite  in  tal  modo  deci- 
derebbero  in  favore  della  formola  m  b  a  u. 

11  Mariotte  (a)  espose  perpendicolarmente  alia 
corrente  della  Senna  una  tavola  di  uti  mezzo  piede 
quadrate,  e  con  una  corrente  che  avea  la  velociui  di 
tre  piedi  e  mezzo  per  secondo.  La  tavola  sosteiinu  un 
urto  equivalente  a  3  J  *  il  quale  non  diBerisce  dal- 
la formula    m  b  a  u^  se  non  di  6  d  oncie  in  meno,  e 

secondo  la  formula   7  nib  a  u  y/  a  V  urto  avrebbe  do- 

o 

vuto  essere  di  8   ^  in  circa. 

In  una  seconda  sperienza  egli  assicura,  che  la 
tavola  sostenne  un  peso  di  9  oncie,  la  velocita  del- 
la Corrente  essendo  di  i  ^  piede  per  secondo.  II  qua- 
le per  la  formola  m  b  a  u  avrebbe  dovuto  essere 
di  8  oncie,  (  di  un' oncia  solamente  minore  del  ve- 
ro  )  e  pec  quella  di  Juan  di  104  oncie. 

In  queste  sperienze  essendo  picciolo  il  piano  e 
percio  piccolo  lo  sprofondamento,  e  il  lato  superio- 
re  presso  che  a  fior  d'acqua,  nessuno  potra  dubitare 


(a)  Discours  troisiemc.  Tiait6  du  tnouvement  des  eaux . 


SEGUITO  DELL  ES\ME  DELLA  TEORIA  DI  JUAN    ^27 

che  la  velocita  di  tutti  gli  strati  acqiiei  urtanti  il  pia- 
no non  si  potessero  supporre  eguali  alia  velocita  del- 
lo  strato  superiore,  e  pernio  necessariameiue  eguali 
tra  loro. 

Ma  vogliasi  pur  procedere  con  tutto  il  rigore  ri- 
chiesto  dairimportanza  della  qtiestione,  e  quindi  non 
si  adottino,  per  cio  che  risguarda  1'  eguaglianza  del- 
le  velocita,  come  abbastanza  sicure  le  sperienze  det 
Mariotte. 

Won  si  porra  certamente  in  dubbio  che  non  sie- 
no  esatte  per   ogni  rapporto    quelle    del  Cav.   Borda 
(a),  e   le   numerosissime  e  istituite  piu   in  grande  dei 
tre  grandi   Geometri  Dalembert,  Condorcet,  e  Bossut 
{b);  e  che  da  queste  non  risulti  che  le  resistenze  di- 
rette  incontrate  da  piani  e  da  parallelepipedi    rettan- 
goli  e  immersi  in  parte  nelTacqua    tranquilla  corris- 
pondano   benissimo   alia   formula    m  b  a  u  .    Se  dun- 
que,  come  ne  coiivengono  tutti  gl'Idraulici  e  con  es- 
si  lo  stesso  Juan  (c),   e  la  stessa  cosa  che  una  corren- 
te    d'  acqua    orizzontale  e    di  costante    velocita   dalla 
superficie  al  fondo  urti  un  piano  immobile,  o  che  il 
piano  si  muova  orizzontalmente  e  con  la  velocita  del- 
la  corrente  per  1' acqua  tranquilla,  chi  non  dovra  per- 
suadersi    che   anche   le   sperienze    dei    piani   e  della 
rnota  come   quelle  dei  Geometri  francesi    non   doves- 
sero  conformarsi  colla  teoria   del  XNlewton  qualora  fos- 
sero  istituite  come  vorrebbero  essere,  o  come  lo  sup- 


(a)  Wtiuoiies  de  T  Academic  Royale  ties  Sciences;  anuces    i7C3,   1767 
(h)  Nouvelles  exp^rieaccs  6ur  la  r^sisiauce   dea  fluides,  1777;  e 
Hydiodynarnique  de  Bos'Siit . 
(c)  Examen  inariciioe .  Tom.  I.  §  ji>o 


3a3  A  V  A  jf  K  I  N  1 

pone  il  Juan  in  correnti  animate  ad  ogni  altezza  da 
eguali  vclocita? 

Sperienze  dei  Cervi 

88.  Nel  caso  che  il  piano  (  §  85  )  sia  tiitto  im- 
merso,  e  clie  il  lato  longitudinale  possa  considerarsi 
picciolissinio  in  confroiito  drila  distanza  del  trasver- 
sale  superiore  dal  pelo  della  corrciite,  chiamata  A 
qnesta  distanza,  a  il  lato  longitudinale,  secondo  Juau 
r  urto  diretto  che  sosterra  il   pjano  sara  espresso  da 

-mbau\/A,  e  non  da  m  b  a  u^  ^  e  1'  obbliquo  dal 
prodotto  del  diretto  -mhaus/A    nel  semplice    se- 

no  deir  angolo  <P  d'  incidenza,  e  non  dal  prodotto 
del  diretto  m  h  a  it  nel  quadrato  del  seno  niedesi- 
mo  (a).  L'  esperienze  dei  Cervi  si  vuole  che  com- 
provino  ambedue  le  formule  del  Juan,  e  contradicano 
tutte  due  quelle  del  Newton,  perche  i  fenomeni  che 
ofFrono  i  Cervi  esponendoli  all'  urto  del  vento  corri- 

spondono  alia  formula  ^^  in  b  a  u  \/  A  .  sin  cp,  e  discor- 

dano  dalla  Newtoniana  ni  b  a  u^  sirV-  (p.  In  fatti  si  os- 
serva  che  per  esempio  ad  innalzare  un  cervo  e  a  so- 
stenerlo  in  una  linea  parallela  aU'orizzonte  basta  un 
vento  di  piccola  velocita;  e  calcolato  I'urto  del  ven- 

(nj  Examen  maritime.  Torn.  I.  Ap^iendice  I. 


SEGUITO  DELL  ESAME  DELLV  TEORIA  DI  JUAN    ^2f) 

to  con  la  formula  -^  ni  b  a  u  \/  A .  sin  $  trovasi  die  la 

velocita  del  vento  per  produrre  TefTetto  osservato  do- 
vrebbe  essere  di  ii  linee  in  circa  al  secondo,  quan- 
do  per  la  formula  ordinaria  esser  dovrebbe  di  \2  i 
pirdi  al  secondo;  velocita  cbe  spingerebbe  il  cervo 
nella  linea  verticale,  e  lo  straccierebbe  fa). 

89.  Osservazione  3'.  L'esperienza  dei  Gervi,  con- 

cordando  con  la  formula  -  ni  b  a  u  \/  J  .  sin  (p  ^  e  non 

con  la  m  b  a  u*  sin  <p,  potrebbe  tutto  al  piu  dimostra- 
re  che  I'urto  obbliquo  non  sia  proporzionale  al  qua- 
drato  del  seno  dell'  angolo  d'incidenza,  ma  non  gia 
che  il  diretto  non  abbia  ad  esprimersi  con  la  formu- 
la rn  b  a  u    comunemente  ricevuta. 

Calcolando  T  urto  del  vento  con  la  formula 
m  b  a  u  sin'  P  trovansi  3  ^  linee  per  la  velocita  ne- 
cessaria  ad  innalzare  il  cervo  in  una  linea  orizzon- 
tale.  Ora  se  con  la  formola  m  b  a  u  sin^.  p  si  ottengo- 
no  13  ^  piedi,  e  con  la  m  b  a  a'  5m'.  <p,  3  ~  linee,  h 
manifesto  die  vi  sara  necessariamente  una  potenza 
del  seno  tra  la  seconda,  e  la  prima,  per  esempio /j  , 
per  cui  la  formula  ni  b  a  u  sin".  <P  ci  porgerebbe  pel 
valore  della  velocita  del  vento,  appunto  come  fa  la 
formula  di  Juan,    j  i  i  lin.  Cio  posto,  se  1'  esperienza 

dei  cervi  concordando  con  ^  m  b  a  u\/  J  sin.  $  si  vuo- 


(a)  Opera  ciuc«k  Tom.  I.  Appendice  I.  §§  5i,  90. 


3^0  A  V  A  N  Z  I  N  I 

le  che  (liniostri  che   1'  urto  diretto  debba   esprimersi 

con   „  mbau\/A^  e  T  obbliquo  con  -  mbau\/Asln.:p 

e  manifesto  che  1'  esperienza  stessa  potendo  concor- 
dare  egualmente  bene  anclie  con  la  formula  mbaa^ 
sin'*  p  potrebb'  anche  egualmente  ben  dimostrare  che 
r  urto  duetto  dovesse  esprimersi  con  m  b  a  u\  e  Tob- 
bliquo  con  ni  b  a  W  sin",  p. 

90.  Osservazione  4*.  L' esperienza  dei  Cervi  insti- 
tuita  in  modo  da  dover  decidere  veramente  per  Tuna 
o  per  I'altra  formula  delTurto  diretto,  deciderebbe  in 
favore  della  formula  rnbau,  e  contro  la  mbau\/A. 

Dalla  precedente  Osservazione  chiaramente  appa- 
risce  che  1' esperienza  dei  Cervi  potrebbe  decidere  tra 
le  due  suddette  formule  allora  solamente  che  con  es- 
sa  si  determiuasse  I' urto  diretto  del  vento  e  non  I'ob- 
bliquo.  Ora  vedremo  che  in  tal  modo  deciderebbe 
per  la  m  b  a  u*. 

Gli  sperimenti  del  sig.  Ab.  Ximenes  (aj  fatti  con 
quella  sua  ventola  rettangolare  immersa  tutta  e  pro- 
fondamente  uelle  acque  del  fiume  Arno  e  del  Cana- 
le  di  Castiglione  concordano  tutti,  qnanto  basta,  con 
la  formola  m  b  a  u\ 

Ma  neppure  queste  sperienze  come  quelle  del 
Mariotte  vogliansi  considerare  bastantemeute  sicure  si 
per  riguardo  alia  richiesta  eguaglianza  delle  velocita 
degli  strati,  come  per  Taltezza  a  cui  la  ventola  era 
immersa.  Abbiamo  veduto  che,  sia  che  iin  piano  ret- 

(uj  Nuove  Sperienze  idrauliche .  Siena.  1780  • 


SEGUltO  DELL  IJSAME  DELLA  TLOKIA  DI  JUAN    33  I 

tangolare  si  esponga  airnrto  cVuna  corrente  orizzon- 
tale,  o  che  si  muova  orizzontalmeiue  e  con  eguale 
velocita  pel  lluido  tranquilio,  e  la  stessa  cosa  .  Ora 
dair  esatte  sperienze  del  Cav.  Borda  (a)  risulta  che 
le  resistenze  dirette  incontrate  da  tre  piani  della  gran- 
dezza  di  3.6.9  pollici  qiiadrati  mossi  orizzontal- 
mente  e  con  dillerenti  velocita  per  T  aria  tranquilla 
possono  riguardarsi  come  esattamente  proporzioiiali  ad 
m  b  a  u\  quand'  esse  velocita  non  fossero  ne  molto 
grandi,  ne  troppo  piccole ;  come  appuuto  couviene 
che  sia  perche  possa  supporsi  I'aria  uu  lluido  inconi- 
pressibile  . 

Se  ad  alcuno  facesse  difFicolta  1'  avere  il  Borda 
fatt' use  ne' suoi  sperimenti  di  piani  troppo  piccioli, 
faro  osservare  ch'  io  otienni  gli  stessi  risultati  facen- 
do  inuovere  per  I'aria  tranquilla,  ma  con  diverse  ar- 
tificio,  direttamente  dei  piani  della  grandezza  dall'uno 
fino  ai  sette  piedi  quadrati,  che  e  appunto  la  gran- 
dezza dei  Cervi . 

Non  si  potra  dunque  dubitare  che  per  la  stessa 
ragione  anche  i  Cervi  esposti  all'urto  diretio  del  ven- 
to ,   o  mossi    direttamente  per    I'aria   tranquilla,    non 
avessero  a  porgere  valori  conformi  alia  formola 
m  b  a  u^ . 

Sperienze  delle  Navi 

91.  Snpposto  un   piano  picciolissimo  rettaogolare 


(a)  Mt-uK>ires  de  I'Acad^mie  Boyale  de»  Sciences:  aiiDce  1763 


33a  AvANziNi 

che  si  muova  per  un  fluido  incompressibile  tutto,  e 
ad  una  qualunque  profondita  iminerso,  e  supposta 
d  b  la  larghezza,  dt  I'altezza  del  piano,  t  la  distan- 
za  della  superficie  del  fluido  dal  lato  orizzontal  su- 
periore  del  piano  medesimo  ,  u  la  velocita ;  secon- 
do  Juan  la  resistenza  diretta  dovrebbe  esprimersi  con 

^  m  d  b  .  d  e  .  u  \/  e,  e  non  gia  con  m  b  a  ii   (a) ,  e  la 

obbliqua  dal  prodotto  della  diretta  -mdb.diu.\/e 

nel  semplice  seno  dell'  angolo  (p  d'  incidenza,  e  non 
dal  prodotto  della  diretta  m  b  a  u^  nel  quadrato  del 
medesimo  seno  . 

L'  esperienze  delle  navi  vuolsi  che  comprovino 
ambedue  le  forniole  del  Juan,  e  mostrino  1' insussi- 
stenza  delle  ordinarie,  perche  i  fenomeni  che  ci  offro- 
no  le  navi  niosse  dal  vento  corrispondono  alia  formula 

■^  rii  d  b  .  d  f  u  y/ 1  sin  tp ,  e  discordano  da  m  b  au*^  sin,^  <P . 

Si  osserva  per  esempio  che  per  far  percorrere  ad 
una  nave  di  linea,  spirando  il  vento  in  poppa,  7  5 
niiglia  all'  ora  sarebbe  mesiieri  che  il  vento  percor- 
resse  25  piedi  in  circa  al  secondo  (bj.  E  calcolato 
tanto  r  urto  del  vento  contro  le  vele  quanto  la  re- 
sistenza deir  acqua  contro  la    prora   con   la   formula 

-  m  d  b  .  d  e  u  \/  i  sin  <P  si  trova  per  la  velocita  del  ven- 


(a)  Exnmen  maritiinc  Tom.  II.  §  ih) 

(b)  Ibidem.  §§  35i,  352. 


SECUn  O  DELl'eSAME  DEI.LA  TEORIA  DI  JUA.N    333 

to  appunto  25  piedi  in  circa,  quando  col  calcolo  del- 
la  m  d  b  .  d  e  .  u  sin  P  si  ottengono,  per  la  velocita. 
del  vento,  i  lo  piedi  al  secoiido. 

92.  Osservazione  5".  Con  ragionamento  simile  a 
quelle  della  Osservazione  terza  si  comprendera  facil- 
mente  che  anclie  Tesperienza  delle  navi  potrebbe  di- 
mostrar  tutto  al  piu,  cbe  la  percossa,  e  la  resistenzu 
obbliqua  non  sia  proporzionale  al  quadrato  del  seno, 
ma  non  gia  cbe  la  percossa  o  resistenza  diretta  non 
s'abbia  da  espriinere  con  I'ordinaria  formula  indb.dcu\ 
piuttosto  che  con  la  Juaniana   m  d  b  .  d  ^  .  u  y/  i- 

Cakolato  cosi  V  urto  del  vento  come  la  resisten- 
za deir  acqua  con  la  formula  ni  d  b  d  e  u  sin!^  P  tro- 
vasi  che  per  far  percorrere  alia  Nave  7  '  miglia  alTo- 
ra  abbisognerebbe  al  vento  una  velocita  di  17  piedi  in 
circa  al  secondo.  Ora  se  con  la  formula  nidb-d^ u  sin^<p 
si  ottengono  per  la  velocita  del  vento  110  piedi,  e 
con  la  m  d  b  .  d  i  .  u  sill' tp  17  in  circa,  vi  sara  neces- 
sariamente  una  potenza  per  esempio  n  del  seno  tra 
la  seconda  e  la  prima  per  cui  la  formula  m  db.di  a^ 
sin"  (p  ci  porgerebbe  pel  valore  della  velocita  del  ven- 
to, appuuto  come  fa  la  formula  di  Juan,  25  piedi  al 
secondo.  Cio  posto  se  I'esperienza  delle  navi  concor- 

dando  con  -^m  d  b  .  d  ^  u  .  \/  t  sin  <P  si  vuole  che  di- 

mostri  che  1'  urto  diretto  debba  esprimersi  con 

-  mdb.diu v/T,  e  1' obbliquo  con  -  mdb.de. u\/  ^ sin <P 

e  manifesto   che  la    sperienza    stessa    potendo    corri- 
spondere  egualmeiite  bene  anche  alia  formula 
T.  II.    F.  11.  4a 


33^.  A  V  A  N  Z  I  N  I 

HI 'I  b  .  d  i  u  sin"  ^,  potrebbe  anche  egiialmente  ben 
diiuostrare,  che  Turto  e  la  resistenza  diretta  si  aves- 
se  ad  espriinere  con  mdb.de.  a\  e  I'obbliqua  con 
m  d  b  .  d  -  u   si/i'^  i$. 

93.   Osscrvazione  6".  Anche  Vesperienza  delle  na- 
'  vi   facta  in  maniera  da  dover  decidere  definitivanien- 
ti  per  r  una  o  per  V  altra  formula  dell'  urto   e  resi- 
stenza diretta  ,  deciderebbe   in  favore   della  formula 

m  db  .  d  i  u,  e  contro  la  formula  ^  m  d  b  .  d  i  .  u  \^  t. 

Da  cio  che  si  disse  nella  precedente  osscrvazio- 
ne rendesi  cbiaro  che  Vesperienza  delle  navi  potreb- 
be  decidere  delle  suddette  formule  allora  solamentc 
che  con  essa  si  potesse  determinare  1'  urto  o  la  re- 
sistenza diretta  di  un  picciolissimo  piano.  Ora  si  ve- 
dra  che  instituita  in  tal  modo  comproverebbe  piena- 
mente  la  verita  della  formula  ordinaria  rndb-d'^u^. 

La    formula    m  b  a  u  \/  A    (  §  88  )   fondasi   sopra 
r  ipotesi  die  A  sia  talmente  grande  rispetto  ad  a  da 
potersi  supporre  la    distanza  di  ogni  punto  delT  area 
ba  dal  livello   del  lluido  eguale  ad  J.  In  oltre  una  tal 
condizione  si  verifica  appuntino  nelle  formule 
m  d  b  .  d  e  u  \/  e ,  m  d  b  .  d  B  u,  imperciocche  essen- 
do  db.de  un'area  infinitamente  picciola,  ed  -  quan- 
tita  fmita  ,  la  distanza  del  livello  del  lluido   da    ogni 
punto  deir  area  db.de  potra  supporsi  eguale  ad   e. 
Dunque    tra  le  due  formule   ni  b  a  u  \/  A  ,    m  b  a  u\ 
e   le    m  d  b  .  d  s  u  \/  e  3    in  d  b  .  d  e  .  a     non  si   potra 
considerare  altro  divario  se  non  che  nelle  prime  Ta- 
rea  urtante  o  urtata  e  finita,  e  nelle  altre  picciolis- 


SEGUITO  DELl'eSAME  DELLA  TEOUIA  DI  JUAN    335 

sima.  Ora  se  T  esperlenze  die  porgono  V  into,  o  la 
resistenza  diretta  d' un  piano  finito  sono(§9o)  con- 
formi  alia  fornuila  7)ibau\  e  discordi  dalla  mbau\/ A, 
perche  del  pari  anclie  I'esperienze  delle  navi,  ijna- 
lora  porgessero  1'  nrto  e  la  resistenza  diretta  d'  iia 
])icciolo  piano,  non  dovrebbero  concordare  con  la  for- 

mola  mdb .ih .li'  e  dissentirfe  dalla  5  mf/6.f/f  .f/ v^^  ^ 

Conclusione . 

94.  Da  queste  osservazioni  parmi  die  si  possa 
ginstaniente  conclndere,  cbe  I'esperienze  del  Juan  ben 
lontane  dal  poter  confermar  pienarnente,  come  si  cre- 
de,  le  sne  formule  dell' nrto  o  resistenza  diretta,  do- 
vrebbero per  r  opposto  mostrarle  difettose  e  fallaci, 
e  diventare  una  nnova  prova  della  ginstezza  e  verita. 
delle  coniuneniente  ricevute.  Lo  stesso  vorrebbesi  pur 
concbiudere  ancbe  relativamente  alle  formule  die  se- 
condo  Jnan  dovrebbero  espriinere  la  resistenza  o  1' nr- 
to per  qnalnnqne  altro  caso.  Imperciocdie  queste  so- 
no  una  necessaria  eonseguenza  di  quelle,  dimodoclie 
non  potrebbero  le  une  esser  vere ,  se  uon  lo  fossero 
ancbe  le  altre. 

•    •  Deidl  Elementl. 

o 

95.  Dalle  formule  m  h  a  11  \/~a  ,  m  h  a  u  y/  A  j 
mdb.de  \/~e  .11  (§§  86,  88,  91 )  del  Juan,  e  dalle 
m  b  a  ii" ,  m  d  b  .  d  I  a'  del  Newton  relative  ai  tre 
casi,  ai  qnali,  come  si  e  veduto,  sono  dirette  le  spe- 


336  A  V  A  N  z  I  N  I 

rienze  del  Juan,  cliiaramente  si  scorge  die  gll  Ele- 
menti  da  esso  introdotti  nel  i".  caso  si  restringono  al- 
ia sola  radice  della  porzione  iininersa  del  lato  verti- 
cale  del  piano;  nel  2°.  alia  radice  della  distaiiza  del 
livello  del  lluido  dal  lato  orizzontale  superiore  del  pia- 
no; nel  3".  alia  radice  della  disianza  del  livello  del 
lluido  dal   picciolissinio  piano  db.de. 

Ora  non  poteudosi  per  le  cose  fiiior  diinostrate 
dubitare  che  non  sieno  false  le  fonnule  del  Juan,  e 
vere  le  INcAvtoniane,  ne  segue  di  couseguenza,  che 
nelle  forniule  della  resistenza  o  non  debbono  compu- 
tarsi  in  nessun  modo  gli  elemeuti  introdottivi  dal  Juan, 
o  lo  debbono  essere  in  una  nnaniera  molto  diversa. 

Nulladinieno  trattandosi  di  un  argomeiito  di  tan- 
ta  importanza  reputo  necessario  il  far  riuiarcare  che 
cio  viene  anche  dimostrato  direttamente  ed  a  priori, 
e  coi  principj  di  una  sicura  teoria,  e  con  esperienze 
le  piu  decisive. 

A  tal  fine  si  osservera  attentainenre;  1°.  che  la 
formula  m  b  a  u  \/  a  e  dedotta  immediatamente  da 
quest'  akra  in  d  b  d  e  u  \/  e.,  supposto  d  b  .  d  s  un 
difierenzio-diflerenziale  dell'  area  urtata,  o  urtance,  e 
la  distanza  di  essa  d  b  .  d  «  dalla  superficie  di  livello 
del  fluido;  1".  che  essendo  la  formula  in  db  d  e .  us/  e 
simile  alia  formula  m  b  a  y/  A  .  u  (§93)  del  secon- 
do  si  dovranno  riguardare  tutte  e  tre  per  simili  inte- 
ramente;  3°.  che  ciascuna  di  esse  e  simile  a  quella 
che  secondo  i  principj  di  Juan  dovrebbe  esprimere  la 
resistenza  diretta  di  un  piano  orizzontale  che  si  muo- 
va  verticalmeiue,  e  sommerso  nell'  acqua  tranquilla 
a  tale  proloudua,  che  il  moto  da  esso  piano  eccitato 


SEGUITO  DELL  JiSAME  DELLA  TEORIA  Dl  JUAN    33" 

nel  fliiido  non  gimiga  alia  siipetTicie  di  livello.  Tin- 
perciocche  cliiainata  b' a'  Tarea  di  questo  piano,  A'  la 
distaiiza  di   esso  dal  livello  del  lliiido,  u  la  velocita, 

la  resistenza  da  esso  incontrata  sarebhe  ni  b' a' u  \,'^ /I' . 
Da  qneste  verita  sulle  (jiiali  non  potra  certo  ca- 
der  dubbio  alciino,  segue  di  legiitiina  e  nocessaria 
consegiieiiza  che  per  diniostrare  coinpletamente  il  mio 
assuiito  bastera  ch'  io  ditnostri  che  nella  espressione 
della  resistenza  incontrata  dal  piano  orizzontale  ino- 
ventesi  nel  niodo  accennato  non  entra  funzione  alca- 
na deir  altezza,  il  che  viene,  s'  io  non  m'  inganno, 
rigorosamente  dimostrato  dalla  mia  teoria  esposta  ai 
§§  3o  fino  al  37  inclusive,  e  dalle  sperienze  da  me 
instituite,  e  descritte  coi  necessarj  dettagli  ai  §§  28,29. 

96.  La  formula  --  m  b  a  u  \/  a    finora    esaminata 
6 

spetta  al  caso  che  il  piano  si  miiova  con  picciola  ve- 
locita. Ill  fjiiella  con  la  quale  il  Juan  esprime  la  re- 
sistenza del  piano  moventesi  con  grande  velocita  en- 
trano  due  elementi;  Y  altezza  a  cni  il  tluido  s'  innal- 
za  davanti  e  si  abbassa  dietro  del  piano,  e  la  radice 
deir  inimersione. 

Illc>;nardo  al  i".  non  porro  gia  in  dubbio  che  non 
si  debba  computare.  Faro  soltanto  riflettere  non  po- 
tersi  asserire,  come  si  fa  <la  talnno,  che  siesi  ommes- 
so  dal  INewton.  La  teoria  di  (piesto  grand'  nomo  spet- 
ta  solraiiio  al  caso  die  il  solido  sia  talmente  iinuier- 
so  nel  Iliiido  incompressibile,  o  si  muova  con  tale  ve- 
locita che  il  moto  da  esso  eccitato  nel  llnido  non  giun 
ga  fino  alia  superficie,  o  in  una  parola,  die  dietro  il 


338  A  V  A   N  Z  1  N  I 

solido  noti  nasca  vacuo;  nel  caso  cl\e  il  solido  sia  gal- 
leoojante  egli  avverte  espiessamente  (a)  die  il  lluitlo 
s' innalza  clavanti,  e  si  abbassa  di  dietro,  e  percio  si 
dovra  alqnanro  aumentaie  la  resistenza.  2°.  iion  esser 
vero,  come  lo  pretende  Juan,  e  come  sembra  creder- 
lo  alcuni  Ceometri,  che  pei  principj  stessi  della  teoria 
di  Juan  il  lluido  debba  innalzarsi  e  deprimersi,  ne 
che  debba  innalzarsi,  e  deprimersi  ugualmente,  e  di 
cjuella  quantita  ch'  egli  determina.  (b) 

Rignardo  poi  al  secondo  eleniento,  cioe  alia  ra-~ 
dice  dello  sprofondaniento  si  osservera  1°.  che  esseu- 
dosi  dimostrato  che  qnalora  il  nioto  eccitato  dal  so- 
lido nel  riuido  non  giunge  fino  alia  superficie  di  li- 
vello,  nel  la  formula  della  resistenza  non  entra  fun- 
zione  alcuna  dell'  altezza  a  cui  e  immcrso,  ne  viene 
di  consegiienza  che  se  entrera  1'  altezza  dello  sprofon- 
damento  quando  il  moto  del  fluido  giungera  alia  su- 
perficie di  livello,  che  e  il  caso  di  cui  ora  si  parla, 
essa  altezza  non  potra  essere  se  non  una  funzione  di 
quella  a  cui  il  fluido  medesimo  s'  irmalza  davanti,  e 
si  deprime  di  dietro,  e  la  formula  della  resistenza  in- 
contrata  dalla  porzione  imraersa  dell'  area  urtante  do- 
vra essere  composta  di  due  termini,  de'  quali  il  pri- 
me dovra  esprimere  la  resistenza  che  incontrerebbe 
r  area  stessa,  se  il  moto  del  fluido  non  giungesse  al- 
ia  superucie ,  e  percio   in  esso  termine    non   entrera 


(a)  PhilosopliiM    nataralis    principia    matbematica .    Scollo    al    Lemma  7 

della  Prop.   17  del  Lib.  2..'   Amstelodami ;   172.3. 
(I>)  Oiservazioni  e  sperienze   sopia  la  Teoria  della   resistenza  de'  fluidi.; 
del  sig.   Juaii  ••  §  ^iV. 


SEGUITO  DELL'eSAME  DELLA  TEOUIA.  T>I  JUAN     3^9 

fiinzione  alcnna  dello  sprofDiiclameiito;  il  secondo  sa- 
ra  una  fmizione  delTarea^  o  dimensioni  dell'  area,  e 
deir  altezza  a  cui  il  lliiido  s'  innalza.  Iinperciocchc  in 
questo  caso  solo  sarebbe  soddisfatta  la  comlizione,  clie 
fatta  zero  la  sudderta  akezza  ,  cio  che  riniane  noii 
contenga  funzione  alcuna  dell'  altezza  niedesinia;  si 
potra  quindi  conchiudere  foiidatamente,  clxe  ne  pure 
il  secondo  elemento  potra  computarsi,  o  si  dovra  coin- 
putare  in  un  modo  diverso  da  quello  die  vuole  il 
Juan. 

Con  un  discorso  simile  si  dimosrra  la  stessa  co- 
sa  anche  per  cio  che  spetta  agli  elementi  calcolati 
dal  Juan  nelle  formule  che  risguardano  gli  altri  casi. 

Conclusione. 

97.  Da  questi  brevi  cenni  parmi  che  si  possa  con 
molto  fondaniento  raccogliere,  che  anche  i  nuovi  ele- 
menti rnessi  a  calcolo  dal  Juan,  ben  lontani  dal  po- 
tersi  ammettere,  come  si  avvisa,  per  giustamente  ed 
utilmente  calcolati,  debbansi  per  lo  contrario  consi- 
derare  per  una  delle  cause  principal!  che  rendono 
falsa  e  pericolosa  la  sua  teoria ,  se  pure  a  rigore  puo 
dirsi  sua.  (a) 


(a)  Considerando  attentamente  tiitta  intfira  la  Teoria  del  Jiian  si  cora- 
prendera  ad  evidenza  non  essere  die  uno  svihippo  ed  appiicazione  di 
una  formola  ,  che  26  anni  prima  pul>blic6  1'  Eulero  come  bisognosa  dei- 
]' appoejjio  dcir  esperienza  :  veCL'ansi  i  nouveaux  principes  rV  Artillerit 
de  M  Benjamin  Robiiis  commences  par  M.  Leonard  Eider ,  e£  traduits 
*ie  I'  uUemund  par  M.  Lombard,  k  Dijoii.   17^3.  pag.  3^0. 


.    1 


341 
SULLE  LIVELLAZIONI  BAROMETRICHE 

Di    Fkancesco    Yenini 

Altra  Continuazione  delta  pane  II. 

ricevuta  il  di  23  d'Agosto,  1810 


S  E  Z  I  O  N     II. 

Delle  regole  date  da  alcuni  fislci  per  le  llvellazioni 

haronietriche. 


I. 


Articolo     I. 


Begola  del  sig.  De  Luc. 


66.  J.1  celebre  de  Luc,  avendo  attentamente  esa- 
minati  i  raetodi  dei  Fisici,  che  lo  precedettero,  tro- 
v6  in  essi  tre  principali  sorgenti  di  errori.  La  prima 
e  r  imperfezion  dei  baroinetri  ;  che  quasi  nessuno 
aveva  purgati  scacciandoiie  T  aria  coll' ebollizioue :  la 
secouda  I'  incertezza  della  vera  lunghezza  della  co- 
louna  mercuriale;  che  niuno  aveva  aucor  immagina- 
to  di  ridurre  ad  una  temperatura  o  costante  o  ngna- 
le  nei  due  barometri  inferiore  e  superiore:  la  terza 
linalmente  nelTuso  generale  de'  suoi  predecessori  d'ap- 
plicare  senza  correzion  veruna  le  regole  loro  a  qiia- 
lunque  temperatura  dell' aria,  come  se  questa  non  si 
condensasse  pel  Ire-ddo,  e  [)el  calore  non  si  dilatasse. 
Al  che  si  deve  aggiugnerc,  che  ncssun  dei  barometri 

T.  II.     P.  II.  ^^ 


343  V  E  N  1  N  I 

fino  a'  suoi  di  conosciuti  poteva  con  sicurezza  traspor- 
tarsi  a  clistaiize  considerabili,  o  alnieno  senza  perico- 
lo  d'  alterazione. 

La  prima  ciira  dell'  accurate  fisico  di  Ginevia 
quella  fu  dunqiie  di  costruire  uii  biion  barometro  por- 
tatile;  di  cui  egli  da  im'  ampia  e  miniita  descrizioiie 
iiella  sua  grand'  opera  delle  modificazioiii  dell'  atnio- 
sfera  al  capo  1°.  della  terza  parte .  La  scala  del  suo 
barometro  e  divisa  in  pollici  ed  in  linee  con  rette  di 
color  nero;  e  ciascuna  linea  e  sottodivisa  in  quattro 
con  rette  di  color  rosso.  Egli  lascia  poi ,  che  I'osser- 
vatore  sottodivida  ad  occhio  ciascun  quarto  di  linea 
in  altre  quattro  parti;  onde  possa  aver  Taltezza  ap- 
parente  del  barometro  in  sedicesimi  di  linea.  A  cor- 
regger  gli  effetti  del  calore  sulla  lungliezza  della  co- 
lonna  mercuriale  sostenuta  dalla  pression  dell'  aria  e 
destinato  un  termometro  incastrato  nel  corpo  del  ba- 
rometro siesso  verso  la  sua  meta.  Questo  termome- 
tro e  di  mercurio  come  quello  di  Farlieneit,  ma  con 
una  scala  diversa.  ll  De  Luc  graduava  i  suoi  termo- 
nietri  sotto  una  pressione  atmosferica  di  27  pollici  po- 
nendo  lo  zero  al  ghiaccio  in  fusione,  ed  il  grado  80 
air  acqua  bollente.  Con  questi  terniometri  egli  tro- 
vo,  come  ho  gia  detto  al  num.  9;  che  la  colonna  di 
27  pollici  si  dilata  di  sei  linee  passando  dalla  tem- 
peratura  zero  a  quella  di  80  gradi.  La  dilatazion  del 
mercurio,  da  lui  supposta  uniforme,  e  dunque  di  -^  di 
linea  per  ogni  grado:  ma  troppo  incomodo  sarebbe 
r  uso  di  questa  frazione  nel  ridurre  le  altezze  baro- 
metriche  ad  una  temperatura  costante.  Quest'  incon- 
vcniente  determino  l'  autore  a  divider  1'  intervallo  po. 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAUOMETKICHE  843 

8to  fia  il  ghiaccio  e  V  acqua  bolletite  non  ia  80  ma 
in  96  gradi;  per  ognuii  de'  quali  la  dilatazione  ve- 
niva  ad  essere  di  ^  o  di  73  di  linea,  cioe  della  quau- 
tita  stessa,  in  cui  e  divisa  la  scala  del  suo  barome- 
tro.  II  grado  dodicesimo  di  questa  divisione  f"u  scel- 
to  dair  autore  per  temperatiira  costante:  egli  pose  a 
questo  lo  zero  d'una  nuova  scala;  nella  quale  la  tem- 
peratura  dell' acqua  bollente  fu  ad  84  gradi,  e  quel- 
la  del  ghiaccio  in  fusione  a  —  12. 

„  II  mio  scopo  principale  in  quest'  opera,  di- 
„  ce  il  sig.  De  Luc,  e  quello  di  paragonare  delle 
„  altezze  note  cogli  abbassameuti  del  mercurio  ncl 
J,  barometro  osservati  a  queste  medesime  altezze  j  af- 
„  fin  di  trarne  una  regola  generale,  per  mezzo  di  cui 
„  si  possano  in  avvenire  misurar  le  aliezze  accessibi- 
„  li,  e  dappertuito  e  in  ogni  tempo  conoscere  la  den- 
„  sita  ed  il  peso  assoluto  dell' aria.  Ho  esposte  fin  qui 
„  tutte  le  precauzioni,  che  ho  prese  per  non  esser  in- 
„  gannato  dal  barometro;  trattasi  ora  di  quelle,  che 
„  ho  impiegate  nel  n)isurar  le  altezze  dei  luoghi,  ove 
„  ho  futte  le  mie  spei'ienze. 

Egh  misuro  dunque  sul  ghiaccio  d'un  fosso  una 
base  di  tese  566  e  ?,  e  servendosi  d'  un  buon  qua- 
drante  di  3  piedi  di  raggio,  trovo  la  distanza  d'  una 
delle  estremita  della  base  dalla  cima  del  monte  Sa- 
leve  di  te.  4727,  5.  Dice,  che  il  risuitato  della  misu- 
ra  geometrica,  non  computata  ne  la  curvatura  della 
Terra  ne  la  rifrazione,  fu  di  486  tese. 

Ora  applicando  questi  dati  al  triangolo  A  B  F 
(fig.  I')  ne  \\o  A  D  =i  4727,  5;  e  B  I  F  ^  486.  Cio 
posto  chiumo  y  1°  angolo  apparente  d'akezza  LAB-^ 


344  V  E  N  1  N  I 

e  ne  formo  T  equazione  (4727,5)  sen.  y  =  486;  e  da 
questa  traggo  y  =  5°  64'  2",  12.  Questo  fu  clunqiie  il 
valore  dell'  angolo  appareate  d'  akezza  osservato  dal 
sig.  De  Luc.  lo  lo  suppoiigo  esatto;  e  cerco  per  mezzo 
suo  il  valore  dellangolo  al  centro  «^.  Nel  triangolo  CAB 
abbiam  1' angolo  C  A  B  =  gS°  64'  a",  12;  e  per  con- 

seguente  =  42"  2'  53"  ,94.  La  base,  come  dice 

I'autore  al  paragrafo  648  delle  sue  Ricerche,  fu  su- 
perior al  mare  di  te.  211  ,  67;  e  queste  aggiunte  al 
raggio  osculatore  della  latitudine  di  Ginevra  daimo  il 
valor  di  C^.  Ora  la  latitudine  di  Ginevra  e  46"  la' 
17";  e  supera  di  soli  19  secondi  la  latitudin  media 
del  grand'  arco  misurato  in  Francia  dai  signori  Me- 
chain  e  De  Lambre.  La  lunghezza  del  grado  a  que- 
sta latitudine  si  e  trovata  di  tese  57018,4;  cni  cor- 
risponde  il  raggio  osculatore  3266914,29.  E' dunque 
C  A  =  3267126  ;  e  per  conseguente  C  A  ■—  A  B  = 
3262398,5;   e   C^ -H  J  ^  =  3271853,5.   Fatto  con 

questi  dati  il  solito  calcolo  trovasi  =4i*'58'2", 

18 ;  e  quindi  C  =  w  =  0°  4'  56"  ,  76. 

Cerco  ora  l' efFetto  della  rifrazione;   ed  osservo , 


che  fra  i  valori  di  —  posti  nella  tavola  III'  del  num.  58 


niuno  ve  n' ba  per  la  Svizzera;  ma  die  ci  sono  quei  i 
deir  Italia  e  della  Francia,  tra  le  quali  essa  e  situata.  |, 
lo  prendero  dunque  il  lor  medio  cioe  0,081181;    e         'i 


SULLE    LIVELLAZIONI    B.VROMETRICIIE  Z^S 

r  applichero  a  Ginevra.  vVvendo  il  De  Luc  misurata 
la  base  sni  gliiaccio;,  si  puo  credere,  clie  anche  I'an- 
golo  d'elevazione  sia  stato  da  lui  misurato  in  tempo 
che  r  aria  era  alia  temperaiuia  del  ghiaccio.  lo  non 
so  c(uale  sia  stata  Taltezza  del  barometro  nel  tempo 
deir  osservazione,  e  non  potendo  far  meglio,  la  sup- 
porro  di  27  pollici  altezza  media  per  Ginevra.  Nelle 
circostanze  della  misura  dell'  angolo  d'  elevazione  sa- 

,    J  m  (o  ,  081 181  )  _   „ 

ra  dunque   stato  —  =  27  - — - — ^ =  o  ,  078282  ,   e 

•*  n  '  2.0  ' 

/-I 

per  conseguente  —  =  296",  76  (0^,078282)  =  23",  23. 

TV 

Con  questo  valore  della  rifrazione  si  faccia  il  calco- 
lo  deir  altezza  vera,  e  troverassi  B  d  =  488  ,  94  te. 
=  2933  pie.  e  ~.  L'  altezza  medesima  misurata  dal 
sig.  De  Luc  colla  livellazione  fu  di  piedi  2926  ^,  cioe 
minore  di  7  piedi.  Qnesta  differenza  puo  nascere  dalTer- 
rore  d' un  mezzo  minuto  nell' angolo  dell' altezza  ap- 
parente,  se  si  suppone  d'un'estrema  esattezza  il  ri- 
sultato  della  livellazione.  Che  se  questo  fosse  di  qual- 
clie  piede  minor  del  vero,  V  error  dell'  angolo  si  ri- 
durrebbe  a  pocbi  secondi. 

Ma  lo  stesso  non  puo  dirsi  dell'altra  misura  geo- 
metrica,  di  cui  parla  I'autore.  In  questa  per  la  distan- 
za  di  tese  2026  |  egli  ebbe  un  risultato  di  432,5  d'al- 
tezza,  non  computata  la  curvatura  e  la  rifrazione:  on- 
de  segue,  che  il  suo  angolo  d'  elevazione  apparente 
fu  =  12"  19'  33",  09.  Fatto  il  calcolo  con  questi  va- 
lori  A\  E  A  B  e  ^v  A  B  trovo  l'  angolo  al  centro  = 
2'  4" ,  67 .  Calcolata   poi    la    rifrazione  col   valore   di 


346 


V  E  N  I  N  I 


—  posto  qui  sopra,  ella  risulta  =9",  76;  e  quindi  I'al- 

tezza  vera  insensibilmeiite  diversa  dall'apparente  e  di 
tese  433  o  di  piedi  2598.  La  livellazione  ne  die  soltan- 
to  2584;  onde  la  differenza  fu  di  piedi  14.  Affirtche  la 
misura  geometrica  fosse  d'  accordo  colla  livellazione, 
Tangolo  dell'akezza  apparente  dovrebb'essere  =  12°  iS' 
40"  in  luogo  di  12"  19' 33",  09,  cioe  minore  di  3'  53". 
II  De  LnC;,  non  avendo  alcun  dubbio  intorno  all'esat- 
tezza  deir  angolo  osservato,  attribuisce  l' eccesso  del- 
la  misura  geometrica  alia  rifrazion  sola.  Ma,  se  cio 
fosse,  la  rifrazione  avrebbe  dovuto  accrescer  1' angolo 
deir  altezza  vera  di  233  secondi,  cioe  quasi  del  dop- 
pio  deir  angolo  al  centro,  che  fu  di  124",  67.  Tanta 
rifrazione,  essendo  assolutarnente  contraria  a  tutte  le 
osservazioni,  io  credo,  che  I'errore  stia  pressoche  in- 
teramente  nella  misura  delT  angolo  d' elevazione. 

La  diversita  de'  risukati  delle  misure  geometriche 
e  delle  livellazioni  determine  il  sig.  De  Luc  a  rinno- 
vare  quest'ultime.  „  Noi  trovammo,  dic'egli,  alcune 
„  diflerenze  {tra  le  due  livellazioni)  nelle  stazioni  in- 
„  termedie,  il  che  solo  bastava  a  render  utile  la  se- 
„  conda  operazione.  Ma  ne  fummo  piu  largamente 
„  ricompensati  quando  trovammo  nella  sonmia  totale 
„  la  sola  differenza  di  dieci  pollici  e  mezzo.  Tutte  le 
altezze,  alle  quali  io  ho  osservato  il  barometro  pos- 
son  dunque  considerarsi  come  determinate  con  tut- 
ta  la   possibil  precisione. 

Se  la  precisione  nella  misura  di  queste  altezze 
sia  tale  quale  il  sig.  De  Luc  la  suppone  e  cosa  in- 
certa  ancora;  ed  io  avro  altrove   occasion  di   parlar- 


SUIXn    LIVELLAZIONI    BAROMLTUICHE  34? 

ne .  Per  ora  le  supporro  esatte ;  ed  aggiungero,  die 
negli  anni  lySS,  56,  58,  59,  e  60  1' istancabile  fisi- 
co  di  Ginevra  fece  in  i5  stazioni  del  monte  Saleve  un 
numero  grarulissimo  d'osservazloni.  In  ognuna  di  que- 
ste  egli  noto  I'alcezza  apparente  del  barometro,  i  gradi 
del  termonietro  attaccato  per  fame  la  correzione,  e 
quelli  del  termometro  distaccato  esposto  at  Sole,  dic'e- 
gli ,  quanto  piu  alto  fu  possibile;  il  che  parmi  voglia 
dire  a  circa  cinque  piedi  d'akezza.  Mentr' egli  osser- 
vava  sul  monte,  suo  padre  faceva  ad  ogni  quarto  d'ora 
le  osservazioni  corrispondenti  nel  pian  terreno  d'una 
casa  distante  tre  quarti  di  lega  ad  un  di  presso  dal- 
la  prima  stazione.  11  termometro  destiiiato  ad  indica- 
re  il  calor  dell' aria  era  sospeso  fuor  della  casa  sopra 
una  piccola  eminenza. 

67.  Prima  di  proceder  piu  oltre  stimo  opportu- 
no  di  riferire  cio  die  il  Cav.  Shuckburg  ha  osserva- 
to  intorno  all'  altezza  diversa  dei  termometri  o  espo- 
sti  al  Sole  o  tenuti  allornbra,  e  di  rapportare  altresi 
la  serie  delle  belle  osservazioni  fatte  dal  sig.  Pictet 
sulla  corrispondenza  di  due  termometri  a  diverse  ore 
del  giorno;  de'  quali  uno  era  posto  alia  distanza  di 
cinque  piedi,  e  T  aitro  a  quella  di  75  da  terra. 

II  primo  in  una  nota  della  pag.  526  del  volume 
LXVII  parte  II*  delJe  Transazioni  filosoficlie  si  espri- 
me  a  questo  modo.  „  lo  bo  preferito  di  sospender  i 
„  termometri  all'  ombra ;  e  ne  adduco  la  seguente 
„  ragione.  Ogni  riflessione  di  calor  locale  e  spurio 
„  schivasi  piu  facilniente:  niun  concentrato  e  falso  ca- 
„  lore  e  acquistato  dalT  incastratura  del  termometro, 
„  e  quindi  comunicato  al  tubo  anche  quando  la  pal- 


348  V  E  N  I  N  I 

„  la  e  isolata:  e  finalniente  perche  io  sospetto,  chela 
„  real  temperatiira  dell' atmosfera  al  Sole  ed  aU'om- 
„  bra  sia  la  stessa  o  almeno  insensibilmente  diversa. 
„  La  mia  proposizione  piio  senibrare  esagerata ;  ina 
„  per  confermarla  io  ho  fatto  non  meno  di  80  osser- 
„  vazioni  con  quattro  diversi  terniometri  d'  incastra- 
„  ture  dilTereiiti  appesi  alternainente  ed  esposti  ai 
„  raggi  del  Sole,  o  da  questi  difesi  dall'  ombra  d'un 
„  albero  in  un'  aperta  pianura  a  qualche  distanza 
„  <lalla  citta  di  Ginevra.  II  risultato  fu,  che  nel  mio 
„  rniglior  termometro  a  palla  isolata  la  differenza  per 
„  le  due  diverse  situazioni  fu  solaniente  di  due  gra- 
„  di  Far.;  negli  altri  piu  o  meno  secondo  che  piu  o 
„  meno  eran  connessi  coll'  incastratm-a.  „  A  questo 
s'  aggiunga,  che  I'autore  in  quattro  delle  osservazioni 
da  lui  fatte  alia  cima  del  raonte  Mole,  avendo  osser- 
vato  il  termometro  al  Sole  ed  all'  ombra,  trovo  anche 
allora  una  differenza  di  2° ,  oyS  Far. 

68.  Per  determinare  la  temperatura  media  della 
colonna  aerea  da  raisurarsi  col  barometro  comune 
usanza  e  di  sospendere  nelle  due  stazioni  considerate 
come  estremita  della  colonna  medesima  due  termo- 
metri  distanti  circa  cinque  piedi  da  terra,  e  di  pren- 
der  la  madia  delle  due  altezze  da  questi  indicate. 
Ma  il  sig.  Pictet  osserva  con  ragione,  ottenersi  per 
tal  inodo  non  la  temperatura  media  della  colonna, 
ma  quella  dei  due  strati  d'  aria  distanti  cinque  pie- 
di da  terra  alle  due  stazioni,  dove  il  calor  dell'  aria 
e  sensibilineiite  alterato  dal  riverbero  della  terra  seal- 
data  dal  Sole.  Quest' incoriveniente  o  in  tutto  o  in  gran 
parte  si  sfuggirebbe  se  i  tennometri  si   sospendessero 


SULLE    lilVELLAZIOXI    BVllOMETUICIIE  849 

ad  iin'altezza  molto  maggiore;  ma  in  pratica  assai  dif- 
ficile o  a  dir  meglio  impossibile  ne  sarebbe  V  esecu- 
ziorie.  Ma  1' inconvenieiue  puo  togliersi  eziandio  de- 
terminando  con  esatti  esperimenii  e  fatti  a  tutt'  agio 
in  ore,  giorni,  e  stagioni  diverse  la  corrispondenza 
di  due  termometri ,  1'  un  posto  a  cinque  piedi  da  ter- 
ra, e  I'altro  ad  una  distanza  molto  maggiore.  Or  que- 
st© e  cio  appunto,  che  1'  eccellente  fisico  sig.  Pictet 
lia  con  somma  diligenza  eseguito,  e  colla  solita  sua 
chiarezza  spiegato  ne'  bei  Saggi  di  Fisica  da  lui  pub- 
Llicati  a  Ginevra  sua  patria  nell'anno  1790.  Alia  ci- 
ma  d'  un  gran  palo  atuierita  per  toglier  la  riflessione 
de'  raggi  solari,  ed  alia  distanza  di  yS  piedi  da  ter- 
ra egli  sospendeva  un  termometro  che  nel  breve  tem- 
po di  5  a  6  secondi  si  faceva  scendere  a  terra  per 
osservarlo ;  ed  un  altro  ne  coUocava  all' altezza  di 
cinque  piedi.  II  snperiore  posto  tra  il  palo  ed  il  So- 
le nel  piano  del  meridiano  era  sempre  esposto  ai  rag- 
gi solari:  e  lo  sperimentatore  teneva  sempre  all' om- 
bra  del  palo  I'inferiore.  In  giorni  e  stagioni  e  circo- 
stanze  diverse  del  Cielo  egli  osservo  la  corrispoeiden- 
za  di  questi  termometri  nelle  diverse  ore  del  giorno; 
e  n'ebbe  i  seguenti  risultati  espressi  coUe  sue  mede- 
sime  parole. 

„  Alia  mattina  due  o  due  ore  e  mezzo  incirca 
„  dopo  il  nascer  del  Sole  i  due  termometri  son  d'  ac- 
,,  cordo,  ed  indican  la  stessa  temperatura  prescinden- 
„  do  dalle  piccole  oscillazioni  prodotte  da  circostan- 
„  ze  accidental.  A  misura  che  il  Sol  s'  innalza  il  ter- 
„  mometro  inlVriore  si  scald.i  piii  del  snperiore;  e  la 
„  loro  maggior  difTerenza,  che  ha  luogo  nel  mouiCi>- 

TILF'.IL  44 


35o  V  E  N  I  N  I 

„  to  pill  caldo  del  giorno,  e  di  circa  due  gradi  del- 
„  la  divisione  in  80  parti;  de'  quali  il  termometro  in- 
„  feriore  e  pin  alto  del  snperiore. 

„  Passato  qiiesto  massimo  di  difTerenza  i  due  ter- 
„  mometri  si  riaccostaiio;  e  qualche  tempo  prima  del 
„  trainontar  del  Sole  si  raggiungon  nuovainente;  poi 
„  si  sorpassano  in  senso  coiitrario:  il  termometro  in- 
„  feriore  sta  piii  basso  dell'  altro  :  caduto  il  Sole  la 
„  diflerenza  cresce  velocemente ;  e  verso  la  fin  del 
„  crepuscolo  giunge  a  due  gradi,  e  talora  aiiche  piu. 
„  Questa  diflerenza  segue  ad  esser  la  stessa  durante 
„  la  notte  ed  il  crepuscolo  del  mattino;  e  solo  alcun 
„  tempo  dopo  il  nascer  del  Sole  i  termometri  comin- 
„  ciano  a  riaccostarsi  per  raggiungersi  di  nuovo  e  at- 
„  traversarsi  circa  due  ore  dopo. 

V  Tal  e  il  movimento  costante  dei  due  termometri 
„  distant!  cinque  e  yS  piedi  da  terra  ogni  volta  che 
„  il  tempo  e  tranquillo  e  sereno:  egli  e  lo  stesso  nel- 
„  le  varie  stagioni  dell'  anno,  e  non  ostanti  i  venti 
„  e  le  nubi,  sebben  meno  sensibihnente  in  quest' ul- 
„  timo  caso:  e  ne'  soli  giorni  compiutainente  e  uni- 
„  forniemente  nuvolosi,  e  quando  regna  un  vento  for- 
„  tissimo  o  una  densa  nebbia  i  due  termometri  di- 
„  sianti  -Q  piedi  son  presso  a  poco  d'  accordo  in 
„  tutco  il  corso  del  giorno.  „ 

Da  questo  ragguaglio  dell'autore  10  non  posso 
raccoglier  la  legge,  con  cui  il  termometro  inferiore  \a, 
in  confronto  del  superiore,  innalzandosi  dopo  il  na- 
scer del  Sole  per  lo  spazio  di  due  gradi  nelT  inter- 
vallo  di  circa  due  ore  e  mezzo;  e  di  altri  due  gradi 
dal  momento,  in  cui  ha  raggiunto  il  superiore  Quo  a 


SULLE    LlVrXLAZlONI    BAnOMETUlCIIE  35  I 

tre  ore  di  sera:  e  lo  stesso  dicasi  del  suo  abbassainen- 
to  dalle  3  ore  fino  a  quella  del  Sol  cadente,  e  poi 
della  flue  del  crepuscolo  vespertiiio.  Per  iiscir  di  qiie- 
sta  incertezza  e  diinque  d'  uopo  ricorrere  a  qnalciie 
supposizione;  e  la  piii  naturale  a  nie  par  quella  del- 
ruiiiformitii  nella  progressione  delle  dillerenze  dei  due 
termometri  .  Di  quesca  mi  serviro  dunque  allorche 
avro  occasione  di  ridurre  le  altezze  osservate  ad  una 
data  ora  d'  iin  dato  giorno  in  un  termonietro  distaute 
cinque  piedi  da  terra  alTakezza,  che  nello  stesso  mo- 
mento  avrebhe  avuta  un  altro  terinometro  alia  distan- 
za  di  piedi  yS. 

69.  II  celebre  Bouguer  aveva  detto  che  negli  al- 
ti  monti  del  Peru,  se  dalle  prime  quattro  cifre  del- 
la  differenza  dei  logaritmi  delle  altezze  barometriche 
osservate  al  piede  ed  alia  sommita  d'un  monte  si  sot- 
trae  un  trentesimo,  il  residuo  da  la  vera  altezza  del 
monte  in  tese  di  Francia;  ma  aveva  anche  soggiun- 
to,  che  quesra  regola  si  verifica  soltanto  nelle  parti 
dclia  Cordeliera,  che  stan  sopra  la  valle  di  Quito. 
II  sig.  De  Luc  osservo,  che  in  que<;ta  regola  non  fas- 
si  menzion  veruna  della  tempeiatura  dell'  aria,  seb- 
bene  al  variar  di  questa  debba  variar  la  Innghezza 
della  colonna  aerea,  che  corrisponde  ad  un'egual  dif- 
ferenza  dei  logaritmi.  Egli  vide  pero  che,  se  per  la 
temperatura  poco  variabile  nelle  osservazioni  barome- 
triche degli  accademici  francesi  convien  sottrarre  nn 
trentesimo  della  differenza  logaritmica  per  aver  V  al- 
tezza del  monte,  la  sottrazione  sarebbe  stata  minore 
ad  una  pin  alra  tem[)eratura ;  e  che  questa  cresriura 
ad  un  certo  grado  avrebbe  resa  nulla  la  sottrazione. 


352 


E  N  I  N  I 


e  data  1'  altezza  in  tese  francesi  coUa  sola  differenza 
logarirmica.  Ma  questo  (io  credo  avra  egli  detto  se- 
co  niedesimo)  perche  non  dovra  verificarsi  nelle  nu- 
merose  osservazioni  da  me  facte  sul  monte  Saleve  a 
tante  diverse  temperature?  Esamiiiiamole  dunque  at- 
tentanieiite;  e  vediamo  a  quale  altezza  media  dei  ter- 
niometri  esposti  all'  aria  nelle  due  stazioni  iuferiore 
e  superiore  corrisponda  una  dilTerenza  logaritmica  e- 
guale  alia  vertical  distanza  delle  stazioni.  Egli  fece 
r  esame,  e  trovo^  come  dice  al  num.  588:  „  die  cal- 
„  colate  tutte  le  osservazioni  coi  logaritmi;  e  combi- 
„  nando  tutte  quelle,  nelle  quali  la  difl'erenza  dei  lo- 
„  garitmi  dava  presso  a  poco  T altezza  dei  luoghi  in 
„  niillesimi  di  tesa,  il  calor  medio  nel  tempo  delle 
„  osservazioni  era  stato  corrispondente  a  i6°  i  del  ter- 
V  mometro  di  mercurio  diviso  in  8o  parti  fra  i  due 
„  termini  fissi.  „ 

L'  autore,  dopo  aver  dato  questo  seinplice  cen- 
no,  nulla  ha  detto  del  modo,  con  cui  trovo  il  suo 
risultato:  ond' io  mi  son  determinato  a  verificarlo.  A 
tal  fine  ho  avvertito  primieramente,  che  le  osservazio- 
ni facte  alle  tre  prime  stazioni;  nelle  quali  per  le  lo- 
cali  circostauze  indicate  dall'  autore  la  temperatura 
media  e  troppo  incerta,  debbon  esser  escluse.  Ho  se- 
parate le  osservazioni  fatte  al  nascer  del  Sole,  per- 
che dan  risultati  troppo  diversi  da  tutte  1'  altre.  Fi- 
nalmente  ho  distinte  le  osservazioni  fatte  al  Sole  dal- 
le fatte  a  ciel  coperto,  o  in  di  sereni,  ma  a  Sol  tra- 
montaro. 

Affiu  d'  ottenere  con  qualche  precisione  la  cer- 
cata  temperatura  mi  son  ristretto  a  quelle  osservazio- 


6ULLE    LIVELLAZIONI    BAKOMETUICIIE  353 

ni  sole,  nelle  qiiali  la  differenza  tra  1'  altezza  vera 
ed  il  risultato  loj>;aritmico  non  e  sensibilmente  maii;- 
giore  di  4  piedi,  differenza,  che  puo  esser  attribuita 
air  incertezza  d'  un  ventesimo  di  linea  nella  niisura 
delle  altezze  barometriche.  Questa  condizioii  si  vt*ri- 
fica  in  16  osservazioiii  fatte  in  giorni  sereiii;  in  8  di 
ciel  coperto;  ed  in  quattro  del  nascer  del  Sole.  Cal- 
colaie  senz'  alcuna  correzion  dei  termometri  le  osser- 
vazioni  fatte  in  giorni  sereni,  e  chiamate  T,  f  le  al- 
tezze dei  termometri ,  ho  trovati  i  seguenti  vaiori  del- 

la  temperatura  media 

16  ,  io5 
16  ,  io5 

16  ,  965 

17  ,  a3 
17  ,  39S 
16  ,  535 

16  ,  75 

17  ,  825 

18  ,47 

16  ,  535 

17  ^  717 
16  ,  965 

16  ,  75 

17  ,  395 
16  ,  3a 
16  ,  64.H 


Somma  271  ,  7o5 


35.i 


V  E  N  I  N  I 


La  somma  e  271  ,  70$;  la  qual  divisa  per  16  d^ 
16,982  per  valor  medio. 


I  valori  di 
perto  furono 


T 


nelle   osservazioni   di   ciel  co- 


16 
16 
16 

17 
16 
16 
16 
16 


,  535 
»  7S 
,  965 
,  395 
,  96S 
,  965 
,  535 
,  4a8 


Qui  la  somma  e  i34  ,  538,  e  la  temperatura  me- 
dia 16,817.  La  differenza  di  questi  due  medii  e  di 
i65  miliesimi  di  grado  . 

Unendole  poi  tutte  insieme,  come  soleva  fare  il 
De  Luc,  si  trova  la  somma  406,243;  ed  ii  medio 
16  ,  927;  la  cui  differenza  da  16  ,  78  e  di  177  mil- 
iesimi di  grado;  quantita,  che  senza  iucouveuieute  si 
puo  negligfiitare. 

70.  Per  le  sperienze  del  sig.  Pictet  nelle  osserva- 
zioni fatte  a  ciel  coperto  le  aitezze  d'  un  termome- 
tro  distanie  75  piedi  da  terra  sarebbero  state  uguali 
a  quelle  del  termometro  distance  cinque  piedi.  Ma  lo 
stesso  non  puo  dirsi  delle  osservazioni  fiitte  al  Sole 
in  ore  diverse  da  quelle,  in  cui  1  due  tenuometri  son 


9ULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE  355 

d'accordo.  Nelle  altre  ore  per  aver  la  corrisponden- 
za  dei  due  termometri  convien  primieramente  dimi- 
nuir  di  due  gradi  Far.  tutti  i  valori  di  T ,  t;  affia 
d' avere  le  altezze,  a  cui  si  sarebber  tenuti  all' om- 
bra.  A  2  gra.  Far.  corrispondon  o  »  Re:,  cui  per  mag- 
gior  semplicita  si  puo  senz'inconveniente  sostituire  un 
grado  intero.  D' un  grado  ho  io  quindi  sminuite  tuc- 
te  le  altezze  T ,t  dei  termometri  esposti  al  Sole.  Ora 
dichiarero  in  qual  maniera  da  queste  altezze  dei  ter- 
mometri supposti  air  ombra  e  distanti  cinque  piedi 
da  terra  ho  dedotte  le  altezze  corrispondenti  dei  ter- 
mometri esposti  al  Sole  alia  distanza  di  piedi  yS. 

Le  osservazioni  del  sig.  De  Luc  furon  fatte  pres- 
so  a  Ginevra  per  la  cui  latitudine  ho  calcolate  le  ore 
del  nascere  e  cader  del  Sole,  e  della  fine  del  crepu- 
scolo  vespertino  pei  mesi  e  pe'  giorni  delle  osserva- 
zioni. Cio  premesso  suppongo,  die  per  un  dato  gior- 
no  deir  anno  il  Sol  nasca  a  minuti  A^  del  mattino ; 
nel  qual  momento  il  termometro  superiore  e  di  due 
gradi  piu  alto  dell'inferiore.  Or,  dovendo  per  le  spe- 
rienze  del  sig.  Pictet  questa  diflferenza  esser  nulla  due 
ore  e  mezzo  dopo  all'  incirca  ,  cio  avverra  a  minuti 
iV  H-  i5o.  Sia  T  r  altezza  del  termometro  inferiore 
osservata  a  minuti  n  del  mattino;  e  si  chiami  T'  I'al- 
tezza  corrispoiidente  del  superiore.  Se  fosse  iV=:n.  sa- 
rebbe  Z"  =  7'  -1-  2;  ma  quando  //  e  =  A'  -+-  i5o,  T' 
e  =  T.  Affin  di  trovare  il  valor  di  T'  nelle  ore  in- 
termedie;  nelle  quali  io  suppongo,  come  ho  gia  det- 
to,  le  variazioni  uniformi;  avrem  dunque    V  analogia 

i5o  :  rt  — JV  =  2  : j^—:  il  cui  quarto  terroine  indi- 

75  A 


356 


E  N  I  N  I 


ca  dl  qiianto  nei  due  termometri  e  diminuita  la  dif- 
fcrenza.  JNel  tempo  dell*  03servazione  e  dunque  T' = 

75 

Nella  seconda  osservazlone  della  stazlon  IV,  a 
cagion  d' esempio;  clie  si  fece  nel  giorno  12  Febbra- 
jo  ad   ore   9   I   del   mattino  fu   N  =  ^\^\   n,  =  555  • 

/i-iV=  141-,  ed^-=-^=  I  ,88.  Dunque  T'=^T-^ 

75 

2  —  I  ,  88  =  Z" -4-  o  ,  12.  Le  temperature  osservate  al 
Sole  furono  7"  =  -»-  3  ,  85;  t  =  o  ,  84;  e,  fatta  la  ri- 
duzione  per  1' esposizione  all'  ombra,  7"=  -h  2  ,  85; 
f  =  —  o  ,  16.  Or  quindi  viene  J"  =  -t-  2  ,  97;  e  t'  = 
—  0,4.  La  correzione  in  questo  caso  e  piccolissima, 
perclie  1'  osservazion  si  fece  a  due  ore  e  quasi  mez- 
zo dopo  il  nascer  del  Sole. 

Se  r  osservazione  e  fatta  tra  T  ora,  in  cui  i  ter- 
mometri son  d'accordo  e  le  tre  della  st^ra,  V  interval- 
lo  di  tempo,  cui  corrisponde  1'  alzamento  di  due  gra- 
di  nel  termometro  inferiore  in  confronto  del  superio- 
re  e  di  minuti  720  •+■  180  —  A'  —  i5o  =  700  —  N , 
e  qnello,  die  sta  fra  1' ora  suddetta  e  1' osservazione 
n  — iV— i5o.    Sara   dunque  750  — iV:«  -  A^— i5o  =  2: 

a  (  ra  — •  N  —  i5o)  rp, rp  _  a  (re  —  JV—  iSo  ) 

750  —  iV         '  ~"  700  —  A^ 

NelV  osservazion  \V  della  stazion  IV  fatra  il  di  7 
Agosto  ad  ore  8  |  del  mattino  fu  yV=2o8;  n  =  h2.b\, 


SULLE    LlVELLAZIONl    BAKOMtTRICHE  357 

75o-iV=46a;  n-N-i^o^^i;  ^  M^-iV- i5c)  ^ 

75o  —  JS 

^^^  =  o  ,  38.  Cio  posto  e  7"  =  T  -  o  ,  38.  Le  altez- 

ze  osservate  colla  solita  diminuzione  d'  un  grado  fu- 
rono  16,29;  ^3,92;  e  per  conseguenza  fu  !r'=  j5,9i; 
r  s=  1 3  ,  54 . 

Dopo  3  ore  di  sera  il  termornetro  inferiore  s'ab- 
bassa;  e  raggiunge  il  superiore  verso  il  cader  del 
Sole.  Se  questo  tramonta  ad  TV  minuti  della  sera,  Tin- 
tervallo  per  la  dimiiiuziou  di  due  gradi  sara  A'—  i8c; 
c  quindi,  se  T  osservazione  fassi  a  minuti  n  della  se- 

>»r  o  r.  a(«  —  180) 

ra ,  SI  avra   N  ~  1 80  :  n  —  180  =  2:  —^ jr—  . 

N  —  loo 

lo  posto  sara  i  '  =  T  ->.  2  -f.  — -— i 

Nell' osservazion  i5*  stazion  IV  del  giorno  12  Apri- 
le,  ore  3  |  della  sera  fu  iV=44i;  /i  =  225;  e  qum- 

di  — — 5— '= -4- =0,345;  r'  =  r— 2-+-o,345  = 

N  —  j8o  a6x  '    ^    '  '    ^ 

7^  —  T  ,  655.  Le  altezze  osservate  dei  termometri  col- 
la solita  diminuzione  furono  17,685;  14,782;  e  per 
conseguente  fu  jT'  =  16  ,  o3;  f'  =  i3  ,  127. 

final mente  dal  cader  del  Sole  fi;io  al  crepusco- 
lo  vespertino  il  termornetro  inferiore  scende  sotto  il 
superiore  di  altri  due  gradi.  Siano  TV  i  minuti  del 
cader  del  Sole;  N'  quei  del  crepuscolo;  ed  n  quelli 

T.  II.    P.  IL  45 


358  V  E  N  I  N  I 

deH'osservazione;  saraiV'  — A^:/i  — A^=2:  -—■ — j~  ; 

e   T'  =  T  •*-  —~ j^.  In  questi  casi,   non  essendo 

i  terraometri  esposti  al  Sole  non  dee  farsi  alle  altez- 
ze  loro  la  solita  diminuzione  d'  un  grado . 

L'  osservazion  i5"  della  stazion  V  fu  fatta  nel 
giorno  7  Settembre  a  6  ore  e  mezzo  della  sera  .  In 
essa  fa  dunque  iV'  =  492;  A'  =  ^87;  n  =  890;  e  per 

^    a  (re  —  N)         6  .  Ti,       rr  ^ 

conseguente -^rr:^^  = -^  =  0,  057 ;  e   T'  —  T-*- 

0,067.   Le  osservazioni   diedero   T=i6,9i5;   f=i6» 
io5;  onde  risulta    7"  =  16  ,  972;   e   t'  =  16  ,  162. 

Con  questo  metodo  io  ho  calcolate  tutte  le  tem- 
perature delle  16  osservazioni  fatte  in   giorni  sereni; 

.      .  T'  -^-  t' 
e  n'  ho  avuti  i  seguenti  valori  di  


16  ,  705 

14  ,  735 

1 5  ,  6o5 

14  .  64» 
i5  J  225 

i5  ,  4i5 

14  3  161 

i5  ,  655 

17  ,  099 


SULLE 

LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE 

l5 

>  4'9 

^4 

>  909 

i5 

,  871 

i5 

,  533 

i6 

»  "7 

i3 

,  6ia 

]5 

,   5a2 

359 


La  somma  e  246  ,  224;  e  questa  divlsa  per  16  da 
il  valor  medio  i5  ,  389.  Se  noii  avessi  fatta  la  ridii- 
zione  delle  temperature  dal  Sole  airombra,il  medio 
sarebbe  j6  ,  889  minore  del  termine  fisso  di  De  Luc 
un  po'  meno  di  f  di  grado.  Ma  questa  differenza  gia 
per  se  stessa  assai  piccola  pao  anche  in  gran  parte 
attribuirsi  all'  incertezza  dei  calcoli  alquanto  ipoteti- 
ci .  iSloi  possiam  duiique  ritenere  il  termine  fisso  16, 
75  del  sig.  De  Luc  pei  termometri  esposti  al  Sole  a 
cinque  piedi  da  terra;  e  ridurlo  a  i5,75  pei  termo- 
metri egualmente  esposti  al  Sole;  ma  alia  distanza  di 
piedi  75. 

In  quattro  delle  osservazloni  fatte  al  nascer  del 
Sole  la  differenza  non  oltrepasso  i  quattro  piedi;  ma 
la  lor  media  temperatura  fu  solo  di  gradi  11  ,  59  . 
Per  mancanza  di  esperienze  fatte  al  nascer  del  Sole 
io  non  so  di  qiiaiito  il  termoiiietro  debba  in  quell'ora 
esser  piu  alto  al  Sole  cbe  all'  ombra;  ma  non  credo, 
che  la  differenza  possa  esser  maggiore  d'  un  mezzo 
grado.  D'  un  mezzo  grado  avrebbe  dunque  a  dimi- 
nuirsi  l'  altezza  osservata;  poi,  come  voglioii  gli  spe- 


36o 


V  E  N  I  N  I 


limeiui  del  slg.  Pictet,  si  dovrebbe  accrescer  di  due: 
il  cbe  la  ridurrebbe  ad  1 1  ,  Sc;  -<-  i  ,  5  =  i3  ,  09  an- 
cor  troppo  piccola.  Le  osservazioni  fatte  al  nascer  del 
Sole,  non  potendo  combinarsi  coll'altre  assai  piu  nu- 
merose  io  son  d'avviso,  die  si  debbano  escludere.  E 
COS!  ha  fatto  il  sig.  De  Luc;  il  quale  ha  procurato 
eziandio  di  spiegar  quest' anornalia  per  mezzo  del  ven- 
to  orientale,  che  spira  per  1'  ordinario  al  nascer  del 
Sole . 

71.  Trovato  il  termine  fisso,  cioe  la  temperatura 
media  della  colonna  aerea,  posra  la  quale  la  ditferen- 
za  logaritniica  n'esprime  immediatamente  Taltezza  in 
millesimi  di  tesa,  resta  ancora  a  determinarsi  di  qiian- 
to  qufsta  hinghezza  sia  accresciuta  per  ogiii  grado  di 
calore  sopra  il  terrain  suddetto,  di  quanto  dimiuuita 
per  ogni  grado  al  di  sotto.  11  sig.  De  Luc  avrebbe 
potuto  liberarsi  da  quest'  indagine  Jaboriosa  prenden- 
do  un  medio  fra  i  risuUati  delle  sperienze  manome- 
triche  fatte  dai  Fisici,  e  note  ai  tempi ,  in  cui  egli 
scriveva.  Ma  a  lui  probabihnente  non  parve  ben  si- 
cura  la  supposizione;  clie  il  calore  operi  egualmente 
neir  aria  aperia  dell'  atmosfera  e  nelle  piccole  masse 
d'aria  -chiuse  in  un  manometro.  Determinossi  adunqne 
a  cercar  la  legge  delle  ddatazioni  e  condensazioni 
deir  aria  con  un  attento  esame  delle  osservazioni  da 
lui  fatte  al  monte  Saleve;  nella  qual  risoluzione  non 
so  se  piu  sia  da  lodarsi  la  prudenza  di  lui,  o  il  co- 
raggio  e  la  pazienza.  Ma  1' irregolarita  delle  osserva- 
zioni fatte  al  nascer  del  Sole  rendeva  inntili  i  suoi 
tentativi ;  e  sol  dopo  averle  separate  dalle  altre  ed 
escluse,  egli  pote  giugnere  al  fine  desiderate. 


8ULLE    LIVELLAZIONI    BAUOMETRICIIE  36 1 

„  In  tutte  le  inie  stazioni  (dic'egli  al  num  607) 

„  io  cercai  qual  era  il  rapporto  fra  I'altezza  del  liiogo 

„  ed  il  nuinero  medio  dei  piedi  da  aggiungersi  o  da  sot- 

„  trarsi  per  ogni  grado  del  termometro  presso  al  punto 

„  fisso,  e  qual  legge  seguivano  i  cangiameiiti  di  que- 

„  sti  rapporti  neirallontanarsi  da  una  parte  o  dall'al- 

„  tra  di  questo  punto  deterininato.  Finita  quest' ope- 

„  razione  vidi  tanta  conformita  fra  i  rapporti  trovati 

„  in  ogni  stazione,   e  cosi   poca   regolarita  nelle  lor 

„  piccole  differeuze;    che  mi    determinai   a   comhinar 

„  tutte  le  frazioni,    ch' esprimevano   questi   rapporti. 

„  Trovai  per  tal   mezzo ,   che  presso  la   temperatura 

„  fissa   la    correzione   per   ogni   grado   del  termome- 

„  tro  era   all'  altezza  del  luogo  come  i  a  2i5;  e  che 

„  gli  accrescimeiiti   o  diminuzioni    da   farsi   a    questo 

„  rapporto  per  la  dififerenza  dei  pesi  degli  stessi  vo- 

„  lumi  d'  aria  diversamente  scaldata  erano  con  suffi- 

„  ciente  esattezza   proporzionali  agli   eccessi  o  ai  di- 

„  fetti  deir  altezza  trovata  coi   logaritmi  in  confron- 

„  to  deir  altezza  del  luogo.  O  piu  generalmente:  che 

„  la    correzione  da    farsi  in   piu  o  in    meno  per  ogni 

„  srado  del   termometro  era  all'  altezza  data  dai  lo" 

„  garitmi   come   i   a  2i5„. 

Anche  qui  I'autore  s'e  contentato  di  comunicar 
ai  lettori  il  suo  risultato  senza  dimostrarne  ahneno 
con  qualch'esempio  la  verita  e  1' esattezza.  lo  procu- 
rero  dunque  di  supplire  a  questa  mancanza;  ed  a  tal 
fine  comincero  a  calcolare  per  mezzo  delle  osserva- 
zioui  fatte  alle  due  ultime  stazioni,  che  son  le  piii 
alte,  di  quanto  1'  aria  si  dilati  e  condensi  ad  ogni 
grado  del  termometro  diviso  in  80  frai  due   termini 


v. 


362  Y  E  N  I  N  I 

fissi.  Tutte  le  regole  conducenti  a  trovar  I'akezza  dei 
luoghi  per  mezzo  delle  ditt'erenze  logaritmiche,  non 
ommessa  la  correzion  del  calore,  son  contenuce  pel 
num.  39  in  questa  formola  generale: 

X  =  1 0000  (  I   -♦-  :^-^ )  L  —\ 

n  a 

nella  quale  T'  espiime  la   temperatura  o  il  termine 

fisso;  cui  corrisponde   x  =  loooo  L  -  ;  la  tem- 
peratura media  della  colonna  aerea  per  qualunque  ca- 
se particolare;  ed  -   la    dilatazione   o    condensazione 
*                               n 

deir  aria  per  ogni  grado  del  termometro  sopra  o  sot- 
to  il  termine  fisso.  Fongasi  ^  in  luogo  di  -;  e  la  for- 
mola diverra 

X  —  looco  (  I  -»-  ( ^-^^-~  T')E)L-. 

II  valor  di  T'  determinato  colle  osservazioni  del  sig. 
De  Luc  e  16  ,  76.  Per  mezzo  delle  stesse  osservazio- 
ni resta  dunque  da  trovarsi  anche  il  valore  di  E\  lo 
che  facilmente  si  ottiene  nella  seguente  maniera.  Sia 
D  la  distanza  verticale  dei  due  barometri  posti  in 
osservazione,  e  sostituendo  D  ad  x  la  formola  sara 

D  =  loooo  (  I  -H  (  ^-^^  -T')E)  L-; 

nella  quale  E  sara  incognita.  Or  questa  equivale  a 


SULLE    LIVLLLAZIONI    BAROMETRICHE  363 

F)  D  =  loooo  /y  —  -t-  1 0000  { \6.ih)EL—  ; 


e  pel  sue  mezzo  si  trova 
E 


A 

D  —  roooo  L  — 


a 


a  a 


Se  e  =  i6  ,  75  =  J"'  la  formola  /"si  riduce 

a 

A 
a  Z>  =  1 0000  L  —  e  piu  non  serve  a  trovare  il  valor 

T  -^  t 
di  E.  Ma  se e  magglor  o  minore  di  16,75  po- 

tra  talvoka  avvenire,  che  nella  frazion  precedente  il 
numeratore  ed  il  denoininatore  sian  di  segno  contra- 
rio;  onde  risuki   per  E  un   valor  negativo  .    Or  cio 


T  -f-  t 
vuol  dire  che,  se  in  sifFatti  casi supera  il  ternil 


ne  fisso,  la  correzione  in  luogo  d'  esser  additiva  di- 
vien  negntiva,  e  vice  versa;  la  qiial  cosa,  supposta  I'e- 
sattezza  del  termine  fisso  e  manifestainente  contrad- 
dittoria.  L'  osservazion  che  conduce  ad  un  risukato 
di  tal  natura  non  puo  esser  esatta;  e  per  i'  iinper- 
fezion  sua  dev' essere  rigettata.  Tal  e  la  sedicesiina 
della  stazion  iV;  in  cui  fu  i)  =  121  ,  444  tese;  A  = 


rri  , 

5 1 55  sedicesimi  di  linea;  a  =5oii ; =  '7  •>  -^P^*' 


364  V  E  N  I  N  I 


a 


—  i6  ,  7.5  =  o  ,  645.   Con  questi  dati  trovasi 


A  A 

1 0000  Z/  -  =  1 23  ,  043 ;  />  —  1 0000  Z/  —  =  —  I J  5qq  ; 
a  a  ^  ^ 

e  o  ,  645  ( 1 0000  Z/  — )  =  -»-  79  ,  263.  Sarebbe  dunque 

E  =  — — '  ^^-  =  —  o  ,  020148.   Per  una  temperatu- 
-t-  79  ,  363  ^  ^ 

ra,  che  supera  il  termine  fisso  di  0,648  invece  d'ac- 
crescer  il  risultato  logaritinico  dovrebbesi  aduiique  di- 
minuirlo;  o  per  isfuggir  questo  assurdo  converrebbe 
accrescer  il  termine  fisso,  e  renderlo  maggiore  di  17, 
395.  Suppongasi,  per  esempio,  =  20;  e  sara  17,39$ 
—  20  =  —  2  ,  6o5  .   Avrem  dunque  —  2  ,  6o5  (  loooo 

Z,-)  =  -.32o,53;  ed  E==  rLL.'j99  ^  o  ,  0049887 . 

Questo  -valor  di  E  non  contien  piii  alcun  assurdo;  e 
lascia,  che  la  correzione  tal  si  faccia  qual  e  richie- 
9ta  dalla  difFerenza  della  temperatura  media  e  del 
supposto  termine  fisso,  cioe  diminuendo  I'altezza  lo- 
garitmica.  Ma  questa  necessita  di  cangiare  il  termi- 
ne fisso  legittimamente  dedotto  da  un  gran  numero 
d'  altre  osservazioni  e  un  certo  indizio  dell'  inesattez- 
za  di  questa.  |^ 

Applichiam  ora  la  forraola  alle  due  ultime  sta- 
zioni  per  trarne  il  valore  di  E.  L'ultima  contiene  11 
osservazioni;  delle  quali  6  a  temperatura  minore  del 
termine  fisso,  e  cinque  a  maggiore.  In  questa  stazio- 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICIIE  365 

ne   Z)    e  =  487  ,  778    te.    Per    le   sei    prime  osserva- 
zioni  le  altezze  medie  dei  barometri  sonO/^=520i, 

T  -^-  t 
33;   a  =  4635;   e 16  ,  75  =  —  5  ,  5oi  .   Con 


questi  dati  troYO  D  —  loooo  L  —  =  —  12  ,  869; 

( 16  ,  75)  1 0000  Z  —  ■=  —  2754,066;  e  quia- 


0046727  = 


3754  ,066  ^    '     •         ai4 )  01 

Per  le  altre  cinque  fu  /4  =  6184  ,  6;    a  =  4641 , 

T-+-  ^ 
2;  e 16  ,  75  =  -t-  2  ,  924.  La  forinola  calco- 

lata  con  questi  dati  mi  conduce  ad  i7=  0,0049274  = 

r  •  II  valor  medio  di  E  vien  dunque  ad  essere 

202  ,  95  1 

o  ,  0048  =      ,/  -^  . 
ao8  ,  33 

JNella  penultima  stazione;  (in  cui  D  e  =457,08) 
sei  osservazioni  fnron  fatte  a  temperature  minori  del 
termine  fisso;  ma  la  temperatura  della  sesta  e  taiito 
viciiia  al  detto  termine,  die  si  deve  aver  per  ugua- 
le;  e  non  puo  servire  a  determinar  il  valore  di  E. 
Le  altre  cinque  osservazioni  danno  i  segueuti  valori 
raedii 

^  =  5214,2;  a  =  4683, 2;  e 16,75  =  — 4,  33225. 

T  II.    1\  II  "*  46 


366  V  E  N  I  N  I 

Calcolo  con  questi  dati  la  formola;   e  trovo  Zi"  =  o  , 


0046368  = 


ai5  ,  665  * 


Per  le  4   osservazloni  di  temperatura   superlore 
al   tennine  fisso  e   J  =  5i85  ,  5  ;    a  =  467.5  ,  5  ;    e 


—  16  ,  75  =  -4-  2  ,  5499;  e  quindi  risulta  E 


o  ,  0048609  =      /    „,  . 
■^        ao5  ;,  735 

II  medio  dei  quattro  valori  di  E  dcdotti  dai  cal- 
coli  precedenti  e   o  ,  0047744$  = 


aoy  ,  4-5  * 

La  differenza  tra  qiipsto  valore  e  quello  del  sig. 
De  Luc  e  0,00012326  quantita  cosi  piccola ,  che  nel 
calcolo  delle  osservazloni  del  monte  Saleve  non  puo 
mtrodurre  alcuna  sensibile  differenza.  Ed  invero  nel- 
la  prima  osservazione  della  stazion  VII,  la  tempera- 
tura essendo  stata  alia  massima  distanzu  dal  termine 
fisso,  da  questa  deve  nascer  la  massima  differenza  fra 
i  risiiltati  dellc  altezze  calcolate  coi  due  valori  di  E. 
II  calcolo  si  fa  col  la  formola 


X  =  1 0000  ( I  -+-  ( 


i6,75)ii')Z/-;  enel  pre- 

Si  Q0 


sente  caso  A  e  =  52 1 1 ;  a  =  49 1 6 ; 
—  i5  ,  695.  Sara  dunque 


T-t-  t 


—  16,75^ 


SULLE    LIVELLAZIOKI    BAROMETKICIIE  867 

X  =  1 0000  (  I  -  (  i5  ,  695  )  E)  L   -^  .    Sostituendo 

in  quest' equazione  i  due  valori  di  E  si  otterranno  i 
due  risultati   in  lese  x  =  2.34  ,  i3  per  la  supposizio- 

ne  ^\  E  =  -;  ed  x=  2?)4,6i6  per  qutlla  di  E 

3,09  ,45  ^  *         A 

=  — r'-,  cosicche  la  differenza  dei  due  risultati  non  e;iu- 

gtie  a  3  piedi  per  un'  altezza  di  1420  ;  ed  e  poco 
maggiore  di  %  per   100. 

72.  E  qui  non  credo  inutil  cosa  il  dimostrare  in 
qual  modo  dalle  osservazioni  delT ultima  stazione  pos- 
son  immediatamente  dedursi  i  valori  cosi  del  terinine 
fisso  come  dell'  espansione  o  condensazione  dell'  aria 
quasi  eguali  a  quelli  del  lisico  di  Ginevra.  Nelle  i- 
potesi  delle  espansioni  dell'aria  uiiiformi,  e  della  teni- 
peratura  della  colonna  aerea  espressa  dal  medio  ari- 
tmetico  delle  due  osservate  alle  sue  estremita,  la  tor- 
mola  generale  pel  calcolo  delle  altezze  e 

X  =z  B  I  10  (1  -t-  T  E)  L  —;   nella   quale   A  ,  a   son 

le  altezze  corrette  dei  barometri,  e  7"  la  temperatu- 
ra  media  dei  termometri.  Se  in  essa  sostituiremo  ad 
X  la  distanza  vertical  dei  barometri  data  dalla  mi- 
sura  geometrica  o  dalla  livellazione,  ed  espressa  da  />, 
potremo  considerar  come  incogniri  i  valori  di  E,  e  di 
£  t  10;  e  determinarli  nel  modo  seguente. 

Per  un  certo  numero  d'osservazioni  siano  /i,a  le 
altezze  raedie  dei  barometri,  T  la  temperatura  media, 


368 


V  E  N  I  N  I 


e  per  nn  numero  similmente  dato  d'  akre  osservazio- 
ni  A' ,  a  ,  T'  le  quanrita  corrispondenti .  Da  queste 
supposizioui  nascon  le  due  equazioiii  seguenii 

D  =  B  I  io(  I  -t-  T  £)  L- 

^  'a 


D  =  B  I  10  (  I  -i-  T'  £)  L~;  ovvero 


B  I  10  = 


D 


(i  -H  TE)L 


a 


Bl  10  = 


D 


A' 


Col  mezzo  di  questi  due  valori  dl  B  I  \o  si  for- 
mera  dunque  una  nuova  equazione ;  dalla  quale  si 
dedurra 


E^ 


a  a 

T'  L—  ~  T  id 


a' 


a 


Nella  stazion  XV  fu  Z)  =  487  ,  778  te.;  ed  i  va- 
lori medii  per  le  prime  6  osservazioni  A  =  Saoi  ,  33  ; 


a  =  4635 ;  X  -  =  o  ,  0500647 ;  ^  =  1 1  »  2149  •   Qiielli 
delle   altre  cinque  fnrono  J'  =  6184  ,  6;  a'  =  4641  , 


A' 


a;  L  —=0,0480850;  e  T' =  19,674.  Ora  per  mea- 


a 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAKOMETRICIIE  869 

A  A' 

zo  di  questi  valori  si  trova  L Z,  —  =0,0019797; 

T'L-,-TL-  =  o,  38284;  e  quindi 

J.        0,0019797  - 

E  =  _i-— ^^-^i  =  o  ,  0051711  . 
o ,  38io4 

Sostitiiisco  qnesto  valor  dl  E  in  un  di  quelli  di 
B  I  \o;  e  mi  risuka  B  t  10  =  9207  ,  37. 
Determinate  cosi  le  due  iiicognite  ne  sostituisco  i  va- 
lori nella  formola  generale;  e  mi  viene 


T  -*- 1 

X  =  9207  ,37(1  -»-  ( o  ,  oo5 1711) )  L 


A 

a 


Per  dare  anche  a  questa  una  forma  simile  a  quel- 
la  del  sig.  De  Luc  la  paragono  colla  formola  gene- 
rale  {F)  del  num.  39,  cioe 

X  =  loooo  (  r  —  -  )  ( 1  -+-  —. ^.  )  E-; 

e  mi  vengon  queste  due  equazioni 

7"  t 

10000  (  I )  =  9207,37  ;  —  =  o  ,  0081711 ; 

^     n  ^         n  —  1 

ovvero,  sostituendo  ^  ad  -  , 

n 

10000(1  -  r'i:)  =  9207,37;  --—^^  =  0,0051711. 

E  per  mezzo  di  queste  si  troveranno  i  valori  di   E^ 
e  di  T'. 

Fatto  il  calcolo  ne  risulta  £"  =  o  ,  0047612  = 


370  V  E  N  I  N  I 

x;  e  2"'  =  16  ,  648;  i  quali  valori  sostituiti  nel- 

la  forniola  (F)  del  num.  89  danno 

,  T-f-^—  16  ,648  ,    ,  ^ 

a;  =  loooo  ( 1  h , '-~p~  )  L-. 

a  (  aio  , o3)       '        a 

I  valori  di  T'  e  di  n  sono  in  questa  formola  tan- 
to  vicini  a  quelli  del  sig.  De  Luc;  clie  nel  calcolo 
delle  akezze  non  possoji  condurre  a  risultati  sensibil- 
mente  diversi .  In  fatti  nel  caso  di  7"  -h  r  =  o  ,  che 
ben  di  rado  puo  aver  luogo  nelle  akezze  alquanto 
grandi,  la  differenza  sarebbe  una  delle  maggiori;  ma 
non  passerebbe  1' uno  e  mezzo  per  mille. 

7-3.  Per  determinare  il  valor  di  E  colle  osserva- 
zioni  facte  a  ciel  coperto  10  bo  calcolate  separata- 
mente  tutte  quelle,  che  il  sig.  De  Luc  ha  registrate 
nelle  sue  tavole  cominciaudo  dalla  stazion  V.  Sedici 
di  queste  furon  fatte  a  temperatura  inferiore  al  ter- 
mine  fisso,  e  nove  a  temperatura  superiore.  Le  pri- 
me   ora    son   maggiori   or    minori    di    o  ,0046512  = 

— :  espansione  del  sig.  De  Luc;  e  la  lor  media  e  = 

o  ,  0046.348.  La  differenza  tra  questo  valore  e  quel- 
lo  del  fisico  di  Ginevra  e  =  o  ,  0000164;  e  questa 
moltiplicata  anche  per  16  gradi,  ai  quah  nelle  os- 
servazioni  del  monte  Saleve  non  e  mai  giunto  il  va- 

•  T"  -4-  ^ 
lore  di  —  16  ,  76,   porterebbe  nei  risultati   dei 

calcoli  la  dilTerenza  d'  un  quarto  per   mille  nell'  al- 


w»- 


SULLE    I.IVELLAZIOXl    B.VllOMETKICHE  07! 

tezza  clella  stazione.  In  tutte  le  os«ervazionl  fatte  a 
ciel  coperto,  etJ  a  temperatura  iiiferiore  al  terniine 
fisso  parmi  dimque,  die  si  possa  con  sicnrezza  a- 
doitare  il  valor  di  E  asse<>;nato  dal   siu;.  De   Luc. 

Welle  osservazioni  di  teujperatura  superiore  al 
tennine  fisso  una  sola,  cioe  I'ultima  della  stazion  IX 
da  ad  E  un  valor  superiore  a  o  ,  0046.512.  tutte  Tal- 
tre  lo  dan  minore,  ed  alcune  d'assai.  L' osservazion 
decima  drlla  stazion  XII  conduce  ad  .£"=0,0016996 
minore  del  valor  di  De  Luc  di  o  ,  0029516.  Or  que- 
sta  diff'erenza  moltiplicata  per  2  ,  2576   valore  di 

16  ,  75  nella  detta  osservazione   produce  un 

eccesso  di  6  millesimi  e  f  delT  altezza  totale,  o  al- 
quanto  pin  di  17  piedi.  £  tale  appunto  e  in  questo 
caso  r  errore  della  regola,  come  si  vede  nella  tavo- 
la  di  questa  stazione.  11  valor  di  E  per  1' ultima  os- 
servazione della  stazion  IX  e  o  ,  0055714  superiore 
al  sopra  indicato  della  stazion  XIE  di  o,oo387i3. 
Qual  possa  esser  la  cagione  di  tanta  irregolarita  nel- 
le  espansioni  dell'aria  corrispondenti  alle  osservazioni 
fatte  a  ciel  coperto  ed  a  temperatura  superiore  al 
termine  fisso  io  non  saprei:  so  pero,  che  una  irre- 
golarita cosi  fatta  rende  molto  incerti  i  risultati  del- 
le  livellazioni  baronietriche  fatte  in  tali  circostanze 
di  temperatura  e  di  cielo;  e  clie  miglior  consiglio  e 
r  astenersi  allora  dal  farle. 

74.  Ma  quali  saranno  i  valori  di  E  nelle  osser- 
vazioni fatte  a  ciel  sereno  ma  in  ore  non  distanti 
pill  di  3o  minuti  dalle  tre  pomeridiane?  Per  qucste  la 


372 


V  K  N  I  N  I 


correzione  tledotta  dalle  sperienze  del  sig.  Pictet  di- 
niinuisce  quasi  di  due  gradi  la  tcinperatura  osserva- 
ta .  ]Ma  si  avverta,  clie  la  correzion  deve  farsi  anclie 
alia  temperatura  del  termine  fisso;  la  quale  nell' os- 
servaziou  4*  della  stazione  XIII  fatta  a  due  ore  48 
minuti  di  sera  fu  di  gradi  i3,6ii  pei  termometri 
aH'ombra.  Con  questo  valore  del  termine  fisso ,  e  non 
con  16  ,  75  si  avran  dunque  a  calcolare  i  valori  di 
E  nelle  osservazioni  fatte  alle  ore  anzidette;  volen- 
do  a  quelle  applicar  la  correzione.  Eccone  alcuni  e- 
sempj 

Stazione  VI,  osservazion  9^  Aprile  19,  sera  2  "45'. 
i)  =  2o3^iii;    J  =  5i56;    a  =  491^;  tempera- 


tura   media  dei  termometri  al   Sole 


=  12  ,  665 ; 


air  ombra   11  ,  665. 

T\T         9  nor        T  -^  t  a(«  —  iV—  l5o)  ,,      f  f-r 

iV  =  3io;  ;i=885; ^ — r ~ — i=ii,665— 

'       -  750  —  iV 


I  ,  93  =  9  ,  y35  = 


a, 

T'  -^  t' 


Sara  dunque i3  ,  612  =  —  3  ,  877  .    Senza 

la  correzione  si  ha 16  ,  75  =  —  4  ,  o85  . 


Fatti  i  calcoli  con  questi  dati  trovo  per  E  i  se- 
guenti  valori 


8ULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRIC  HE  SyS 

senza  correzione  colla  correzione 

jF  =  o  ,  oo5632o  JE  =  o  ,  005934a 

Stazion  YI,  osservazion  17^;  Agosto  29,  sera  3°'  i5'. 
D  =  2o3  ,111;   ^  =  5196;   a  =1  4960 ;  = 

17,825;  iV=4ci;   n=i95; i3  ,  612  = 

-♦-  I  ,  349. 

Valori  di   E 

senza  correzione  colla  correzione 

o  ,  0057001  o  ,  0045423. 

Stazione  VIII,  osservazion  i5s  Agosto  7,  sera  3  «'  3o' 
Z)  =  3oo  ,  o83  ;  ,4  =5189;  n  =  485o; =21,48 

N  =  432 ;  71  =  2 1  o ; i3, 612  =  5,1 06. 

a, 

Valori   di   E 

senza  correzione  colla  correzione 

o  ,  0048008  0,0044474 

lo  ho  calcolate  per  simil  guisa  le  altre  osserva- 
zioni  delle  tavole  del  si^.  De  Luc,  fatte  alle  ore  an- 
zidette  ( fccetinaiidone  per  le  ragioai  da  me  gia  la- 

T.  II.     P.  LL  47 


374 


V  E  N  I  N  I 


dicate  quelle  di  temperatura  troppo  vicina  al  terrai- 
ne  fisso)  e  u'  lio  avuti  i  segueiui  nsultati 

Valori  di  E  per  le  temperature  inferior!  al  tennine  fisso. 


senza  correzione 


o  ,  oo563ao 


45301 
60281 
6o83o 
51662 


colla  correzione 
o  ,  005934a 
49959 
64301 
6296a 
S4959 


0  ,  0274349 

0  J  o29i5a3 

per  le  temperature  superiori 

al  termine  fisso 

0  ,  ooS^ooi 

0  ,  0045428 

48008 

44474 

45881 

42192 

48^81 

47.98 

45415 

42586 

39303 

37839 

6o5o4 

4970* 

78338 

6764a 

4891 1 

46  ICO 

o  ,  047164a 


o  ,  o4a3i56 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAUOMETRICIIE  SyS 

I  valori  rnedii  dei  quattordici  sono 
senza  correzione  colla  correzlone 

o  ,  0053285  0^,0051048. 

Sostituendo  questi  valori  di  £",   e  qnelli  dl   7", 
cioe  16,75;  e   i3-,6i2  nella  formola 

X  —  10000  ( 1  -^  ( T')  E)L-  trovansi  risul- 

tati  quasi  eguali  fra  loro,  e  per  1'  ordinario  assai  vi- 
cini  a  quelli  della  regola  del  sig.  De   Luc. 

Prendiamoiie  per  esempio  1'  osservazioiie   14'  del- 
la  stazion  IX;  nella  quale  fu  Z>  =  32  7,  5^1 ;  ^^=5190; 

T  -^  t  T'  -*-  t' 

0  =  4820; 16,75  =  4,3;  e i3  ,  612  = 

a  a 

4,676.  II  valor  di  £"  senza  correzione  e  =o,oo53285; 
e  colla  correzione  =  o  ,  0051048. 

Calcolando  1'  altezza  senza  correzione  la  formola 
diviene 

X  —  loooo  (1  -♦-4,3(0,  0053285 )  )  L  — ^  ;    ed    in 

'  4oao 

questo  caso  il  risultato  del  calcolo  e  di  tese  328,56. 
J\Ia  per  calcolar  I'aliezza  colla  correzione  e  d'uo- 
po  supporre  ,  che  i  barometri  sian  trasportati  a  75 
piedi  d' altezza  sopra  le  due  stazioni;  per  la  qual 
supposizione  1'  altezza  del  barometro  inferiore  diini- 
nuira  presso  a  poco  di  i5  sedicesimi  di  linea,  e  qutl- 
la  del    superiore  di  14.   Sara  dunque  J=5j75;   ed 


376  V  E  N  I  N  I 

a  5=  4806.  Per  queste  supposizioni  la  formola  vien  ad 
essere 

X=  ICOOO  (  I  -+-4,676  (0,0051048)  )  L  —rr-T  ==  327  '  9^' 

La  dilTerenza*  trai  due  risultati  e  dunqne  di  |  di 
tesa  su  3^7,5:^.1 ,  cio^  alquanto  ineno  di  due  per  mil- 
le.  Per  la  regola  del  sig.  De  Luc  £"  e  =  o  ,0046512; 
e  calcolaudo  la  formola  con  questo  valore  trovasi  x  = 
327  ,  63  maggiore  dell'  alcezza  llvellata  di  o  ,  089  di 
tesa  o  poco  piu  d'  un  mezzo  piede.  Degli  altri  due 
risultati  uno  supera  1' altezza  livellata  di  te.  1  ,019; 
r  altro  di  o  ,  369. 

In  genere  calcolaudo  le  14  osservazioui  coi  valo- 
ri  assegiiati  dal  sig.  De  Luc  al  termiue  fisso  ed  all'e- 
spausiou  delTaria  si  liau  uove  risultati  o  eguali  a  quel 
della  livellazioue  o  minori  tutto  al  piii  di  4  piedi ; 
nelle  altre  cinque  i  risultati  sono  quattro  volte  mag- 
giori  di  piedi  5,6,  12,  e  16;  ma  uno  e  minore  di 
12;  il  che  iiidica  per  mio  avviso,  doversi  le  diff'eren- 
ze  attribuire  ad  altre  circostauze  che  a  quella  dell'  o- 
ra»  in  cui  furon  fatte  le  osservazioni. 

Da  tutte  le  cose  dette  parmi  di   poter  finalmen- 

te  concliiudere  F  die  il  valore  — r  dal  sis;.   De    Luc 

ai5  ° 

assegnato  all'  espansioni  e   condensazioni   dell'  aria  e 

legittiniamente  dedoito  dal  complesso  di  tutte  le  sue 

osservazioni:    11"  die  la  sua  regola   puo   sicuramente 

applicarsi  auche  alle  osservazioni  fatte  in  ore  assai  vi- 

cine  a1le  tre  pomeridiane;    per  le    quali  le   sperienze 

del  sua  dotto  concittadino  potevan  farla  temer  difet- 

tosu. 


SULLE    L1VELLAZIONI    BAKOMLTRICIIE  877 

75.  II  calcolo  del  la  forrnola 

a;  =  1 0000  ( 1  H ^^ ', -^  )  L  -  ha  clue   in- 

convenient!:  il  primo  di  dover  in  ogni  caso  particola- 
re  sottrane  il  termine  fisso  16,75  dalla  temj)eratura 
media  osservata:  il  secondo  di  aver  sempre  a  calcolar 

•1       1          V            s  (T-f-  ?)  —  16  ,  75  .   ,  , 

11  valore  di  i  -h  — ^ . -^  :  per  cui  deve  mol- 

tiplicarsi  il  risultato  logaritmico  affin  d'  avere  la  cor- 
rezion  del  calore.  Ognun  vede,  che  il  primo  incon- 
veniente  si  puo  facilraente  schivare  trasportando  al 
termine  fisso  16,75  il  cominciamento  o  zero  della  sea- 
la;  nel  qual  caso  i  gradi  superiori  al  detto  termine 
son  positivi;  negativi  gVinferiori.  II  grado  deiracc[ua 
bollente  e  in  questa  scala  -♦-63,25;  quelle  del  ghiac- 
cio  in  fusione  —  16  ,  75.  Cliiamando  Z",  t'  1  gradi 
osservati  su  questa  scala  sara  Z"  =  7"  —  16  ,  75;  t'  =  t 
—  16  ,  75;  e  le  altezze  si  calcoleran  colla  forniola 

X  =  1 0000  L  — »- .  (  10000  L  —  )  . 

a       a  .  a  1 5   ^  a  ' 

Piu  difficile  era  il  liberarsi  dal  secondo  inconve- 
niente;  ma  il  sig.  De  Luc  ci  pervenne  coll'  ingegno- 
so  ripiego  di  dare  alia  scala  del  tennometro  una  nuo- 
va  graduazione.  Ecco  in  cosa  consiste  questo  felice 
ed  utilissimo  ritrovamento.  Sieno  T"  c"  i  gradi  d'  un 

termometro  diviso  in  maniera  ,  che  equivalga 


J  000 


378 


V  E  N  I  N  I 

a  r.  In  tal   caso  il   moltiplicatore  del    risultato 

logaritmico  si    riduce  ad    un    millesimo    della   somma 
dei  due  gradi  indicati  dalla  nuova  scala  del  terinome- 


tro.  Or  dalla  siipposizione  di 


rpii 


t' 


diice  immediatamente  T"  h-  f" 


1000  a.2ii5 

ai  5 


side- 


Si  osservi,  die  i  gradi  T\t'  son  presi  in  un  ter- 
mometro,  il  cui  intervallo  frai  due  termini  fissi  e  di- 
viso  in  80  gradi.  Dividasi  ora  lo  stesso  intervallo  in 
un  nuraero  di  gradi,  clie  sia  ad  80  nel  rapporto  di  5oo 
a  21 5  cioe  in  186  numero  intero  dato  dalT  analogia. 
I  gradi  di  questa  nuova  divisione  saran  dunque  Z"'  = 


]86  T 
80     ' 

5co  ( T 


00 


i86(r'-t-  t') 


n 


;  e  per  conseguente 


80 
T"  -4-  t' 


a.ai5 


ai5  '        *■  ^  1000 

Al  grade  16  ,  75  della  scala  divisa  in  80  parri  cor- 
risponde  il  grado  88,944,  opiu  sempliceniente  3q  nel- 
la  scala  divisa  in  186.  Alia  temperatura  dell'  acqua 
bollente  corrisponde  adnnque  in  c[nesta  nuova  divisio- 
ne il  grado  •+■  147;  ed  il  grado  —  89  a  quella  del 
ghiaccio  in  fusione. 

Con  questa  nuova  dfvision  del  termometro  la  re- 
gola  del  fisico  di  Ginevra  e  espressa  da  questa  for- 
mola  semplicissima 

t") 


.X  =  1 0000  Z/  —  -t-  i- 

a.  icoo 


I  GOOD  L  — 

a 


SULLE    LiVELLAZIONI    BMIOMLTRICIIE  679 

Per   verier  di   ciuatuo  essa   reiula    piu    agevole   il 
calcolo  ne  serva  d'  esempio  1'  osservaziou  prima  della 

stazioii  XV;  in  cui  fu  J=  6209;  a  =  46.32; = 

7 ,  5o5  nel  termometro  di  Go  gradi;  e  quiiidi  — 

16  ,  75  =  —  9  ,  245.    In  questo  caso  abbiam   duiique 

f  9  ,  245  ,   ,  5  ioq     ^       9  ,  a4'>  , 

X  =  loooo  (  I  —  - — —  )  L    ~ .  Ora  ^     ^    e  = 
^  ai5     '       463i  ai5 

,  0  ,  245  r         T"       1  r  -^   < 

o , 042099;  ed  I— 7-  =  o  ,  067 .  1  inalmente  jL  —  e  = 

o  ,  o5o9858;  e  da  tutti  quest!  dati  viene  il  calcolo  se« 
guente 

L  loooo  =  4  ■  0000000 

X{L^)  =  8  .  707449a 
a 

Lo,()5'j  =  g  .  9809119 


X  a:  =  a   .  68836i  i  ;  a;  =  4O7  ,  984  . 

Nel  termometro  del  sig.  De  Luc  e  T"  =  —  14,  5; 
f"  =  —  28  ,  5 ;  e  T"  -i-  t"  =  —  4:5 .  Dunque  per  la  sua 

regola  e  x  =  509  ,  838 —  ( 609 ,  858 )  =  487  ,  934. 

I  due  risultati  sono  esattamente  uguali;  ma  il  calco- 
lo della  regola  di  De  Luc  e  senza  paragone  piii  spe- 
dito  di  quello   dell'  altra  formola. 


38o 


V  E  N  I  N  I 


76.  Ma  il  Professore  Hennert  nella  sua  disserta- 
zione  da  me  piii  volte  menzionata  sulLa  mi  sura  delle 
ahezze  per  mezzo  del  barometro  disapprova  aperta- 
mente  questa  regola,  ed  il  metodo,  con  cui  fu  tro- 
vata  come  quelle,  ch'e  secondo  lui  troppo  empirico, 
o  fondato  unicamente  sopra  una  spezie  di  giuoco  e 
fortuita  combinazione  dei  niimeri.  Dice,  die  il  ter- 
mine  fisso  ha  luogo  soltanto  iiella  formola 

X  =  { )  B  L  —  prossimamente  vera,  non  gia  nel- 

Q,  C  c  A 

Vesatta  x  =  (7^ )  B  L  —  :  che  aiiclie  nella  prima  il 


C  -i-c 


a 


termitie  fisso  non  e  costante,  ma  varia  col  variar  del 
coefliciente  B  di  verso  in  Inghilterra  ed  a  Ginevra. 
iVfferma,  che  tra  le  osservazioni  di  Ginevra  sette  so- 
le ne  ha  trovate  vicine  al  calor  medio  69°,  7  F.  (cor- 
rispondenti  a  16",  76  i?.  );  ma  che  due  di  queste  e 
non  piu  son  esatte;  le  altre,  coiitenendo  errori  d'ol- 
tre  a  cinque  piedi ,  non  posson  aversi  per  accurate. 
E  qui  non  linisce  la  guerra  da  lui  fatta  al  termine 
fisso.,,  Questo,  die'  egli,  e  meramente  precario,  o  al_ 
„  meno  empirico;  poiche  e  fondato  su  d'  un'  ipoiesi 
„  non  provara  dalTautor  suo  con  alcuna  ragione,  cioe 
„  che  s'  abbia  a  prender  il  calor  medio  fra  il  supe- 
„  riore  e  V  inferiore.  Ma  qual  puo  essere  la  ragioa 
„  di  cio  fare?  Non  altra  che  quella  triviale  usanza 
„  aritmeiica;  per  cui  tra  varii  eventi  non  molto  iue- 
„  guali,  prendendone  il  medio,  si  determina  1'  even- 
„  to  prossinio  al  vero.  Or  da  questa  supposizione  del 


SULT.E    LlVnLLAZIONI    BAROMKTRICIIE  38  I 

„  calor  medio  il  chiarissimo  De  la  Grange  ha  dimo 
„  strato  spgiiirne;  che  il  calore  e  presso  a  poco  in 
„  progrt-ssioiie  aiitmetica  ,  cosa  ripugnante  alle  osser- 
„  vazioni  di  iiitti  ,. .  Finalmente  T  auror  disapprova 
anclie  il  modo  con  ciii  il  sig.  De  Luc  ha  fissata  1'  e- 
spansione  e  coiidensazion  dell'  aria  sopra  e  sotto  ii  suo 

termine  fisso  ad  — ^ ;   e  ciia  a  questo  proposito  il  sig. 

Damen  ,  che  aveva  gia  fatto  lo  stesso  nella  sua  dis- 
seria^ione  intirolata  De  montium  altitudine  dimeilen^ 
da  &c.  Hagae  Comiturn    170.3. 

Alia  congerie  di  tante  obbiezioni  pafnii,  che  il 
celebre  fisico  di  Giiievra  avrehbe  ad  un  di  presso 
potuto  rispondere  a  questo  modo.  Voi  m'  opponete, 
che  d«'lle  sette  osservazioni  vicine  al  termine  fisso  due 
sole  son  esatie;  le  altre,  conteneiido  errori  maggiori 
di  cinque  piedi  non  posson  aversi  per  accurate.  Ma 
la  mia  fissazione  del  grado  16,75  /f  =  69,69  F.  non 
e  traita  da  sette  osservazioni:  essa  e  dedotta  da  tut- 
te  quelle,  in  cui  la  dilTerenza  tra  il  risultato  logari- 
tmico  e  la  vertical  distanza  delle  stazioni  non  e  mag- 
giore  di  quaitro  piedi.  In  queste  prendete  i  valori  di 

;  uniteli  tutti  in  una  somma;  dividetela  pel  nu- 


mero  delle  osservazioni;  e  giungerete  ad  un  risultato 
ben  vicino  a   16  ,  76 . 

Ma  il  mio  metodo,  dite  voi,^troppo  empirico: 
esso  e  unicamente  fondato  sopra  una  specie  di  gino- 
co,  e  fortuiia  coinbiiiaziune  dei  nuuicri.  Sia  pure.  Ma 

T.  II.    P.  II.  ^« 


in  tutti  i  metofll  pii'i  diretti  la  deterniiiiazione  del  coef- 
ficinite  costume,  e  qiirlla  d<  iresjiansion  dell'  aria  per 
ojriii  grado  del  termouutro  sopra  una  data  temp<ra- 
iiiia  si  deduce  da  hwa  qiiaiirita  graiide  di  mimeri  da- 
ti  da  osservazioiii  ed  esperien/e  accurate.  Direte  voi 
dmiqne,  che  jiikIk'  qiieste  determiiiazioni  sieno  uno 
scherzo  dei  iiiinirri  aocidentale?  Voi  nol  direte  certo; 
ed  io  ne  coiuliiudd:  iiiiina  biiona  ragione  avervi  iii- 
d(>tto  a  dirlo  del  mio  sotto  il  nome  d'  einpirico  da 
voi  disprezzaro. 

Ali  op|)oiiete,  ch' io  suppongo  il  calor  decrescen- 
tp  presso  a  poro  in  progressione  aritmetica;  e  date 
per  certo,  esser  (|uest'  ipotesi  contraria  all'  osserva- 
zioiie  universale.  Ma  quali  sou  diuique  le  osservazio- 
ni,  che  provin  la  falsita  delT ipotesi  della  progressio- 
ne  aritmetica;  e  che  di  quella  dell' armonica  stabdi- 
scano  la  verita  e  1'  esattezza?  Le  osservazioni  termo- 
metriehe  fatte  contemporaneamente  a  varie  distanze 
verticali  servon  a  deterininare  la  quantita  dell'abhas- 
samento  del  liquore  nel  terrnometro  per  un  dato  in- 
nalzaniento  di  questo  nelPatmosfera.  Ma  cio  non  ba- 
sta  per  conthiuderne  di  quanto  il  liquor  s'abbassi  per 
ogiii  tesa  a  cagion  d'esempio,  di  cui  s'inualza  il  ter- 
rnometro. Convien  sapere  di  piii  qual  sia  la  legge  del- 
la  diminuzion  del  calore  ascendei)tt ;  e  per  iscoprirla 
dovrebbe  farsi  un  gran  numero  d'  osservazioni  a  di- 
stanze  uniformemente  crescenti,  come  sarebbe  di  lOO 
in  100  tese;  alBii  di  vedere  coU' ajuto  di  qnesto  me- 
todo  empirico  da  voi  spregiato  ma  necessario  in  t|ual 
ragione  si  corrispondano  gl'  innalzanienti  del  terrno- 
metro, e  le  depressioni  del   sue  liquore.    Ma  queste 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETUICIIE  383 

ofiservazloni  ne  si  son  fatte,  ne  sarebbero  agcvoli  ad 
esfgiiirsi.  Lo  stesso  sig.  De  la  Grange  da  voi  citato, 
dopo   d'  aver  diinostrato,  die  la   inia    regula   conduce 

IP              .          Tn-           -1           ^  y       d  X  I  \(i 
all  equazion  dilierenziale  —  -^  = :  ove  t  esi)ri- 

me  il  numero  dei  gradi  del  terniometro  sopra  16,78 
soggiunge  cjiieste  pit cise  parole  :  „  qui  non  si  dovra 
„  far  altro  die  avt're  il  valor  di  r  in  x  o  in  y;  ma 
„  qnesto  non  e  facile:  poiche,  sebben  sia  costante 
„  che,  crescendo  le  altez^e  delT  atmosfera  colTallon- 
„  tanarsi  dalla  superficie  terrestre,  il  calor  dinnuui- 
„  see,  non  si  e  ancor  potuto  deterininar  la  legge  di 
„  questa  diminuzione  ne  per  teoria  ne  per  esperien- 
„  za  „.  £  notate,  che  lo  stesso  egli  avrcbbe  deito  del- 

la  formola  generale -=  jr-r.\  ^ioe  che  I'espressio- 

ne  della  fnnzione  X  in  x  o  in  y  non  s'  e  ottenuta 
ancora  ne  per  troria,  ne  per  esperienza.  Kgli  par  la 
in  appresso  dell'  ipotesi  della  diminnzion  del  calore 
in  progressione  arinonira  proposta  dal  sig.  Enlero;  ina 
non  ne  fa  nso  verimo  per  detenn'oar  la  leggf  delle 
rilVaz'Oiii  asironomithe;  al  (pial  fine  si  serve  della 
nna  re2;()la,  che  snppone  i  decreincnti  del  calore  in 
una    progression*'  assai    vicina  all'  ariiniecica. 

lo  non  so  dunqne  con  qual  fondaniento  voi  ab- 

Liate  afTerinato,    esser  la  formola  x=(^        )BL  — 


3O4  V  E  N  I  N  I 

esclusivainciite  vera  ed  esatta ;  il  die  suppone,  chela 
tliminuzioii  del  calore  ascendente  in  prOji,ressione  ar- 
nionica  sia  la  vera  ed  unica  legge  della  natura.  Ma 
quando  qiiesto  aiicor  fosse  vero,  ne  seguirebbe  egli 
per  cio;  che  i  risultati  della  vostra  formola  dovesser 
essere  seiisibMmente  diversi  da  quel  della  mia?  Ve- 
diamo.  La  sola  dilTerenza  delle  due  forinole  sta  nelle 

due    frazioni ; ;  delle  quali  la  prima  e  il 

2  C  -t-  c  * 

medio  aritmetico,  la  seconda  1'  armonico  frai  calori 
delle  due  stazioni.  La  prima  e  alquanto  maggiore 
della  secouda;  e  la  differenza  loro   si  riduce  a 

(C-cY  ......  ,  , 

—  rp; r  quantita  piccolissima  anche  per  ie  massime 

distanze  verricali  delle  stazioni;  cui  corrisponde  ancbe 
la  difrerenza  massima  dei  calori .  Chiamata  E  Y  e- 
spansion  dell'  aria  per  ogui  grado  del  termometro 
detto  di  Reaumur  comiiiciaiido  dalla  temperatura  del 

ghiaccio  la  differenza  diviene — X^ — „  — ^=-7-  H  va- 

°  a  (a  -t-  (  r-*-t)  E) 

lor  di  E  per  la  mia  regola  e  =0,0046512  facendo 
cominciar  le  espansioni  dal  grado  16,75;  ma  traspor- 
taiidone  il  comin<  iamento  al  grado  zero  e  =0,0050441; 
e  di  questo  valore  mi  serviro  per  determinare  una 
differenza  cosi  grande,  che  non  puo  aver  luogo  nel- 
le altezze  dei  nionti  accessibili,  ma  in  quelle  soltan- 
to,  cui  giiiDgono  qualche  volta  i  giobi  aerostatici  cou 
osscrvatori  provveduti  di  strumenti  metcor(jlogici.  Sia 


STJLLE    LlVELLAZiONI    BAKOME  I'RICIIE  385 

T  =i  25;  ^  =  —  5;  il  the  suppone  un'altezza  di  cir- 
ca 3ooo  tese.  Sara  chuupu;  (  (  /'  —  ^)  /^  )'=  0,022899; 
e  2(2-+-(7'-+-f)£')  =  4,20i  764 .  La  diflerenza  sara 

quindi  =  ^—^^  —  o  '  000^498;  cioe  poco  piu  de 

mezzo  per  cento;  cui  corrispondereb])ero  circa  i  5  te- 
se su  3ooo.  Neir  osservazion  del  Moribianco  fu  T  = 
22  ,  6;  e  t  =  —  2  ,  S .  Calcolate  con  questi  dati  la 
differenza ;  e  la  troverete  =0,0036187;  la  quale 
per   2200  tese  d' altezza  e  di  te.  7,7. 

JNelle  mie  osservazioni  del  monte  Saleve  il  valor 
massimo  di  T  —  t  iioii  giunse  mai  a  9°  R.  Ma  aiiche 
per  9  gradi,  supponendo    7"=  10;   f  =  i,   avremo 

—.  ^ — —r-=  o  ,  ooo5;  val  a  dire,  clie  la  differenza  de' 
a  (G  -«-  c) 

risultati  per  le  due  formole  sara  d'un  mezzo  per  mil- 
le.  E  per  5oo  tese  d'alrezza,  alia  qual  noii  giugne 
alcuna  delle  mie  stazioni  sarebbe  d"  un  quarto  di  te- 
sa.  Si  calcoli  coUe  due  formole  la  prima  osservazio- 
ne  della  stazion  XV;  cd  i  due  risultati  sarauno  di 
te.  487  ,  93;  487  ,  83;  oude  lutta  la  differenza  ridu- 
cesi  ad  un  decimo  di  tesa.  11  calrolo  della  mia  for- 
mola  e  cert^inento  a-^sai  piii  spedito  cbe  quel  del- 
la  vostia .  Perche  duuque,  a  risultati  uguali,  dovra 
darsi   alia   vostra   la   preft-reuza? 

Al  paragrafo  20  voi  preudfte  a  dimostrare  clie, 
eupposti  esatti  i   risultati  dt-lla  vostra  formola 

X  =  (  -^ —  )  B  L  —  calcolati  coUe  dilatazioui  tlelf  a- 
C  -»-  c  '  a 


386 


V  K  N   I  N  I 


ria  della  vostra  tavola  I*  iiiun  termine  fisso  piio  aver 
luogo  (juaiitlo  assai  diversi  sono  i  calori  delle  due  sca- 
zioiii;  il  qiial  termiae  peio  si  verifica  sempie  uell  al- 


tra  formola  x  =  { 


)  D  L 


A 


Per  non  allungarmi  di  troppo  io  non  entrero  in 
un  niimito  esame  della  vostra  dunostrazioiie;  alia  qua- 
le non  poche  cose  avrei  da  opporre,  e  per  mio  av- 
viso  non  lievi.  Diro  soltanto,  che,  se  pel  nome  di 
termine  fisso  s"  intende  il  caso,  in  cui  la  differeuza  lo- 
garitinica  uiohipiicata  per  6cooo  da  iuunediataineute 
r  akezza  in  piedi  francesi,  esso  lia  luogo  egualinen- 
te  nelle  due  ipotesi  della  diininuzioii   del    calore  :   in 


quello  della  progressione  armonica  quando 


aCc 


600C0 
B 


:  in  quella  della  progressione  aritmetica  quando  e 


C  -¥-  c        60000    T.^  •        C  '•    ^       1     -1 

- —  =  — -—  .  Ma  se  per  termine  nsso  s  intende  11  nu- 

mero  dei  gradi  corrispondeiite  alia  temperatura  media 
della  colouna  aerea  nei  casi  anzidetti,  esso  conviene  e- 
sclusivameute  alia  progressione  aritmetica:  ed  eccoiie 
la  ragioue.  Per  1' ipotesi  della  progressione  aritmetica  le 

C  -t-  c        A 
altezze  son  date  dalla  formola  xz=B  lie  { )  ^  —  ? 

e  dal  complesso  di  tutte  le  mie  osservazioni  si  dedu- 
ce, che  per  averla  in   piedi  di   Francia  dee    p^rsi 
B  I  \o=-  55325  ,  5S;  C  =  i  n-  (o  ,  0000441  )T\  e  c  = 


JV 


6ULLE    LIVELLAZIONI    BAKOME TKICIIE  807 

1  -+-  (  o  ,  0060441  )  t\    i  qiiall  valori  la  riducono  ad 

X  =  553a5  ,  58  (  i  m-  (  o  ,  008044 1  \  --—  )  L  -  . 

Ora,  afliiiciie  qu'^sta  formola  dia  le  aUezze  in  piedi 
franctsi  per  intzzo  dtlla  sola  dirteretiza  lo<»aiiiiuica 
niuliiplicaia    per  60000,  egli  e   mestieri,    che    Oocoo 

sia  =  55j25  ,.58  ( i  -«-  (o  ,  0060441  )  ):  e  quindi 

i-H(o,ooo044»)--  =  ,33^3    33=  i  ,0845.    la 

quest'  cquazione  prendo  per  incognita  la  temperatura 

I-     T"  -+-  ^  o  ,  0845 

mtuia  ;  e  trove,  esser  questa  = -:r--      = 

a  ^  o  ,  C00C441 

16  ,  761 . 

INell'  ipotesi  deila  progressione  aritmetica  le  al- 
t^zze  son  dunque  date  in  piedi  dalla  dillerenza  lo- 
garitmica  inoltiplicata  per  60000  quando  la  tempera- 
tura media  aritmetica  della  colonoa  d'aria  e  =  16",  75. 

La  formola  per  la  progressione  armonica  e 

X  ==  B  I  10  ( )  Z  —  ;  e  questa,  chiamando  E  I'e- 

C  -t-  c  a  ^ 

spansion  delT  aria  supposta  uniforme,  diviene 

P  .       {2(1  -^rE)(i  -*-  t  E))  r  -4      A      I 

X  =  B  I  10^ — ^ yJ  ^ — ,  „ — '-^  L  -  .   Anche  que- 

a  -t-  (  T  -¥■  t)  E  a  ^ 

sta  dara  x  =  60000  L  —  quando  sia 

a    ^ 


388  V  E  N  I  N  I 

-A^^il^'lI^JHIlA^^J^.  Ma  da  quest'  e- 


quazione  non  si  piio  dednrre  alcnn  valor  fisso  dl 


.  a  Tt 


T-^t 


media  temperatura  armonica  della  colonna  aerea  da 
misurarsi . 

Voi  osservate,  the  anche  per  la  formola 

a;  =  ( )  B  L      \\  terniine  fisso  non  e  costante,  ma 

a       '  a 

■varia  col  variar  di  B  diverso  in  Inghilterra  ed  a  Gi- 
nevra.  Ed  io  ne  condiiudo,  die,  se  le  osservazioni 
del  General  Roy  soiio  esatte,  e  dan  nondimeno  un 
coefliciente  diverso  dal  mio,  cio  vuol  dire,  die  ad 
egual  temperatura  non  corrisponde  in  Inghilterra  ed 
a  Ginevra  lo  stesso  rapporto  frai  pesi  specifici  del- 
r  aria  e  del  mercurio  sorto  un'  egual  pressione  at- 
mosferica;  e  die  nei  due  luoghi  diverso  debh' essere 
anche  il  termine  fisgo.  Ma  questa  diversita  non  to- 
ghe,  die  il  mio  non  sia  esatto  |>el  luogo  delle  mie 
osservazioni ,  e  probabilmente  per  tutti  quelli,  ai  qua- 
li  non  giugne  1'  aria  manttima  per  la  sua  maggior 
umidita  piii  dilatabile  della  terrestre  ad  un'  egual 
temperatura. 

Voi  nii  rimproverate  d'  aver  senza  veruna  plau- 
sibil  ragioiie  sosiituito  it  caior  medio  costante  al  ca- 
lor  variabde  della  colonna  aerea  da  misurarsi;  ed  a 
questo  io  rispondo,  che  parmi  d'avf^rlo  fatto  con  fon- 
damento.  Se  ndia  diniiimzion  drl  calore  dal  basso 
air  alto  ha   luogo  qualche  legge  costante,  quella  del- 


SULLE    I.IVELLAZIONI    BAKOAJ  ETKICIIK  ^09 

la  progressione  ariimctica  e  la  piii  senij>lice  e  na- 
tuiale;  ed  io  per  cio  V  ho  atlotcata.  F/  vero,  die 
sosfiuH-tido  al  calor  variabile  tli  (piesta  ipotesi  il 
calor  oostante  e  medio  aritmetico  fra  qnelli  delle 
due  stazioni,  non  si  hau  precisaniente  i  incde'imi  ri- 
snltati;  ma  la  dillerenza  tra  (juesti  e  quasi  iuseiisi- 
Lile  il)  tutte  le  mie  stazioni;  eJ  aiiclie  per  le  massi- 
me  alrezze  dei  moiiii,  ove  si  puo  salir  col  harome- 
irn ,  non  e  maggiore  di  2  o  3  tese  .  Quindi  il  sig. 
De  la  Grange  alia  pag.  264  del  la  sua  AJemoria  non 
ha  avuto  difficoha  d'affemiare,  che„  frattanrlosi  sol- 
„  tanto  di  misurar  le  altezze  dei  monti  col  harome- 
„  tro  si  potra  senza  error  sensibile  riguardare  la  quan- 
„  tita  t  come  costante,  e  per  maggior  esattezza  potra 
„  prendersi  per  t  il  grado  medio  fra  gli  osservati  al- 
„  le  due   estremita  dell'  alfezza  da  misurarsi.  faj 

Vengo  fmalmente  alT  ultima  delle  vostre  obhie- 
zioni  ;  in  cui  si  tratta  della  correzion  da  farsi  all'  al- 
tezza    logaritmica    per   ogni  grado    di   calore   sopra  o 


(a)  II  si>;.  Dc  l.i  Grange  rliiama  t  il  valor  varialiile  dei  gradi  del  ter- 
mometro  sopra  o  sotto  il  lermine  fisso  16,75.  Quindi  io  credo,  ch' epli 
abbia  intpso  di  diie;  die  per  f  potra  preiidi-rsi  la  ilifferenza  tra  il  grado 
medio  dcgli  ossetvati  al|p  due  stazioni  ed   il   terniine  lisso  . 

Auche  nella  foruiola   del   big.    Laplace  rjurlla    paite   del  coefEciente, 

che  spetta  al  calore  h  espressa  da  ( )  (  0,00875  );  dove   t  ,  t'    sono 

le  altezze  del  termometro  a  srala  centpnaria  sopra  la  temperatura  del 
gliidcrio  in  fusione,  o  sotto  pe  h.inno  un  valor  negative.  Oiimiii  vede 
adiinqup ,  che  an' he  in  quella  loruiola  irovasi  il  medio  aiiiinetico  tiai 
calori  deile  due  stazioni;  contro  il  quale  il  sig.  Hennert  ha  tauto  dccla- 
mato. 

T  11.    P.  II  49 


390  V  E  N  I  N  I 

sotio  il  termine    fisso   16,75,  e  da    me  fissata  ad  --= 

III  quest'  obbiezione  voi  dice:,,  non  ha  egli  dunque 
„  arbitrariainente  stahilito,  die  i  gradi  di  calore  cres- 
„  cauo  o  deirescaiio  colla  diHereuza  delle  aliezze? 
„  Questo  inet(3do  e  gia  stato  ceusuiato  dal  doitissi- 
„  mo  Dameii  nella  Dissertazione  sulTakezza  dei  mon- 
,,  ti  ecc.  alle  pagiiie  34  ,  35  „.  Rdeggete  con  qualche 
attenzione  il  paragrafo  6o5  della  mia  opera;  e  tro- 
verete,  c!ie  io  nulla  ho  stabilito  arbitiariamente;  tro- 
verete  auzi,  die  lio  dedotto  da  un  laborioso  confron- 
to  delle  osservaziotii  questa  conseguenza :  che  lecces- 
80  ed  il  difetto  delTaltezza  logaritmica  sopra  e  sotto 
la  vera  e  proporzionale  al  iiumero  dei  gradi  del  ter- 
mometro  sopra  e  sotto  il  termine  fisso  con  piccolissi- 
me  dilVerenze  da  un  caso  all'  altro. 

Ed  io  non  credo,  che  della  verita  di  questa  pro- 
posizioiie  si  possa  ragionevolmente  aver  alcun  dubbio. 
Imperciocclie  anche  nei  metodi,  die  si  chiaman  diret- 
ti,  dopo  di  aver  determiuato  coH'esperienza  il  coefficien- 
te  costante  B  corrispondente  ad  una  determinata  al- 
tezza  del  barometro,  e  ad  una  data  temperatura  T' 
deir  aria  e  del  niercurio,  se  ne  conchmde  la  formola 

x=  B  I  10  ( '•  )  L  -  ;  la  quale,  nella  supposizio- 

ne  delle    espansioni    E  delT  aria   unifonni,    si  cangia 

in  x  =  Bl  \o  {i  ^  {  ^^  ~T'  )E)L^     equi- 
valente  a  quest'  alira 


SULLE    LIVELLAZIONl    BAROMETIUCHE  89! 

la  quale  il  primo  termine  espriine  V  altezza  per  la 
temperatura  T\  ed  il  secondo  I'eccesso  o  il  dil'eito 
di  queir  altezza  sopra  la  vera.  Or  quest' eccesso  o 
difetto  e  manifestameiue   proporzionale  alia  dinereu- 

za  delle  temperature e  T' .  La    proporzionalita 

avra  dunque  luogo  anche  nel  caso  di  J"'  =  16  ,  76; 
pel  quale  Bl  10  e  =  10000,  che  eappunto  il  caso  inio. 
Voi  terminate  le  obbiezioni  vostre  dicendo,  die 
il  mio  metodo  di  determinar  la  quantita  della  corre- 
zioue  da  farsi  al  risultato  logaritmico  e  stata  censu- 
rata  dal  sig.  Damen.  Ma  la  sua  ceusura  a  che  si 
riduce?  Or  ora  il  vedremo.  Egli  calcolo  separata- 
ineiue  quattro  dtlle  mie  osservazioni;  e  trovo  queste 

correzioni  —  ;  - — :  —  ;  — .  La  secouda  a  dir  ve- 
aix     doa     214     Ai^ 

ro  s' allontana  sensibilmente  dalla  mia;  la  prima  le 
si  accosta  assai  piu.  Ma  si  avverta,  die  queste  osser- 
vazioni furon  faite  uella  secouda  e  terza  stazioue  rim- 
petto  ad  uuo  scoglio,  che  col  suo  riverbero  reude 
irregolare  la  temperatura  della  colouna  aerea  da  mi- 
surarsi.  Quest'  irregolarita  fu  picciola  uelT  osser- 
vazion  prima  fatta  ad  una  bassa  temperatura;  per 
cui  lo  scoglio  uou  pote  guari  scaldarsi;  ma  ben  piii 
grande  fu  neila  secouda  fatta  al  7  d'  Agosto  a  ciiujue 
ore  di   sera,  e  ad   una   temperatura   media    di  gradi 


39a  V  E 


N  1  N  I 


22  ,  -jS  R.  AW  opposto  le  altre  duo  osservazioni  fat- 
te  ill  circostaiize  iion  soggette  ad  eccezioiii  dan  le 
correzioiii  cjuasi  eguali  alia  mia.  II  sig.  Daint^ii  ag- 
giunge  d'  aver  calcolate  altre  osservazioni  fiite  in 
tempo  caldo  ed  a  piccole'  altezze,  e  d'  aver  trovato, 

che  in  quelle  circostanze  la   correzione  — :    era    per 


il>0 


lo  pin  troppo  picriola.  Ed  io  rispondo;  die  in  quel- 
le circostanze  appnnto  troppo  grande  fu  Tirregolari- 
ta  del  calore;  prr  cui  furon  piii  o  nieno  erronei  i  ri- 
sultati  della  correzione. 

Ascoltiani  ora  la  general  conchiu^ione  del  sig. 
Damen.,,   Ma    poiche,  dic'egli,   le  dill'erenze  trovate 

„  sono  assai  piccole,  il   valor  della  correzione  — ras- 

„  segnato  dal  sig.  De  Luc  sembra,  che  sicnrament^ 
„  si  possa  ammettere  come  un  valor  medio;  quantun- 
„  que  io  creda^  ch'  egli  avrebbe  pin  esattarnente  o- 
„  perato  calcolando  separata niente  tutte  le  sne  osser- 
„  vazioiii.,,  Io  non  m' oppongo  a  qnesta  conchinsio- 
ne  per  me  favorevole.  Dico  soltanto,  die,  calcolando 
ad  una  ad  una  tutte  le  mie  osservazioni  avrei  dovu- 
to  faticare  assai  piu  per  giunger  finaimente  al  mede- 
simo  risultato. 

Ed  io  qui  terminero  questa  specie  d'  apologia, 
con  cui  mi  sono  arrischiato  di  flir  parlare  il  celebre 
fisico  di  Ginevra.  Essa  potra  sembrare  ad  alcnno  trop- 
po prolissa;  ina  non  a  chi  pensera ,  che  un  autore 
tanto  esatto  e  laborioso,  e   di  questa  parte  ddla   fi- 


SULLE    LIVLLLAZIONI    BAUOMETIUC  Illi  5<J?i 

sica  tanto  bcnenn'rlto  non  dc  vc  lasciarsi  scnza  una 
comniuta  difV'sa  quand"  e  ingiustaincntf  reusurato  da 
uuo  scriitore  auiorevole  in  uu' opera  picmiaia  dail  ac- 
cadeniid  di  G   ttinira. 

77.  Ln' ultra  uhbiezione  potrtbbt  farsi  alia  rego- 
la  del  sig.  De  Luc,  la  quale  al  pruno  aspi'tio  uou  par 
inal  foudaia.  luipc^rciocrlie,  seudo  essa  iratia  da  os- 
seiva/ioui  fane  ad  altfzze  tune  niiuon  di  5oo  tese; 
nt:lle  tpiali  a«ssai  piccola  e  la  diiuiiuizione  della  gra- 
viia,  si  potrebbe  dubitare  se  la  ivgola  possa  esser  ap- 
plicata  aiicbe  alle  altezze  luolto  niaggiori.  Per  uscire 
di  quest'  iucertezza  10  appbcbero  le  osservazioui  del- 
la  stazion  XV  uou  alia  lurmola  della  gravita  costan- 
te,  come  bo  fatto  al  num.  72,  ma  a  quella  della  gra- 
vita decresceute  in  ragion  duplicata  delle  distauze;  e 
per  suo  mezzo  determiuero  i  valori  cosi  del  coeflicien- 
te  costante  come  dell' espausioue  dell' aria.  La  tbr- 
mola  pel  num.  53  e  la  seguente 

x  =  B  I  10  ( )/>-+- ^^ esprnnen- 

do  per  R  il  raggio  osculatore  del  luogo  dell'  osser- 
vazioue  . 

Suppongasi  nota  la  discanza  vertical  dei  barome- 
tri,  cbe  si  cbiami  D,  ed  incognito  il  valor  di  B.  Sa- 
ra dunque 

D  =  B  lio{  ^^^  )  L  -  -i- ; 

dalla  qual  si  deduce 


394 


V  B  N  I  N  1 

{R-D)D 


a  a 

Chianiando  T  la  temperatura  media,  ed  ^  1' e- 

.  C  -*-  c 


spansione  dell' aria  sara 


=  I  -t-  T  E,  e  per  con- 


seguente  £  = 


{R~D)D 


{Rl  loL-  ^Q.D){i-^TE) 
a 


■ ;  ove  A ,aj 


e  T  esprimon  le  altezze  medie   dei   barometrl  e   del 
termometri  per  un  dato  numero  d' osservazioni. 

Sian  ora  A\  a' ,  T'  le  altezze   medie    corrispon- 
denti  per  un  altro   numero  d'  osservazioni ;   e  queste 

daran  similmente  j5  = (R~  D)  D 

(RlxcL-,-i-iiD){i-^T'E) 

Da  quest!  due  valorl  di  B  risuka  quest'  altra  e- 
quazione  {  R  I  \o  L-,  -^  o.  D  )  {  \  -^  T'  E )  ^ 
{Rl  10  L^  -^-  2  D){i  -i-TE);  dallaqual  si  deduce 


E=  - 


Rl  io(  L-~L~) 

a  a' 


T'{Rl\oL-  -k-s.D)~T{Rl\oL--^%  D) 
a'  a 

Nel  case  della  stazion  XV  abbiamo  pel  num.  73 

4 
D  =  487  ,  778;  Z/  -  =  o  ,  0600647  ;   T  =  1 1  ,  249 ; 


6ULLF.    LIVKLLAZIONI    BAKOMLTIUCIIE  39.5 

Z  —  =  o  ,  0480860;  e    T'  =  19  ,  674.    Finalmeiite   il 

valore  di   R  pel  num.  67  e  =  ^2669 14  ,  29. 

Facta  neir  equazioii  precedence  la  sostitiizione  di 

tutti  questi  valori  trovasi   E  =.    '     ^"^   =  o  ,  oo5i36. 

Sostituisco  qnesto  valor  di  E  in  uno  di  quei  di  B; 
e  trovo  B  =  3988  ,  405.  Sara  dunque  B  I  10  =  9183  , 
<625. 

La  formola  generale  vien  quindi  ad  essere 

a:  =  9183  ,  625  (  I  -+-  (  o  ,  oo5i56  )  )  Z  — -*- 

-^  i  '  '       a 

7976,8.(1  -(-I1:^(o,oo5i56))£>-hD* 

r— 7 . ;  nella  quale Z? 

0^60914  J  ag  ^ 

esprime  il  valor  dell'  incognita  x  calcolato  col  primo 
termine  solo. 

Applicando  per  esempio  questa  formola  alia  pri- 
ma osservazione  della  stazion  XV  si  trova  Z?  =  486, 
354;  raccrescimento  corrispondente  al  secondo  termnie 
5=  I  ,  3o6:  e  per  conseguente  1'  vdiimo  risultato  e  di 
tese  487  ,  66.  Calcolando  colla  formola  della  gravita 
costante  posta  al  num.  72,  si  trova  487  ,611;  e  col- 
la regola  del  sig.  De  Luc  487,  9^.  Le  dilTerenze  di 
questi  risultati  son  piccolissimci  e  tutti  sou  (jiiasi  e- 
guali  air  altezza  della  livellazione  487  ,  778. 

Calcoliam  ora  la  massima  altezza,  per  la  rpiale 
siensi  fiitte  col  baroinetro  esatte  osservazioui  (  voglio 
di  rquella  del   Monbiauco  sopra  il  Lemaiio )  cosi  col- 


3y6  V  E  N  I  N  I 

la  regola  di  De  Luc  come  colla  formola  precedente 
della  gravita  variabile  affin  di  vedere  quanta  sia 
la  tli(Tereuza  dei  risultaii.  Si  avverta  pero,  die  in 
(jueste  osservazioui  i  termomeiri  furono  alTonibra;  on- 
de  per  applicarle  alia  regola,  che  li  suppone  espo- 
sti  al  Sole,  ne  accrescero  le  altezze  d'ua  grado  di  Re- 
a\imur  quasi  eguale  a  3  di  Far.  Per  calcolar  le  os- 
servazioui abbiam  duuque  i  dati  seguenti 
J  =  326  ,  6  liu.;  a  =  192  ,  9  ;  T=  23  ,  6;  e  f  =  —  i  ,5. 
A  queste  altezze  dei  termometri  corrispondou  quest'al- 
tre  neila  scala  del  sig.  De  Luc  T  =  -^  j5  ,  892;  t  = 
—  42,48;  e  7'  -H  f  =  _  26  ,  588.  Da  questi  dati,  risul- 

ta  Z  -  =  o  ,  2287903;   e  per  conseguenza   1'  altezza 

cercata   e  second©   la  regola    =  2287  ,  9o3 '-  — 

^         '  -^      1000 

( 2287  ,  903  )  =  2227  ,  072  . 

Per  far  il  calcolo  colla  formola  della  gravita  de- 

crescente  abbiamo =:  11  ,  o5.  Sara  duuque 


J  -H  ( )  (o  ,  oo5i56)  =  I  ,  056972;  e  da  questi 


dati  risulra  il  valore  del  primo  termlne  Z)  =  222o,83 
tese.  L'  accrescimento  dato  dal  secoudo  terrniue  e  ^= 
7,242;  e  per  conseguenza  I'altezza  totale  e  =2228, 
072;  e  la  dilTerenza  dei  due  risultati  si  riduce  ad  una 
tesa  quauiiia,  per  un'  altezza  tanto  graude  assoiuia- 
meute  uegligeutabile. 

Coiichiudiam  duuque,  die  la  regola  del  sig.  De 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAUOMLTRICHE  897 

Luc  d'  un  calcolo  semplicissimo  si  puo  nolle  livella- 
zioni  barometriclie  senza  alcuii  sensibil  erroie  appli- 
care  anclie  alle  massime  altezze. 

Articolo     II 

Correzione  del/a  rcgola  del  sig-   De  Luc  projxista   dal 

Cavalier  S/iuckburg,    ed.esnine  delle   misure 

Qeometriche ,  sulle  quali  k  fondata. 

70.  II  Cavalier  Sliuekhiirg,  trovaiidosi  a  Ginevra 
con  una  copiosa  suppellettile  di  buorii  struinenti  astro- 
nomici   e  fisici,  voile   verificar  la    resiola  del    si".  De 
iuc  nel   luogo  niedesimo,  in  cui    Y  autore  avea  fatte 
tante   osservazioni    |H^r  istahilirla.    A  qiiesto    fine  egli 
niisuro   geoinetricaniente   1'  altezza  della    sominita  del 
iiionte   Sale\'e    sopra    una   stazion    i'lferiore;    e  trovo, 
dopo  aver   fatte  con  somina    diligenza  le  osservazioni 
barometriclie  contemj)oranee  alia  cima  del  monte  ed 
alia  stazion  inferiore,  die  cjneste    calcolate  coUa  re- 
gola  di   De  Luc  davano  un'  altezza  niinore  della  geo- 
metrira  di   2  e  quasi  un  terzo  ])er   loc. 

lo  non  dubito  dell'  esattezza  delle  sue  osserva- 
zioni barometriclie;  dubitando  pero  ,  ch'  egli  abbia 
potuto  ingannarsi  nei  calcoli  della  niisura  geonieiri- 
ca,  ho  voluto  verificarli;  e  non  senza  maraviglia  gli 
ho  trovati  erronei  per  modo,  che  la  vera  altezza  cal- 
colata  esattamente  suHe  sue  misnre  della  base  e  de- 
j^li  angoli  e  qa;Hi  perf«"ttamente  conforme  alia  rego- 
la  del  sig.  De  Luc:  poiche  ne  snpera  il  risultato  d'un 
sol  terzo  di  tesa  su  4-3^  ,  72,  o  di  8  j)er  dieciaiila. 
T  II.     P  n.  5o 


SqS  V  e  n  I  n  I 

Ora,  alTiiu'Iic  il  lettore  possa  giudicarne  con  fonda- 
niento,  riferiio  in  priino  luogo  le  osservazioni  geome- 
triclie  del  fisioo  inglese;  esporro  in  appresso  i  miei 
calcoli  unicaniente  appoggiati  alle  sue  misure  della 
base  e  degli  angoli;  e  inostrero  in  fine  qnanto  il  ri- 
8ultato,  cui  questi  conducono,  sia  diverso  da  quello 
del  Cavalier  Shnckburg,  e  ([uanto  per  lo  contrario 
s  accosti  a  quel  della  regola  dell'  accuratissinio  fisico 
di  Ginevra. 

Sir  SUuckburg  (  com'  egli  dice  nella  II'  parte 
del  volume  LXVIl  delle  Transazi^ni  filosofiche,  pag. 
5i8  )  misuro  appie  del  monte  Saleve  la  base  A'  B' 
(fig.  VI)  d'un  triangolo,  il  cui  vertice  C  era  la  som- 
mita  del  nionte;  e  trovolla  di  piedi  inglesi  2760  ,  8. 
JVlisuro  poi  gli  angoli  A\  B\  C';  e  n'  ebbe  A'  =  58* 
28'  49",  25;  B'  =  III"  52'  16";  e  C  =  9"  35'  54",  yS. 
Finalmente,  calcolato  il  triangolo  ne  conchiuse  A'  C 
=  15286  ,  4  pie.  ing. :  e  B'  C'  =  14041  ,  7.  Verifica- 
ti  i  calcoli  io  gli  ho  trovati  esatti  colla  sola  differen- 
za  d'un   decimo  di  piede  in    amendue  le  lunghezze. 

L' inclinazione  delle  visnali  A'  C  ,  B'  C  alia 
retta  orizontale  fu  dall'  osservatore  determinata  nel 
modo  seguente. 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE 

Altezza  di  C  sopra  A' 

Inclinazione  6\  A'  C lo"       33' 

Correzion  della  parte  osservata  del 

segnale —  l' 

Correzion  per  la  linea  di  collima- 

zione 

Correzion  per  la  rifrazione 


399 


•     •     » 


33" 

59" 

27" 


Vera  altezza  di  C  sopra  A'  .  .  .  .  \o°       29' 
Depressione 

Depressione  di  A'  sotto  C 10"       29' 

'pel  segnale 

Correzion  sper  la  collimazione  , 

(per  la  rifrazione  . 

Vera  depressione  di  A'  sotto  C   .  .  10°       3i' 
Arco  intermedio  o  curvatura   ...  —  a' 


58" 

18" 
16" 
59" 
27" 


o" 


3o" 


Vera  altezza  di  C  sopra  A'  per  Tos- 

servazione  in   C" 10*       28'       So" 

Altezza  media  di  C  sopra  A'.  .  .  10°      29'       14" 


400  V  E  N  I  N  1 

Altezza  di  C  sopra  B' 

Inclinazione  di  ^'  C n"       ao'       26" 

(pel  segnale —  1'       33" 

Correzione  j  per  la  collimazione  .  .  —  59" 

'per  la  rifrazione  ....  —  26" 

Vera  altezza  di  C  sopra  ^'.  ...  11°       17'       a3" 
Depressione 

Depressione  di  B'  sotto  C 11°       19'       47" 

rpel  segnale —  $9" 

Correzione  jper  la  collimazione  .  .  -»-  59" 

'per  la  rifrazione  ....  ^_  26" 

Vera  depressione  di  B'  sotto  C  .  .  11"       20'        i8"{a) 

Arco  intermedio —  2'       18" 

Vera  altezza  di  C  sopra  B  per  I'os- 

servazione  in  C ij"        i8'         e" 

Altezza  media  di  C  sopra  B' .     .  .  w"       17'       41",  5 


(n)  Qui  h  scorso  qnalch' errors  di  stampa  o  nella  sonirna  o  iiella  cor-  |K 

rezion  del  segnale.  lo  siipporrik    esatta  la  80Qima ,  e  che  la  ccrrczion  del  f>| 

segoale  debba  esser  —  5+" . 


SULLE    LIVF.LLAZIONI    BAROMETIIICIIE  40 1 

Altezza  di  B'  sopra  A' 

Angolo   d'  inclinazione   della  ba- 
se J'  i?'  o*       27'         o" 

Error  della  coUimazione _  $9" 


Altezza  di  B'  sopra  A'  ......  .    d°       26'         i" 

Depressione 

Depressione  di  A'  sotto  B' 0°       27'         4" 

Error  della  coUimazione h-  59" 

Depressione  di  A'  sotto  B' 0°       28'         3" 

Arco  intermedio —  27" 

Altezza  di  B'  sopra  A'  per  1'  osser- 

vazione  in  i5' 0°       27'       36" 

Altezza  media  di  B'  sopra  A' .  .  .     0°       26'       49" 

Prima  di  esporre  i  miei  calcoli  io  faro  su  que- 
sti  dati  alcune  osservazioni.  E  primieramente  io  non 
80  vedere  per  qual  ragione  il  fisico  inglese,  volendo 
determinar  1'  altezza  di  C  sopra  A'  per  mezzo  dtl- 
r  angolo  medio  frai  due  d' altezza  e  di  depressione, 
abbia  posta  frai  dati  aiiche  la  rifrazioue;  poiche  que- 
8ta  nel  far   la  somiua,  di   cui  prendesi  poi  la  meta, 


^02  V   E  N  I  N  I 

deve  per  la  contrarirta  de'  segni  necessariamenre  sva- 
nire.  In  oltre  perche  ha  egli  supposto  uell'  osser- 
vazlone  fatta  in  A'  1' angolo  al  centro  di  2'3o'»  e 
la  ri(Va/ione  di  27  secondi?  Agevol  cosa  e  il  dimo- 
strare,  die,  se  gli  angoli  d'  alcezza  e  di  dt-pressione 
appareiue  sono  esatti,  le  due  supposizioni  son  con- 
traddittorie  tra  lore  Imperocche  nella  formola  di  ri- 
frazione  a  -^  r  =  </  —  w  -h  r  si  ha  in  questo  case 
a  —  jo"  3o'  2  5"  ,  e  f/  =  10"  3o'  33".  Dunque,  se  I' an- 
gola al  centro  «  e  =  2'  3o",  posti  nella  formola  que- 

a'   22" 

sti  tre  valori,  sara  r  = =  1'  u''    non  27".  Ma, 

a 

se  r  e  =  27",  V  angolo  al  centro  w  =  2  /•  —  a  -t-  (/  sa- 
ra i'  2"  non  2'  3o". 

Ma,  lasciate  qiieste  inesattezze  da  parte,  10  dico; 
che  le  osservazioni  facte  in  A'  ,C'  non  danno  altro 
che  gli  angoli  d' altezza  e  di  depressione  appareiui; 
ma  aggiungo  che,  se  questi  sono  esatti,  si  puo  [)fr 
mezzo  loro  e  della  lunghezza  gia  nota  della  visuale 
A'  C  determinare  V  angolo  al  centro  e  la  rifrazione. 
Or,  cio  non  avendo  fatto  I'osservatore,  io  lo  faro  in 
vece  sua;  ma  a  qiiesto  fine  non  sara  cosa  inutile  il 
determinar  prima  di  quanto  la  sua  base  sia  stata  su- 
periore  al  livello  del  mare.  Le  tre  osservazioni  baro- 
metriche  faite  contemporaneamente  al  punto  inferior 
della  base  ed  alia  sommita  del  Saleve  calcolate  colla 
regola  di  De  Luc  ridotta  dal  sig.  Hnrsley  alle  misu- 
re  iuglesi  danno,  giusta  il  Cavalier  Shnckburg,  uo'al- 
tezza  di  2271  pie.  ing.  Ma  le  sue  osservazioni  fnron 
fatte  coi  termometri  distaccati  all'  ombra,  laddove  la 
regola    li  suppone   esposti   al  Sole.   Al   num.  67  ab- 


8ULLE    LIVEI.LAZIONI    BMIOMLTRICHB  ^oZ 

Liam  vediito,  clie  qnest^a  cirrostanza  arcresce  la  tem- 
peratura  di  clue  gradi  l"ar.  11  calcolo  delle  osservazio- 
ni  dee  diinque  farsi  con  quest'  auineiito  di  teinpera- 
tura;  ed  il  risultaro  sara  di  2277  ,  604  pie.  ing.  equi- 
valenti  a  te.  fran.  4^4  ,  36.  Le  un.Iici  osservazioiii 
deir  ultima  stazioiie  di  De  Luc  calculate  nello  stesso 
modo  faiiDo  la  cima  del  moiite  superiore  alia  sua  ba- 
se di  tese  487  ,  5.  Fu  dunque  la  base  del  primo  su- 
periore a  quella  del  second«i  di  te.  53  ,  14.  (uj 

II  De  Luc  dice  cbe  la  sua  base  fu  superior  al 
mare  di  211  ,  67  te.  (  llicerclie  ecc.  par.  648  );  onde 
segue,  cbe  quella  di  sir.  Sbuckburg  fu  piu  alta  del 
mare  di  te.  264  ,  81 . 

Nel  nostro  triangolo  ABC  (fig.  I")  abbiam  dun- 
que C  A  =  R  ->f-  264  ,  81  esprimendo  per  R  il  raggio 
osculatore  della  latitudine  di  Ginevra;  il  quale  pel 
num.  67  k  =  32669 14,29.  Sara  dunque  CA  =  8267 1 79 

(a)  In  fine  della  meuioria  di  Sir  Sliiirkhurg  liavvi  una  tavula;  in  i-ui 
fra  molt' altre  ^  registrata  un' osservazione  facta  al  pnnto  A'  della  I)ase 
ed  al  tPtto  della  <liicsa  di  S.  Pietro  di  Ginovra  .  In  pssa  la  distanza  del 
punto  A'  Jnl  tetto  d  mnata  di  pie.  ing.  24486  ,  .1 ;  e  1' an<;olo  di  depres- 
sione  del  tetto  sotto  A'  3i'  iS"* .  II  risnltato  dol  calcolo  dato  dall'  osser- 
vatore  k  di  2^4  ,  ^  pi.°.  ing.  cr  35  ,  o  76  te.  fran.  altezza  del  piioto  A' 
sopra  il  tetto  di  San  Pietro.  lo  ho  cab^olata  quest' altezza  coHa  mia  for- 
xnola  del  num.  63,  supponrndo  la  rifrazione  di  J-  deirangolo  al  ceatrocor- 
rispondente  ad  un  di  presso  alle  circostanze  di  luo^o  e  di  tempo  ;  ed  lio 
trovata  I'altezza  medesiaia  di  te.  .S4  ,  77  minore  d' uno  scarso  rerzo  di 
teia.  Secondo  la  stessa  tavola  il  tetto  di  S.  Pietro  ^  su|)eriore  al  Lemano 
di  pie.  ing.  249,  1  =38,95  te.  fran.  L'altezza  di  A'  p.into  inferior  del- 
la base  sopra  il  Leniano  ^dunque  f>el  niio  ris-iltato  di  7S  ,  72  te.  Al  par. 
648  delle  ricerche  del  sig.  De  Luc  leggesi ,  che  la  sua  base  fu  snperiore 
al  lago  di  2+  te.  La  dibtanza  verticale  delle  due  basi  sarebbe  dniupie  per 
queste  misure  di  49  ,  72  te.  in  luogo  di  S^  ,  14;  lo  rlie  porterebbc  una 
dilTerenza  di  te.  3  ,  42  quantity  del  tutto  negligentabile  nei  calcoli,  che 
iiieaio  in  appres$o> 


404  V  n  N  I  N  I 

negligentando  iin  decimo  di  tesa.  Vediam  ora  qual 
sia  Tangolo  al  centro  nel  triangolo  CAB,  uel  qua- 
le il  laio  A  D  corrispoiide  alia  visuale  A'  C \  che  si 
c  trovata  di  pie.  ing.  i5286  ,  4  =  2S90  ,  55  te.  fran. 
L'angolo  d'  altezza  di  C  sopra  A'  noa  corretto  dal- 
la  rifrazione  f u  =  10'  3o'  tio  '.  Quiiidi  per  far  il  cal- 
colo  abbianio  C  J  =  3267179;  y4  ^  =  2^90  ,  55;  e 
l'angolo  intermedio  =  ico"  So'  25".  La  meta  della 
sonima  dtgli  akri  doe  angoli  k  per  consegiiente  39'' 
44'  47",  5.  Ahbiamo  in  oltre  CA  —  y^Z?  =  3264788,45; 
C  A-^  A  B  =  3269569  ,55;  e  da  tutti  questi  dad 
viene  il  calcolo  seguente 

L  tang  ^  "*"      =    9  •  9'99^86 
L[CA  —  AB)=    6  .  5i38549i97 


16  .  4337635197 
L[CA-^AB)=    6.5144905787 


L  tang -'  =     9  .  919172946  ; 

a 

^^  =  39"  42'  19"  ,  12  C  =  2*  28"  ,  38  . 

L'angolo  di  depressioiie  di  A'  sotto  C'  non  cor- 
retto dalla    rifrazione  fu    10°  3o' 33".   Nella   forinola 

di    rifrazione  r  =  ^-^'^^^^  pongo  i  valori  preceden- 
ti;  e  mi  risulta 


SULLE    LIVELLAZIOWI    BAROMETKKMIL  4o5 

lo"  3o'  a5"  -H  a'  a8"  ,  38  —  lo'  3c'  33" 


=  r  lo"  ,  19, 

Se  la  inisura  degli  angoli  d'  altezza  e  di  depresslone 
fosse  esatta,  la  rilVazione  sarelibe  diinque  piesso  die 
la  meta  dell'  angolo  al  centro,  rosa  inaiiirestameiite 
impossibile :  e  quindi  non  si  piio  diibitare,  die  le 
misure  degli  angoli  noii  siaii  fallaci.  Ora  per  vedcre 
a  quaiito    possa  ascender   presso   a  poco    1'  errore,  io 

osservo,  che   pel   num.  67   11    valore   di  -  sara   stato 
*  n 

=  0,081181  per  una  pressione  armosferica  di  28  pel. 
e  per  la  tenqieratura  zero.  JNon  mi  e  noto  a  qnali 
akezze  fossero  il  haromeiro  ed  il  termometio  quando 
furon  misurati  gli  angoli  d'  aliezza  alle  due  estremita 
della  base.  Nou  potendo  far  megiio  io  le  supporro 
dunque  uguali  a  quelle,  cb'  ebber  luogo  alia  stazioa 
iiiferiore  nella  prima  osservazion  barometrica  del  li- 
eico  inglese,  epoca  piii  d' ogn' altra  vicina  a  quella 
della  misura  degli  angoli.  Or  questa  supposizione  mi 
da  il  barometro  a  pollici  francesi  26  ,  64^;  ed  il  ter- 
mometro   a    gradi    18,6  /?.    Per  questa   temperatura 

il  valore  di  —  si  riduce  a  o  ,  073782.  Nelle  circoscan- 

ze  della  misura  degli  angoli  sara  dunque  stato 

m         36,643  (0,073782)  f 

_  =   — '—-1 — !-'__£_£ — i  =  o  ,  070206;  e  per  conse- 


n 


a8 


guente  — =  (0,070206)  148",  38  =  10",  ^17.  Quin- 
T  IL    P.  JI  5i 


4o6  V  E  N  I  N  I 

di  avremo  il  vcTO  angolo  d'  elevazione  =  io°  3o'  25" 
—  lo"  ,  417  =  TO°  3o'  14''  ,  583;  ed  il  vero  di  d'l-pres- 
sione=  10"  3o'  33"  =2' 28",  33  -+•  10", 41 7=  10°  28  i5", 
037.  Ora,  supposte  le  misiire  esatte,  qiiesti  angoli  do- 
vrebbon  esser  uguali;  e  cio  posto  la  differeiiza  loro, 
cioe  i'  59",  546  viciiiissinia  a  due  miniiti  e  una  con- 
seguenza  del  valor  inesatto  degli  angoli. 

Agli  errori  comniessi  nelle  inisure  degli  angoli 
credotce  1' antore  di  poter  rirnediare  coll' nsitato  espe- 
diente  di  prender  mi  medio  fra  gli  angoli  osservati 
d'  altezza  e  di  depiessione  diininuito  pero  questo  del- 
r  angolo  al  centro;  ch' egli  snppone  =  2'  3o" :  ma 
non  osseivo,  clie  nel  triangolo  AB  F,  dati  i  due  la- 
ti  A  B  ,  J  F^  e  dato  anche  T angolo  F  J  B;  il  quale 
in  questo  caso  sarebbe  diversissinio  e  dall' angolo  05- 
servato  e  dal  medio.  Infatti  il  lato  A  F,  il  quale  pel 
num.  54  si  confonde  colla  tangente  dell'  angolo  al 
centro  moltiplicata  pel  raggio,  6=3267179  tang.  2'  3o". 
Ma  lo  stesso  lato  A  F  d  anche  =  A  B  cos.  FAB. 
Da  questi  due   valori    nasce  dunque  T  equazione 

J-,  J  r,         30,67170  tans;,  a'  3o"        ,   ,,  ■,       ■     ■, 

cos  FAB  = ^— K- ^- ;    dalla    qual    si    de- 

aoyo  ,  55  * 

duce  L  cos  FAB^=g  9973412;  cui  corrisponde  I'an- 
golo  6"  20'  minor  del   medio  piu  clie  di  4  gradi. 

Concbiudiam  dunqne,  clie,  essendo  tutto  il  cal- 
colo  trigonometrico  appoggiato  all'  angolo  osservato 
d' altezza,  ed  alle  lungbezze  della  visuale  e  del  rag- 
gio osculatore,  qnando  1' angolo  osservato  e  troppo 
incerto,  la  prndeuza  vuole,  die  1' osservazion  si  ri- 
getti;    percbe    1'  incertezza    dell'  angolo    si   spande  su 


6ULLK    LlVELLAZIONl     BAKOMIi'l'RIC  Hli  1:^.07 

tutti  gli  elemt'titi  e  risultati  del  calcolo. 

79.  Facciain  ora  lo  stesso  'jsame  degli  angoli  nii- 
surati  ai  due  estremi  dell'altra  visuale  B'  C'.  Per  a- 
ver  il  valor  esattissiiiio  del  raggio  osciilatore  del  pun- 
to  B'  convien  prima  determinare  di  quanto  B'  sia 
stato  superiore  ad  A' \  il  che  s' ottiene  per  mezzo 
degli  angoli  d'altezza  e  di  deprcssione  dei  punti  me- 
desmii,  e  del  valore  di  A'  />'.  Ma  anche  nelle  niisu- 
re  di  questi  angoli  souo  scorsi  alcuni  errori;  la  cui 
somma  passa  un  minuto  e  mezzo.  Cio  non  ostante 
r  altezza  puo  ancor  calcolarsi  per  approssimazione; 
e  si  trova,  che  B'  fu  superiore  ad  A'  di  tese  i  ,  4 
valor  quasi  eguale  all'  assegnato  da  sir  Shuckburg, 
che  lo  dice  di  pie.  ing.  22  ,  18  eqnivalenti  a,3  ,  ^69 
tese  di  Francia. 

AU'estremita  B'  della  base  fu  diiiique  C A  (fig.  I*) 
=  3. '6 7 1 82  negligeiitando  4  decimi  di  tesa.  La  visuale 
JB  lu  di  pie.  ing.  14041,7  =  2193,9  te.  Iran.;  Tan- 
golo  apparente   d'altezza    EAB   nou    corretto    dalla 

rifrazione  =  11''  17'  49";  e  quindi =  39°2i' 5", -S, 

Fatto    con   quesd  dati   il  solito    calcolo   si    giugne  al 
risultato  :£-Il?  =  3(/  ,8'  49"  ,  57;  e  C=  2'  i5"  ,  93. 

L'  angolo  di  depressioue  non  corretto  dalla  ri- 
frazione tu  =  11°  19'  52".  Sostituisco  i  valori  di  a  , 
d  i  u  =  C   nella    formula    di    rifrazione;    e    mi   risulta 


4o8  V  E  N  I  N  I 

Qii(*sta  rifiazione  sembrera  forse  a  taluno  im  po' 
piccola;  ma  ptTo  non  e  guari  di versa  da  qiiella,  che 
si  troverebl)e  colla  regola  del  sig.  Mayer;  ed  ecco 
iu  qual  inodo.  Abbiam  veduto  poc'anzi  che  nel  tem- 
po della  misura  degli  angoli  il  barometro  fu  a  pol. 
26  ,  643;  ed  il  termometro  a  gradi  18,6/?.  A  que- 
sto  grado  di  calore  la  rifrazioiie  sarebbe  per  la  del- 
ta regola  =  (  o  ,  06777  )  ^  st^  1  altezza  del  baro- 
metro fosse  di  28  pol.  (  vedi  il  num.  5j  );  ma  si  ri- 
duce  a  (  o  ,  00497  )  C  per  1'  altezza  di  26  ,  643.  Nel 
caso  nostro  C  e  =  i36";  e  questi  moltiplicati  per 
o  ,  06497  tlaniio  7"  ,  476  rifrazione  d'  un  solo  secon- 
do  maggior  della  nostra. 

Facendo  uso  ancbe  in  questo  caso  del  valore  di 


m 
n 


medio  fra  quelli  d'  Italia   e  di  Francia,   ed  appli- 


candolo  alle  circostanze  della  misura  degli  angoli 
avrem  di   nuovo      ==  o  ,  070266;  ed  —  =(0,070266) 

1 35"  ,  93  =  9''  ,  54.  I  veri  angoli  d'  altezza  e  di  de- 
pressione  dovetter  dunque  essere  11^  17'  39',  46;  ed 
11°  17'  i^5"  ,  61  ;  la  cui  diUVrenza  si  ridnce  a  6"  ,  1  5. 
Questa  e  cosi  piccola,  che  gli  angoli  si  posson  consi- 
derar  come  esatti,  o  almeno  non  abbiam  motivo  di 
crederli  erronei . 

Cio  posto  si  i^no  passare  al  calcolo  dell' altezza; 
al  qual  fine  si  ha  CA  =  ^2Gi\S2;  EAB=  1 1"  i7'49"'  ^ 
=  2'  i5"  ,  93  ;  e  5  =  78°  39'  55" ,  07 .  Con  questi  da- 
ti  fassi  il  calcolo  se2;uente. 


SULLE    LIVEIXAZIONI    BAUOMETKICHE  409 

L  COS  E  A  D  =    9  .  9((i5o3oa 
LC A  =    6  .  51417827 


16  .  50867639 
L  sen  B  =    9  .  9914457294 


LC B  —    6  .  5i4.i3o56o6 
C  B  =  3267612  ,  49;    D  B  =■  480  ,  49. 

Vegglarn  ora  qiianto  quest'altezza  possa  esser  alte- 
rata  dalla  rifrazione.  Qui  sopra  abbiatn  trovato,  che 
questa  e  =  6"  ,  465.  Sara  tlunque  E  Ab  =  E  A  B  — 
6",  465=  11"  17'  42''  ,535;  ed  AbC  =  B -*- G'^^SS  = 
78"  40'  1"  ,  535.  Replico  il  calcolo  con  questi  nuovi 
valori  dt-gli  angoli;  e  n'  ho  per  risultato  L  C  b  = 
6.5i423o56o6  valore  perfettadiente  ugualc  a  (juello 
di  L  C  B;  onde  segue,  esser  in  quesio  caso  iusensi- 
bile  i'  eiietto  del  la  ritrazione. 

Prendeudo  un  medio  fra  Vangolo  apparente  d'al- 
tezza  e  quello  di  depressione  diuiiuuito  deli'  angolo 
al  ceutro  si  trovera  E  A  b  =^  11"  17'  42"  ,  533;  e  per 
conseguence  J />  C  =  78"  40'  1"  ,  535,  cioe  i  valori 
medesimi  trovati  pur  ora.  E  qtiindi  si  vede,  die  il 
calcolo  dell'  altezza  fatto  coil'  angolo  medio  conduce 
agli  sressi   valori  di  Cb^Db  posti  qui  sopra. 

Col  inetodo  del  num.  53  si  deiermuia  \  altezza 
D  B  per  mezzo  del  triaugolo  A  B  Z),  e  colia  formo- 

sen  {E  A  B  -^  -  ) 

U  DB  =  J  D  -—- - — ^;  .    La   corda  J  Z)  e  = 

cos  {L  A  h  -^-  u) 


410  V  E  N  I  N  I 

2  C  A  sen  -  ;   e,   sostituiti  i  valori  di    C  A,  sen  —  , 
a  a 

=  2l53  ,   12. 

L'  altezza  D  B  e  data  dal  calcolo  seguente. 
L  sen  {EAB  •*--)=:    9.  29278654 
LAD  =    3  .  333o68a7 


I  a  .  6a58o48f 
L  cos  {EAB -*- u)  =:    9  .  99144573 


LDB  =    a  .  63435908  ;  D  Z?  =  430  , 88  . 

Questo  rlsultato  supera  il  precedente  calcolato 
col  triangolo  CAB  di  4  decimi  di  tesa. 

Calcoliamo  alfiae  T  altezza  inedesima  anche  per 
mezzo  del  triangolo  A  B  F.  Se  vuolsi  determinar  il 
Yalore  deH'aiigolo  al  centro  C  supponendo  y^/'ugua- 
le  alia  tangente  di  C  presa  in  uu  circolo  del   raggio 

r>  A     •         'r            /o       A  B  cos  E  A  B       ^   n   o        ic 
L  A  SI  avra  L  tang  C  = j^—z =  6.81894235; 

cui  corrlsponde  C=  2' 1 5", 946.  Questo  valore  debb'es- 
ser  alquanto  niaggior  del  vero,  com'  e  in  fatti;  ma 
la  diflerenza  e  di  soli  16  millesimi  di  secoiido;  poi- 
che  il  calcolo  rigoroso  del  triangolo  C  A  B  ha.  date 
C  =  2'  i5",93.^ 

r»  1  n    1       A  B  sen  E  A  B ,  , ,  s 

Uovendo  essere  B  d  = ^ (  num.    54  ) 

cos  L) 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE  4I  1 

per  determliiarue  il  valore  si  calcolera  a  quesio  inodo 
L  sen  E  A  B  =.     9  .  agaoao^G 
LAD  =     3  .  34i6ia6 


la  .  03363336 
LcosC  =2    9  .  9999999 


LBd=     a  .  63363346;  5^  =  430,  1 63. 

II  valore  di  d  D  pel  num.  54  e  dato  dal  calco- 
lo  seguente 

(  120'' )'  :  (  1  35  ,  93  )"  =  O  .  0000002  :  X 

L  X  =  d  .  4o9a98a 

LC  A  =  6  .  51417337 


LdD  =  9  .  9a347f47;  JD  =  o,838;  2?D  =  43i,ooi. 

Qiiesto  risukato  supera  di  5ii  milleaimi  di  tesa 
quello  del  triangolo  CAB. 

Le  differenze  dei  ire  risultaii  sono  assai  piccolcj 
e  prendeiidone  un  medio  si  potrebbe  fissar  1'  altezza 
dt'lla  sommita  del  Saleve  sopra  1'  occliio  deir  osser- 
vatore  aU'estreniita  piu  elevata  della  base  a  tese  430, 
79.  Supposta  r  altezza  deli"  occbio  di  cinque  piedi  o 
tese  o  ,  83,  1' altezza  media  sarebbe  4^1  ,  62;  e  so- 
pra r  altra  estremita  della  base  (infcriore  di  3  ,  4  te. ) 
di  435,02.  Ma  io  credo,  die  il  calcolo  del  triango- 
lo C  A  B  dia  le  altezze  piii  esatte;  e  cio  posto  m'at- 


4ia  V  n  N  I  N  1 

terro  al  risultaio  del  ealcolo  di  ([iiel  triangolo,  il  qnal 
da  per  1"  akez/.a  di  C  sopra  rocchio  4^0,49;  sopra 
^'  4^1  ,  32;  e  sopra  A'  4X4  ,  72. 

II  Cavalirr  Shiickburg,  Sftiz'indlcare  in  qual  mo- 
do  abhia  calcolata  Taltezza  di  C  sopra  B\  dice  seiu- 
plicenieiue,  ch'  essa  fii  di  2806  ,  27  pie.  iiig.  =  4S8  , 
8566  te.  fran.  maggior  del  inio  risultaio  alquanto  piu 
di  te.  7  f.  Ma  per  aver  1111'  altezza  presso  a  poco 
egiiale  alia  sua  converrebbe  supporre  1'  aiigolo  d'ele- 
vazione  maggior  deH'osservato  di  12'  3o"  alio  iucirca, 
Infatti  se  E  A  B  fosse  =  1  T  3o' 20",  il  ealcolo  del 
triangolo  AB  F  darebbe  C  =  1'  1 5  " ,  847 ;  5  f/  =  438; 
d  D  =  o  ^  6v6\  e  D  B  =  438  ,  616  minore  delT altez- 
za assegnata  dal  calcolator  inglese  d'  un  quarto  di 
tesa;  ma  maggiore  alquanto  piu  di  mezza  tesa  aggiun- 
gendo  al   risultato  1' altezza  dell' occbio  sopra  B  . 

80.  Se  co'  suoi  dati,  cbe  sono  ^  i5  =  219.3  ,  9; 
angolo  medio  d' elevazione  =  11°  17'  41"  ,  5;  ed  f  = 
C  =  1'  18"  egli  avesse  calcolata  1' altezza  per  mezzo 
del  triangolo  A  B  F ^  avrebbe  trovato 

r,  J       219.5^9  je«  ( 1 1"  17' 4i",5 )         _  T     ^ 

^^=  cosi.-J)  =430,09  te.  Inoltre, 

essendo  probabile  (come  spieghero  qui  sotto),  cb'egli 
abbia  supposta  la  sua  base  distante  dal  centro  della 
Terra  di  tese  3269297;  egli  avrebbe  poiuto  determi- 
nar  il  valore  di  d  D  con  questo  ealcolo 

(  120"  )*  :  (   l38"  y  =  O  ,  0000002  :  X 


SULLE    I,IVELL\ZIONI    BVUOMETRICUE  4l3 

Z/  a;  =  3  .  4aM-i58 
LC  A  =  G  .  51445443 


LdD  =  ()  .  98088023  ; 
c?  />  =  o  ,  G65 ;   Z>  i?  =  43o  ,  965  te. 

Questo  valore  puo  dirsi  eguale  a  fjiiello,  ch'  io 
ho  trovato  pur  ora  calcolando  iiello  stesso  modo;  poi- 
che    la  diH'erenza  loro  e  di  3  pollici  soli . 

Ho  detto,  esser  proljabile,  che  il  calcolator  iii- 
glese  abbia  supposta  la  sua  base  distatite  dal  ceutro 
della  terra  di  te.  3269297;  ed  eccone  la  ragione.  So- 
gliono  alcuni  per  soverchio  amore  di  breviia  (  clie 
soverchio  dee  dirsi  quaudo  sensibilmente  pregiudirhi 
air  esaitezza )  calcolar  T  angolo  al  centro  nella  se- 
giiente  maniera.  E'  suppongouo  in  primo  luogo  col  Pi- 
card  e  col  Cassini  il  raggio  terrestre  di  te.  3269297, 
e  per  couseguenza  ogni  ininuto  primo  della  circonfe- 
reuza  di  te.  951.  Suppougon  poi,  che  Tarco  AD  mi- 
sura  deir  angolo  al  centro  sia,  come  debb'  essere,  al- 
quanto  minore  della  visuale  J  B ,  e,  ditniuuita  que- 
st a  di  quel  numero  di  tese,  die  lor  setnbra  piu  coii- 
venevole,  la  dividon  per  o'ii;  ed  harmo  cosi  nel  qno- 
ziente  1'  arco  intermedio  A  D  espresso  in  minuti.  Che 
cosi  abbia  fatto  auche  sir  Shuclcbiug  io  lo  cougf*ttu- 
ro  dal  valore  2'  18"  per  lui  assegnato  all'  angolo  al 
centro.  Imperocche,  se  diminuiremo  d'uiia  do/.zina 
di  tese  la  visuale  AB  riducendola  a  2184:  iudi  la 
divideremo  per  951,  ne  avremo  il  quozieute  2'  ,  20'>  = 
2'  17",  76   valor   vicinissimo  a   qiiello  di    Shuckburg; 

T.  II.     P.  IL  5a 


4T4  V  E  I?  I  N  I 

cui  poco  importava  il  tener  conto  di  24  centesimi  di 
secoudo . 

Vediarn  ora  a  qual  risultato  ei  sarebbe  giunto 
se  coi  medesiini  datl  avesse  fdtto  il  calcolo  per  mez- 
zo del  triangolo  C  A  B.  \  dati  son  quesii 
angolo  medio  d'  elevazione  j£'  y^  ^  =  1 1°  [7'  41"  ,  5; 
angolo  al  centro  C  =  1'  18";  angolo  B  =  78°  40'  o", 
S;  C A  =  3269297.  II  calcolo  e  dunque   il  seguente. 

L  cos  E  A  B  =    9  .  99 1 5o6 1 7 

LC A  =    6  .  51445443 


16  .  50596060 
L  sen  B  =     C)  .  99 14480 1 


LC B  =:    6  .  51451259 

C  B  =  3269735  ,  26 ;  Z)  i?  =  438  ,  26  te.  (a) 

Suppongasi,  che  il  Cavalier  Shuckburg  abbia  co- 
si  calcolata  Takezza  di  C'  sopra  I'occhio,  ed  aggiun- 
d  al   risultaio  83    centesimi  di    tesa  altezza   dell'  oc- 


(a)  II  risultato  del  triangolo  CAB  siipera  quello  del  triangolo  A  B  F 
di  te.  7  ,  3o5  ;  e  questa  considerabil  dilFerenza  nasce  d-il  valor  troppo 
graiide  attribuito  all'  angolo  al  centro;  il  quale  infliiisce  pochissimo  nel 
calcolo  del  secondo  triangolo;  ma  altera  assai  seniibilmente  qnello  del 
primo  ■  In  fatti ,  se  i  calcoli  si  faranno,  noii  supponondo  arbitrarianiente 
un  talio  valine  dell' angolo  al  centro,  ma  dediicendolo  dai  dati;  che  so- 
no  E  A  B  zz  11*  17'  n\"  ,  5  ;  A  B  =^  2195  ,  y;  C  A  ~  iib'^)i<)-]  ;  si  troveri 
C  =  i.'  1 5"  ,  !;6  j)el  triangolo  A  B  F,  e  2.'  i5"  ,  83  per  CAB:  ed  i  risiil- 
tati  dei  doe  calcoli  sarauuo  4J0  ,  817  ;  43[  ,1^2.;  la  cui  diU'erenxa  passa 
tli  poco  una  mezza  tesa . 


SULLE    LIVELLAZIONI    BA.KOMETUICHE  4l5 

chio  sopra  B.,  vedrassi  clie  I'altezza  di  C'  sopra  B' 
gli  sara  riuscita  di  te.  4^9  ,  09  quasi  precisaiuente 
uguale  a  quella,  ch'  egli  ha  assegiiata. 

J\Ja  i  dati,  ai  quail  il  oalcolo  e  appoogiato,  so- 
no,  come  lio  gia  detio,  contraddittoiii.  In  latti  per 
la  supposizione,  che  l'  augolo  al  centro  sia  2'  18" 
il  logariimo  della  sua  taugeute  e  C. 8254540,  ed  a  que- 
sto  aggiunto  il  logaritmo  di  Cy)  =  6.5i44544'^  si  lia  il 
logaritino  di  ^f/=  3.53990843;  cui  corrispoude  il  nu- 
mero  2187,3.  Ma  per  la  supposizioue  dell'angolo  EAB 
=  i  I °  1 7'  4 1 " ,  5 ;  il  valore  di  J  F=  A  B  cos  E  A  B  e 
=  2 1  53  ,  37:  vale  a  dire,  che  Ad  in  luogo  d'  esser 
minore  di  A  F ,  come  necessariameute  dev'  essere,  e 
anzi  niaggiore  di  quasi  34  tese.  Manifesta  cosa  e 
duuque,  che  nei  calcoli  conducenti  a  quest'  assurdo 
e  coutenuta  qualche  coutraddizione.  Ed  essa  ci  e  di 
fatti ;  poiche,  essendo  A  B  =  i\()\i  ,9,  se  snppousi 
^  J  )9  =  I  i"  17'  41"  ,  5,  r  aiigolo  al  centro  debb' es- 
sere al<|uanto  minore  di  2'  i5",9;  ma,  supponendo- 
lo  =  2'  18",  I'augolo  EAB  vien  ad  essere  =  o^  4'  22" 
non  11°  17'  41"  ,  5.  fli  tutte  le  contraddizioni  nascoii 
dalla  falsa  supposizione;  che  l'  arco  iniermedio  A  D 
sia  minore  della  visuale  A  B  non  piii  che  d'  una 
dozzina  di  tese  laddove  io  con  un  calcolo  esatto  1'  ho 
trovato  minore  quasi  di  43.  Ed  invero,  diminuendo 
di  43  tese  il  valor  di  AB\  il  che  lo  riduce  a  21 53; 
poi  dividendo  questo  numero  per  901,  si  trova  il 
quoto  di   minuti  2  ,  264  =  2'  i5"  ,84   non  2'  18". 

Conchiudiam  finalmi-'nte,  essere  da'  miei  calcoli 
posto  fuor  d'ogni  dubbio,  che  T  altezza  di  C'  sopra' 
B    assegnata  dal  calcolator  inglese  supera  la  vera  al- 


4i6  Venini 

nieno  di  tese  7  v;  cd  aggiiingiamo,  che  le  preceden- 
ti  osservazioni  indicano,  per  qiianto  anoi  pare,  d' 011- 
de  possa  esser  nato  il  siio  sbaglio. 

Ho  detto  alia  fine  del  num.  78,  che  qiiando  I'an- 
golo  osservato  d'altezza  e  rnolto  incerto,  la  pruden- 
za  vuole,  che  V  osservazion  si  rigetti:  ma  I'ho  detto 
siipponendo,  che  nella  misura  delle  altezze  non  vo- 
glian  tollerarsi  gli  errori,  che  giungano  ad  una  tesa 
o  la  passino.  Ma,  se  non  cureremo  iin  errore  di  po- 
co  maggior  d'una  tesa,  potremo  calcolar  Taltezza  di 
C  sopra  A'  anche  coU' osservazione  fatta  in  A'.  In 
essa  Tangolo  deU'elevazione  apparente  fii  10°  3o'  35"; 
C  A  =  3267179;  r  angolo  al  centro,  come  gia  ho  mo- 
strato  =  2'  28"  ,  37 ;  e  per  conseguente  B  —  79°  27  6", 
63 .  11  calcolo  deir  altezza  si  fara  dunque  cosi 

LcosE^  B  =    9  .  99a65635 

L  C  A  =    C  .  5141727 


16  .  5c68a9o5 
L  sen  B  =     9  .  99^5982857 


LC  B  —     6  .  5142807643 
C  B  =  3267614  ,02;   D  B  =  435  ,  02. 

Tal  sarebbe  1' altezza  di  C  sopra  I'occhlo.  Si  ag- 
glungano  o  ,  83;  e  1' altezza  di  C'  sopra  A'  sara  di 
tese  435  ,  85;  la  qual  supera  quella,  che  si  e  dedot- 
ta  dair  osservazione  fatta  in  Z?  di  i  ,  16  te.  Chi  vo- 
lesse  preiider  un  medio  fra  quesii  due  risultati  lo  iro- 


SULLE    LIVELLAZIONl    MAROMETllICHE  417 

verrblje  di  435  ,  280  te. ;  ma  correggendo  per  tal  mo- 
do  il  risuliato  d'  un'osservazione  prolj.djilineiue  buo- 
na  per  quello  cV  uri'  altra  certameiite  meno  esatta , 
egli  sempre  piu  si  alloutanerel)l)e  dal  vero. 

11  Cav.  Shuckhurg  dice,  esser  C  superiore  ad  A' 
di  pie.  ing.  28'^5,07  corrispondenti  a  te.  fran.  443,36. 
II  risidtato  del  suo  calcolo  supera  dunque  quello  del 
mio  di  te.  7  ,  5i.  Secoudo  lui  1' angolo  al  centro  fu 
in  quest'  osservazione  =:  2'  3o";  il  die  mi  fa  credere, 
cir  egli  ahbia  supposto  1' arco  J  D  di  i3  te.  minor 
della  visuale  ^^  =  2390,55.  In  fatti,  dividendo  2377 
per  961  si  trova  il  quoziente  2' ,  S'.  Anche  in  questo 
caso,  s'egli  avesse  co'suoi  dati  calcolata  1' akezza  per 
mezzo  del  triangolo  A  B  F^  \  avrebbe  trovata  seusi- 
bilmente  minore.  I  suoi  dati  sono  C  y/ =  3269297  . 
^^=r 2390,  55:  r angolo  medio  d'altezza  =10'' 29' 14"; 
e  r  angolo  al  centro  C  =  2'  3o";  dai  quali  risulta 

J5  tZ  =     ^    ,    ,„  „■     — -^—  =435,12  te.  Per  mez- 

coj  (  2' 3o') 

zo  deir  analogia  (  120"  )*  :  (  i5o"  )'  =  o  ,  0000C02  :  x 
si  ottiene  L.t  =  3  .  4948502;  e  LdD  =  Lx-*-LCA=: 
O  .  00930^6;  cui  corrisponde  d  D  =  \  ,  02.  L'altezza 
D  B=  B  d-^  d  D  e  dunque  =  435  ,  12  -^-  i  ,  02  = 
436  ,14,  non  443  ,  36:  per  lo  cbe  la  ditlerenza  e  di 
te.  6  .  29. 

Che  se  egli  avesse  calcolato  col  triangolo  CAB^ 
lo  avrebbe  faito  nel  modo  seguente,  avvertenJo,  die 
r  angolo  B  &  =-(f  28'  16" 


41 8  V  E  N  I  N  I 

L  COS  E  A  B  =    9  .  99168404 
LCA=i    6  .  51445443 

16  •  50713347 
L  sen  B  =     9  .  99262544 


LCB  =    6  .  5i45i3o3 

C  B  =  3269738  ,57;   D  B  ==  441  ,  57  te. 

S' pgli  avesse  aggiunto  T  accrescimento  di  o  ,  83 
r  altezza  di  C  sopra  A'  risulterebbe  tlunque  di  te. 
442  ,  4  ininore  dell'  assegnata  dal  calcolator  inglese 
di  96  ceiitesimi  di  tesa.  Cliecche  ne  sia,  avendo  egli 
supposto  r  angolo  al  cent  10  maggior  del  vero,  non  e 
da  stupire,  che  sia  stato  condotto  ad  un' altezza  trop- 
po  graiide,  e  di  te.  7  d  maggior  della  mia. 

Concliiudiani  final mente  che,  dovendo  a  quest'os- 
servazione  preferirsi  quella  dell'  altro  estremo  della 
base  B'  ^  la  vera  altezza  di  C  sopra  A'  e  probabil- 
mente  di  te.  434  ,  72. 

\o  ho  gia  detto;  che  le  tre  osservazioni  barome- 
triche  fatte  dal  fisico  inglese  e  calcolate  colla  regola 
del  sig.  De  Luc  danno  per  T  altezza  di  C'  sopra  A* 
te.  43^  ,  36  minore  della  precedence  di  35  centesimi, 
ossia  d'  un  terzo  di  tesa:  cosicchc  il  difetto  della  re- 
gola e  in  questo  caso  di  8  diecinidlesimi  dell'  altezza 
geometrica  .  Ma  ben  diversa  e  la  conchiusione  del 
Cav.  Sliuckbiirg,  il  quale  ingannato  da'  snoi  calcoli 
delle  altezze  geometriche  assicura,  che  il  difetto  del- 
la regola  e  di  23 1  per  diecimila,  cioe  quasi  di  2  ^ 
per  100.  Ma  io  non  so  come  1'  autor  medesimo  non. 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICIIE  4I9 

abbia  duljitato  d'niia  sifTatta  asserzione  quaiido  scris- 
se  la  nota  dclla  pag.  5^2  del  sopra  citato  volume  del- 
le  Transazioiii  lilosoficlie.  „  11  risultato  medio,  dic'e- 
„  gli,  di  tre  osservazioiii  da  me  fatte  e  Tuna  dalTal- 
„  tra  indipeudenti  sulTaltezza  della  sominita  dt-l  Sa- 
„  lece  sopra  il  lago  di  Giiievra  s'accoi\laiio  col  risul- 
„  tato  medio  delle  due  misure  prese  dal  sig.  De  Luc 
„  col  livello  e  col  quadraute,  dal  qual  dilleriscon  me- 
„  no  di  iiu  piede  „  . 

Ora  questo  accordo  e  in  una  niauifesta  contrad- 
dizione  col  supposto  difetto  della  regola  del  lisico  di 
Cinevra.  Imperciocche  la  media  delle  due  indicate 
misure  di  quest'  ultimo  fa  la  cima  del  Saleve  supe- 
riore  alia  sua  stazion  iuferiore  o  base  di  tutte  le  os- 
servazioni  barometriche  di  piedi  29^1,  come  si  vede 
al  par.  5i3  delle  sue  Ricercbe.  Leggesi  iu  olrre  al 
par.  648,  cbe  la  base  fu  piu  alta  dell' appartameuto 
deir  autore  circa  94  piedi,  e  1' appartameuto  superio- 
re  al  lago  d'  altri  5o.  L'  altezza  della  base  sopra  il 
lago  fu  diinque  di  piedi  144,  i  quali  aggiuuti  agli  al- 
tri 2931  fauno  ascendere  r  altezza  della  cima  del  mon- 
te  sopra  il  lago  a  piedi  307.');  e  quest'altezza  s'accor- 
da,  come  dice  sir  Sliuckburg,  colla  sua  misura  a  me- 
no  d'  un  piede  di  differenza.  Ma  cio  come  puo  es- 
sere  se  la  reoola  del  sig.  De  Luc  da  le  altezze  mino- 
ri  di  23 1  diecimillesimi?  Le  undici  osservazioni  della 
stazion  XV,  cioe  della  sommita  del  moute  calcolate 
con  questa  regola  dauno  \in'  altezza  media  di  2925 
pie.;  e  questa  coll' accrescimeuto,  cbe  dovrebbe  farsi 

per  supplire  al  difetto    della  regola  di salircbbe 


420  V  r.  N  I  N  I 

a  2992  ,  57.  S'  aggiiingano  pie.  144,  de'  quali  la  ba- 
se e  superiore  al  lago;  e  ne  risulteranno  ^6\?>6,dj  in 
liidgo  cli  3075.  La  regola  con  quest' accresciineoto  pec- 
cherebbe  duiique  in  eccesso  di  piedi  61  ,67.  All'op- 
posto  r  altezza  calcolata  colla  regola  senz'  alcun  can- 
giamenro  e  di  pie.  2925  ■+■  144  =  0069  minor  della 
iTiisiira  del  fisico  inglese  di  5  piedi  o  6. 

Jn  an  luogo  superiore  di  pie.  ing.  2,8  ad  A' 
sir  Shuckbiirg  lia  fatte  4  altre  osservazioni  barome- 
triche;  le  tpiali  calcolaie  colla  regola  senza  vernn  ac- 
crescimento  gli  ban  dato  un'akezza  di  pie  ing.  2753,oS 
equivalenti  a  te.  fran.  480  ,  53.  lo  ho  rifntto  il  oal- 
colo  dopo  aver  accresciuto  di  2  gradi  F.  V  altezza  dei 
termonietri  distaccati  da  lui  tenuti  all'  ombra;  e  son 
giuiito  al  risultato  di  te.  fran.  432  ,  8i65.  I  2  ,  86  pie. 
ing.;  de'  quali  la  stazion  pin  bassa  fu  superiore  ad 
/i'  corrispondono  a  o  ,  4473  di  te.  fraii.;  oiide  segue, 
cbe  per  (pieste  osservazioni  1'  altezza  di  C  sopra  A' 
fu  di  te.  fran.  433  ,  2638.  11  medio  fra  questo  risul- 
tato e  qnello  delle  altre  3  osservazioni  e  433,81  mi- 
nore  dell' altezza  geometrica  di  91  centesimi  di  tesa 
o  pie.  fran.  5  ,  46;  per  la  qual  tenue  differenza  non 
credo  debba  farsi  alia  regola  alcun  cambiamento.  In 
fatti  nel  gran  numero  delle  osservazioni;  dalle  qnaU 
il  sig.  De  Luc  ba  dedotta  la  sua  regola  inolte  sen 
trovano;  per  le  quali  la  differenza  fra  il  risultato  ba- 
rometrico  e  quel  della  livellazione  e  assai  maggiore 
di  questa.  E  si  aggiunga,  cbe,  se  nel  calcolo  io  aves- 
si  avuto  riguardo  alia  diversa  pressione  atniosferica, 
colla  quale  son  graduati  i  termonietri  a  Londra  ed 
a  Ginevra,  aviei   trovata    un'  altezza  alquanto  mag- 


SULLn    LlVELLAZIONl    IJAROMLTRICUE  42 1 

giore,  ed  una  rlinVrenza  piii  picrola  di  tre  o  quattro  de- 
cimi  di  tesa;  il  die  la  ridurieh})e  a  poco  piii  di  3  piedi. 

8 1.  11  Cav.  Shuckburg  non  conteiuo  del  suo  pri- 
me risultato  al  Saieve  voile  esaininar  la  regola  anche 
al  Mole  akro  inoiue  non  guari  distante  di  Ginevra. 
Quivi  egli  determiiio  geontetricarnente  I'altezza  della 
soinmita  del  monte  sopra  il  ptinto  inferior  d'  una 
base  niisurata  a  tal  uopo;  e  fece  sei  osservazioui  ha- 
rometriche,  die  calcolo  colla  regola  del  sig.  De  Luc. 
I  risultati  delle  due  inisure  furono  secondo  kii  di  pie. 
ing.'  4212  ,  4  per  la  geometrica,  e  di  4121  ,  14  per 
la  barometrica:  cosicche  la  differenza  e  di  92,26 
pie.  L'  error  della  regola  sarebbe  dunque  di  o  , 
0224  in  difetto  quasi  eguale  a  quel,  che  gli  diede 
il  calcolo  delle  sue  osservazioni  al  Saieve. 

Ma  se  i  dati,  dai  quali  dipende  la  misura  geo- 
metrica fossero  esatti,  io  trovo,  cbe  la  regola  pecclie- 
rebbe  in  eccesso  non  in  difetto;  e  cbe  1'  errore 
passerebbe  il  cinque  per  cento.  Aflln  di  metter  il  let- 
tore  in  istato  di  giudicarne  io  debbo  in  primo  luogo 
esporre  le  osservazioni  del  fisico  inglese;  poi  calco- 
lar  rigorosamente  le  altezze,  cbe  ne  dipendono,  e  per 
levare  ogni  dubbio  dare  i  miei  calcoli  per  esteso. 

Sir  Sbuckburg  dice,  die  con  replicate  misure 
determine  la  liuig4iezza  d'una  base  A'  B'  in  pie.  ing. 
laSo  ,  325;  ed  aggiunge  che,  calcolate  le  visnali  per 
mezzo  di  questa  e  degli  angoli  A'  =  gG"  Sy'  28  ';  B'  = 
77°  48'  53 ';  e  =  6°  33'  49",  trovo  le  visuali  A'  C  =: 
10691  ,  9  pie.  ing.;  e  B'  C  =  10886  ,  7.  Verificati  t 
calcoli  trovo  anch'io;  che  qnesti  valori  delle  visuali 
son  giusti.  Ben  e  vero,  che  la  somma  dei  tre  angoli 

T  IL    P.  IL  53 


422  V  E  N  I  N  1 

siipera  i  due  retti  di  lo  second! ;  e  che  clascuno  do- 
vrebbe  esser  diininuito  di  3",  33;  ma  le  liinghezze 
delle  visuali  non  sarfbber  da  questa  correzione  can- 
giate  sensibiWneiite.  Ora  riduceiido  le  misure  inglesi 
alia  autiche  fraiicesi  ne  risulta  A'  B'  =  196  ,  53  te.; 
^'  C  =  1 672  ,  o5 ;  e  i?'  C"  =  1 702  ,  5 1 . 

Per  determinar  P  altezza  della  base  sopra  il  li- 
vello  del  mare  abbiamo  i  dati  seguenti.  La  soininita 
del  moiite,  per  cio  che  ne  dice  V  autore,  e  superio- 
re  al  Lemano  di  pie.  ing.  4885;  ed  alia  sua  base  di 
4211  ,  3.  L'akezza  della  base  sopra  il  lago  e  duiique 
di  pie.  ing.  673  ,  7  corrispondenti  a  io5  ,  35  te.  fran. 
Se  quest'  altezza  non  e  esatta,  com'  io  ho  ragiou  di 
credere,  essa  e  di  poche  diecine  di  tese  lontana  dal 
vero;  e  non  puo  per  conseguente  introdurre  nel  cal- 
colo  delle  alcezze  alcun  sensii^ile  errore.  Giusta  il  De 
Luc  I'altezza  del  lago  sopra  il  mare  e  di  te.  187,67. 
Quella  della  base  sopra  il  mare  fu  dunque  di  te.  393, 
02  ,  o  a  questo  numero  ben  vicina.  Ora  una  tale  al- 
tezza aggiunta  al  raggio  osculatore  della  latitudine  di 
Ginevra  da  pel  valor  di  C  A  (fig.  P)  tese  3267207  , 
3i;  o  per  raaggior  semplicita  3267207. 

L'autor  non  ha  dato  per  queste  osservazioni  co- 
me per  quelle  del  Saleve  tutti  gli  angoli  d' altezza  e 
di  depressione;  ma  ha  detto  soltanto,  che  gli  ango- 
li medii  d'  elevazione  furono 

per  C  sopra  y^'  =  21°  29'  84" 

per  C  sopr-a  B'  —  21°    3'  41" 

per  B'  sopra  A'  =■    0°  47'  24". 


SULLE    LIVELLAZIOM    BAUOMETRICIIE  42^ 

Quest'incertczza  non  ci  lascia  sapere  quanto  esatte 
o  diffttose  siano  state  le  misure  drgli  aiigoli;  e  non  ci 
permette  di  calcolar  direttamente  gli  angoli  al  centro. 
Ben  e  vero,  clie  le  lunjibezze  delle  visuali  dimostra- 
no  per  se  sole;  che  gli  angoli  al  centro  cosi  per  A' 
come  per  B'  furon  miiiori  di  due  miniiti.  Impercioc- 
che,  dividendo  1' arco  AD  misura  dell'angolo  al  cen- 
tro per  9504  cioe  pel  numero  delle  tese  coutenute  in 
un  nnniuo  [)nmo  del  circolo,  il  cui  raggio  e  di  3267207 
te.  si  trova  il  valor  dell'  arco  in  minuti  primi.  Ora, 
supponendo,  clie  I'arco  A  D  (certamente  minore  del- 
la  visuale  A  B)  sia  egnale  alia  medesima,  avrenio 
r  arco  anzidetto  per  la  visuale  del  punto  A'  dividen- 
do 167a  ,  o5  per  960  ,4;  e  ci  risultera  =  1'  ,  759. 
E  dividendo  per  lo  stesso  numero  1702  ,  5i  visuale 
del  pimto  B'  troveremo   i'  ,  791  . 

Cio  posto  la  difterenza  tra  la  perpendicolare  BF^ 
e  la  vera  altezza  D  B  sara  certamente  minore  di  una 

tesa;  poiche  Bd  h  =  ^;  e  bD  =  {secC-  i)  C  A. 
*  cos  C 

Ora  i  due  valori  di  C  posti  qui  sopra ,  e  maggiori  del 

vero  danno =  i  ,  ocooooi ;  il  che  significa,  che  i 

cos  C 

due  valori  di  Bd  superan  i  due  d'l  B  F  d'un  dieci- 
milionesimo.  E,  poiche  B  F  non  puo,  come  vedre- 
mo,  arrivare  a  700  te.;  le  dlfTereuze  tra  B  d^  e  BF 
saran  minori  di  sette  centomillesimi  d'uiia  tesa.  Le  se- 
canti  degli  archi  minori  di  due  minuti  duiiinuite  del- 
r  unita  non  giungono  a  due  diecnndionesimi  ;   e   per 


424  V  E  N  I  N  I 

consecvuente  {sec  C  —  1)  C  J  non  puo  arrivare  a  66 
centesiini  <J'  una  tesa. 

Ma  come  potrem  calcolare  i  due  valori  Hi  JB  F 
non  sapeudo  esattaniente  quali  siano  stati  gli  angoli 
d'altezza  di  C'  sopra  A'  e  sopra  B'?  Poich^  akro  non 
possiam  fare  ci  serviremo  degli  angoli  delle  altezze 
medle  dati  dall'  osseivatore ;  de'  quali  anch'  egli  iia 
fatto  uso  per  misurare  1'  altezza  del  monte  sopra  le 
due  estremita  della  base. 

I  dati  per  calcolar  Y  altezza  di  C'  sopra  A'  sono 
i  seguenti.  C—i',  769;  J  B=  1672,05;  ed  EJ  B  = 
ai"  29'  34".  Abbiam  dunque  B  d  = 

167a  ,o5  5m  ( 21°  20' 34")      „        ,       .  -111^ 

— —^ /  /    r   ,  '  ■■>  d'  onde  viene  il  calcolo  po- 

cos  (  1'  ,  759)  * 

sto  qui  sotto 

L  A  B  =     3  .  aa3a494 
LsenEAB  =    9  .  5689364 


la  .  7871858 
LcosC  =    9  .  9999999 


LBd~    a  .  7871859  ;  jBJ=6ia,  61  . 

Dunque,   polcli^  d  D  e   <  o  ,  66,    il  valor   vero 
Ax  B  D   non  giugnera  a  61 3  ,  27  te. 

Per  calcolar  I'altezza  di  B'  sopra  A'  abbiamo  AB=^ 
195  ,  53  te.;  E  A  B  =  ^f  24";  e  per  conseguente 


SULLE    LIVELLAZIONI    BAROMETRICHE  42$ 

L  sen  E  A  D  =  ^  .  1 394907 
LAD  =  a  .   2912134 


o  .  4307041 

In  questo  caso  Tanpiolo  al  centre  e  =-^-^ —  =o°o',2; 

ySo,   4  '    ' 

cioe  di  due  soli  decimi  di  minuto,  o  di  12".  e  quin- 
di  opera  perduca  sarebbe  il  farlo  entrare  nel  calcolo; 
non  essendo  ne  il  coseno  ne  la  secance  d'  un  angolo 
cosi  piccolo  diversi  dall'  unita.  11  logaritnio  dell'  al- 
tezza  di  B'  sopra  A'  e  diinque  o  .  4307041 ;  ed  a  que- 
sto corrisponde  il  numero  2  ,  696   te, 

Finalmente  i  dati  per  calcolar  1'  altezza  di  C' 
sopra  B'  sono  ^i^=  1702,51  te. ;  E A B  =  2\^ Z' ^i", 
e  C  =  1',  791  . 

Cio  posto  abbiamo 

L  sen  E  A  B  =    9  .  55553946 
LAB  =    3  .  2310897 


12    .    78662916 

L  COS  C  =    9  .  99999994 


L  B  d  =    a  .  78662922  ;  B  d=  611  ,  83  . 

La  secante  di  i'  ,  791  diniiiuiita  dell'  unita  non 
giunge  ancir  essa  a  due  diecimilionesinii;  e  quiudi  c, 
die  in  questo  caso  eziandio  il  valor  di  d  D  c  mino- 
ra di  c  ,  60  te.   L'  altezza  di  C  sopra  B'  e  dunque 


426  V  E  N  I  N  I 

alquaiito  minore  di  te.  612,49.  Si  aggiuiiga  a  questa 
TaJtezza  di  B'  sopra  A\  cioe  2,696;  e  si  avra  un'al- 
tr' altezza  di  C  sopra  A'  alqiianto  minore  di  te.  6i5, 
I06.  La  media  delle  due  akezze  di  C  sopra  A'  e 
614,228  alquanto  maggior  del  vero  .  (a) 

Ma  il  Cav.  Shuckburg,  avendo  fatti  i  suoi  cal- 
coli  coi  dati  medesimi  e  giunto  a  risiiltati  beii  diver- 
si  da'  miei.  Imperocclie  egli  afterma.,  che  le  due  al- 
tezze  di  C'  sopra  A'  sono  di  pie.  ing.  4212  ,  8;  e  4212; 
onde  risulta  la  media  4212  ,  4.  Ora  a  questa  corrispon- 
dono  658  ,  75  anticlie  te.  fran.;  cosicche  la  sua  altez- 
za media  supera  la  mia  scrupolosamente  calcolata  so- 
pra i  suoi  dati  di  te.  44,622  sopra  614  ,  228,  cioe  un 
poco  pi  LI  del  sette  per  100  dell'altezza  da  me  calcolata. 

Che  il  risultato  del  calcolator  inglese  sia  erroneo 
si  dimostra  facilmente  in  questa  maniera.  Sia  1'  ango- 
lo  d' altezza  di  C  sopra  A'  =  23°  12'  16"  in  luogo  di 
21"  29'  34".  Torniamo  a  fare  il  calcolo  col  cangia- 
niento  solo  di  questo  dato;  ed  avremo 

L  sen  E  A  B  :=:    g  .  SgSS  1 076 
L  A  B  z=     3   .  2i3a494 

la  .  81876016 
Lcos  C  =     g  .  9999999 

LBd=z     a  .  81876026;  i?^=  658,  81. 


(a)  Quaiulo  ii  calcclo  si  fa  colT  angolo  medio  noii  si  deve  teiicr  ron- 
to  dell'  altezza  dell'  occliio  superioie  iigiialmente  alia  due  esireiniti  della 
visuale  A  B  ;  cosirdie  1'  angolo  medio  sartbbc  lo  stesso  se  1'  occliio  t'osse 
situate  nelle  estremita  medesirue /4  e  B.  Quando  I'ho  agfiuinta  ai  risiilta- 
ti dei  calcoli ,  die  ho  attribuiti  a  sir  Shuckburg  ,  io  ho  dunque  supjjosto, 
ch'  ei  siasi  ingannato  anche  in  quesio . 


SULLE    LIVLLLAZIONI    UAROaiETlUGIIE  427 

Essenclo  D  d  <  o  ,  66,  sara  anche  1'  altezza  di  C' 
sopra  J'  alquanto  miiiore  di  669  ,  47.  Ma  1'  altezza 
media  di  sir  Sliuckburg  e  658  ,  76  minor  della  pre- 
cedence di  sette  deciini  soli  di  tesa  .  Dunque,  allin- 
che  il  SLio  risukato  fosse  esatto,  1' altezza  angolare  di 
C  sopra  J'  dovrebb'  essere  stata  23"  12'  16",  cioe 
maggiore    dell'  altezza   media   da    lui    assegnata  di  1' 

42'  42". 

Ma  per  conferniare  i  miei  risultati  io  calcolero 
le  due  altezze  di  C  sopra  J'  e  Ji'  anche  col  trian- 
golo  CAB  senza  far  cangiaraento  veruno  ai  valori 
delle  visuali,  e  delle  altezze  medie  angolari.  Comin- 
ciando  dall'estremo  A'  della  base  ho  A£  =  1672  ,  o5; 

£"^^  =  2i"29'34";^^-:^'=  34"  i5'  i3"  ;    e    CA  = 

3267207  .  Queste   premesse   conducono  a  determinar 
gli  angoli  B  e  C  nel  modo  seguente . 

L  tang — ^^^^—  =    9  .  833ia669 
a 

KCA-^AB)  =    6  .  5189543567 


16  .  3470810467 
L{CA-t-AB)=    6.5143988067 


L  tang  i^-TL?  =    9  .  83a682a4 
2, 

-^^  =  34°  i3'  34"  ,  81 ;   ^  =  68°  28'  47"  ,  81 ;   e 

C=  i'38",  19. 


4^8  V  E  N  I  N  I 

Qui  si  vede  ,  clie  V  angolo  al  centro  e,  come 
debb'  essere  ,  minor  di  qiiello  ,  che  si  deduce  dalla 
supposizioue  erronea  dell'  arco  A  D  eguale  alia  vi- 
suale  A  B . 

La  vera  altezza  D  B  s\  detcrminera  dunque  a 
questo  niodo 

LcosEAB  =    9  .  9686994B 

LC A  =    6  .  51417663 

16  .  482S7611 

L  sen  B  =     9  .  9686  [79823 

LC B  =    6  .  5i42<58i277 

CB  =  8267819  ,  76  i  jD  5  =  61a  ,  76  . 

Col  calcolo  del  triangolo  A  B  F  abbiam  trovata 
la  medesima  altezza  alquanto  nvinore  di  613,27.  La 
difl'erenza  tra  i  due  risuUati  non  giuiige  aduiique  a 
5 1  centesimi  di  tesa;  ma  quelle  del  presente  calcolo 
e  probabihnente  il  piu  esatto. 

Per  I'estremita  B'  abbiamo  C  A  =  3267207  ■+■  2, 
696=  3267209  ,  696;  A  B  =  1702  ,  5i;  E  A  B  =  21" 

3' 4,";  e^^^=34°28'9",5. 

Fatto  con  questi  dati  il  calcolo  degli  angoU,  si 
trova  ^^^  =34°  26'  29",  22;  B  =  60"  64'  38"  ,  72;  e 

C=  r  40",  28. 

L'  altezza  D  B  si  determine ra  dunque  calcolando 
a  questo  modo. 


SULLE    LIVCLLAZIOXI    BAllOMETRICIlE  429 

L  COS  E  A  B  ^=    9  .  96997279 
LCA  =    6  .  5141771C8 


16  .  484(49898 
L  sen  B  =    9  .  9698914682 


LCB  =    6  .  5 1 42584348 
0^=3267822,066;  Z>  5  =  61 2,  37. 

Aggiunte  2  ,  696  te.  abbiamo  una  second' altezza 
di  C  sopra  A'  =  6\5  ,  066:  e  presa  la  media  delle 
due  61 3  ,  913  minor  della  media  del  Cav.  Shuckburg 
di  te.  44  ,  837;  o  pill  semplicemente  45.  Se  i  miei 
calcoli  sono  esatti,  come  ho  ragion  di  credere,  il  ri- 
sultato  del  fisico  inglese  supera  il  vero  di  46  te.  su 
614,  cioe  quasi  di  7  j  per   100. 

lo  credo,  die  qiiesta  dilTerenza  de'  nostri  risul- 
tati  debba  come  quelia  del  Sale^e  atiribuirsi  al  me- 
todo,  con  cui  sir  Shuckburg  puo  aver  fatti  i  suoi  cal- 
coli; ed  ecco  in  qual  rnodo.  AH'  estremita  inferior  del- 
la  base  la  visuale  fu  di  te.  1672,00;  ed  io  suppon- 
go,  che  il  calcolatore  1'  abbia  creduta  maggiore  del- 
r  arco  AD  d'  una  dozzina  di  tese  .  Cio  posto,  per 
trovar  i  minuti  dell'  angolo  al  centro,  supponendo  il 
raggio  terrestre  =  8269297,  egli  avra  diviso  1660  per 
951;  e  n' avra  avuto  il  quoziente  i' ,  748  =  i' 44"  ,  7; 
cui  per  maggior  semplicita  avra  sostituito  1'  45".  I  da- 
ti  per  calcolar  1'  altezza  col  triangolo  CAB  son  dun- 
que  i  seguenti.  ZT/i  ^  =  21"  29' 34";  C^i  =  8269297; 
ei?  =  68''""28'4i".  Fatto  il  calcolo  trovo  0^=3269953, 

T.  II.    P.  IL  54 


4^0  V  n  N  I  N  I 

23;  e  D  B  =  6r)6  ,  23  altezza  supposta  di  C  sopra 
r  occhio.  Aggiinua  V  altezza  di  qut'sto  o  ,  83  ne  ri- 
sulta  C   superiore  ad  A  di  te.  667  ,  06. 

Colle  stesse  supposizioiii  e  con  uii  calcolo  simile 
trovo  Talttzza  di  C  sopra  ^'  =  654,21  te.,  e  sopra 
A'  =  656  ,  906.  La  media  tra  questa  e  la  precedtnte 
C  656  ,  983  minor  della  media  del  calcolator  inglese 
d'lma  tesa  e  %.  Questa  piccola  ditlerenza  piio  nasne- 
re  da  qiialche  diversita  tra  le  mie  supposizioni  del- 
I'angolo  al  centro,  e  quelle  del  Cav.  Shuckhurg,  die 
ho  cercato  d'  indovinare. 

82.  Vengo  era  alle  osservazioni  barometriche  da 
lui  fatte  al  punto  inferior  della  base  ed  alia  sonmii- 
ta  del  monte.  Queste  fnron  le  seguenti;  ma  si  avver- 
ta,  die  i  termometri  furon  tenuti  alTombra. 

I- 

^'  =  28  ,  1253  poll,  ing.;    a  =  24  ,  i525 


T 

= 

6i% 

9 

A' 

= 

38  , 

12 

58 

T 

= 

6i% 

8 

A' 

^'^^— 

28, 

12 

78 

T 

— 

63" 

A' 

28  , 

i3 

18 

T 

63° 

'9 

f  =  5i 


o 


IV 


III- 


IV' 


a'  =  24  ,  i5i  I 
t  =  56' 

a'  =  24  ,  1797 
^=56" 

a'  =  24  ,  1899 
t  =  56" 


SULLE    LIVLLLAZIONI  BAUOMETRIG  HE  481 

v 

^'  =  28  ,  i3o8  a'  =  24  ,  1913 

T  =  6^°  t  =  57° 

y^'  =  28  ,  1268  a'  =  24  ,  194P 


Le  akezze  medie  del  barometri  furon  dunque 
^'  =  28,1 2805 ;  a'  =  24  ,  1 7643 ;  e  quelle  dei  termo- 
metri  J':=63  ^;  f  =  55°  ;.  Volendo  calcolar  l' altez- 
za  coUa  r^gola  del  sig.  De  Luc  fatta  pei  termoinetri 
esposti  al  sole,  i  gradi  precedeuti  si  debbou  accre- 
scer  di  2;  e  quest'accrescimento  li  porta  a  65  s;  57"  ». 
Ora  a  questi  gradi  della  scala  di  Far.  corrispondoa 
in  quella  di  De  Luc  —  4  -j;  e  —  12  ^;  la  cui  somma 
e  —  17.  Cio  premesso  ecco  il  calcolo  dell'  altezza. 

L  A'  =  \   .  44913967 
ha'  z=i  \   .  33339214 


657  ,  47^3 
Per  la  regola  del  sig.  De  Luc  1'  altezza  sara   duuque 

=  657  ,  4753 ~  (657  ,  4753 )  =  646  ,  2983  te.  La 

media  delle  due  altezze  geometriche  di   C  sopra    A' 
da  Qie   calcolate   col  iriangolo  CAB  e  di  te.    61 3  > 


432  V  E 


N  I  N  I 


9i3  minore  della  barometrica  di  3a,  5853.  La  rego- 
la  pt'ccherebbe  dunque  in  eccesso  di  Say  per  dieci- 
mila,  cioe  di  5  +  per  loo  fjuantita  senza  dubbio  ec- 
cessiva . 

Ed  invero  nelle  osservazioni  delle  i5  stazioni  di 
De  Luc  i  massimi  errori  iu  eccesso  sono  i  seoiuenti 
secondo  Tordiue  delle  stazioni. 

0,12;  0,044;  o,o3i;  o,oi9;o,  009;  o  ,  009;  o,oo3; 
0,004;  0,001;  o,oo3;  o,oo5;  0,007;  0,006; 
o  ,  002;  o  ,  002.  Qui  si  vede,  che  gli  errori  in  eccesso 
sono  assai  piccoii  fuorcbe  nelle  tre  prime  stazioni; 
nelle  quali  ebbe  luogo  la  circostanza  particolare  d'u* 
no  scoglio  verticale  scaldato  direttamente  dal  sole. 
Veggasi  il  num.  621  delle  Ricerche  del  sig.  De  Luc; 
ov'egli  ne  da  anclie  la  spiegazione.  Ma  la  medesima 
circostanza  non  essendosi,  per  quanto  io  ne  so,  veri- 
ficata  in  qiieste  osservazioni  del  monte  Mole,  io  cre- 
derei,  che  la  gran  differenza  tra  i  risultati  delle  due 
iriisure  geometrica  e  barometrica  dovesse  attribiiirsi  a 
qualcbe  sbaglio  occorso  nella  misura  degli  angoli  d'al- 
tezza ;  o  almeno  non  saprei  indovinarne  la  cagione 
per  altro  modo. 

83.  Nella  tavola  posta  in  fine  della  memoria  del 
Cav.  Shuckburg  son  registrate  le  niisure  trigonome- 
triche  delle  altezze  relative  di  varii  monti  posti  intor- 
no  a  Giiievra:  ed  io  qui  n'  esporro  i  calcoli  dai  dati 
della  sua  tavola  dedotti  esattamente;  e  ne  confron- 
tero  i  risultati  con  quelli  delle  osservazioni  barome- 
triche  calcolate  colla  regola  del  fisico  di  Ginevra. 


SULLE   LIVELLAZIONI    BAROMETKICIIE  433 

Saleve  e  Mole  . 

La  distanza  delle  due  sommita  dei  monti  in  pie- 
ing.  fu  7091 3  ,  7  =  12497  '  2^  ^^'  ^'*^"- 
Ai)golo  dVlevazione  del  Mole  sopra  il  Saleve  =  1*2' 6" 
Semisomma  degli  angoH  B  c  C  nel  tiiangolo  C AB=: 
44°  28'  57" 

Altezza  del  Saleve  sopra  il  Lemano  per  le  livellazio- 
ni  di  De  Luc  :=  5 1 1  ,78  te. 
Altezza  del  Lemano  sopra  il  mare   187  ,  67 
Kaggio  osculatore  per  la  latitudine  diGinevra  3266914, 
£9.  Dunque  la  somma  =  C  A  =  3267613  ,  74. 

n (J 

Da  questi  dati  risulta  =44"  J^'  28",o5;e 

per  conseguente  C=  i3',8",95;  e  i?  =  88°  44'45",  o5. 

D^    r,         3267613  ^  74  C05  (   1°  a'  6")        r>     /■     or         r> 
""1"^  '^^=     1(88- 44' 4",  05)   '  =  ^'M6^-93. 

Q  D  B  =^  249  ,  19  te.  altezza  sopra  1'  occhio.  A  que- 
ste  aggiungo  V  altezza  deir  occhio  o  ,  83;  e  mi  risul- 
ta quella  del  Mole  sopra  il  Saleve  di  te.  260  :,  02. 

Nella  tavola  di  sir  Shuckburg  quest' altezza  e  di 
pie.  ing.  1596  =  249,  69  te.  fran.  minor  della  prece- 
dente  di  43  centesimi  di  tesa;  onde  apparisce,  non 
aver  lui  tenuto  conto  della  rifrazione,  die  io  pure  ho 
nel  calcolo  prectdente  iiegligentata . 

Ora  per  calcolarne  V  ellctto  suppongo  primiera- 

mente  come  al  num.  66;  che  il  valore  di  -  sia  stato 

n 


43+  V  E  N  1  N  I 

0,o8ii8i.  Osservo  poi,  die  quando  sir  Sluukburg 
ando  per  la  prima  voha  alia  ciina  del  Saleve,  egli 
ron  prevedeva  d'  averci  a  tornare;  ond'e  assai  proba- 
bile,  ch'  egli  abbia  allora  tnisurati  gli  angoli  d'  ele- 
vazione  o  di  depressione  apparente  dei  monti ;  de' 
quali  voleva  determinar  le  altezze  relative.  L'altezza 
media  del  barometro  fu  allora  di  pol.  fran.  24  ,  ti3; 
e  quella  del   termoinetro   14"  R.   A  questa   tempera- 


tura  il  valore  di  —si  ridiice  a  o  ,  075612.  Nel  luogo 
n 

e  nel  tempo  delT  osservazione  sara  dunque  stato 

in        a4  ,  I  i3  (  o  ,  075612  )  rr      r  .     ..  m  C 

~  =  ~ —„ — '  =  o  ,  o65 1 1 5 ;  e  quiiidi  —  = 

788",  oS  (o,o63ii5)  =  5i",  37. 

Dunque  Z:^6=ri'i4",63,eC:6//=88''45'S6",42. 
Ripetuto  coil  questi  angoli  il  calcolo  dell' altezza  si 
trova  C  b  =  3267860  ,  09;  e  D  b  =  246  ,  35  altezza 
del  Mole  sopra  Tocchio;  cui  aggiungendo  o,83  si  ha 
quella  del  Mole  sopra  il  Saleve  =  247  ,  18  te.  E  quin- 
di  r  altezza  del  Mole  sopra  il  Lemano  vien  ad  esse- 
re  di  tese  247  ,  18  h-  5i  i  ,  78  =  758  ,  96. 

Al  num.  756  delle  Ricerche  il  sig.  De  Luc  dice; 
che  colla  livellazion  barometrica  trovo  la  sommita  del 
Alole  superiore  al  Lemano  di  te.  760.  Per  un'  altra 
osservazion  barometrica  fatta  dal  suo  fratello  e  dal  sig. 
de  Saussure  calcolata  anch'essa  colla  solita  regola  Tai- 
tezza  dello  stesso  monte  sopra  il  lago  fu  di  ■jh2  ,  83. 
II  medio  dei  due  risultati  e  dunque  756,416  minore 
del  geometrico  di  te.  a ,  645 . 


SULLE    HVELLAZIOXI    BAROAIETIIICHE  4^5 

il/o/e  e  la  Dole  . 

Essendo  il  Mole,  ove  I'osservazione  fu  fatta,  piu 
zhn  della  Dole  io  calcolero  la  depression  delia  Dole 
coUa  forinola  del  num.  6i,  cioe 

CJcos{(P-^"L£) 
C  B  = -^ (vedi  la  fig.  IP) 

cos{(p-^'!l^-C) 
n 

Per  far  il  calcolo  abbiamo  i  dati  seguenti 

Altezza  del  Mole  sopra  il  lago      708  ,  96  te. 

Altezza  del  lago  sopra  il  mare       187  ,  67 

Raggio  osculatore  8266914  ,  29 


C  J  =  3267860  ,  92. 
Distanza  A  b=  146656  pie.  ing.  =  22984  ,71  te.  fran. 
Angolo  di  depressione  cp  =  25'  i3". 

Da  questo  valor  di  cp  si  deduce =45*'i2'36",5: 

e,  fatto  il  solito  calcolo  si  trova — =  44''44'3o"; 

e  per  conseguente  C  =  28'  6"  ,  5. 

Se  si  prescinde  dalla  rifrazioue,  la  formola  si  ri- 


436  V  E  N  I  N  I 

1  ^n         C  A  COS  (p  8267860  J  qa  co^  (a5' 1 3") 

dace  a  C  -o  =  — ; ^.  = 7 r-r^. — =-t = 

cos[p  —  C)  coj- (  — i' 53",  5) 

326-7774,45.  Sara  dunque  C  J  —  ^^  =  86,47  te.  de- 
pressione  apparente  della  Dole  sotto  Y  occhio;  dalla 
quale  sottraendo  o  ,  83  altezza  dell'  occliio  sopra  la 
cima  del  Mole  resta  la  depression  della  Dole  sotto 
il  IMole  di  tese  85  ,  64.  Questa  nella  tavola  di  sir 
Shuckbiirg  e  notata  di  pie.  ing.  562  ,  5  equivalenti  ad 
87  ,  97  te.  frail.  Egli  e  dunqiie  chiaro,  aver  lui  anche 
in  questo  caso  negligentata  la  rifrazlone;  ma  il  sue 
calcolo  avergli  dato  te.  2  ,  33  piu  del  mio. 

Facciam  ora  entrar  nel  calcolo  anche  la  rifrazio- 
ne,  la  quale  per  un  angolo  al  centro  niaggiore  di  28 
minuti  non  puo  ragionevolmente  essere  ommessa.  Poi- 
che  la  depression  apparente  della  Dole  e  di  te.  85,64; 
]a  depression  vera  sara  assai  vicina  alle  cento.  lo  cre- 
do adunque,  che  non  mi  allontanero  molto  dal  vero 
supponendo,  che  nel  tempo,  in  cui  dal  Mole  si  mi- 
suro  r  angolo  di  depression  della  Dole,  il  barometro 
ed  il  termometro  avrebber  dovuto  essere  piu  alti  al- 
ia Dole  che  al  Mole,  il  primo  d'  un  mezzo  pollice 
incirca,  ed  il  secondo  d'un  grado.  Ora  le  altezze  me- 
dic delle  6  osservazioni  fatte  sul  Mole  furono  pel  ba- 
rometro di  poUici  francesi  22  ,  685;  e  pel  termometro 
gradi  10,  5  11.  Questi  strumenti  sarebbero  dunque 
stati  sulla  Dole  a  pol.  23,  i85;  e  gra.   11  ,  5.    11  va- 


lore  di  —  alia  temperatura  del  ghiaccio  e  come  diaa- 
zi  =  o ,  08 1 1 8 1 ,  e  per  gra.  1 1 , 5  si  riduce  a  o  ,  07660O5 


SULLE    LIVELLAZIONI    CAROMETKICIIE  4^7 

Nflle  circostaiize  dclT  osservazione  sara  diiiujiie  stato 

m       a3  ,  I  as  (o  ,0766065)  ,,    ,,      t 

-=  «     ^=0,06.3433.    In    (jucsto  caso 

essciulo  C=  a8  6",  5;  sara  "— =  i6{{6",5(o,o03433) 

n  • 

=  1 06', 98=  i'^6",()(i;  e  cio  posto,  la  foniiola  divieiie 

^  jy       3:^67860  ,  qa  co^  (  a6'  So" ,  98  )        ,    .       ^  , 

Ci?  = ^-y_^„^^^^_^' =  3267760,  47^;  e 

C  A  —  C  B  —  ICO,  447  tlepressionc  della  Dole  sot- 
to  r  occhio  .  Ne  detraggo  o  ,  83  ;  e  mi  resta  la  ve- 
ra depression  della  Dole  sotto  il  Mole  di  te.  99,617 
inaggior  di  qiiella  del  calcolator  inglese  di  te.  I  r  ,  647. 
Sottratte  99  ,  617  da  758  ,  96  te.  altezzi  del  Mole  so- 
pra  il  Lemaiio  ne  resta  no  6.59  ,  343  altezza  dclla  Do- 
le sopra   \\   niedesimo. 

II  sig.  De  Luc  niisuro  1' altezza  del  Venice  del- 
la Dole  sopra  il  lugo  per  mezzo  di  due  osservazioni 
barometrielie.  La  prima  gli  diede  394+  pie.,  e  la  se- 
coiida  39.')2;  la  cui  media  e  di  3948  pie.  =658  te. 
\}v\  altra  osservazion  baromerrica  iatta  da  lui  e  dal 
sig.  De  Saiissure  ebbe  per  risultato  39.54  pie.;  mi  in 
qnesta  il  barometro  snperiore  fu  alquanto  piii  basso 
della  vera  sommita  del  monte.  II  De  Ltic  dice,  die 
lo  fu  di  poco ;  ond' io  supporro  ,  die  all' altezza  pre- 
cedente  dehbano  aggiugiiersi  tre  altri  piedi  portando- 
la  COS!  a  3957.  Aggiunta  questa  alle  altre  due,  e  di- 
visa  la  sonima  per  tre  si  trova  T  altezza  media  di  3931 
pie.  =68,5  te.  miuore  della  niisura  geometrica  di 
O  ,  843  di  tesa. 

T.  IL    P.  IL  55 


433  V  E  N  I  N  1 


Salcve  e  Buct. 

La  distanza  JB  delle  due  sommii^  fu  dl  pie.  ing. 
182446  =  285.31  ,  7  te.  fran.  L'  aiigolo  d'  elevuzioiie 
£JB  (fig.  1')  =  1"  3o'  46";  C  A  =  3267613  ,74;  e  da 

,  B  -t-  C  B C 

questi  dati   conchiudesi =44°  ^4   ^7  5  = 


43°  44' 37";  C=3o';  e  ^  =  87°  69' 1 4".  Fatto  il  so- 
lito  calcolo  deir  altezza  appareiite  si  trovd  C  B  = 
3268491  '  'i^'  ^  D  B  =  Sji  ,3-b;  e  coll' aggiunta  di 
o  ,  83  =  878  ,  2o5  altezza  del  Buec  sopra  il  Saleve  . 
Nella  tavola  di  Shiickburg  quest' altezza  e  di  pie.  ing. 
56 1 5, 6  =  878,  19  te.  frati.  cioe  quasi  eguale  alia  mia. 

m  C 
Per  calcolar  r altezza  vera  ho  — =  3o' (o,o65ii5)  = 

i'57",2:  onde  mi  viene  £"^6=  1° 28' 48", 8;  ed  AbCz=z 
88°  r  1 1", 2.  Ripetuto  con  questi  angoli  il  calcolo,  tro- 
vo  C  6  =  3268474  ,  99;  e  D  b  =  S6i  ,25.  Aggiungo 
0,83;  e  mi  risulta  862,08  altezza  corretta  dalla  rifra- 
zione;  la  qual  fa  in  questo  caso  di  te.    16  ,  120. 

Aggiunte  5ii  ,78  te.;  delle  quali  il  Saleve  e  su- 
periore  al  lago,  ne  risultano  i373  ,  86  altezza  vera  del 
Buet  sopra  il  Lemano.  II  sig.  De  Luc  per  mezzo 
d' un' osservazion  barometrica  calcolara  colia  sua  re- 
gola  trovo  quest' altezza  di  te.  1371  ,5  miuore  della 
geonietnca  di  2  ,  36* 


SULLE    LIVELLAZIOM    BAUOMLTR.'CIIR  ^?>() 


«> 


Saleve  e  Moubianco . 

Distanza  A  B  =  206B60  pie.  ing.  =  Jii'Voo  ,  ?i?>  te- 
frail,  aiigolo  d'  elevazione  =  1"  ^7'  Sy".  Dimque 

^^=^3°  36'  I",  5;   ^^^^  =43  "2' 2",  88;    C  = 

33'  58",  62;  e  7?  =  86°  38' 4"  ,  38. 

Fatto  con  questi  dati  il  calcolo  senza  consldcrar 
Ja  rifrazione  si  giunge  a  C /?=  3269-552  ,  8S;  D  B  — 
1739,11;  e  col  solito  accrescimento  per  I' altezza  del- 
V  occliio   I  739  ,  94. 

II  Cav.  Shuckbiiro;  nella  sua  tavola  fa  il  Mon- 
bianco  snpcriore  al  Saleve  di  pie.  ing.  i  1  124  corri- 
spondenti  a  te.  fran.  1739,6  altezza  minor  dclla  pre- 
cedence  dun  solo  terzo  di  tesa . 

iSelle  circostaiize   delle  misure   degli  angoli    alia 


cima  del  Saleve  ho  gia  osservaio,  clie  —  f u  =  o  ,  o65i  i5. 


Qui  abbiamo  (?=  33' 58"  ,  62  :  onde  viene  =  i32", 

n 

74  =  2' 12", 74.  Neir  osservazione  fu  dunque  EAb=: 
2%5'44'' ,26;  ed  J6C=86''4i''  17",  12.  Ripeto  il 
calcolo  con  (|uesti  veri  valori  degli  angoli;  e  trovo 
C^  =  326933 1  ,93;  /)6=i7i8,  19;  ed  agginnta  1' al- 
tezza dell' occhio  1719  ,  02.  Quesra  e  dun(pie  I'altez- 
za  vera  del  JMonbianco  sopra  il  Saleve;  e  per  conse- 
guenza  I' eftetto  della  rifrazione  c  di  te.  20,92.  L'al- 
tezza  vera  del  Monbianco  sopra  il  I^eniano  sara  dun. 
que  =  1719  ,  02  -♦-  5i  I  ,  78  =  223o  ,  8. 


44^  V  E  N  I  N  I 


Mole  e  Monhianco. 


Dlsfanza  A  B  —  1436.32  pie.  ing.  =32461  .  8  te. 
fran.  aiigolo  cl'  elevazione  =  3°  Sy'  7":  e  quiudi 

^-^=43°  ir26",5. 

Alia  sommita  del  Mole  ho  gia  mostrato  esser 
0^  =  3-467860,92;  ed   or   conchiudo;  clie  da  tutti 

R  —  C 
questi  dati  risulta  col  solito  calcolo =  42"  27' 

52",  2;  C  =  23'  34",  3;  e  ^  =  85"  59'  18",  7. 

Cio  premesso,  il  calcolo  del  triangolo  CAB  con- 
duce a  0^=3269355,697;  e  per  conseguente  a 
B  D  =  \^c^^  ^  111  altezza  apparente  del  Monbianco 
sopra  r  occhio;  e  sopra  il  Mole  1495,607.  JNella  ta- 
vola  di  sir  Shuckbiirg  quest' altezza  e  di  pi<^.  ing.  9570, 
6  =  1496  ,  7  te  fran.  inaggior  della  mia  di  te.  1  ,  093. 
Qui  pure  e  manifesto;  non  aver  il  calcolatore  ingle- 
se  tenuto  conto  della   rifrazione. 

Per  calcolar   1'  effietto  anche  di  questa   abbiamo, 


come  qui  sopra  ho  spiegato,    -  =  o  ,  081 181     per    la 


temperatura  del  ghiaccio;  1'  altezza   del  barometro  in 
pollici  francesi  =22,685;  e   quella   del  termotnetro 


=  10°  ,  5  R.  A  questa  temperatura  il  valore  di  —  si  ri 


8ULLE    LIVELT.AZIONI    BAROMETRICHE  44 1 

duce  a  o  ,  0770042.  Quando  si  misuro  I'aiigolo  d'  e- 

1  •  ,     1  m       aa ,,  685  ( o ,  077004.4  \ 

levazione  sara  duiuiiie  state    = ■ — ~ — — — ^^—l 

^  n  ao 

m  C 

=  0,062387.  ^''  quindi  viene  — '=i4i4",3(o,o62387)= 

TV 

88",  234  =  i'  28''  ,  234.  I  veri  angoli  fiiron  dunqtie 
E  A  b  =  r  35'  38",  766;  ed  AbC  =  '6(i''  o'  46"  ,  934 . 
Fatto  con  questi  dati  il  calcolo  del  triaiigolo  C  A  b 
si  trova  C b  =3269345,948;  I'altezza  vera  sopra  \  oc- 
chio  D  b  =  1485  ;  028;  e  sopra  il  Mole  1485  ,  858. 
L'  effetto  della  rifrazione  fu  duuqiie  in  qaesto  case  di 
te.  9  ,749. 

Essendo  il  Mole  superior  al  Lemano  di  te.  708, 
96  abbiamo  un' altr'altezza  del  Monbianco  sopra  quel 
lag,o;  la  qual  e  di  tese  2244  ,818.  IIo  gia  detto  al 
num.  22;  cbe  una  inisura  geonietrica  del  sig.  Fictet 
fa  la  cima  del  Monbianco  supcriore  al  Lemano  di 
2238  te.  Supposto ,  com'  e  verisimile,  cb'  egli  non 
abbia  negligentata  la  rifrazione,  la  media  delle  tre 
altezze  sara  di  te.  2237  ,  873  quasi  egnale  a  qnella 
del  sig.  Picter,  perclie  ancbe  la  media  di  sir  Sbuckburg 
e  di  2237  ,  809. 

lio  gia  detto  alia  fine  del  num.  26,  cbe  contem- 
poraneamente  alle  osservazioni  del  Monbianco  e  di 
Ginevra  il  figlio  del  sig.  De  Saussure  ne  fece  un'  al- 
tra  al  Priorato  diCbamonni.  In  qnesta  I'altezza  ctir- 
reua  del  barometro  fu  di  linee  3o3  ,  36;  e  quella  flel 
termometro  all' ombra  di  gradi  18,4  K  Accresciuta 
d'  un  grado  la  temperatura,  e  fatto  il  calcolo  colla 
ftgola  di  De  Luc,  trovo  laliczza  del  barometro    del 


44-  V  E  N  I  N  I 

jMonbianco  sopra  ([uello  di  Clianionin  di  te.  1894, 853; 
e  Tahczza  del  baroinetio  di  Chainouiii  sopra  quel  di 
Giiievra  di  327  ,  32,4.  La  soiuina  delle  due  altezze  e 
duuque  di  tese  2222  ,  177  niiuore  di  4  ,  896  di  quel- 
la,  die  abbiaiu  trovato  al  uuui.  77  calcolauilo  nello 
stesso  modo  le  osservazioui  del  ]Moubiaiico  e  di  Gi- 
nevra.  11  medio  dei  due  risulcati  e  2224,625  te  II 
barometro  di  Giuevra  fu  superiore  al  lago  di  te.  i3,5; 
e  quel  del  Moubiauco  inferiore  alia  ciina  di  tre  pie- 
di.  La  vera  altezza  della  soininita  del  uionte  sopra  il 
lago  fu  duuque  per  le  osservazioui  barometriche  cal- 
colate  colla  regola  di  De  Luc  di  te.  2238  ,  625  mag- 
gior  della  media  geometrica  di  f  di  tesa^  conformita 
veramenie  singolare,  ma  da  attribuirsi  a  qualclie  ac- 
cidental compeuso  di  errori  piu  che  Jail'  esatiezza  de' 
risultati  cosi  della  regola  couie  delle  misiure  trigouo- 
metricbe  . 

Le  differenze  tra  i  risultati  della  regola  del  sig. 
De  Luc,  e  le  altezze  vere  delle  raisure  geometriche 
luroa  duuque 

pel  Mole  ~,V  ^f  =  -  o  ,  003353 

^  758 ,  96 

per  la  Dole  —  —  ^"^  =  —  o  ,  0012785 
*  6^9 ,  343  ' 

pel  Buetr-^^|=- 0,0017178 

pel  Moubiauco  — -^  --l-n  =  -+-  o  ,  ooo336o3  . 
*^  4287  ,  873 

Tutte  queste  differenze  son  cosi  piccole,  die  non 


8UI.I.E    LIVELLAZIOXI    BMlOMl.TUICUn  4^3 

pure  alia  rcgola  non  s'oppongono;  ma  puo  cliisi,  die 
la  cont'cnniiio  inirabilmeme.  li,  (jiiindi  io  sfinpre  piii 
mi  coiilcriiio  nell'  opinione  ;  che  il  grand'  errore  cli 
pill  del  cinque  per  lOO  in  eccesso,  di  rui  ho  parla- 
to  alia  fine  del  num.  prec.  dtljlia  attr  bnir<ii  a  (jual- 
che  coiisideraljil  errore  degli  augoli  d'  eleva/ione.  In 
fatti,  supponendo  che  questi  in  luogo  di  21"  29*34"; 
21**  3'4i"sian  22°  29'  34";  22°  3'  41",  e  caltolate  le  due 
altezze  col  triaugolo  CAB  i  risultafi  suno  di  te.  640, 
556;  e  643  ,  2;  il  cui  medio  C41  ,  878  esj)rirne  Y  al- 
tezza  del  JMoIe  sopra  1'  occhio  dell'  osservatore.  Ag- 
giungo  o  ,  83;  e  vitmmi  1' aliezza  sopra  il  punto  in- 
ferior della  base  di  te.  642,708.  Essendo  il  risnlia- 
to  della  misura  barometrica  646,3:  la  difFeienza  lo- 
re e  dunqiie  di  te.  3,r>92  su  642.708,  cioe  poro  piii 
del  mezzo  per  100.  Se  tali  fossero  stati  gli  anuoli  d'e- 
levazione  qnali  io  gli  ho  siipposti,  la  ret;ola  del  fi^i- 
co  di  Gine\ra  pec(  herebbe  ancora  in  erc«  sso,  ma  po- 
co  piu  del  mezzo  per  loo,  ed  a  time  he  la  supposi/iiui 
mia  si  verifichi  basta,  che  sia  seguito  Io  si  aglio  di  leg- 
gere  o  di  scrivere  nn'  uniia  di  men(j  nei  gradi  degli 
angoli  d'  elevazione. 

JMa  terminiam  finalmente  qnesta  discussione  di- 
venuta  ormai  troppo  lunga,  e  conchiudiamo  :  1"  che 
tutte  le  osservazioni  barometrirhe  fafte  inrorno  a 
Ginevra  sui  monti  jMole  ,  la  Dole,  Buet  e  Bianco 
da'  signori  De  Luc,  de  Saussure ,  e  Senebier  cal- 
colate  colla  regola  di  De  Luc  danno  risultati  che 
s'  accordano  assai  bene  con  quelli  delle  misiire  tri- 
gonometriche  corrette,  come  conviene,  dalla  rifrazio- 
ue;  ir  che  Io  stesso  e  da  dire  delle  os!?ervazioni  del 


-t^^.  V   E  K  I  N  1 

Cav.  Shuckbiirg  al  nionte  Saleve;  poiclie  anche  que- 
ste  calcolate  colla  regolu  medesima  couducoiio  ad  un 
risiiltato;  la  ciii  diileienza  da  qntllo  della  inisura  geo- 
nietrica  calcolata  esattameiue  e  di  i6  centesimi  di  te- 
sa  ill  ditVtco  su  ^34  ,72,  o  di  B  dieciinillesimi  delTal- 
tezza  totale,  non  gia  di  2.3i  come  alciini  lisici  haii  cre- 
duto  ingannati  dai  c.ilcoli  erroiiel  del  Cav.  Sluickbiirg: 
III"  chf  le  osservazioni  barometriche  di  questo  fisico 
al  nionte  Mole  contraddicoii  sole  la  reijola  facendola 
peccare  in  eccesso  d' oltre  al  cinqne  per  100;  ma  che 
Terror  si  riduce  a  poco  pin  d'  un  mezzo  per  100  se 
per  isbaglio  fu  scritco  un  grado  di  nieno  negli  ango- 
li  d'  elevazione. 

Mil  nel  seguente  articolo  si  vedra,  che  la  regola 
del  fisico  di  Ginevra  applicara  alle  nuinerose  ed  esat- 
te  osservazioni  del  General  Roy  da  le  altezze  minori 
delle  trigonoinetriche  di  0,0134.5  per  la  temperatn- 
ra  di  10''  R.  cioc  alquanro  pin  di  i  '  per  100.  lo  Tho 
applicata  all'  osservazione  del  sig.  Ramond  al  Pic  du 
7uidi,  ed  a  quella  del  sig.  d'Aubnisson  al  nionte  Gre- 
gorio;  ed  ho  trovato,  che  anche  per  cpieste  essa  pec- 
ca  in  difetto:  nella  prima  di  o,oi66<}  a  9°  i  R :  nel- 
la  seconda  di  o,gi35i5  ad  1 1°  2  R.  Fnialmente  i 
risultati  della  stessa  regola  son  minori  di  qnelli  della 
ionnola  pnbblicata  dal  sig.  Pictet  in  nno  degli  ultimi 
giornali  britannici  di  o  ,  01 705  a  10°  R.  La  media  e 
0,014924,  o  quasi  i  2  per  100  per  la  temperatura 
di  circa  10''  h  R.  Ma  della  piu  precisa  quantita  di 
questo  difetto,  e  della  causa  da  cui  puo  dipendere, 
parlero  alirove  piu  distesamente. 


4^5 
]M  E  ]\I  O  R  I  7V 

in  ciil  si  espone  un  metodo  </'  inilag>nc  i  diiisuri 
di  quaUivoglia  data  nutnero. 

Di    Sebastiano    Canterzaki 

presentata  a'  20  di   gennajo  181 1. 


I.    lSu( 


iccede  in  molti  problemi  di  Algebra  iiule- 
terminaia,  clie  la  soluzion  loro  esiga  che  si  trovino  i 
divisori  di  un  dato  numero,  ne  qnesti  divisori  trov.ir 
si  possano^  se  non  si  trovino  cjuei  valori  di  una  quan- 
tita  indeterminata,  die  fanno  riuscir  ecjuale  a  un  nu- 
mero  intiero  vma  forniola  frazionaria  data  per  (juella 
ind<'t(Mininata;  qualora  poi  si  passa  a  cercare  questi 
tall  valori  co'  metodi,  che  coinuneinente  si  dauno  per 
trovarli.  si  ricada  nel  bisogno  di  ritrovare  i  divisori 
del  numero  dato. 

11.  Uno  di  tali  problemi  si  e  il  seguente :  Troca- 
re  un  numero  intiero,  che  posco  in  luogo  di  x  nella  for- 

mola  \/.TX=ti^,  dove  A  e  un  numero  intiero  dato, 
faccia  che  la  fornwla  si  conveita  in  un  numero  rnzio- 
na/e. Senza  cercare  con  quale  de'  metodi  proposti  da- 
gli  Autori  si  possa  sciorre  questo  problema,  io  mi  fo 
a  sciorlo  nella   maniera,   die  verro   subito  csponeudo 

dopo  di  aver  notato,  che  dclle  due  formole  v/t-c-*- J, 
T.  II.     P.  IL  56 


44^  C   A   N   T   E   tt   Z   A  N  I 

\/  X  X  —  A   riJotta  clie    sia  a  razionalita    1' una  viene 

ad  esser  ridotta  anche  I'altra;  poiche  se  y/x-x-H//  =  y, 

sara  x  x  =  y  y  —  J,  cioe  x  =\/  y  y  —  A,  e  vice  versa : 

or  .T,  e  y  gia  si  suppongono  jiurneri  iiitieri,  e  razionali. 

HI.  Sia  primierainente  A  nuiiiero  pari,  e  \/xx-^.A 

la  forinola  da  ridiirre  a  razionalita  in  nnnit^ri  iutieri. 

La  serie  dei  quadraci  dei  niimeri  iiaturali  ha   pt^r  se- 

rie  delle  prime  dillerenze  la  serie  dei    nnineri  dispa- 

ri.  Preso  un  nnmero  pari  di  queste  dilTerenze,  e  som- 

niatele  insienie  si  fonnera  sempre  un  nuinrro  pari;  e 

se  le  dilFerenze,  die  si  saran  prese,  non  sieno  sparse 

qua  e  la  nella  loro  serie,    ma    sieno    consecutive,   la 

Icjro  somina  sara  sempre  la  dilFerenza  d'uno  dei  qua- 

drati  della  serie  de'  quadrati  da  un  altro  quadrato,  e 

pero  aggiuntala  dei  due  qn;idrati  a!  minore  si  avra  il 

uiaggiore.  Snppongo  dunque  ciie  2  h  -*-  i  sia  la  minore 

delle  dillerenze  consecutive,  die  si  saranao  s xnniite; 

la  seguente  dilTerenza  sara  2  A  -»-  :5,  e    la    loro    soin- 

ma  4  /t  -+-  4;  quella,  die  vien  dopo  queste  due,  sara 

2  h  -*-  S,   e  la  sonima  delle  tre  6  /i  -»-  9,    e   cosi    via 

discorrendo,  di  modo  die  ben  si  scorge  die  general- 

mente  se  il  numero  pari  di  dillerenze  consecutive,  die 

si  saran  sonmiate,  sia  2  f,  la  soinma  loro  sara  ^  f  h  -^ 

4  f  f-  Posto    pt^rtanto   che  il    numero  pari    A  sia  que- 

8ta  somma,  si  avra  4  f  k  -+-  ^  f  f  ^=  A;  dove  tosto  ap- 

parisce,  che  I'equazione  non   pno  sussistere  in  numeri 

intieri,  se  A  non  sia  parimente  pari:  onde  si  di-e  con- 

chiudere,   che    la   ridnzione  della  formola   ^  x  x -^  A 

a  razionalita  in   luimeri  iiuieri,  quando  A  e  pari,  e  im- 

possibile,  se  ji  non  bia  divisibile  per  4. 


STj'    DIVISORI    DI    QUALSlVOGLI.\    NUMERO       447 

IV.  Sia    dunque   A    divisibile   per  4.   Sostitueiulo 
4  ^  ad   A  requazione  ricsce  hf  -^  f  f  =  /?,  the   da 

h  =  -  ~  f;  e  la  difFicolta  e  ridotta  a  trovare  i  diviso- 

J 

ri  del  niimero  B.  Per  la  qiial  cosa  se  13  e  un  nu- 
mero  primo,  il  probleiiia  non  avia  clie  una  sola  so- 
luzione  ,  cioe  quella,  che  si  ottiene  preudendo  f=i, 
la  quale  non  manca  mai:  se  poi  B  non  sia  nuinero 
prime  ,  qnante  saranno  le  nianiere  diverse  di  risol- 
verlo  in  due  fattori,  tante  saranno  le  altre  solnzioni, 
che  il  ])rol)lema  avra;  e  cio  perche  risoluto  che  sia 
B  in  due  fattori  ,  e  indilTerente  valersi  dell'  uno  di 
essi,  o  deir  altro,  poiche  aniendue  somniiuistrauo  la 
stessa  soluzione. 

Trovato  poi  il  valor  di  h  e  trovato  insieme  quel- 
le di  x,  perche  x  = /i .  In  fatti  se  nella  forniola 

\/  X  X  -t-A  si  nu'ita  il  valor  di  ^  =  4  f /i  -+-  >^  f  [{fll) 

si  ottiene  \/  x  x  -»-  4  /  //  -^  n  ff ,  che  non  diventa 
razionale,  se  non  poueudo  h/i  in  luogo  di  x  x.  Quin- 
di  e,  che  trovato  che  si  sia  il  valor  di  f,  e  ricava- 
tone  quelle  di  /t,  sara  Jl  -^  2  f  \\  razionale,  in  cui 
la  fermola  \/  x  x  -*-  A  si  converte. 

V.  Sia  ora  A  numero  dispari,  che  non  sia  I'uni- 
ta  [esseudo  chiara    1'  impossibdita    della    riduzione   a 

razionalita  in  numeri  iniieri  della  formola  v^  i  .rzti], 

e  sia  \/xx—A  la  formola  da  ridurre  a  razionalita 
in  numeri  intieri.  Per  fare  il  numero  A  col  sommare 
le  differeuze  j)rime  drlla  serie  dei  (juadrati  cousecu- 
tivameute  prese  e   manifesto    doversene   prendere    uii 


44^        Canteuzani 

iiiimtMO  disparj.  Chiamata,  come  prima,  2  /t  _4_  i  la 
piu  piccola  di  tali  diflereuze,  la  somma  delle  tre  pri- 
me sara  6/t-»-9,  la  somma  delle  prime  cinque  ioA.-»-25, 
e  generalmente  se  il  numero  delle  dilTereiize,  die  si 
somniano,  sia  2^-*-  1,  la  loro  somma  sara 

2(2/-H    l)/i    -^.(2/^    i)'  =  (2/h-    1)(2A-H2/^-   I). 

Faccio  dunque  {2  f  •+■  \)  {2  h  -k-  2  f  -*-  \)  =  J,  e  su- 
bito  in'  accorgo,  che  la  soliizione  del  problcma  esige 
che  si  trovino  i  divisori  del  numero  A.  Se  in  quest' e- 
quazione  separo  h   ,   trovo  die    lacendo  A—  i  =  2  B 

riesce  ti  =  • -/-^ =  — - — /,  e  che  per  conse- 

2/ -♦-  I  2j  -i-  I      -^  ' 

guenza  si  troveranno  i  divisori  del  numero  A,  se  si 
determinera   /  in    modo   che   la    forinola    frazionaria 

O  f 

—  > risulti  ef»;uale  a  un  numero  intiero.  Trovato  poi 

2/-1-  I  o  I 

die  fosse  /",  gia  si  sarebbe  trovato  il  fattore  del  nu- 
mero A  rappresentato  da  2  f-*-  1.  II  valore  poscia  di 

X  sarebbe  x  =  —^/  "^  ^  -*-  /•  1 11  fa"i  con  questo  va- 
lor   di   .T  si  avrebbe  x  —  h  =  2f-+-i,  x-*-h= — ^ , 

oiide  X  x~  hh  =  2  B -^  \:  ma  2B-+-i=:A.  Dun- 
que xx  —  hh  =  A,  e  pero  xx  —  A  =  hh^  e  quiiiJi 
y/  X  X  —  A  =^  h,  cioe  la  formola  proposra  ridorta  a 
razionalita  in  numeri  intieri.  Dove  vedesi,  die  trova- 
to d  valor  di  h  e  gia  trovato  il  razionale,  in  cui  la 
proposta  formola  si   coaverte. 


SU'    DIVISOR!    DI    QIJArSlVOGI.IA    NUMERO       449 

VI.  Ora  e   cliiaro    clic   /=o    rencle    la   forinola 

-> eguale  aU'iiitiero  B.  Per  la  qiial   cosa   e&li  e 

certo,  clie  il  prohlema  lia  seinjue  aluuMio  una  solu- 
zione:  rna  oltre  qiiesta  ne  avra  altre,  se  il  miinero 
j4  oltre  r  uiiita  avra  altri  fa  i  tori ,  e  taiite  ne  avra, 
quanti  saraniio  i  modi  diversi  di  risolvere  A  in  due 
fattori. 

VII.  Se  a  trovare  i  fattori,  o  dir  vogliamo  i  di- 
visori  del  numero  J  prendo  a  cercare  i    numeri,  che 

B  —  f 
posti  in  luogo  di  /  rendono  la  formola  -~. — —  egua- 

le  a  un  intiero,  e  a  quest'effetto  nietto  B  ~  f  =  m^ 
e  1  -H  2  f=  n.  (che  e  forse  1' unico  meiodo,  onde  ot- 
tenere  in  numeri  intieri  la  risoluzione  deirec[nazione 

2j r 

z  =  — ;: — -—  )  ed  eliminato  f  dalle  due   equazioni  ri- 
a/-+-  I  '  ■'  ^ 

cavo  I'equazione  2  B~2m  =  ii  —  i ,  e  quindi  2  ^-»_  r , 
cioe  J  =  2  m  ■+■  n,  non  posso   nnvenire  — ,  che  rap- 

presenta  la  formola  ,   la  quale  dev'  essere  un 

intiero,  senza  aver  — —  -  =-,  cioc  senza  esser  da  ca- 

a  n       ^        n 

po,  e  dover  trovare  i  divisori  del  nuinero  A,  i  qua- 
li  doveado  essere  numeri  dispari,  perche  dispari  e  A, 


45o                    Canterzani 
faranno  die  —  liesca  del  la   forma    ,  cosi  die 


3,  n 


—  -  sia  appunto  =6  numero  irjtiero.  Da  cio 

apparisce,  die  il  problenia:  Dato  II  numero  intiero 
dispaii  A  trovare  ijuel  numeii  inticrl ,  die  postl  in  luogo 
di  X  nella  formola  \/  x  x  —  A  rendono  (juesta  fonnola 
razionule,  e  iino  di  quei,  die  ho  acceniiati  da  piinci- 
pio  (/).  Poiche  alia  di  lui  soluzione  si  richiede,  die 
si  trovino  i  divisori  del  numero  A,  e  a  trovare  que- 
sti    divisori    convien    deteriniiiare   /  in   niodo    die  la 

formola    ^  riesca  eo;uale  a  un  intiero;  qualora  poi 

a/n-  I  ° 

mi  accingo  a  determinare  f  ritorno  alia  necessita  di 
ritrovare  i  divisori  del   numero  A. 

Ylll.  Pare  adunque,  die  il  problema :  Dato  it 
numero  dispari  A,  che  non  comincl  per  5,  trovare  se 
sia,  o  no  numero  prinio ,  e  se  no  trovnrne  i  fattori, 
ove  per  sciorlo  non  s'abbia  in  pronto  la  tavola,  o  il 
numero  A  sia  al  di  sopra  di  quelli,  ai  quali  la  tavo- 
la si  estende,  non  possa  sciorsi  se  non  tentando.  In 
tal  caso  non  sara  inutile  I'avere  qualdie  scorta ;,  on- 
de  regolare  il  tentativo.  Finora  tra  le  diverse  strade, 
per  cui  mi  sono  incamminato  verso  la  soluzione  di 
questo  problema,  la  meno  tortuosa  e  scomoda  mi  e 
riuscita  quella,  die  in  seguito  verro  additando.  Pri- 
ma  convien  uotare  le  seguenti  cose. 

Se  il  numero  A  sia  risolvibile  in  due  fattori  di- 
scguali,  egli  e  evidente,  die  uno  di  essi  sara  sempre 


SU'    D1VI50KI    DI    QU.VLSIVOGLIA    NUMEIIO       4^1 

minore,  e  i'altro  inaggiore  della  raclice  del  piu  gran 
quadrate  conteiuito  in  A. 

Se  la  fijijLira  iniziale  del  nnmeio  J  sla  i,  V  uno 
dei  supposti  due  fattori  avra  per  figura  iniziale  7,  e 
I'altro  3,  o  avranno  aniendue  per  fi^uia  ini/iale  i, 
op  pure  9. 

Se  la  figura  iniziale  del  nuniero  A  sia  3,  1'  u- 
no  dei  supposti  due  laitori  avra  per  figura  iniziale  3, 
e  I'altro  1,  oppure  1' uno  g,  e  I'altro  7. 

Se  la  figura  iniziale  del  nuniero  A  sia  7,  1'  uno 
dei  supposti  due  fattori  avra  per  figura  iniziale  7,  e 
r  altro   I,  oppure    1'  uno  9,  e  T  altro  3. 

Finalmente  se  la  figura  iniziale  del  nuniero  A 
sia  9,  I'uno  dei  supposti  due  fattori  avra  per  figura 
iniziale  9,  e  1'  altro  i,  o  avranno  amendue  per  figu- 
ra iniziale  7,  o|)[)nre  3. 

]X.  Sicconie  V  ordine  da  tenersi  nella  serie  delle 
operazioni,  die  occorreranno,  e  senipre  il  niedesimo, 
o  coininei  A  per  i  ,  o  eoninici  per  3,  o  per  7,  o 
per  9,  cosi  mi  limito  a  iudicarle  in  un  caso  solo.  Sia 
dnnqne  A  =  iioooi  \ .  Se  qn^-sto  nninero  possa  risol- 
ver*i  in  due  fattori,  egli  e  certo^  clie  dovru  verificar- 
gi  una  delle  tre  equazioni 

(  lo/rt-t-  7)(  ion-+-3)  =  820001 1 
(  10  m  -*-  I  )  (  10  «  -+-  I  )  =  Satooi  I 
(  10  m  H-  9  )  {  ic  n  -¥-  i))  =  3aooci  1 

Nella  prima,  che  ha  i  due  flittori  di  diversa  for- 
ma, separo  I'mia.  e  I'altra  indeterniinata ,  perclie  non 
61  ba  a  quale  delle  due  forme  sia    rifenbde   il   fattor 


I 


403  C  A  N  T  E  U  Z  A  N  I 

minore:  nelle  altre  clue  equazioni,  ciasciina  delle  q\ia- 
li  ha  i  clue  lattori  della  stessa  forma,  basta  separar 
una  sola  delle  due  indeterminate.  Si  ricavano  quin- 
di  quattro  formole  frazionarie 

3 1 9999  —  3m 

I  o  m  -t-  7 


3 

'9999- 

7'i. 

: —  fji 

10  ft  4- 

3 

3aooor 

—  n 

10  rt  •+-  I 

319993  — 

9  n 

=  m 

10  ?l 


m  ognuna  delle  quali  il  denominatore  rappresenta 
uno  dei  supposii  due  fattori,  il  minor  de'  quali  de- 
ve  esser  minore  di  1780  radice  del  piii  gran  (juadra- 
to  coiiienuto  nel  numero  32000ii,  e  pero  dovra  es- 
sere  10/2  -h  3,  come  pure  \oin  -«-  7^  e  ion  -+-  i^  e  io;i 
-♦- 9  <  1788,  cioe  /i,  come  anche  in  non  maggiore  di 
178.  Dovrebbersi  per  tanto  in  ciascuna  delle  f[uattro 
formole  provare  in  luogo  deirindeterminata  uno  do- 
pe r  aliro  tutti  i  nuineri  cominciando  da  o  fino  a 
178  per  vedere  se  alcuna  di  esse  si  converta  in  nu- 
mero intiero.  Ma  questo  sarebbe  forse  un  lavoro  al- 
cjuanto  molesto. 

]Mi  limito  percio  a  provare  solamente  o  ,  i  ,  2  ,  3  , 
4,5,6,7,8,9,6  trovo,  cbe  nissuna  formota  riesce 
eguale  a  un  iiliiero.  Cosi  mi  sono  assicurato,  che  se 
il  numero  proposto  si  puo  risolvere  in  due  fattori, 
il  minore  di  essi  non  e  esprimibile  per  meno  di  tre 
figure.  Passo  dunque  a  vedere,  se  puo  esservi  un  fat- 
ture,  che  si  espruna  con  tre  figure;  cioe  dalle  quat- 


8U     DIVISOUI    DI    QUAT.SIVOGLIA    NUMF.ItO       ^SS 

tro  formole  precedent i,  clie  possono  chlamarsi  le  pri- 
me, passo  alle  secoiitle,  the  si  trovano  mlla  segiien- 
te  maniera. 

Al  7,  per  cui  si  snppone  che  possa  coiniiiciare 
lino  tlei  due  I'attori,  scrivo  apprt-sso,  cioe  in  secondo 
posto,  una  dopo  P  altra  le  dieci  figure  ariuneticlie , 
come  si  vede  in  yl/,  e  scrittele  pure  ap|>resso  3,  per 
cui  dovrebl:)e  cominciar  1'  altro  fattore,  noto  in  A  di- 
rimpetto  a  ciascun  numero  scritto  in  M  (]uello  di 
questi  altri  nunieri,  che  niohi[)hcato  ]>el  suo  torri- 
spondente  scritto  in  M  produce  un  nuujero,  che  co- 
mincia  per  11,  come  per  11  comincia  il  numero  pro- 
posto.  E'  facile  trovar  raccoppiameuto  di  cjnesti  nu- 
nieri, poiche  trovatolo  per  li  primi  due,  o  ire  si  scor- 
ge  suhito  r  ordine,  col  quale  si  seguono  I'un  T  altro 
i  tuimeri  scritti  in  IV:  in  questo  caso  il  seguente  si 
ottiene  aggiungendo  10  al  precedente,  e  trascuraiido 
nella  sonuna  la  terza  fignra,  dove  la  sornina  la  por- 
ti.  Con  queste  dieci  coppie  di  numeri  formo  i  tlieci 
prodotti,  a  ciascun  de' quali  metto  eguale  il  numero 
proposto . 

M N 

07  ....  78  (  100  m  -H  7  )  (  100  re  -f-  78  )  =  SaooDii 
17  ....  83  (  1 00  772  -»-  1 7  )  (  I  oc  /i  -4-  83  )  =  3acoc  I  I 

37     ....    98    (    100  W  -•-  27  )  (    100  re   -♦-  98  )  =  32COOI  I 

87  .  .  .  .  o3  (  ICO  rez  -»-  87  )  (  ICO  re  -H  3  )  =  8acooi  i 
47  ....  1 3  (  r  00  /n  -»-  4?  )  (  ' 00  re  ->-  1 3  )  =  8aoco  1 1 
57....   a8(ico?72-4-57)(ioore-4-a3)  =  Sarcoi  i 

T.  II.    P.  IL  57 


454  Ca.nterz,\ni 

67  ....  33  (  ICO  wz  -H  67  )  {  100  /?.  -4-  33  )  =  320O0II 

77  ....  43  (  100  w  -»-  77  )  (  100  7i  -«-  43  )  =  Sioooir 

87  ....  53  (  roo  TO  -t-  87  )  (  roo  re  -t-  53  )  =  Sicooj  i 

97   .  .  .  .  63  (  100  w  -H  97  )  {  100  n  -+-  63  )  =  Saoooii 

Lo  stesso  faccio  per  rigiiardo  ai  due  fattori,  che 
si  suppone  che  possano  cominciare  amendue  per  i . 
Se  noil  che  aveiido  questi  due  fattori  la  stessa  forma, 
i  prodotti  saranno  nieno  di  dieci,  e  nel  nostro  case 
solamente  cinque:  e  cinque  saranno  pure  quei,  che 
soggiungero  per  riguardo  ai  due  fattori,  che  si  sup- 
pongono  cominciare  per  9.  Anche  negh  accoppiainen- 
ti  tanto  dei  numeri,  che  cominciano  per  i,  (juanto 
dei  numeri,  che  cominciano  per  9,  regna  un  ordine; 
poiche  ne'  primi  la  somma  dei  due  accoppiati  comin- 
cia  costantemente  per  12,  e  nei  secondi  per  88,  co- 
me mostrano  le  parentesi  in  X ,  e  in   Y. 


•  11)=:  3aooor  r 
91  )  =  3aoooi  r 
81  )=  3iocoi  I 
71  )=  3aoooi  I 

61  )=  32000I  I 

79  )  =  3aoooi  I 

•  69  )  =  3aoooi  I 
59  )  =  3aoooi  I 
49  )  =  3aoooi  I 
99  )  =  3aooo  1 1 


X 

Y 

01  ^             09      ' 

(  too  m  -H  I  )(  100  71 
(  I  CO  TO  -♦-  a  I  )  (  1 00  re 

A  i 

19 

ai      > 

^9 

(  100  rez  -H  3i  )  (  loore 

3i 

4' 

)  39 

(  100  w  -4-  4'  )  {  100  re 
(  ICO  w  -+-  5i  )  (  100  re 

5i 

59 ' 

(  100 /re  -4-    9  )(  100  re 

61 

69 

(  100  w  -+-  19  )  (  100  re 
(  loom  -+-  a9)  (  loore 

7' 

79 

81 

89  \ 

(  ICO  /re  -H  39  )(  100  re 

91 

99  \ 

(  roo/re-«-89)(  100  re 

SU'    DIVISORI    1)1    QUALSIVOGLIA    NU3IEU0       455 

Separo  amendue  le  indeterminate  in  ognuna  del- 

le  venti  equazioni,  e  ottengo  venti  coppie  di  foruiule 
frazionarie,  cioe  -- 

3ifiq5 —    yn 81995  —  7^  w 

1. m  ,  —  n 

100  «  -»-  7^         100  m  -t-  Y 

31986—  17/1  _  31986  — 83  w 

12« -:- —  — -  77Z  J  ■ — ms  7t 

100  «.  -«-  o3         ICO  w  -»-  17 

3  31975  — a7rt_^^  3(975— 93  m_^ 

100  /i  -H  93  100  m  -t-  27 

4.  31999  — 37n_^^  31999—  3m_^ 

ioo«-i-  3         100  TO -4- 37 

5.  3 1 994  —  47  re  _ ^ ^  31994—  '3to_^ 

1 00  /i  -H  1 3         1 00  m  -H  4? 

,  31987  —  57  n  31087  —  2.3  m 

6.  — i-i L— =TOj  — ^^— i -—  =re 

100  re -t- 23         100  TO -t- 57 

31978  —  67  re 31978  —  33  TO 

100  re  -»-  33         100  TO  -H  67 

g  31967- 77re__^^  31967  — 43to_^ 
icore-»-43         ICOTO-+-77 

31954  —  87  re 31954  —  53  TO 

9.    — TO,  —  •  —  n 

100  re  -»-  53  100  TO  •+-  87 


10. 


31989  —  97  re  31989  —  63  TO 

^-^ ZJ-_=TO,   — .^LJ. =/t 

J 00  re  -H  63         loo  TO  -t-  97 


Saooo  —  n  3aooo  —  1 1  to 

II.    =  TOj     =n 

100  re  H-  1 1  100  TO  -♦-    I 


12. 


81981 — aire  3iq8i — 91TO 

1 =772,       -? ^< =71 

100  71 -H  91  lOOTOH-ai 


456  Canterzani 

,     81975  —  3r  re  31970 — Sj  m 

1 00  /i  H-  8 1  ICO  ni  -i-  61 

,     3i97r  — 4'  n,  3i97t  — 71  m 

1 00  «  -»-  7 1  1 00  m  -t-  4 1 

r     3 1 969  —  5i  n                 3 1 069  —  (yi  m 
10.     =  Tre  ,       _ —    =  A 

1 00  At  -I-  6 1  1  CO  /«  -»-  5 1 

16.  31993—    9ra_^^     31993  — 79  m  _^ 

100  /I  -t-  79  100  /»  -t-    9 

31987—19^  3r987  — 69W 

1 7.  — 2_f _i —  =  m  ,      — ^—i- —  =  n. 

100  /I  -»-  69  100  /»   -H   19 

g  31983    2971   31983    59    W  

ICO  /i  -t-  59  100  /?i  -t-  29 

,^     3.981  — 3n  re  31981  — 4Q  w 

1 9 .    — I i —  =  m  ,      — ^ ±1 —  =  n 

J  00  re -K  49  100  w -I- ^9 

„^     3 1 9 1  a  —  89  re                  3 1 9  r  a  —  9()  7?i 
ao.    — ^ i —  =  m,      — — — =» 

1 00  re  -V-  99  1 00  m  -H  89 

In  ciascheduna  di  queste  formole  frazionarie  in 
luogo  deir  iiiJetermiiiata  provo  una  dopo  1'  altra  le 
nove  figure  aritmetiche  significaiui  (e  inutile  provare 
il  zero,  perche  si  e  gia  veduto  che  11  uuinero  propo- 
sto  non  ha  nissuu  fattore  espresso  per  meno  di  ere 
figure).  Ma  solamenie  giunio  alia  deciinaquinta  cop- 
pia  trovo,  che  al  mettere  7  in  luogo  di  m  nella  se- 

conda  fornaola  ottengo    '  "^-  =  42  =  n  .    Duuque    un 

fattore  del  numero  proposto    Saoooii  e  ySi:    T  akro 
€ara  100  /i  -t-  61,  cioe  100  .  42  -«-  61  «=  4261 ,  il  qua- 


SU'    DIVISORI    DI    QUALSIVOGI.IA    NUMtRO       457 

le  sara  certainente  niiniero  primo,  perclie  la  radice 
del  piu  gran  qnadrato  in  esso  {oiitennto  non  ha  the 
due  figure,  e  pero  il  ininore  dei  dtie  fatiori,  111  ciii 
fosse  esso  risolvibile,  non  potrehhe  aver  piu  di  due 
figure;  or  se  vi  fosse  un  tal  fattore,  siccome  dovreb- 
be  egh  esser  coniune  andie  al  numero  proposto,  cosi 
si  sarel)be  gia  trovato  mediante  le  quaitro  forniole 
prime,  hssendo  per  tanto  e  il  factor  ininore  ySi  ,  e  il 
maggiore  4261  numero  primo,  egli  e  certo,  die  il 
proposto  numero  oltre  cpiesti  due  non  puo  avere  al- 
tri  fattori. 

X.  Quando  il  numero  proposto  sia  espresso  per 
un  numero  grande  di  figure,  converra  tame  volte  dal- 
le seconde  formole  passar  alle  terze ,  e  fors'  anche 
dalle  terze  alle  quarte,  ec;  il  qual  passaggio  si  fa 
sempre  alia  maniera  stessa,  nella  quale  si  e  veduto, 
che  dalle  prime  si  passa  alle  seconde .  Egli  e  vero 
che  in  questo  modo  il  numero  delle  formoh:,  in  cui 
si  ha  da  operare,  cresce  grandemente,  massime  se  per 
avveutnra  il  proposto  numero  sia  numero  priiuo.  Ma 
non  e  piccolo  vantaggio  quello  di  non  dover  mai  ten- 
tare  in  luogo  delle  indeterminate  che  i  numeri  scrit- 
ti  con  una   sola  figura. 

Cio  che  puo  maggiormente  rincrescere  in  quesfa 
specie  di  operazioni,  e  la  divisione,  che  a  formola 
per  formola  convien  fare  per  vedere  se  si  faccia,  o 
no  senza  avanzo.  Ma  appunto  perche  altro  non  si 
cercd  se  non  di  conoscere  se  la  divisione  si  ottenaa 
con  avanzo,  o  senza,  si  agevolera  molto  cjuest'  ope- 
razione  (giacche  il  divisore  e  sempre  dispari)  iacendo 
la  divisione  a  rovescio,  cioe  non  da  sinistra    verso  la 


458  C 


A   N    1'   h  R   Z   A   N  1 


destra ,    come    ordinariamente  si    pratica,    ma  da  de- 
stra   verso  la  siiiistia;    la  ([ual   oj^erazioiie  riesce  spe- 
ditissima  nou  aveiidosi  a  far  altro   che  soitrarre  suc- 
cessivaineiite  i  midtipli  del  divisore  dal  dividendo,  e 
dai  diversi  avaiizi,  die  di   mano  in  mano  si  ottengo- 
no,  trasciiraiido  in  qnesti  il  zero,  che  seinpre  risulta 
a  destra,  finche  si  giunga  ad  avere  per  avanzo  zero, 
o  uii  niunero  ininore  del  divisore,  o  del  multiplo,  die 
dovrebbe  sottrarsi .  In  questo   secondo   caso  e   certo  , 
die  la  divisione  non  ha  luogo  senza  avanzo :  nel  pri- 
nio  caso  e  cliiaro,  die  si  e  ottenuto  un  quoziente  in- 
tiero,  il  quale  c  il  numero  forniato  di    quelle   figure 
scritte  una  dietro  1'  altra  da  destra  verso  la  sinistra, 
per  le  quali  si  e  successivameute  molciplicato  il  divi- 
sore   per    averne  il    conveniente    multiplo,    cioe   quel 
multiplo,  la  cui  prima  figura  e  qnella   stessa,   che  e 
priuia   nel  dividendo,  o  nell'  avanzo,   da  cui   dovette 
sottrarsi:  dove  e  da  avvertire,  che  se  in  alcuno  degli 
avanzi,  die  han  preceduto  V  avanzo  zero,    sia  risul- 
tato  a  destra  pin  di  un  zero,  allora   bisogna    nel  quo- 
ziente porre  tanti  zeri,  quanti  ne  sono  in  quell' avan- 
zo oltre  il    prinio,  i  quali    stiauo  in    luogo  di  quelle 
figure  significanti,  che  sarebber    venute  nel  quozien- 
te, se  in    vece  dei    zeri,   che    nelV  avanzo  si    trovano 
oltre  il  primo,   vi   fossero  state    altrettante    figure  si- 
gnificanti.   Ahre   avvertenze  pratiche,   che   sul   fatto 
non  isfuggono  mai  all'esperto  calcolatore,  possono  sce- 
niar  non   poco  la  gran  mole  d'operazioni,  die  a  pri- 
ma vista  si  prescntano  alia  raente  come  necessarie  ad 
oitenere  1'  intento. 

XI.  A  buon  conto  tutte  le  volte  che  chi  calcola 


8U'    DIVISORI    DI    QUALSIVOGLIV    NLMERO       4,59 

s'accorge,  clie  il  denoininatore  d'una  formola  riesce 
un  numeio  coinposto,  cioe  non  primo,  egli  deve  ira- 
scuiailo,  e  non  fare  la  divisione;  poiclu'  rappres-intan- 
do  sernpre  ( IX)  il  denominatore  uno  dei  siipposii  fjt- 
tori  del  nuinero  proposto,  non  puo  esso  esser  com- 
yjosto,  giacchc  se  potesse  esser  numero  coinposto,  i 
suoi  fattori,  che  dovrebber  esscre  auclie  fattori  del 
numero  jiroposto ,  si  sarebber  gia  trovati  nolle  for- 
mole  precedenti;  or  non  essendosi  trovati,  e  eviden- 
te,  che  non  debbono  aver  luogo  .  Questa  ritlessione 
risparinia  un  numero  ben  grande  di  operazioni . 

Trattandosi  di  un  metodo,  che  nella  pratica  am- 
mette  dei  compendj  ,  giovera  soggiungere  qualche 
esempio. 

XII.  Sia  il  nxnnero  2^  -»-  i  =4294967297,  che 
secondo  un  teorema  di  Fermat  avrebbe  doviito  es- 
ser numero  primo,  ma  dal  celebre  Leonardo  Euler 
fu  poscia  accideiualmente  scoperto  esser  benissimo 
numero  composto. 

I  due  prodotti  (iom-+-  i)(ion-+-7),(tom-4-3) 
(iOrt-+-9)  eguagliati  al  numero  proposto  sonnnini- 
strano  le  quattro  formole  prime 

4g94()67a()  —  n  _  ^^     429496729  —  7  m  _  ^^ 

10  rt  H-  7  '  10  W  -I-   I 

429496727  —  Zn  _  ^     429496727  ~qm  __  ^^ 
10  rt  -♦-  9  '  10  m  -+-  3 

nissuna  delle  quali  al  mettervi  in  Inogo  dell'  indeter- 
minata  una  dopo  1'  altra  le  dieci  figure  aritmetiche 
o  ,  I  ,  2  .  .  .  .  9    SL  converte  in  numero    intiero.  Dun- 


4^0  C  .\  N  T   R  R  Z   A   N  I 

que  il  ininore  dfi  due  siipposti  fattori  iion  puo  esse- 
re  scritto  con  n\eno  di  tre  figure.  Percio  passo  alle 
formole  secoiule:  cioe  dictro  al  7,  per  cui  puo  co- 
niiiioiare  V  uno  dei  due  fattori,  scrivo  in  AI  le  dieci 
figure  aritineticlie,  e  le  scrivo  pure  dietro  i ,  per  cui 
dee  coininciar  Taltro,  e  accoppio  in  JV  a  ciascuii  dei 
prin\i  numeri  queHo  di  questi  secondi,  clie  moltipli- 
cato  pel  suo  corrispondeute  da  un  prodotto,  die  co- 
niincia  per  97,  come  per  97  comincia  il  numero  pro- 
posto.  Lo  stesso  faccio  in  /*,  e  in  Q  per  riguardo 
ai  due  fattori,  uno  de' quali  cominci  per  9,  e  I'altro 
per  3.  Se  si  aggiunge  70  al  precedente  dei  numeri 
IV,  e  ^o  al  precedente  dei  numeri  Q,  si  ha  il  seguen- 
te  tralasciaudo  la  terza  figura ,  ove  la  somma  la  porti. 
Con  queste  veuti  coppie  di  numeri  formo  i  venti  pro- 
dotti  notati  accanto  ai  numeri  medesimi. 
M      N  p      Q 

07. ...71  (locwH-  7)(ioo«-4-7i)  09. ...33  (ioow-4-  9)(ioo;i-+-33) 

17. ...41  (icow-»-i7)(ioo»-»-4i)  19. ...63  (ioom-Hi9)(ioo/i-t-6.3) 

37. ...II  (ioow-t-a7)(ioo«-t-ii)  39. ...93  (ioom-4-a9)(ioo«-«-93) 

37. ...8r  (ioom-«-37){ioo«H-8i)  89. ...aS  (ioow-H39)(ioo«-f-23) 

47-. ..5 1  (ioow-h47)(ioo/i-i-5i)  49. ...53  {iccm-^4q){iocn-*-53) 

5j..^.3.i  (ioo/?z-H57)(ioo/i-+-ai)  59....83  (ioom-4-59)(ioora-4-83) 

67... .91  (ioow-»-67)(i  iore-4-9i)  69.. ..i3  (ioo»2-t-69)(ioo«-»-i3) 

77. ...61  (ioom-i-77)(ioo«-»-6i)  79. ...43  (ioom-»-79){ioori-t-43) 

87..,.3i  {ioo/«-H87)(ioort-t-3i)  89. ...73  (ioo»2-i-89)(ioo«-*-73) 

97. ...01  (ioo//?-t-97)(ioo«-t-  i)  99. ...o3  (ioo/«H-99)(ioo/i-»-  3) 


SU'    DIVI50UI    IJI    QUALSIVOGLIA.    NUMEKO      46 1 

A  ciasclieduno  dei  vend  notati  prodotti  metto 
fgiiale  il  niimero  proposto,  e  separaiido  in  ogniuia 
delle  venti  eqiiazionl,  die  nascono,  taiito  1'  una  in- 
determinata  m,  qnanto  I'ahra  /i,  ottengo  le  vcnii  se- 
gueuti  coppie  di  forniole  Irazionarie. 

42949668  —    7  re .42949668  —  71  rn 

100  /i  -I-  71  100  W    4-   7 

42949666  —  \1  n  _^        42949666 —41 /?i_ 

1^  •  — — _^____-__^____  __  ffi  J «__  ji 

100  n  -»-  4'  100  //I  -4-  17 

3_  42949670  —  a?  ^  _  ^   42949670—  II  w_^ 

100  7Z  -H  I  I  100  7«  H-  27 

^^  42940643  —  37  7Z  _  ^  ^   42949643  —  81  W_^ 

ICO  re  -H  81  ICO  /re  -H  37 

5.   4^949649  —  47  "  —  ^  ^     42949640  —  J  I  w  _  ^^ 
J  00  re  -H  5 1  I  CO  w  -t-  47 

/-     4a94')^6'  —  57  re 4^949^^'  —  ^'  '^ 

joo  Ai  -t-  ai  100  7re  -»-  57 

429496 1  a  —  67  re  _  ^  ^   42949612  —  91  ^«_^ 
100  re  -f-  91  100  7re  -+-  67 

^     42949626  — 77  re_^   42949626  —  61  w_^ 
ICO  re  -»-  61  IOC  w  -♦-  77 

^^  42949646  —  87  re  _  ^   42949646  —  3  r  re^  _  ^^ 
100  re  -t-  3 1  ICO  /«  -+-  87 

10.  4=^949672  -  97  ^  ^  ^    4294967a  —   rn_^ 
100  re  H-  1  ICO  m  H-  97 

^j  42949670—  ^n_^       42949670  —  33  m  ^  ^ 
100  re  -»-  33  IOC  /«  -t-  9 

r.  //.  p.  //.  58 


4^^         Canter  zANi 

I  a.  4^^949661  —  '9/^-,^   4^94966 1_-^63^_ 
100  /I  -H  63  100  m  -«-  19 

J  3  42949646  —  39  ra  _  ^   42949646  —  93  TO  _ 
ioo«H-93  100  w -»- 39 

,  42949664  —3qn 42949664— a3w 

100  «  -t-  a3  IOC  /n  ■+-  6t) 

r  4^949647  —  49  rt  _  ^   42949647  —  53  m 

''*•     — r-3 "*  J   — — :^ =  n 

100  n  -t-  bo  100  m  -t-  ^9 

,6  4=^949^^^  ~  5o  '^  _  ^   42949624  —  83  m 
100  n  -i-  6i  100  m  -t-  5g 

42949'>64  -  69  n  _     42949664  —  1 3  m 

»/• -— *•  — m,     — : _ =zn 

ICC  n  -t-  i5  100  w  -I-  69 

o  42949639  —  79  n_            40949639  -  43  TO  _ 
1  u .  —  —  f/i  ^ —  __  n 

100  ra  -t-  43  100  TO  -t-  79 

42949608  —  89  ra       4294q6o8  —  73  TO 
19.  1-ZZZ =  m,      T-ZZ.! i =:;i 

100  ra  -I-  73  100  TO  -t-  89 

42949670  —  99  re 4?94o67>')   —  3  to 

100  /I  -H  3  1  CO  TO  -t-  99 

Intra prendendo  la  sostitiizione  successiva  delle  nove 
figure  aritmrtiche  sigmfic  ami  in  luogo  deiriudetermi- 
nata  giunto  alia  forraola  prima  della  seconda  coppia 
trovo   che    la    sostituziotie    dc;l   nuinero  6  fa    riuscire 

42949564  J  I     J-   •  • 

,  ; =  m,  dove  tatta  la  divisione  a  rovescio,  co- 

041 


me 


SU'   DIVISORI    m    QUALSIVOCLIA    NUMEUO       463 

qui  si  mostra     4'^^W''^    c 

a5»>4     **7oo4 


4acj47^^o 
44^' 7 
3»40o 
3846 


si  ottiene  m  iiitiero  =67004.  Duiique  dei  clue  fat- 
tori,  ill  cui  si  risolve  il  luiniero  proposto,  il  niinore 
e  641.  L' altro  sara  loo  nx  -^  y-j  =^  loo.  67004.  -♦-  17 
=  6700417. 

Ma  non  potrebb'  egli  ancor  questo  maggior  fat- 
tore  avere  due  fattori  uno  di  tre,  1' altro  di  quattro, 
o  cinque  figure,  i  quali  sarebber  pure  fattori  del  nu- 
mero  proposto^  Certo  cbe  si,  prrcbe  esseudo  2  583  la 
radice  del   piii  gran  quadrato  in  esso  couteuuto  .  po- 
trcbbe   ancbe  averue  due  amcudue   di  quattro    iigu- 
re.  Duufpie  poicbe  questo  uumero  6700417  coniincia 
ancli  egli,  come  il  nurnero  da  prima   proposto,  per  7, 
toruo  alle  seconde  forniole  gia  ricavate,  e  seguito  in 
esse  la    sosiituzione   delle    nove    fn2;ure   si";iiifit-anii ,    e 
trovo  il  lavoro  assai  ineuo  peuoso  di  quel   che   par- 
rebbe  consideraudo,  cbe  le  form^le  souo  treutasftte , 
e  che   ill  ognuua  si  dovrebbero  fare    nove  sostituzio- 
ni,  e  altrettaiite  divisioni.   II  graudissiino  nuinero   di 
volte  che  il  deuominatore  riesce  uii  numero,  che  j>er 
cosi  dire  a  colpo  d'  bccliio  si  vede,   die  e   divisibile 
j)pr  3,    o  per  7,    o  prr    ir,    o  per    i3,    o   per   17,    o 
per   19,  fa  che  non  9'  abbiano  da   eseguire  die  assai 
poche  divisioui.  Ma  siccome  niuna  di  qiieste  si  fa  sen- 
za  avanzo,  cosi  si   puo  conchiudere,    che   il    luiinero 


464  C   A  N  T  E  R  Z  A  N  I 

6700417  non  puo  avere  im  fattore  scritto  con  sole 
tre  figure,  quaiido  per  avventura  il  numero  proposto 
2'  ■+■  1  non  avesse  due  volte  il  fattore  641,  che  si  e 
gia  trovato,  del  die  tni  accorgero  col  sostituire  anclie 
il  zero  in  cpiella  delle  terze  formole,  a  cui  dovro  passa- 
re,  la  quale  avra  per  denominatore   1000  n-t- 641. 

Vediani  dunque  se  possa  risolversi  in  due  fatto- 
ri  amendne  di  quattro  figure,  Supposto  che  possa, 
siccome  il  minor  di  essi  uon  puo  esser  maggiore 
di  2588,  cosi  nelle  terze  formole  non  si  avranno  da 
nietter  alia  prova  die  due  numeri,  cioe  1,  e  2.  Qui 
dunque  il  lavoro  piu  gravoso  parra  quello  di  prepa- 
rare  i  numeri,  die  hanno  da  servire  a  formar  i  |)ro- 
dotti  da  mettersi  eguali  al  numero  6700417  per  ca- 
varne  le  terze  formole:  ma  questo  aiicora  si  rendera 
facile  avvertendo  che,  come  ne'  numeri  scritti  gia  in 
iV,  e  in  Q,  cosi  anclie  in  quesii  regna  una  legge 
neir  ordine  loro.  In  fatti  a  ciascuno  dei  numeri  stes- 
si  notati  in  AI  metto  dietro  in  terzo  luogo  una  dopo 
r  altra  le  dieci  figure  aritmetiche,  e  forino  le  dieci 
colonne  7? .  Dirimpetto  ai  numeri  della  prima  colon- 
na  R  noto  quel  numero,  die  avendo  per  figura  iui- 
ziale  I  ,  e  mi)ltiplicato  pel  corrispondente  numero  R 
da  un  prodotto,  die  comiiicia  per  417,  come  comin- 
cia  il  numero  proposto,  e  formo  cosi  la  prima  colon- 
na  S.  Non  e  difficile  trovare  questi  tali  numeri,  co- 
me neppure  quello  da  scriversi  dirimpetto  al  primo 
della  secouda  colonna  /?,  trovato  il  quale  m'accorgo, 
che  le  segnenti  colonne  5  si  formano  col  seinplice 
aggiungere  700  al  corrispondente  numero  della  colon- 
ni  S  precedeiue  sopprimendo  nella  somma  la  quarta 


SU'    DIVISOUI    DI    QU\L?IVOCLIA    XUMERO        465 

figiira,  quando  la  somnia  sorpassa  999. 

Nella  stessa  maniera  valenclomi  del  nuineri  scrit- 
ti  di  sopra  in  P  forino  le  dieci  colonne  T,  e  dirim- 
petto  ai  tuiineri  della  prima,  come  pure  dirimpetto 
al  |>rinio  della  secoiida  colomia  scrivo  il  iiiiinero,  die 
aveiido  per  fignra  iniziale  S,  e  moltipluato  pel  eor- 
rispotulente  nuinero  T  produce  uii  miinero,  (lie  co- 
niincia  per  417,6  cosi  formo  la  prima  coloniia  F,  e 
dal  paragone  del  primo  nurnero  della  seconda  colon- 
na  V  col  primo  della  prima  colonna  V  rilevo,  die 
per  avere  le  susseguetiti  colonne  V  basta  aggiuiigere 
3oo  al  numero  corrispondente  della  colonna  V  prece- 
dente  sopprimendo  la  quarta  figura  della  somma,  qua- 
lora  questa  sorpassa  999. 


R 

5 

R 

5 

R 

5 

R 

5 

R 

S 

007.. 

..63i 

107.. 

..33i 

207.. 

..o3i 

307.. 

..731 

407.. 

..431 

017.. 

..aoi 

117.. 

..901 

217.. 

..601 

3,7.. 

..3oi 

417.. 

..cor 

027.. 

..571 

127.. 

..271 

227.. 

..971 

327.. 

..671 

427.. 

..371 

087.. 

..741 

137.. 

..441 

287.. 

..14. 

337.. 

..841 

457.. 

..541 

047.. 

..711 

147.. 

..4.1 

247.. 

..1 1 1 

347.. 

..811 

447" 

..5ir 

057.. 

..481 

,57.. 

..i8r 

257.. 

..881 

357.. 

..58r 

457. 

..281 

067.. 

..o5i 

167.. 

..751 

267.. 

..451 

367.. 

..i5i 

467. 

..85 1 

077.. 

..42. 

•77" 

..I  21 

277.. 

..821 

377" 

..521 

477" 

..221 

087., 

..591 

187. 

..291 

287. 

..991 

887. 

..691 

4fi7- 

..3qi 

C97.. 

..56i 

197.. 

..261 

297.. 

..961 

397- 

..661 

497" 

..':56i 

466 

R 

507... 
517... 

527... 
537... 

547... 
557... 
567... 
577... 
587... 


Canterzani 


S 
.i3 

.70 
.07 

M 

.21 
.98 

.55 


597. 


T 

009... 
Ofg... 
029... 
039... 
049... 
cSg... 
069... 
079... 
089... 
099... 


.9  a 
,09 
06 


R 

607. 
617. 
6^7. 
637. 
647. 
657. 
667. 

677. 
687. 
697. 

F        T 

.7t3     109., 

.443  '19 

.773  129. 

.703  139. 

.a33  149 

.363  159. 

.093  169. 

.4i3  179. 

.353  189. 

.883  199. 


S 
.83 
.40 

•77 
•94 
.91 

.68 


.25 


.6a 

•79 
.76 

F 


R 

707.. 
717.. 
727.. 
737.. 

747^^ 

757.. 

767.. 

777^^ 
787.. 

797^^ 
T 


S 
.53 
.10 

•47 
.64 

,.6i 

,.38 


.95 


..32 

-49 
..46 

F 


R 

807. 
817. 
827. 
837. 
847. 
857. 
867. 
877. 
887. 
897. 

T 


.oi3  209.. 

.743  at  9.. 

.073  229.. 

.oo3  289.. 

.533  249  • 

..663  259.. 

.393  269. 

.723  279 

.653  289 

.i83  299 


..3i3  309. 

..043  819. 

..373  329. 

..3o3  339. 

.833  349. 

.963  359. 

..693  369. 

,..023  379. 

.953  389, 

,..483  399. 


S  R        S 

...23i  907. ...981 

,..801  917. ...Soi 

..171  927...  871 

...341  937. ...041 

...3ii  947. ...01 1 

...081  957. ...781 

...65i  967. ...35i 

,..021  977. ...721 

...191  987. ...891 

..161  997... .861 

F  T        F 

...61 3  ^o^....giS 

...343  419. ...643 

...673  429--  973 

...6o3  4^9  ■••9o3 

...i33  449. ...433 

...263  459. ...563 

,..993  ^6()....2C)S 

...323  479--^23 

...253  489. ...553 

...783  499. ...o83 


SD'    DIVISORI    Dl    QUALSIVOGLIA    KUMtUO       467 

T       V        T       F        T        F        T        V        T        y 


509.. 

..ai3 

609  . 

...Si  3 

709. 

.,8i3 

809.. 

.ii3 

909.. 

.413 

519.. 

..943 

619.. 

..243 

719. 

..^43 

819.. 

.843 

9'9 

.143 

5.49.. 

..173 

629.. 

..573 

7=»9 

..873 

829.. 

..73 

929.. 

..473 

539.. 

..ao3 

6.39.. 

..5o3 

7^■■ 

..8o3 

839.. 

.io3 

989.. 

.403 

549- 

..733 

649.. 

..o33 

749 

.333 

849.. 

.633 

949  ■ 

.933 

559.. 

..863 

659.. 

.  i63 

759. 

..463 

859.. 

.763 

959.. 

..o63 

S69.. 

..593 

669.. 

.893 

769. 

..,93 

869.. 

.493 

969.. 

793 

579. 

..gaS 

679.. 

..aa3 

779- 

..5a3 

879.. 

8a3 

979 

.123 

589.. 

.853 

689.. 

..i53 

789. 

...453 

889.. 

.753 

989.. 

..o53 

S99. 

..383 

699.. 

..683 

799- 

..983 

899.. 

.283 

999- 

..583 

Con  queste  dugeuto  coppie  di  muneri  fonno  i  du- 
geiito  prodotti 

{  1000  m  -^-    7  )  (  1000  n  -\-  bit  ) 

(  1000  m  -4-  17  )  (  1000  n  -H  201  ) 
&c.  &c. 

e  messo  ad  ognuno  eguale  il  nuinero  6700417  sepa- 
ro  in  ciascuna  eqnazione  1'  una  e  Y  altra  indft«"riui- 
nata  m  ,  n,  e  ricavo  dugento  coppie  di  forinole  iVa- 
zionuiic 


6696  —  7  « 


m 


66n6  —  63 1  m 

— I =  n 


2. 


1000  n  -f-  ()3i 

1000  m  -i-  Y 

6697  —  17  ra 
: i =  m, 

1000  a  ■+■  aoi 

6697  —  an  m 

louo  m  -♦-  17 

&c. 

&c. 

n 


468  C   A   N   T   1.  11   Z  A  N  I 

ill  ognuiia  dclle  tjuali  si  devono  sostituire  uri  dopo 
r  altro  ill  liiogo  delT  iiideteriniuata,  die  coiitiene,  i 
lunncti  i  ^  e  2  per  vedeie  se  t|iialcuiia  si  couveite  in 
nuinero  iiuiero,  noii  dimeiiticaudo  di  sostituire  aiiche 
il  zero  nella  prima  lorinola  della  settantesima  quarta 
coppia  a  fine  di  vedere  se  il  nurnero  da  prima  pro- 
posto  avesse  mai  due  volte  il  fattore  641;  la  qual 
indagine,  clie  parrebbe  sommamente  vasia,  riesce  sul 
fatto  assai  spedita;  perciocelie  faciliiieute  m'accorgo, 
a  cagion  d'  esempio,  clie  la  prima  fonnola  metteudo 
1  in  luogo  di  n  porta  il  denominatore  i63i  divisibi- 
le  per  7,  e  metteudovi  2  porta  263 1  divisibile  per 
3;  onde  la  omeito  {XI).  IMa  quand'  anclie  noii  mi 
Ibssi  di  cio  accorto,  egli  e  cbiaro,  che  iu  questa,  co- 
me in  ogui  alira  delle  quattrocento  formole,  o  si  met- 
ta  1,0  si  metta  2  in  luogo  dclT  indeterminata,  tan- 
to  il  numeratore,  quatito  il  denominatore  riesce .  iiii 
iiumero  di  cjuattro  figure,  e  pero  ancbe  setiza  aver 
la  penna  in  mano  veggo  che  il  numeratore  di  quella 
prima  formola  al  mettere  i  in  luogo  di  ri  comincie- 
ra  per  9,  e  per  conseguenza  non  potra  aver  luogo  la 
divisione  senza  avanzo,  perche  facendola  a  rovescio 
converrebbe  da  quel  numeratore  sottrarre  il  nonuplo 
del  denominatore,  il  quale  e  certamente  maggiore  del- 
lo  stesso  numeratore;  mettendo  poi  2  in  luogo  di  a 
veggo,  che  il  numefatore  cominciera  per  2,  e  sottra- 
endone  il  doppio  del  denominatore  ne  viene  un  avan- 
zo, che  trascurato  il  zero  a  destra  e  di  tre  figure,  dal 
•juale  non  si  potra  certamente  sottrarre  il  denomina- 
tore di  quattro  fig«re,  e  molto  meno  un  di  lui  mnl- 
liplo:  sicche  non  puo  mai  riuscire  la  divisione  senza 


SU'    DIVISORI    ni    QUALSIVOGLIA    NUMEKO       469 

avanzo  In  soinina  ben  presto  scopro,  die  nissuna  del- 
le  quattrocento  forinole  iVazionarie  si  converte  in  in- 
tiero,  e  concliiudo,  die  il  numero  6700417  e  nunie- 
ro  primo,  e  quindi  die  il  numero  a*  ■+■  1  non  ha  al- 
tri  lattori  oltre  641,  e  6700417. 

Xlll.  Jltro  esempio.  I  nnmeri  compresi  nell'  es- 
pressione  3**^  ■+-  2  sono  nunieri  priini  linche  si  mette 
/=  I  ,r=2jr=3.  Si  cerca  se  sia    numero  primo 

anche  3"    -h  2  =  43046723. 

I  due  prodottij  ne'  quali  si  possono  rappresen- 
tare  due  fattori,  in  cui  si  risolva  questo  numero,  sono 

{  io  m  -t-  3  )  {  10  n  -i-  1  ) 
(10  w -^9)  (lO«-H7) 

e  questi  eguagliati  al  numero  medesinio  somministra- 
no  le  due  equazioni,  donde  si  cavano  le  quattro  Ibr- 
mole  prime 

430467a  —  S  n  430467a   —  rn 

xo  /i  H-  I  10  m  -+-  3 

4304666  —  c)  « 4304666  ~  1  "i  __ 

\o  n  -\-  1  10  /n  -*-  t) 

Mettendo  o  ,  i  ,  a 9  in  luogo  deH'indetermina- 

ta,  le  prime  tre  formole  uon  danno  mai  iin  intiero; 
ma  la  quarta  al  jnettcr  die  si  fa  m  =  i  si  converte 
neir  intiero  226061  =n.  Dunque  il  numero  3'  -+-  2 
ron  e  primo,  ed  il  minore  de'  suoi  lattori  e  19:  il 
maggiore  sara  10.226561  -+-7  =  2260617.  Seguitando 
a  nietter  in  luogo  di  ni  in  qudla  quarta  formola  gli 
T.  Il    F.  II.  59 


470  Canterzani 

akri  numeii  2  ,  3 9  piii  non  si  converte  essa  in 

numero   intiero,  e  pero  noii  ha  il    numero   proposto 
alcro  fattore  di  sole  due  figure  oltre  19. 

Se  il  numero  3'  -*-  2  oltre  questi  due  gla  tro- 
vad  avesse  altri  fattori,  sarebbero  essi  fattori  anche 
del  maggiore  di  questi  due,  cioe  del  numero  2265617, 
e  sarebbero  rappresentati  in  uno  dei  due  seguenti 
prodotti 

(  10  /W  -4-  7  )  (  IG  rt  -4-  I  ) 

(10/71-4-9)  (ion.-f-3) 

Ora  questi  due  prodotti  messi  eguali  al  numero 
<22656i7  somministrano  le  quattro  formole 


22656 I  —  7  n 

i —  =z  m  , 

10  n  -i-  I 

22656r  —  m  _ 
10  m  -t-  7 

226559  —  9  ."■ 
10  ra  -H  3 

226559  —  ^  ^ 
lo  rn  -*-  q 

n 


n 


nelle  quali  e  inutile  fare  la  sostituzione  dei  numeri 
1,2,3  —  9,  perche  si  e  gia  veduto,  che  il  nume- 
ro proposto  non  ha  fuori  del  19  verun  altro  fattore 
scritto  con  meno  di  tre  figure:  solamente  nella  quar- 
ta  sostituisco  in  luogo  di  in  1'  unita  per  vedere  se  vi 
fosse  due  volte  il  fattor  19.  In  fatti  risulta  1  1924  =  n. 

Dnnque  il  numero  3*  -t-  2  ha  due  volte  il  fattore 
19,  e  per  consegueuza  un  altro  fattore  di  esso  sara 
19  .  19  =  36i:  un  altro  fattore  poi  sara  10  .  1 1924  -h 
3  =  1 19243. 

Per  sottoporre  all'esanie  anche  questo  nuovo  fat- 
tore  II 9243,  il  quale  poti:ebbe  esser    ancor  esso  nu- 


SU'    DIVISORI    DI    QUALSIVOOLIA    NUMERO       4- 1 

mero  non  priino,  si  avranno  le  quattro  formole  prime 

1 1024  —  3  n  1 1 024  —  "i 

— i_i ■=.  m. ,       — r     =  n  : 

lo/i-t-i  10  m  -^  6 

II  c)  18  —  on  1191^  —  y'"  —  ^ 

—  m ,     — ■ —  =  «■ 


10  rt  -t-  7  10  m 


e  qui  pure  noii  fo  altra  sostituzione  che  quella  di  i 
in  luogo  di  m  nella  qiiarta  formola  a  fine  di  vedere 
se  il  numero  proposto  avesse  niai  tre  volte  il  fatto- 
re  19;  ma  trovando  che  no,  passo  a  preparare  le 
venti  coppie  di  numeri  a  due  figure,  ognuna  delle 
quali  coppie  sia  formata  in  modo,  che  mokiplicati 
insieme  i  due  numeri  si  abbia  un  prodotto,  che  co- 
minci,  come  il  numero  ora  proposto,  per  43.  Le  ven- 
ti coppie  sono 

o3....8i  09. ...ay 

i3....ii  19. ...97 

23. ...41  29. ...67 

33. ...71  39.. ..37 

43. ...01  49'-'°7 

53. ...3i  59... .77 

63. ...6i  69. ...47 

73. ...91  79--«7 

83....ai  89. ...87 

93. ...5i  99... .57 
dalle  quali  nascono  al  solito  venti  prodotii ,  che  egua- 


472 


Canterzani 


gliati  al   numero  119243  sommlnistrano  venti  coppie 
di  formole,  die  sono  le  seguenti 


a. 


3. 


6. 

7- 
8. 


10. 


II. 


la- 


II 90  —  3  n 


100  n 


81 


m 


I loi  —  i3  re 

— 1 =:  m  , 

100  re  -t-  II 
1 183  —  a3  re 


1190  —  8r  m 

100  m   -+-  3 

1 191  —  ri  m 


100  m 


i3 


re 


re 


100  re 


4' 


=.m , 


ii83  —  4i  w 

J. =re 

100  /re  -H  a3 
1 1 6g  —  71  m 


.     1 169  —  33  re 
4.   z =  m  , 

100  re -♦- 71  100 /re -t- 33 

e     1192—43  re 119a    —     /re 

43 


;re 


J  00  re   -t-   I 

1 176  —  53  re 

100  re  -»-  3i 

I  r54  —  63  re 


m 


Joo  m 

1 1 76  —  3 1  in 


100  re 
iia6  - 


bi 


/re  ^ 


100  /re  -t-  53 

1 1 54  —  61  /re 


=  re 


100  /re 


03 


re 


73  re 


100  re  -t-  91 

1 1 75  —  83  re 

100  re  -H  ai 

1 145  —  93  re 

100  re  -♦-  5i 

1 1  go  —  9  re 
100  re  -I-  27 

n  74  —  1 9  re 


/re 


/re  , 


/re 


I  ia6  —  or  /re 

i- —  =re 

ICO  //z  -t-  73 

I I  75  —  a  I  m 


1 00  m  -t-  83 
1 145  —  5 1  m 


:/J 


100  m 


93 


re 


100  re 


97 


=  m  , 


1 190  —  27  /re 

JOO  in   ■+-  9 

1 1 74  —  97  w. 


=  re 


re 


ICO  //z 


'9 


SU'    DlVISOni    1)1    QTTALSIVOGT.IA    NU.MEUO       478 

i3.    ^'73-^9"_,„       1173-67  »^_„ 
xoo  n  -H  67  100  m  -I-  49 

,4.    llj!Lz^=m,     "78-37^^^ 
100  «  -«-  37  100  m  -I-  ^9 

1 5.    ^'^9  — 49".,„,        1189    —  7  r?i__ 


16. 


w  ,  ^ '. —  =  n 

1 00  «  -t-  7  1 00  m  -t-  49 

1  r47  -  5()  n  _  ^  ^  1147 -77  m  __  ^ 

ICO  /i  -H  77  '  100  m  -H  59 


J 1 60  —  6q  n  1 1 60  —  4?  w 

ICO  /I  -»-  47  100  m  -t-  69 

,8.    "79-79^^^^     ii79-i7m^^ 
100  ;j  -+-  17  100  /»  -4-  79 

lllS  —  80  n                    Iil5  — 87  TO 
19.    L_   =  TO  J         1  —  =;t 

100  71  -♦-  87  100  TO  -f-  89 

ao.    i'36-99;^_^^     ii36-57to_„ 

100  «  -t-  57  100  TO  -+-  99 

Siccome  il  fattor,  che  si  cerca  se  vl  sia,  dee  esser 
minora  di  845  radice  del  piu  gran  quadrate  conte- 
nuto  nel  numero  1 19243,  cosi  in  ciascuna  di  que- 
ste  formole  basta  in  luogo  dell'  indeterminata  sosti- 
tuire  i  soli  tre  numeri  i  ,  2  ,  3.  Ma  con  somnia 
facilita  usando  le  avvertenze  notate  alia  fine  del  pa- 
ragrafo  XII  trovo  che  nissuno  di  questi  numeri  con- 
vene formola  alouna  in  numero  intiero.  II  numero 
adunque  1 19343  e  primo,  e  il  numero  3*  -t-  2  non 
ha  akri  divisori  oltre  quelli,  che  si  sono  gia  trovati, 
cioe  J 9  due  volte,  36 1  ,  119243  ,  2265617. 


474  C  A  N  T  i:  K  Z  A  N  I 

XIV.  In  qucpto  secondo  esemplo  subito  che  si 
arrivo  mediante  le  prime  (juattro  formole  a  scoprire, 
che  il  nuinero  proposto  3"^  -♦-  2  non  puo  aver  f'uori 
di  19  aliro  fattore  scritto  con  meno  di  tre  figure,  si 
poteva  iminediatamente  per  esso  intraprendere  la  di- 
visione  deH'altro  fattore  2265617,  e  vedendo  che  rie- 
sce  senza  avanzo,  ma  che  il  quoziente  1 19243  non  e 
poi  divisibile  per  19,  conchiudere  che  il  numero 
3'  H-  2  ha  due  volte  e  non  piu  questo  divisore  19, 
e  quindi  passar  senz'  altro  a  trovar  le  venti  coppie 
di  formole  seconde  per  metter  alia  prova  il  numero 
119243.  Cosi  si  sarebbe  avuto  un  risparmio  di  for- 
mole; il  quale  si  potra  in  pratica  sempre  avere,  quan- 
do  dopo  trovato  un  fattore  si  vuol  conoscere,  se  egli 
divida  piu  di  una  volta  un  numero  proposto. 

XV.  Non  dee  recar  maraviglia,  che  in  questo 
stesso  secondo  esempio  cercando  se  vi  fosse  un  fatto- 
re scritto  con  tre  figure  si  sia  trovato  che  no,  quan- 
do  per  altro  si  e  veduto,  che  il  numero  proposto 
3*  -»-  2  e  divisibile  per  19.  19  =  36i ,  che  e  pur  scrit- 
to con  tre  figure.  Ben  si  vede,  che  il  metodo  di  ten- 
tativo,  che  si  e  esposto,  e  tale,  che  quando  ha  da- 
to  una  volta  un  divisore,  non  puo  tornar  a  darlo  un' 
ultra  volta ,  se  per  avventura  il  numero  proposto  non 
lo  contenga  piu  d' una  volta.  Ora  il  metodo,  che  ha 
gia  dato  due  volte  il  divisore  19,  viene  cosi  ad  aver 
dato  auche  il  divisore  19  .  19  =  36i,  e  quindi  noa 
poteva  tornar  a  dare  questo  divisore  36 1,  il  quale 
una  sola  volta  puo  dividere  il  numero  proposto. 

XVI.  Forse  si  dira,  che  1' esposto  metodo  in  som- 
ma  si  riduce  a  dover  provare  come  possibili  divisori 


SU'    DIVISORI    DI    QUALSIVOCLIA    NUMEKO       476 

del  proposto  numero  A  tuttl  i  nuineri  dispari,  che 
non  comifjciano  per  5,  e  die  sono  mlnori  della  ra- 
dice  del  piii  gran  quadrato  contt^mito  in  A.  Cio  e 
\'ero;  ma  e  vero  ahresi,  die  per  lutti  cjuesii  nuuieri 
si  hanno  da  dlvidere,  non  gia  il  nnniero  A,  ma  Hu- 
meri piu  piccoli,  e  seinpre  piu  piccoli  di  A^  e  cosi 
le  divisioni  si  eseguiscono  tanto  [)iu  lacilmente,  di 
modo  die  alT  ultimo,  anche  senza  scrivere,  si  scorge 
se  possano,  o  no  riuscir  senza  avanzo,  massime  se , 
come  e  stato  notato  {X)  facdansi  a  rovcscio.  Ne 
questo,  in  maiicanza  massimamente  della  tavola  dei 
numeri  primi,  e  piccolo  vantaggio  in  una  ricerca ,  in 
cui  pare  certamente,  che  non  possa  procedersi  che 
tentando.  Per  poco  poi  che  il  calcolatore  abbia  la 
pratica  del  conteggiare,  facilmente  s'accorge  egli  quan- 
do  il  denominatore  d'una  formola  rit-sce  divisibile  per 
uno  anche  dei  soli  sei  numeri  molto  semplici  3,7, 
II  ,  i3,  17,  19,  nel  qual  caso  si  omette  {XI)  di  di- 
videre  per  esso  il  numeratore:  ed  e  ben  grande  il 
numero  delle  operazioni,  che  vengono  cosi  a  rispar- 
miarsi . 

XVIT.  Nonostanteche  si  usino  queste  avvertenze, 
c  tutte  le  altre,  che  di  sopra  si  sono  all'  occasione 
notate,  e  quelle,  che  sul  fatto  ofterir  si  possono  al- 
I'abile  calcolatore,  le  quali  tutte  danno  luogo  a  mol- 
ti  e  molti  compendj,  non  si  puo  negare,  che  I'espo- 
sto  metodo  non  ricliieda  una  gran  serie  d'opfrazioni , 
qualora  il  numero  proposto  sia  molto  gramle.  Pure 
trattandosi  di  un  problema,  che  forse  non  pno  scior- 
si  che  tentando,  saro  contento,  se  avro  indicato  il 
tentativo    piu  sicuro,   e  meno  al    parer  mio   faiicoso; 


476 


Canterzani 


e  molto  maogiormeiite  lo  saro,  se  abbia  cosl  dato  oc- 
casione  ai  valeiui  Aiialisd,  clie  o.iorano  la  nostra  Ita- 
lia, di  scopriie  una  via  per  giunger  aU'iateuto  affat- 
to  cUreua,  o  almeno  piu  coiupendiosa . 


I  N  D  I  C  E 


D 


iscnrso  e  OssPrvazioni  intorno  i  reccnti  progress!    dovutl  agl'  Ita- 
Jiaiii  delle  scieiize  mateiuaticlie  c  lisicLc  pag.  Ill 


I.    Fine    dpgli    elementi   di    trigonometria    sferoidica .    Di    Barnuba 

Oriatn     .     .     .     .     , pag.       i 

a.  Continnazione  delle  nsscrvazioni  e  spcrienze  sopra  la  teoria  della 
resisieiiia  de'  fluidi  del  sig.  Giorgio  Juan .  Di  Giuseppe  Avan- 
zini 59 

3.  Sopra  i  Criterj  clie    distingiiono  i    Massimi  dai  Minimi    delle  for- 

mole  iniegrali  doppie.  Di  Fincciizto  Brunacci Ill 

4.  Continnazione  della   parte  a*,  snllc  livellazioni  barometriche  .    Di 

Francesco    Vcnini 171 

5.  Suir  apparecrhio  laterale ;  con  nuove  modificazioni  degli  strumcnti 

desniiti   in  alira   memoria  inserita  nella  prima  parte   di  (juesto 
toQio .  Di  Ciuscppc  Ant 241 

6.  Delia  siiniglianza  meccanica  .  Di  Paolo  Dclangcs aSt 

'J-  Delia  inrfinazione  delle  sponde  negli  alvei  de'  fiuaii .  Di  Simone 

Straiico 261 

8.  Supplememo  alle  osservaaioni  sopra  la  teoria  della  resistenza  de' 

fluiili  del  sig.  Tiian .  L)i  Giuseppe  Avanzini 3ai 

9.  Altra  Cnnrinuazione  della  parte  a*,  sulle  livellazioni  barometriche. 

Di  Francesco   Vcnini 341 

lo<  Metodn  d'  indapare  i  divisori  di  qualsivoglia  dato  nuroero.  Di  5e- 

basdano  Canterzani 44^ 


.*' 


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II 


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